华图教育snhuatucom
华图教育微社区
华图教育认证官方微博
华图吧百度贴吧:华图
1356289人正在这里听课
先练后讲&&主讲：顾斐2015国考言语理解难题解读
不可错过的大咖直播盛筵2015国考行测申论备考指导
12月22日19:00&&李瑞数量关系
1月5日19:00&&燕坤言语理解与表达学渣秘籍：我是怎么逆袭上985的「4」——考场骗分指南学渣秘籍：我是怎么逆袭上985的「4」——考场骗分指南等待戈多百家号中秋节，吃完饭走出门，看着身边的舍友，一转眼两年了。我来自辽东小城市的一座小学校，一个年级八九百人，每年只有大概二百人一本上线。高三一年，我从二本末端逆袭上末端985高校，虽说一路跌跌撞撞，但结局还算完美。每个人都有梦想也有追求梦想的权力，我会分部分讲解我在高三一年的心得，希望对和我曾经一样怀有高考梦想的高三同学可以有帮助。emmmCHAPTER 4：一些应试的问题自1977年恢复高考至今，无数前辈抛头颅洒热血千军万马过独木桥的血淋淋的经验告诉我们：高考不是单纯学习的事情。高考是对一个人学习能力、心里素质甚至是人品的全方面考验，基本很少有高考状元是在模拟考中具有碾压性的优势的，第四章就给我的学渣同仁们说说关于应试的东西。1、应试没有技巧首先要强调的一点四十，应试是没有绝对的技巧的，考试的基础是学习但学习不会完全决定考试。想稳定地获得好成绩，真正的实力才是硬道理才是最重要的，永远不要想着通过钻空子在高考中脱颖而出，因为这绝对是一个极小极小的比例。非常经典的一个例子，就发生在我的身边，高中同学，高中坚持开挂的一个男生，总会时不时放个卫星，其实也就是个三百来分的水平，结果高二有一次物理单科年级第一，总成绩班级第一，全班都惊了，以为他发愤图强了，最后发现只有那一次考试。最后高考，又开了一次挂，高考完去学校对答案，满分126分的理综选择，他只错了两道生物得了114分，他说是蒙的，后面的题也没有继续对，最后理综总共考了一百二十几分…嗯好大学永远都不是蒙上来的。努力努力再努力2、心理素质不好怎么办我就属于心大的人，越大的考试越来劲，心理素质贼好，当然，不可能所有人都是这样的，因此大多数学校都会对此实施一些针对性的措施，我认为大部分都是行之有效的，在此我只说说自己可以做到的。第一点，硬实力。硬实力永远是要摆在第一位的，大多数人慌不是因为高考来了，因为学校的一次次模拟考试已经把你磨炼得对考试已经麻木了，真正慌的原因是题不会，然后自己就在脑子里开始预演高考失利之后的一幕幕场景，最后越想越慌越想越慌心态炸了，如果考试内容早已是你认为陈芝麻烂谷子的东西，以高考时大多数人精力的集中程度，就算是考场外面地痞流氓打起来了心态都不会炸。第二点，战术上重视战略上蔑视。说白了就是平时的考试当成高考，最后的高考就会当成小考了，嗯亲测行之有效。拼了3、卷面很重要你以为阅卷老师真的会仔仔细细地给你判卷？别闹了，大夏天的三十多度，一堆人挤在一个房间里看着电脑，十几天的时间要批全省的卷子，是个人都会烦得慌，因此阅卷老师的第一眼基本决定了你这道题的下限。卷面一定是要整洁的，即使你的字烂得一批，最起码要保证横是横竖是竖，阅卷老师能够轻松地看懂你的字，空间能够保持一个看着舒服的架构。汉字的建议，贴着答题卡的横线写，尽量写扁一些看起来比较稳重不发飘，作文字的大小建议控制在半格稍大一些，贴着格子的下半边，这样既显得稳重字又能让老师很轻松地看懂。英语的作文，建议选择手写印刷体，既好看有好学。基本这样就很好4、答题思路一定要清晰还是那句话，老师批卷的时候那个心情不比你考试的时候舒坦。理科所有题下笔前一定要想好，切忌写了一半发现写错了然后划了一大堆，这样第一卷面上就已经输掉了，第二阅卷老师本来就不怎么舒坦的心情让你这么一闹腾就更毁了。完美的做法是，草纸上大概知道是个什么样的思路，大概预演一下确定这题最后就是这样写，然后再去写，此之谓：成竹在胸。语文。阅读和古诗文阅读一定要分点，作文切忌虎头蛇尾，保证一个议论文三段式的保守架构。英语能体现出思路的部分只有作文，也是三段式，起、叙、结，第一段要很明确地写出来你的观点，第二段写自己的理由，第三段套路性地自圆其说收尾。即使不会也要套模板蒙点分5、文科的东西重要的是让老师觉得你很厉害作文，包括语文作文和英语作文，最重要的是卷面，其次是内容，说白了，所有写作文的过程就是炫技的过程，最后想要的结果是炫技成功让阅卷老师觉得哇这个学生还挺厉害挺有底蕴的。语文炫技第一步，字体。一个好的字体绝对能加分，但是这个确实是需要积累的。