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为什么样本均值的标准差是总体均值标准差除以根号n?
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刚刚好也在研究这个问题,看了一些其他的答案.顺便贴过来给你看看,不过我虽然知道公式怎么用了.但是还是没有理解为什么一个是除以n,一个是除以n-1样本标准差在真实世界中,除非在某些特殊情况下,找到一个总体的真实的标准差是不现实的.大多数情况下,总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的.标准差是描述一组观察值离散趋势的常用指标,描述离散程度的指标还有：极差（全距） R=最大值-最小值式中n-1称为自由度.样本标准差总体标准差总体的指标称为参数,用希腊字母表示,如总体均数（μ）,总体标准差（σ）,总体率（π）,样本的指标称为统计量,用拉丁字母表示,如样本均数（）,样本标准差（S）,样本率（P）.标准差的应用：（1）说明观察值离散程度的大小,若两组观察值单位相同,均数相近,则标准差愈小,表示观察值离散程度愈小.观察值围绕均数分布较密集,均数的代表性较好.（2）与均数一起描述正态分布资料的特征.（3）计算变异系数当两组观察值的单位不同或者两组单位相同而均数相差很大时,需计算变异系数比较两组资料的变异程度大小.（4）计算标准误.因为有两个定义,用在不同的场合:如是总体,标准差公式根号内除以n,如是样本,标准差公式根号内除以（n-1),因为我们大量接触的是样本,所以普遍使用根号内除以(n-1)
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样本标准差和总体标准差的点估计值是同一种东西吗?
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样本标准差和总体标准差的点估计值不是同一种东西。样本标准差是通过你收集的样本数据直接计算出来的,是一个具体数；总体标准差的点估计是通过样本标准差,在一定的置信度下,推测出的母本标准差在的区间；标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式如下所示：标准差=方差的算术平方根=s=sqrt(((x1-x)^2 +(x2-x)^2 +......(xn-x)^2)/n)。总体标准差是反映研究总体内个体之间差异程度的一种统计指标，用σ表示。总体方差是一组资料中各数值与其算术平均数离差平方和的平均数。总体标准差则是总体方差的平方根。
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小弟新手一只，请教各位高手。在SPC统计中的样本标准差和总体标准差估计分别如何计算？
小弟是这样算：
样本标准差 (UCL-LCL)/6
总体标准差估计 R拔/d2
不知是否正确？
当然要全部检测一遍啊，比如你算PPK，连续采样100PCS，这100PCS难道不需要全部测量？？答案是当然的吧？
至于计算的话，不管是excel还是minitab都没什么工作量吧？就是输入而已。。
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6SQ质量日刊
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6SQ质量周刊出自 MBA智库百科()
总体标准差（population standard deviation ）
　　总体标准差是反映研究总体内个体之间差异程度的一种统计指标，用σ表示。
　　总体方差是一组资料中各数值与其算术平均数平方和的平均数。总体标准差则是的平方根。
　　标准差是最常用和最重要的变异性测量。标准差以分布的作为，用考虑每个数据和平均 数之间的距离来测量变异性。它由数据是否接近或远离来决定。也就是说，它考虑数据是聚集还是离散的？简单来说，标准差与数据到平均数的平均距离近似。
　　方差被定义为平方差的平均数。这个平均数为总和除以N，因此，的公式为：
　　标准差是的平方根，因此，总体标准差的公式为：
　　标准差=
