若A,B合同，则A,B都是对称矩阵的行列式吗？？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-07-02 03:40 标签： 对称矩阵的行列式
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矩阵A合同于对角矩阵B,则A一定是实对称矩阵吗?
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矩阵A一定是对称阵,下图是证明.经济数学团队帮你解答,请及时采纳.谢谢!
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扫描下载二维码设A B都是n阶对称矩阵，证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.
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设n阶实对称矩阵A正交,则有( ) A.A=E B.A合同与E C.A²=E D.A相似于E 求解释?
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因为 A 是正交矩阵所以 A^-1 = A^T又因为A是对称矩阵所以 A^T=A所以 A^-1 = A所以 A^2 = AA^-1 = E.故 C 正确
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扫描下载二维码二次型——矩阵合同、相似、等价之间的关系
实对称矩阵，较之于普通矩阵，有许多好的性质，这几乎可以类比成“一白遮百丑”，实际上想说的是“一步领先，步步领先”。
1、普通矩阵，它的不同特征值对应的特征向量，只是线性无关；而实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交。
2、普通矩阵，其非零特征值的个数与矩阵秩之间没有明确关系；而实对称矩阵非零特征值的个数等于矩阵的秩。
3、普通矩阵A,B，两矩阵相似，可以推导出它俩具有相同的特征值，但反之未必；而俩实对称矩阵相似的充要条件就是它俩具有相同的特征值（证明请见后面的题目）。
4、普通矩阵，未必可以相似对角化；而实对称矩阵一定可以相似对角化，而且是正交对角化。
★5、普通矩阵A,B，A与B相似（P^(-1)AP=B）
A与B等价（或等秩）（PAQ=B），A与B合同（P'AP=B）
&rA A与B等价（或等秩）。但反之未必，而且“相似”与“合同”之间也没有什么明确关系。
而实对称矩阵A,B，除了满足普通俩矩阵成立的两个性质之外，还成立：（1）A与B合同
&hA&二次型x'Ax与x'Bx有相同的正（负）惯性指数（证明请见文末的第二篇相关博文）；（2）A与B相似
A与B合同（因为A与B的特征值相同，且存在正交变换使得P'AP=Λ=&Q'BQ，从而(PQ')'A(PQ')=QP'APQ'=B.）。给个示意图吧：
&&&&&&&下面一道题目，就是对实对称矩阵的相关性质的一个检验：
————————————————————————————————
关于俩同维（阶）矩阵A与B，“等价 &hA
等秩r(A)=r(B)& ”的证明，请见博文：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&扫一扫，可查看我的新浪微博
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若A是实对称矩阵,证明B=A^2-2A-E是实对称矩阵
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A为实对称矩阵,则A~ΛΛ=P^(-1)AP,A=PΛP^(-1)B=A^2-2A-E=PΛ^2P^(-1)-2PΛP^(-1)-PEP^(-1)=P(Λ^2-2Λ-E)P^(-1)P^(-1)BP=Λ^2-2Λ-E
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