语文炫技第二步，文采，这个基本也是积累的东西。语文炫技第三步，素材，和别人不一样的素材绝对能加分，什么蝴蝶效应什么肯德基老头自强不息的，这种烂梗老师一场考试就能看个千八百遍的，没意思，要炫技，就要新的素材，即使到考试麻爪了，没关系，自己现编也是可以的，但是一定要攀上名人的光即使自己编的题记双引号后面写的是沃兹吉彼安德，不要害怕老师会因为你这是个假的典故就扣分。林语堂《苏东坡传》记载，欧阳修在批阅苏轼科举文章的时候曾经看到了禹宽厚爱人的典故，事后好奇又怕面子上挂不住就去问苏轼说：我在哪本书上看过这个典故但是想不起来了。苏轼耿直，答：这个典故是我自己编的。欧阳修况且如此，何况是平凡而又伟大的人民教师呢。英语炫技，很简单，第一步字，第二步高级词汇，只要不是高二水平的短语，老师就会觉得你比别人厉害。文科都是积累的东西6、以上讲的到底是啥？我当然知道自己在讲啥，但是我怕你们不知道我在讲啥，因此我要在这重点说一下以上内容的中心思想。永远不要把高考当成一个很可怕的事情，应对高考最简单的办法就是把复杂的事情简单化思考。高考到底是啥？得分上大学，这就像是饭店招揽顾客，生意要好就得把顾客伺候好了。高分生就像是那些东西很好吃的餐厅，即使是苍蝇满天飞都会有回头客，而我的同仁们，你们就像是那兰州牛肉拉面，满街都是还不一定好不好吃，因此你最需要的就是去揣测顾客们的心理，也就是老师们的心理，说白了高考就是一个讨好阅卷老师的过程，想明白阅卷老师的想法你就成功一半了。但是就像我一开始就强调的，这章说的基本都是锦上添花性的东西，也就是到最后走投无路不知道在哪得分的时候做“骗分”的事情，永远不要妄图耍小聪明上大学，因为一个牛肉拉面即使装修得再好店员再热情服务再周到但是面不好吃，也早晚会倒闭的。你处心积虑一年多就是为了讨好这帮人本文仅代表作者观点，不代表百度立场。系作者授权百家号发表，未经许可不得转载。等待戈多百家号最近更新：简介:快乐的生活解百愁，乐观的心态活百岁作者最新文章相关文章当前位置： >>
数学骗分导论
骗分导论Introduction to Score-cheating on Mathematical Olympiad第三版 李 博 杰(石家庄二中 2007 级 19 班 Website:博杰学习网 http://lbj.80.hk/) 0 骗分导论修订引言 数学竞赛三十年风风雨雨,今天终于日趋成熟.而就在 2009 年伊始之时,数学竞赛的 题型有了较大规模的变动.首先,选择题被取消,填空题增加一道,一试变成了 100 分;其 次, 解答题增加了一道, 二试变成了 200 分. 这种题型的调整, 说明了联赛的题型在向 CMO, IMO 靠拢,难度也会逐渐加大.增多的二试题,将更加注重数论,组合的考察;去除的选 择题,不利于&骗分&的实施. 尽管如此,我们仍然不能放弃&骗分&的希望. 《骗分导论》 ,这个来源于信息学竞赛同 名文章的题目,吸引了众多学生,教练的关注,我感到有责任将这项工作继续进行下去.前 版《骗分导论》只有薄薄的 21 页,今天的《骗分导论》经过全面修订,扩充,达到了 81 页,更加异彩纷呈.针对修改后的题型,第三版《骗分导论》提出更多有价值的数学竞赛多 得分的方案.根据读者的建议,本版《骗分导论》更加注重对题目的解析.在此,我谨向各 位提出宝贵意见建议的忠实读者致谢. 在以前版本的《骗分导论》中,更多注重的是省内初赛,全国联赛难度的题目,而由于 水平所限,未曾涉足 CMO,IMO 难度的题目.如今竞赛水平有所提高,只局限于联赛未免 &低龄化& 于是添加了适量高难度的题目, , 部分内容可能涉及高等数学, 供读者选择阅读. 我最近参加了 2009 全国信息学竞赛冬令营,见到了很多&大牛& ,深有感触.在这个牛 年说牛的日子里,为了让更多的竞赛大牛出现,我决定大规模添加内容,写一篇名副其实的 关于骗分的导论.信息学竞赛与数学竞赛很多时候是相通的,一些数学命题的发现,往往与 计算机有关, 而一些计算机中的算法, 也许能启迪数学题的思路. 我始终坚信, 各学科竞赛, 乃至高考学科,都是互相联系的.本文为了更加突出这种联系,有时会引用其他学科竞赛的 试题,或用其他学科的知识求解,希望给读者一些启发. 学科竞赛的保送,自 2002 年开始至今,已走过了八年进程.数万学子通过这一途径, 进入理想的大学.今天,这个正在成长的制度可能走向她生命中的终结.