　　与平均数（&）一样，方差和标准差是总体的参数，将用希腊字母表示。我们用&表示总体标准差。为了强调标准差和方差之间的关系，我们用&2表示总体方差。所以：
　　总体标准差=
　　总体方差
　　中除了均值和的估计之外，还经常要对差异的情况作出估计，例如：一架飞机的电缆如果发生断裂，飞机就会市区，因而严格控制其质量非常必要。但只知道电缆的平均强度是否达到是不够的，因为如果电缆差异太大，电缆强度太强，都容易发生断裂，后果不堪设想。所以对于电缆强度不仅应知道均值，而且还应知道方差，即要对电缆的方差进行估计。
　　对方差进行估计要用到Excel中的反函数CHIINV。若已知总体方差&2（总体方差未知时用样本方差S2代替总体方差）和，对于给定的&，利用CHINV函数可以求出临界值和,则总体方差&d的置信度为1 & &的置信区间为
分别是自由度为n & 1的X2分布的和的水平的分位数。
　　假设上市公司预计的每股收益率服从正态分布，现有8个公司组成一个简单随机样本，2007年的有关数据如表12-1所示，试建立总体标准差的95%的置信区间。
　　设X表示预计的每股收益率，则由已知条件知X～N（&,&2）,且&2未知。具体操作步骤如下：
　　（1）打开“《大学计算机应用高级教程》教学\第3篇Excel与处理\第12章 参数估计与分析\第12章 与分析.xls”工作簿，选定“例12-10方程估计”工作表。
　　（2）将表12-1中的数据输入“方差估计工作表的单元格中，输入后的工作表如图12-20所示”
　　（3）在D2单元格中输入样本容量的值8：在D3单元格计算方差得值2.618971。
　　（4）在D4单元格中输入置信度95%。
　　（5）在G2单元格中输入右侧置信度0.025：在G3但与昂输入左侧置信度0.975。
　　说明：通常卡方分布函数所给出的是由右侧向左侧累加的。若置信度为95%，则右侧临界值的右侧面积称为右侧置信度，为0.025，左侧临界值的右侧面积为左侧置，它等于中心面积加上右侧置信度，即左侧置信度=0.95+0.025=03975。
　　（6）选定G4单元格，依次选择“插入”→“函数”命令，打开“插入函数”对话框。
　　（7）在“函数分类”列表中选择“”选项，在“函数名”列表中选择CHIINV选项，单击“确定”按钮，打开“函数参数”对话框，如图所示。
　　（8）在Probability文本框中输入右侧置信度0.025或G2，在Deg_freedom文本框中输入自由度7或“=D2-1”，单击“确定”按钮，计算结果为16.01276。
　　（9）在G4单元格重复上面的步骤，在“函数对数”对话框中的Probability文本框中输入右侧置信度0.975或E3，自由度不变，单击“确定”按钮，计算结果为1.689869。
　　（10）在D7单元格中输入公式“=（（D2-1）*D3）/G4”，得方差下限为1.145。
　　（11）在D8单元格中输入公司“=（（D2-1）*D3）/”，得方差上限为10.849。
　　（12）在D9和D10单元格中分别对D7和D8单元格开平方，即在D9单元格中输入公式“=SQRT(D7)”,按Enter键得1.070，在D10单元格输入公式“=SQRT(D8)”,按Enter键得3.294。结果如图所示。
　　故总体方差的95%的置信区间为（1.145，10.849），总体标准差的95%的为（1.070，3.294）。
　　由此我们有95%的把握认为这些整体的浮动范围在1.070～3.294之间。
陈尹立，陈国君主编.大学计算机应用高级教程.清华大学出版社,2008.12.
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第四章 习题及参考答案