各种信息显示,自 2010 年起,可能将不再有省一等奖的保送生,也就是说,只有进入省队,才有可能获得竞 赛的保送资格.事实上,没有保送的竞赛才回归自然.这样,更多的选手参加竞赛是真正出 于对数学的兴趣, 而不是功利的目的. 这样, 我们的竞赛才回归它本身的意义. 我衷心希望, 各位读者能细细品味数学竞赛中的美感,陶冶科学世界的情操. 本版《骗分导论》的主要内容有: (由于内容经常修订,难以确定目录页码) 第一节 得分最大化――骗分的目的 第二节 表达规范――骗分的基础 第三节 变形构造――骗分的前期准备 第四节 特殊值法――骗分的核心技巧 4.1 什么是特殊值法 4.2 特殊值法的理论依据 4.3 特殊值法在函数不等式中的应用14.4 特殊值法在几何问题中的应用 4.5 特殊值法在组合问题中的应用 第五节 试探法――骗分的一般策略 5.1 什么是试探法 5.2 留心试探中的关系 5.3 试探法在数列问题中的应用 5.4 试探法在函数方程中的应用 5.5 试探法在组合问题中的应用 5.6 试探法在数论问题中的应用 5.7 试探法在平面几何中的应用 第六节 高效骗分&秒杀&选择题 第七节 高效骗分提高填空题正确率 第八节 抓住解答题的每一分 8.1 减少低级错误 8.2 尽可能寻找思路 8.3 踩准采分点 第九节 高效骗分破解难题 9.1 调整法――不等式的终结者 9.2 二进制――追溯数字的本源 9.3 反证法――草船借箭的妙用 9.4 算两次――换个角度看问题 9.5 归纳法――三生万物的玄机 第十节 瞒天过海――骗分的必杀绝技 10.0 瞒天过海不露马脚 10.1 角度变换笑里藏刀 10.2 全等相似暗藏杀机 10.3 作图诡计增兵添将 10.4 不等变形藏龙卧虎 10.5 直觉推断兵不血刃 10.6 巧用方程一语攻心 10.7 文字描述避开逻辑 10.8 曲解定理狐假虎威 10.9 先猜结论令敌失色 10.10 铺天盖地绝地反击 第十一节 实战演习――骗分的实际应用 11.1 2007 年全国联赛 11.2 2008 年全国联赛 A 卷 11.3 2008 年全国联赛 B 卷 11.4 2009 年中国数学奥林匹克 11.5 2008 年国际数学奥林匹克 第十二节 数学之美――数学的广延性 12.1 美妙的自然对数 e 12.2 奇特的黄金分割 12.3 物理中的数学212.4 化学中的数学 12.5 生物中的数学 12.6 信息学中的数学 12.7 巧妙的构造 第十三节 不骗分――骗分的最高境界 13.1 骗分的实质 13.2 调整心态,骗分的心理基础 13.3 如何做到不骗分 附录 1 2009 全国联赛模拟题(原创) 附录 2 2009 全国联赛大纲 附录 3 数学竞赛推荐书目 附录 4 竞赛保送指南 附录 5 作者简介 1 得分最大化――&骗分&的目的 在数学竞赛中,经常有题目难以解出的情况.此时,轻言放弃,意味着考试的失分, 一道 50 分的二试解答题很可能决定奖项的取得;继续做,又毫无头绪,有可能耽误更多的 时间.此时, &骗分&便成为了我们唯一的出路. 所谓&骗分& ,就是在一时没有好的思路的情况下,尽可能获得思路;即使没有思路, 也能尽可能得到部分分数. 在数学学科竞赛中,分数是最重要的.时常见到,有些同学能力很高,经常解出难题, 但每逢考试,得分却不理想,这不能不说是一种遗憾.而另一些同学平时不见起色,考试却 每每高分,令人费解.对此种矛盾,本文将略谈一二. 本文笔者拟从数学竞赛&骗分&的实用策略谈起,以提高数学竞赛中获得高分的能力. 由于水平有限,难免有错误疏漏之处,敬请读者指教. 2 表达规范――&骗分&的基础 表达规范,就是学习标准答案的解题模式.要使解答具有层次性,分条阐述.不要几 个式子加一个得数,这样很容易误判.表达规范,要求书写,卷面&排版&整齐.我们看到, 在标准答案中由于计算机排版,行距列距,字体整齐,利于观看,我们也很容易理解. 笔者初中有评阅数学试卷的历史,同样是一个解答过程,有的试卷愿意阅读,有的只 想尽快阅完放弃.在高中联赛的阅卷过程中,阅卷速度很快,若阅卷人一时无法理解或无法 找到而造成误判,造成的损失是无法弥补的,令人后悔莫及. 统观全局,认为影响解答美观性的因素有: (1)字体.竞赛试卷书写不是书法比赛,不能行书草书一起上,要用楷体认真书写,尽 量做到笔画清楚,尤其是数字和符号清晰,不要有模棱两可的数字,不要连笔书写,这样才 方便阅卷. (2)字号.数学专业书籍,如《中等数学》 ,一般都以五号字为宜,本文就是以五号字 排印的.我们书写竞赛试卷时,尽量模仿,避免过大导致卷面不够用,或过小导致看不清. (3)分栏.数学试卷的页一般较宽,若通体一栏,既浪费空间,又会导致各行因表达式 长度不同而&错落有致& ,不美观.可以假想在页的竖直中部有一条线, 先写左栏再写右栏, 该换行时及时换行,一个等号占一行,这样显得规范.不到万不得已,不要使用箭头来回拐 弯. (4)分式.对于较大的分式,若与普通字行距相同,必然导致分子分母的字母,数字过3小, 难以看清. 当遇到复杂的公式推导时, 最好增加行距, 保证分式的字与一般字体一样大. (5)标记.尽量注明重要推导步骤和中间结论的号码,用(1) (2) (3)……表示,一 是方便在中间步骤给分,二是以后引用时注明号码来源,如&由(1)+(2)得……& ,逻辑 清晰,阅卷者能迅速找到解题根据,避免误判. (6)关联词.在解答过程中应用&只需证& &下面对……进行分类讨论& &下面用数学归 纳法证明& &由上式可得& &故& &不妨设& &综上&等关联词语,利于阅卷者迅速把握解题思 路. (7)缩进.在分类讨论时,可用数字标号(1) (2)等,以提示阅卷者;标号后紧跟条 件&当……时& ;类别内的各行讨论,最好从数字标号右侧开始,竖直方向各标号对齐,以 体现层次性和逻辑性.分类讨论结束时, 最好有总结性的结论,并采用 &中间结论标记法& , 以便以后引用. (8)注明定理.有时阅卷人一时不知式子来源,容易误判.在运用重要定理时,注明 在式子的前后, &由柯西不等式得& &由梅涅劳斯定理得& ,逻辑清楚. (9)引理.在解决十分复杂的问题时,若能将中间的重要结论写成&引理& ,完整的表 示出来,再对引理进行证明,会起到强调作用,增强解答的层次性. (10)修改.当部分出现错误时,轻轻用线划掉再重写即可,不影响整体效果.不要在 式子中间进行修改,否则不清楚.在正式书写之前最好在脑中把思路理顺,按照正常逻辑顺 序书写,尽量避免大规模涂改. (11)推导.在较长的式子推导中,最好只保留重要的,有技巧的变形步骤,其他等价 推导可在草稿纸上完成,以节省卷面空间. (12)结论.题目解完后,要有总结性的结论,正面回答题目中的问题. 如此种种,不再赘述.表达规范需要长期积累,水滴石穿,最终受益匪浅.总之,表达 规范,好的书写习惯能令人赏心悦目,同时迅速把握解题思路,是竞赛得分的重要基础. 3 变形构造――&骗分&的前期准备 众所周知, &变形& &构造&是数学竞赛解题中的&老大难& .若能巧妙变形,构造,就 能观察出题目内含的等量,不等关系,为本文后面的&特殊值法&和&试探法&奠定基础. 例 1 (经典问题,2008 年安徽初赛)求1 的小数形式的循环节长度. 2008解 1. 251 的欧拉函数φ(251)=250. 而 250=2×53. 对 250 的约数从小到大试 验,知 1050≡1(mod 251) .故 1/2008 的循环节长度为 50. 分析:解答似乎&不知所云& ,因为这涉及到数论知识.首先,10φ(m)≡1 (mod m), 是欧 拉函数的性质,在此略去证明.对正整数 n,欧拉函数是不大于 n 的数中与 n 互质的数 的数目.而 1/2008 的循环节长度等于 1/251 的循环节长度,因为循环小数乘除 2 或 5 的任 意幂次,循环节长度不变,乘除的 2,5 在 mod 10 时不会体现.10t≡1(mod n)与循环小数 的关系,就是 10t 被 n 除余数为 1,这样在除法式中,除到第 t 位时余数与开始时相同,这 意味着新的循环开始了,即 t 是循环节长度.而 251 是质数,其欧拉函数为 251-1=250. 由 于 250 必为循环节长度的整数倍,故一个循环节的长度为 250 的约数,对约数从小到大逐一 试验即可. 在本题中,联想 10φ(m)≡1 与循环小数的余数,属于&构造&的经典.实际上,循环小 数的循环节长度问题还与著名的&大整数分解问题&有关.关于循环节长度的讨论,目前仅 能就约数一一试验,而没有更好的办法,由于 1/p(p 为素数)的循环节长度难以找到规律. 如果能够解决循环节长度问题,得出大数的约数,解决大数分解问题,RSA 加密体制的安4全性将受到极大挑战,并引起数论界的一次革命.n例 2 (经典问题)求 limn →∞ i = 1∑1i2.答案:极限为π2 . 6分析:曾有一道数学竞赛题,就是证明该式小于 2. 