第四章抽样与抽样估计一、单项选择题 1、实际工作中，小样本是指（ ） A、样本容量大于 30 的样本 B、样本容量小于 30 的样本 C、样本 容量等于 30 的样本 D、样本容量小于等于 30 的样本 2、从 5 个字母中随机抽取 2 个字母作为样本，采用重复抽样，考虑顺序，则可 能的样本个数为（ ） A、10 个 B、20 个 C、25 个 D、30 个 3、当总体方差未知，且样本容量小于 30 时，进行正态总体均值的区间估计应采 用的临界值为（ ） A、F 值 B、Z 值 C、t 值 D、 x 2值 4、当总体方差已知，无论样本容量 n 的大小如何，进行正态总体均值的区间估 计应采用的临界值为（ ） A、F 值 B、Z 值 C、t 值 D、 x 2值 5、在总体内部情况复杂、且各单位之间差异程度大、单位数又多的情况下，宜 采用（ ） A、等距抽样 B、整群抽样 C、简单随机抽样 D、类型 抽样 6、根据重复抽样的资料，甲单位工人工资方差为 25，乙单位为 100，乙单位抽 的人数比甲单位多 3 倍，则抽样平均误差（ ） A、甲单位较大 B、甲单位较大 C、无法判断 D、甲、乙单 位相同 7、某学校在全校学生中随机重复抽取 100 人调查身高，计算出抽样平均误差为 5cm。如果改用不重复抽样方法，在其他条件不变时，其抽样平均误差将会 （ ） A、大于 5cm B、小于 5cm C、等于 5cm D、不确定 8、纯随机重复抽样条件下，样本容量扩大为原来的 9 倍，其它条件不变，则 （ ） Ａ、抽样允许误差不变 Ｂ、抽样允许误差缩小为原来的九分之 一 Ｃ、抽样允许误差缩小为原来的三分之一 Ｄ、抽样允许误差增大 为原来的九倍 二、多项选择题 1、影响抽样平均误差的因素主要有（ ） A、总体方差或标准差 B、样本容量 C、抽样方法 D、抽样组 织方式 E、抽样的对象 2、下列说法中错误的有（ ） A、抽样误差是不可避免的 B、抽样误差是可以避免的 C、抽样误差 可以计算但不能加以控制机 D、 抽样误差是由于抽样的随机性而产生的样本估计量与总体参数之间的代表性误差 E、 抽样误差是指登记性误 差 3、评价估计量的优劣常用下列三个标准（ ） A、一致性 B、有效性 C、合理性 D、代表性 E、无偏 性 4、抽样推断过程包括相互联系的三项内容（ ） A、随机抽样 B、统计估计 C、假设检验 D、抽样精度 E、置信 度 5、下列说法正确的有（ ） A、总体参数是唯一的、确定的，但又是未知的 B、总体参数是 随机变量 C、样本统计量是随机变量 D、样本统计量是唯一的、确 定的 E、样本所包含的总体单位个数称为样本容量 6、概率抽样最基本的组织方式有（ ） A、简单随机抽样 B、分层抽样 C、等距抽样 D、整群抽样 E、配额 抽样 7、抽样估计中的抽样误差（ ） A、无法避免 B、可以控制 C、只能在估计结束才能知道 D、可 以计算 E、不可控制 8、抽样平均误差是指（ ） A、所有可能样本的样本指标与总体指标的平均离差 B、所有可能样本的 样本指标对总体指标的标准差 C、已抽出样本的标准差 D、等价于 极限误差 E、已抽出样本的平均差 三、填空题 原则抽取样本。 1、概率抽样也叫随机抽样，是指按照 2、在其他条件不变的情况下，如果允许误差缩小为原来的二分之一，则样本容 量扩大为原来的 倍。 3、当 n 趋近于无穷大时，卡方分布趋近于 分布。 四、判断题 1、抽样估计中所谓的抽样误差，是指系统误差。 （ ） 2、编制抽样框，是实施抽样的基础。 （ ） 3、F 分布不以正态分布为其极限分布，它总是一个正偏态分布。 （ ） 4、若总体平均数和方差有限，当样本容量 n 充分大时，无论总体分布形式如何， 样本平均数近似服从 t 分布。 （ ） 5、 根据中心极限定理， n 趋近于无穷大时， 当 二项分布趋近于正态分布。 （ ） 6、 在其他条件不变的情况下， 扩大抽样极限误差会降低估计的置信度。 （ ） 7、抽样平均误差越小，则样本对总体的代表性越小。 （ ） 8、在其他条件相同的情况下，不重复抽样的抽样误差总是大于重复抽样的抽样 误差。 （ ） 9、总体方差是影响抽样数目的因素之一。在其他条件不变的情况下，总体单位 的差异程度大，则应少抽，反之可以多抽一些。 （ ） 10、重复抽样所产生的样本是彼此独立的。 （ ）11、总体参数的数值是客观存在的确定的，但又是未知的，需要用样本资料去估 计。 （ ） 12、样本统计量不含未知参数，它是随样本不同而不同的随机变量。 （ ） 13、全面调查也可产生代表性误差。 （ ） 14、在其他条件不变的情况下，提高估计精度会提高估计的置信度。 （ ） 15、样本方差 S 2?1 = n∧1 n ?1n∑ (xi =1i（ ? x) 2 是总体方差的无偏估计量。）16、估计量 θ 是参数 θ 的无偏估计，可以保证它对参数 θ 的估计没有系统偏差。 （ ） 17、样本比例是总体比例的无偏估计。 （ ） 18、登记性误差是抽样调查所特有的。 （ ） 19、抽样推断是归纳推断法中的一种。 （ ） 20、参数估计和假设检验是抽样推断的两个组成部分。 （ ） 五、简答题 1、什么是抽样框？抽样框有哪三种主要形式？ 2、什么是抽样平均误差、抽样方差、抽样极限误差？它们之间有何关系？ 3、必要抽样数目受哪些因素影响？ 4、什么叫估计量？评价估计量优劣的标准有哪三项？ 5、点估计常用的方法有哪两种？其基本思想是什么？ 六、计算分析题 1、某电池的寿命（单位：分钟）的 95%置信区间是 430&μ&470。假设这个结 果是根据一个样本容量为 100 的样本得出的。试问： （1） 样本的均值是多少 （2） 样本的标准误差是多少 （3） 如果置信区间 419&μ&481 是从相同样本数据得出的，置信度是多 少（置信度为 68.27% 90% 95% 95.45% 99.73%时，正态分布 概率值分别是(1 1.645 1.96 2 3） 2、调查公司想要估计全日制的大学生每周花在看电视上的时间（单位：小时） 平均有多少小时。当极限误差为 0.25 小时时，计算估计均值所需要的样本容量。 （假设想要达到的置信度为 95%。标准差估计为 1.87 小时。 ） 3、 一个样本中包含 75 台若干年前购买的电视机。 这些电视机的置换时间为 12.2 年，标准差为 1.1 年。试对那一时期所有电视机的平均置换时间构建一个 95%的 置信区间。怎样才能减小这一区间。 4、一个样本容量为 400 的随机样本取自均值μ和标准差σ均未知。已算出∑x = 2280 ， ∑ x2= 38532。求μ的 95%的置信区间。5、当你选购一种商品时，考虑得最多的是什么？是价格还是商品的质量？某市场调查公司调查了 2000 名成年人，结果又 64%的人说他们主要根据价格做出购 买决策。 （1） 试对根据价格做出购买决策的成年人的真正百分率构造 95.45%的置信区 间。 （2） 对此区间做出解释 （3） 如果将置信度从 95.45%降到 90%， （1）中的置信区间将会发生什么变化。 6、一个研究者想要估计年龄在 12-18 岁之间、在学校使用计算机的学生比例。 如果他想要 99.73%的把握程度相信极限误差为 5%， 必须要对多少名随机选择 的学生进行调查？ （1） 假设我们将先前的一项研究中得出的百分比 82%作为 p 的估计值 （2） 假设我们事先没有信息可以提供 p 的可能值 7、某厂对当年生产的产品进行质量检查，从 50000 件产品中随机抽取 200 件产 品，发现其中有 15 件不合格，试应用恰当的方法在 95.45%（Z=2）的概率保证 下，对全部不合格产品作可能范围估计。 8、某进出口公司出口一种名茶。按规定这种茶叶每包重量应不低于 150 克，现 用不重复抽样的方法抽取 1%进行检验，其结果如下 每包重量（克） 148―149 149―150 150―151 151―152 合计 要求： ①试以 0.9973 的概率 （Z=3） 估计这批茶叶平均平均每包的重量范围。 以便确定是否达到规定要求。 ②以 95%的把握程度估计这批茶叶包装合格率的范围 9、某地区粮食播种面积共 8000 亩。随机抽取 100 亩进行调查，结果平均亩产量 为 580 公斤，亩产量的标准差为 40 公斤，试以 99.73%的置信度（Z=3）估计该 地区粮食平均亩产量的可能范围和粮食总产量的可能范围。 10、一个容量为 n=16 的随机样本来自总体均值和方差未知的正态分布总体。如 果样本有均值 x = 27.9 和标准差 s=3.23，则总体均值的 95%的置信区间是多少？ 在重复研究中，n 多大时，才能使得总体的允许误差为 1.25？这个样本容量数， 对于 95%的置信区间要求的允许误差为 1.25 能达到吗？ 11、 一个从事市场研究的公司想知道某市内至少有一个成员看过某种报纸广告的 家庭占多大比例。为了估计这个比例，首先要确定抽多少个家庭做调查。该公司 包数（包） 10 20 50 20 100希望以 90%的置信水平对这个比例作出估计， 并使估计值处在真正比例附近 0.04 范围内。在一个由 15 个家庭组成的样本中，有 35%的响应者指出他们家中有某 个人看过这种广告，试问应取多大的样本？ 12、 设已知某果园某种果树单株产量按正态分布。 