利用了整数的分拆和放缩.1+1 22+1 32+ ...1n2& 1+1 1 1 + + + ... 1 ×2 2 ×3 3 ×4=1+1 -1 1 1 1 1 1 1 1 + - + - + ... - = 2- &2 . 2 2 3 3 4 n -1 n n这是一个不错的构造的例子.但我们想知道,这个&放过头&的结论显然不是上式的确 界.那么如何求极限? 这个问题莱布尼茨和伯努力都曾经研究过, 但是没有结果, 而欧拉运用他娴熟的数学技 巧给出了如下的算法.他实际上采用了泰勒展开的方法(请参阅微积分教程) . 已知 sinZ=Z -Z^3/3! +Z^5/5! -Z^7/7!+ …… (在此,n!表示 n 的阶乘) 而 sinZ=0 的根为 0,±π, ±2π, ……(π表示圆周率) 所以 sinZ/Z=1- Z^2/3! +Z^4/5! -Z^6/7!+……的根为±π,±2π,…… 令 w=Z^2,则 1-w/3! +w^2/5! -w^3/7! +……=0 的根为π^2, 2π)^2,…… ( 又由一元方程根与系数的关系知,根的倒数和等于一次项系数的相反数,得 1/π^2+1/(2π)^2 +1/(3π)^2 + ……=1/3! 化简,得 1+1/2^2+1/3^2+……=π^2/6 欧拉将毫无关系的三角函数与级数放在一起, 解决了多年没有结果的问题, 他的数学运 用能力可见一斑, 我们不妨从他的实例中学习解题的方法技巧, 有时大胆猜想也是一种不错 的办法. 在&骗分&之前,先观察式子具有的特征,不要急于对整体运用不等式或放缩,而要先 对每个小单元进行恒等变形或放缩,使各个单元之间建立起关系,或有相等,大小关系,或 恰能互相消去,或恰好符合著名不等式的结构,达到&先局部后整体,以局部促整体&的目 的,也许会柳暗花明. 例 3 设 x,y,z≥0, x+y+z=3. 证明: 证明:要证结论,即证x + y + z ≥ xy + yz + zx .( x + y+ z) 2 ≤ 2 ( x + y + z ) +x2 + y2 + z2 . 即3 ( x + y + z )≤ x +22x +y + 2 y +z + 2 z .+2 ) =22x +2≥3 x2x=x(x3 /2x(x3 /2+1 +1 )x =3x .2分析:在这道题中,对 x +2x 的局部进行变形,放缩,在解题中十分重要.同时,5此题还用到了&从结论出发&的分析法证明,较为巧妙. 例 4 求 21999 的末四位数. 解:φ(625)= φ(54)=54(1-1/5) =500. ∵(2, 625)=1 ∴2500≡1 (mod 625). ∴22000≡1 (mod 625). 令 2m+1. (m∈N) 又 25 | 22000, 令 22000= n25 (n∈N). ∴625m+1=25n. 故有 m =32k+15, n=625k+293 (k∈Z). 将 n=625k+293 代 入 22000= n25, 有 2k+293)=2. ∴k+4688. 末四位为 4688. 分析:此题用到了欧拉函数和 mod 625, mod 32,充分利用指数 2000 的特点.尤其是 变形为 22000 以便处理,体现了&化零为整& &化复杂为规则&变形的技巧精髓. 例 5 使用计算器,估计 ,用科学记数法表示,保留两位有效数字. 解:2008 lg.9495... 由于 lg,故
有 6632 位;又 因为 100....,故
的首两位数为 89. 故 .9×106631. 分析:由于
太大,不可能用计算器直接计算,又因为原题只要两位有效数字, 故思考 10 进位制的特征,发现一个数 x 的位数即为[logx]+1,注意到指数的存在,应用 对 数 公 式 , 即 : log(08lg2008. 而 lga 31 - 6631 =log(2008 )-6631=log(2008 /10 ) 即为幂前系数,a=10 =8.90... . 2008 故用计算器可算出保留两位有效数字的 2008 . 在本题中,巧妙的避开了高幂次的计算, 而利用 lg 函数将指数降为乘法,便于计算.在 k 进制的问题中,此法仍然适用,只需变为 logkx. 这便是变形的核心思想――降维 (减少问题的复杂性) 降次 , (降低幂次, 指数变乘, 乘变加,高次变低次,二次变一次) ,消元(减少未知数个数) .为了降维,降次,消元,需 要充分挖掘问题的隐含条件. 例 6 (解析几何)设正四面体的一个过顶点的平面与三个过该顶点的侧面相截,三条 截线与四面体底面的线面角分别为α, β, γ. 求证:cot2α+cot2β+cot2γ≥3/4. 分析:构造合适的角是关键.在本题中,选择作垂线与交点的连线,是因为其他角度之 间不易建立等量关系,如垂足交点与交点定点联线夹角,面的斜线与底面夹角等,虽然容易 想到, 但后面难以解决. 由此可见, 选择自变量是解决问题的关键. 选择的自变量是否合理, 要看它是否容易利用题目条件,建立等量关系,便于问题求解,而不是把最简单的变量直接 作为自变量.选择自变量,在不等式中也叫选择主元,是开始正式求解的重要准备工作. 变形,构造的技巧是真功夫,只有多加练习才能形成&条件反射& .这里的几个例子, 只是让大家体验一下,变形的技巧其实还有很多,需要慢慢积累. 4 特殊值法――&骗分&的核心技巧 在数学研究中, &从特殊到一般&是重要的思想方法.数学竞赛题,由于其难度,多少 有些研究的性质.于是对许多竞赛题目, &特殊值法&显得至关重要. 4.1 什么是&特殊值法& 特殊值法,又称&和谐法& ,就是对题目中所给的表达式,代入特殊值,寻找其规律. 特殊值, 就是易于计算,求解的值.对代数问题,往往是中值(平均值) ,边值(最大最小) . 当自变量取特殊值时,函数值往往位于极值点(区间上的最大,最小值) .对其它问题,就 是规模较小,简单的,或具有特殊性质的代入值. 4.2 特殊值法的理论依据6若函数 f(x)为凸函数,由琴生不等式(导数法证明) ,有 f(a1x1+a2x2+...+anxn)≤a1 f (x1)+a2 f(x2)+...+an f(xn). 即:对 n 个不同变量,他们和的函数与函数的和具有不等关系.同 样,对其他运算,也有类似的不等式存在. 特殊值法的证明,通用方法是导数法.以 3 个变量的函数 f(x,y,z)为例,设 x+y+z=k 为 常数,x≥y≥z.其中 x≥k/3, z≤k/3.先固定 x,调整 y,z, 即函数 f(y,z).又 y+z=k-x 为常数, 则有 z=k-x-y,三元函数变为一元函数 f(z). 求 f(z)含 z 单项的导数 f'(z),可得当 z=(k-x)/2 时, f'(z)=0; z&(k-x)/2 时,f'(z)&0; z&(k-x)/2 时,f'(z)&0. 即应用单调性可得,对 0&z&k/3, y=z 时 f(z)最大. 此时 y=z=(k-x)/2. 这次调整使 y,z 相等. 同理, 固定 z, 可得 x=y. 由此, x=y=z. 这 是一种逐步调整的策略.对于多元函数的情形,可类似的证明. (详细推导步骤见单樽《利 用导数证明不等式》《中等数学》2006 年第 2 期) , 由此,我们知道特殊值法的适用范围:当不等式的&一项&为单峰函数(中间值最大或 最小)时,可使用特殊值法,此时最值取在均值处,而边值处为另一个最值.有趣的是, 竞赛中出现的多数&和谐&的表达式都具有这种特点,故名&和谐法& ,这说明了特殊值 法的通用性. 类似的,我们可用&逐步调整法&解决不等式问题.具体讨论参考本文后面内容. 4.3 特殊值法在函数不等式中的应用 在应用特殊值法时,要注意观察题目中条件的内在规律.对于对称式,轮换式,往往取 中值时达到一个极值, 取边值时达到另一个极值. 对于单调的函数, 极值在定义域两端取到. 应用特殊值法证明不等式时,关键是证明函数的一项为单峰函数,一般应用导数法.当 表达式较为复杂时,可分层求导,令重复出现的复杂部分为自变量,成为复合函数,证明内 外层函数单调性相同即可.另外,可应用单调性的&运算法则&简化计算.即:单调性相同 的函数相加,相乘,复合,单调性相反的函数相减,相除,单调性不变.若为选择填空题, 此时答案已经得出;若为解答题,再应用本文 4.2 节的逐步调整法即可证明全题. 例 1 已知 a,b,c 为非负实数,且 a+b+c=1.求证:(1-a2)2 +(1-b2)2 +(1-c2)2≥2. 分析:由&特殊值法& ,易知此函数的&一项&(1-a2)2 为单峰函数,符合应用特殊值法 的条件.故 a=b=c=1/3 时,不等式取最值 2. 可以尝试放缩法,著名不等式,将较为繁琐. 注:一道类似的第 49 届 IMO 试题:设实数 x,y,z 都不等于 1,满足 xyz=1, 求证:x2( x- 1 ) 2+y2( y - 1 )2+z2( z - 1 )2≥1 . 