随机抽取 6 株计算其年产量 （单 位：kg）为：221.2 190.4 201.9 205 256.1 236 试以 95%的置信水平，估计全部果树的平均年产量的置信区间。 13、某灯泡厂为了使生产的螺丝口和卡口灯泡的比例能很好地适应用户需要，从 全市所有电灯中随机抽出 1500 盏灯作为样本。查得其中螺丝口灯头占 15%，试 以 95%的置信度系数求卡口灯头的真正百分比的置信区间。第四章 参考答案 一、单项选择题 1、B 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 7、B 8、C 二、多项选择题 1、ABCD 2、BCE 3、ABE 4、ABC 5、ACE 6、 ABCD 7、BD 三、填空题 1、随机 2、4 3、正态 四、判断题 1、× 2、√ 3、√ 4、× 5、√ 6、× 7、× 8、× 9、× 10、 √ 11、√ 12、√ 13、× 14 、× 15、√ 16、√ 17、√ 18、× 19、 √ 五、 （要点） 1、抽样框是包含全部抽样单位的名单框架。主要有三种形式：名单抽样框；区 域抽样框；时间表抽样框。 2、样本估计量的标准差定义为抽样平均误差；抽样平均误差的平方为抽样方差； 一定概率下抽样误差的可能范围，称为极限误差 3、 （1）总体方差（或总体标准差） （2）允许误差范围 （3）置信度 （4）抽样方法 （5）抽样组织形式 4、样本指标又称样本统计量与或估计量。 标准为：无偏性；有效性；一致性 5、一是矩估计法。其基本思想是：由于样本来源于总体，样本矩在一定程度上 反映了总体矩，而且由大数定律可知，样本矩依概率收敛与总体矩。因此，只要 总体 x 的 k 阶原点矩存在，就可用样本矩作为相应总体矩的估计量，用样本矩的 函数作为总体矩的函数的估计量。 二是极大似然估计法。 其基本思想是： 设总体分不函数形式已知， 但又未知参数， 未知参数可以取很多值， 在未知参数的一切可能取值中选一个使样本观测值出现 的概率为最大的参数作为估计量。六、计算题 1、 （1） x ? ? x = 430, ? x = ( 470 ? 430) / 2 = 20 ， 解得： x = 450 （2） ? x = Z α σ ( x ) ，即： 20 = 1.96 × σ ( x )2x ? 20 = 430解得：样本的标准误差 σ ( x ) = 10.204 （3）如果置信区间 419&μ&481 是从相同样本数据得出的， 则： ? x = ( 481 ? 419) / 2 = 31 ， ? x = Z α σ ( x ) ，即 31 = Z α × 10.2042 2解得： Z α = 3.04 ≈ 3 ，即：置信度是 99.73%。22、条件分析：本题为估计总体均值时所需的样本容量。由于 N 不知，视为重复 抽样。z 2σ 2 1.96 2 × 1 .87 2 n= = = 214.94 ≈ 215( 人 ) ?x 2 0.25 23、条件分析：总体方差不知，但为大样本。此时样本均值近似服从正态分布。 由于 N 不知，视为重复抽样。 所有电视机平均置换时间的置信区间为：x ? Z α σ ( x) ≤ ? ≤ x + Z α σ ( x)2 21.12 1.12 即： .2 ? 1.96 × 12 ≤ ? ≤ 12.2 + 1.96 × 75 75即：[11.95]年 怎样减小区间――降低置信度或者增加样本容量！ 4、条件分析：总体方差不知，但为大样本。此时样本均值近似服从正态分布。 由于 N 不知，视为重复抽样。Q x =∑∑s2= =2280 = 5 .7 n 400 (∑ x )2 38532 x 2 ? n = n ? 1 = s2 = nx?(2280 )2400 = 64399σ( x )置信区间为64 = 0 .4 400 : 5.7 ± 1.96 × 0.4= 5.7± 0.784即: [4.916；6.484]5、 （1）P=64%， Z α2=264 % × 36 % 2000置信区间：P = p ± Z α σ ( P ) = 64 % ± 2 ×2即：61.85 %, 66 . 15 %] [(2)我们有 95.45%的把握相信从 61.85%到 66.15%这个区间实际包含了 p 的真实 值。 (3)此时区间变窄 6、解题分析：此题为估计总体比例时所需的样本容量。由于 N 不知，故视为重 复抽样。（ 1） n = （ 2） n = Z α /2 P (1 ? P ) 3 2 × 82 % × 18 % = = 531 . 36 ≈ 532 ( 名） ? 2p 5% 2 Zα/2P (1 ? P ) 3 2 × 0 .5 × 0 .5 = = 900 （名） ? 2p 5% 27、条件分析：由于 N 已知，视为不重复抽样。 首先求不合格产品率的置信区间:7.5% × 92.5% 200 × (1 ? ) 200 50000 即： .85 %;11 .15 %] [3 7.5% ± 2 ×则全部不合格产品的可能范围为：[3.85%×5%×50000],即[1925； 5575]件 8、条件分析：总体方差不知，但为大样本。此时样本均值近似服从正态分布。 由于 N 可推知，故视为不重复抽样。N=100/1%=10000（包） 样本标准差：s=∑(x ? x)2 = n ?1(148 . 5 ? 150 . 3 ) 2 + L (151 . 5 ? 150 . 3 ) 2 = 0 .
? 1整批茶叶平均每包重量范围为：? = x ± Z α σ（ x） = x ± Z α2 2σ2 n （1 ? ） n N= 150.3 ± 3 ×0.2× (1 ?100 ) = 150 . 3 ± 0 . 26 10000即：[150.04；150.56]，达到了规定要求 （2）样本包装合格率： p = 70 = 70 %100整批茶叶包装合格率的范围为：P = p ± Z α σ（ P） = p ± Z α2 2n P （1 - P ） （1 ? ） N n= 70% ± 1 .96 ×70% × 30% 100 × (1 ? ) = 70 % ± 8 .94 % 即：[61.06%；78.94%] 9、条件分析：总体方差不知，但为大样本。此时样本均值近似服从正态分布。 由于 N 已知，故视为不重复抽样平均亩产量的可能范围: 40 2 100 (1 ? ) = 580 ± 11 . 92 100 8000? = x ± Z α σ（ x） = 580 ± 3 ×2即：568 . 08 ； . 92 ]公斤 [ 591总产量的可能范围：[568.08××8000]，即：35360 公斤之间 10、(1)条件分析：正态总体、总体方差不知，且为小样本。此时样本均值服从 自由度为 16-1 的 t 分布。由于 N 不知，故视为重复抽样 总体均值的置信区间为：? = x ± t α σ (x) = x ± t α2 2s 3.232 = 27.9 ± 2.1315 × = 27.9 ± 1.72 16 n即： .18;29.62] [26（2）样本容量：z 2σ 2 1 . 96 2 × 3 . 23 n = = ?x 2 1.25 2 （3） 如果 n = 26 则 ? = 2.0595 × 3 . 23 2622= 25.7 ≈ 26= 1.3 & 1.25“允许误差为 1.25”不能达到。 11、解题分析：此题为估计总体比例时所需的样本容量。由于 N 不知，故视为重 复抽样。n = Z α2 / 2 P (1 ? P ) 1.645 = 2 ? p2× 35 % × 65 % = 384 . 76 ≈ 385 ( 个 ) 0.04 2212、条件分析：正态总体、 σ 未知、小样本。此时样本均值服从自由度为 6-1 的 t 分布。经计算得: x=∑xn= 218.43 s =∑ (x ?x) 2 = 24.39kg n ?1全部果树平均年产量的置信区间：s n 2 2 24.39 = 218.43 ± 2.5706 × = 218.43 ± 25.59 6? = x ± tα σ ( x) = x ± tα即：[192.84；244.02]公斤 13、 p = 85%, Z α = 1.96 ,由于 N 未知，故视为重复抽样2卡口灯头真正百分比的置信区间:P = p ± Z α σ ( p) = p ± Z α2 2P(1 - P) 85 % × 15 % = 85 % ± 1 .96 × n 1500即： .19 %, 86 .81 %] [83
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