解法同上,略.可见特殊值法的通用性.例 2 ( 第 31 届 IMO 预 选 题 ) 设 a, b, c 为 正 实 数 , 且 abc=1. 求 证 :1a (b +c )3+1b (a + c)3+1c ( a +b )3≥2.分析:这是一道著名问题,用构造函数利用单调性法,排序不等式相加法等均可证明, 并有推广的一般结论. (见《奥赛经典高二数学》 )但应用特殊值法,此题非常简单.由于 3(b+c)代换后求导,满足使用条件,故 a=b=c=1 时,原式最小值为 2. a 通过以上两道例题,我们认识到:特殊值法在函数不等式中,其实是导数法,逐步调整 法,体现了&化整为零,分步解决&的数学思想.特殊值法是证明和谐对称不等式的一件利 器. 4.4 特殊值法在几何问题中的应用 在解析几何,立体几何中,常常需要求解一般性结论.当一般性结论不易观察时,可7以将几组特殊值 (线段相等, 角相等) 代入, 求出待求结论. 因为问题的结论是唯一确定的, 故结论已经求出,下面便是证明过程.可以考虑代入的值中,哪些中间结论是巧合的,哪些 中间结论是必然的.一般来说,对不同的特殊值结论均相同的即为普遍结论.然后针对&必 然&的结论进行证明,就把题目分解成若干个简单的证明题,大大降低了解题难度. 代入特殊值后,在求解时,可以应用&程序法&顺序求解.就像大火蔓延一样,从初 始条件的几个&起火点&出发,利用定理,找出所有与之相关的&可燃物& (中间关系) ,一 步步&蔓延& (将结论作为已知,重复以上过程) ,直到目标(所求结论) .这样虽然复杂, 但不重不漏,不易丢失条件.得知结论后,当证明时,可以用&双向搜索& ,从条件和结论 同时出发,加快寻找速度. 例 3 (河北省 2008 年初赛)在三棱锥 S-ABC 中,SA=4, SB≥7, SC≥9, AB=5, BC≤6, AC≤8. 则三棱锥体积的最大值为.答案: 8 6 .(以下为标准解法) 解:设∠SAB=α,根据余弦定理有cos α =SA 2 + AB2 + SB2 1 , ≤- . 5 2 ×4 ×5 1 SA AB sin α ≤4 6 . 由于棱锥的高不超过它 2故 sin α =1 - cos 2 α ≤2 6 5S △SAB =的侧棱长,所以 VC - SAB ≤1 S × BC ≤8 6 . 事实上,取 SB=7 ,BC=6 且 CB⊥平面 3 △ SABS- ABCSAB 时,可以验证满足已知条件,此时 V=8 6,棱锥的体积可以达到最大.分析:此题标准答案中 &取 SB=7 , BC=6 且 CB⊥平面 SAB 时&即为特殊值法的应用. 实际上, CB⊥平面 SAB&是命题人的假设,而恰好在此时取得最值.这就是&构造法& & . 经常有同学问,构造的太巧妙了,我怎么想不到.实际上,巧妙的构造都是从简单情况,特 殊情况入手分析,发现满足某种条件时恰好满足题意,于是产生了巧妙的构造.此题若用其 他解法,必定较为复杂. 例 4 (河北省 2008 年初赛)已知坐标平面上三点 A(0,3), B(是坐标平面上的点,且 PA=PB+PC,则 答案:x2+(y-1)2=4 (y≤0). (标准解法) 如图, 解: 作正三角形 PCD, 由于ΔABC 也是正三角形, 所以可证得 ΔACP ≌ΔBCD,所以 BD=AP. A 又因为 BD=PB+PC=PB+PD,所以点 B,P,D 共线. ∠CBP=∠PAC,所以 P 点在ΔABC 的外接圆上,又因为 PA&PB, PA&PC,所以所求的轨迹方程为 x2+(y-1)2=4 (y≤0). B C 点的轨迹方程为3 ,0), C( 3 ,0),.P 8D分析:笔者思考这道题时,首先注意到△ABC 是正三角形,然后枚举几个 P 点的可能 位置,例如△ABC 的三个旁心,以及 B,C 两个三角形顶点.由于两边之和等于第三边的 图形往往是圆锥曲线,又发现以上五点位于特殊位置,恰好共圆,且圆心位于△ABC 的中 心.这样,P 点的轨迹方程就被轻松确定了. 注意到以上两题都是选自河北省 2008 年初赛填空题,而且都是竞赛时得分率较低的题 目.特殊值法的广泛应用,在此可见一斑.在解析几何,立体几何题目中,若能应用特殊值 法,可以轻松构造一些&意想不到&的方法.对于解答要求不甚严格的选择题,填空题,可 以直接出解,节省时间;对于解答题,则可先知结果,找到重要关系,产生猜想思路,迈出 重要一步. 4.5 特殊值法在组合问题中的应用 在组合问题中,我们常常需要寻找&极端位置& ,从极端情况入手推出矛盾,或者证明 命题.从这个角度说, &特殊值法&类似于&极端值原理& . 极端值原理的方便之处在于,假设了最大值后,就可以利用其最大性推导,其他元素与 它相比都有大小关系,在组合问题中大小关系很重要.并对边界提出很高的要求.由于矛盾 一般发生在边界位置, 极端值法十分有效. 必要时, 甚至可以将所有元素排序, 这样更有力. 例1 试问能否在平面上放置 2 008 条线段,使得每一条线段的端点都严格地位于其他 线段的内部? 证明 假设可以放置 2 008 条线段,使得它们的 4 016 个端点全部严格地位于其他线段的 内部. 现取一定点 O ,并找出 4 016 个端点中离点 O 最远的点 A ,于是,平面上再没有比点 A 到点 O 的距离更远的点(上述线段的端点) 了. 由于点 A 严格位于另一线段 BC 内部,从而, 点 A 是△OBC 的边 BC 上的点. 故 OA & max{ OB ,OC}. 这与点 A 是离点 O 最远的点矛 盾. 可见平面上不能放置满足题目要求的 2 008 条线段. 分析 本题抓住极端位置―――最远点 A ,层层展开,导出矛盾. 例 2 将正整数 1 至 100 随意填入 10 ×10 的方格表中,且每个方格填一个数. 证明:必有 某两个相邻方格(即具有公共边的方格) 中所填数字之差不小于 6. 证明 假设可以找到一种填法使得每两个相邻方格中所填数字之差都不超过 5 (即小于 6) . 观察与 1 在同一行, 100 在同一列的方格内的数字 a ,由于 a 与 1 之间至多间隔 8 个 与 方格,故 a ≤1 + 9 ×5 = 46. ① 又由于 a 与 100 之间也至多间隔 8 个方格,故 a ≥100 - 9 ×5 = 55. 与式①矛盾,从而原 命题成立. 分析 本题在从特殊位置特殊对象入手的同时,又注意从全面加以考虑,从而使问题顺利 获证. 综上所述, &特殊值法& 作为&骗分&的核心技巧,在函数不等式,解析几何,立体几何, 组合等问题上,具有重要作用.掌握此法,受益匪浅. 5 试探法――&骗分&的一般策略 5.1 什么是&试探法& 试探法,归根结底还是&特殊值法& .之所以从&特殊值法&中独立出来另成一节,是 因为很多问题开始毫无头绪,需要从简单入手,逐步试验,观察特点,变化趋势,才能得到 最后的结论,进而应用其他方法严格证明. 5.2 留心试探中的关系 很多同学感到头疼的问题是&不知如何下手& .造成这一问题的因素可能是被问题的复9杂性&吓怕&了,生怕做不出来,形成了心理障碍.首先要克服这个心理障碍,相信自己, 敢于动手去做.要善于应用草稿纸,将各个试探结果记录下来,以便下面的比较. 下一步就是&如何试探& .当然,我们要从小处开始,即最简单,最基本的情形.试探 的时候,要时时留意试探变量,中间结果,最终结果的横向(同一次试探)关系,纵向(各 次试探同一个变量)关系,有时规律就隐藏在某个中间结果中.不能急功近利,要试探 4-5 个小数据,才能保证得到的结论是正确的. 5.3 试探法在数列问题中的应用 在数列问题中,求复杂数列通项公式时,常常用到试探法.先对 a1,a2,a3...按照递推式 进行计算,再寻找规律,最后用数学归纳法证明. 寻找数列各项间关系时,最简单的当然是等差数列,等比数列,这时问题的突破口已 经打开. 有时数列比较复杂, 可尝试某项与前两项的和, 差, 积, 商间的关系. 若还不可行, 可将相邻两项的和,差,积,商构造成新数列(这叫做数列的差分) ,重复以上过程,以便 发现二阶甚至高阶等差,等比数列.要特别留意,数列的某项是否与前 n 项和有关,这是类 似等比数列的标志. 例 5 某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计的植树方案如下:第 k 棵 树 种 植 在 Pk(xk,yk)处 , 其 中 x1=1,y1=1.当 k≥2 时 , xk=xk-1+1-5[(T((k-1)/5)- T((k-2)/5)]. yk =yk-1+T((k-1)/5)- T((k-2)/5). T(a)表示非负整数的整数部分,例如 T(2.6)=2, T(0.6)=0. 按此方 案,第 2008 棵树种植点坐标应为 . 分析:对于&高斯函数&熟悉的同学可能一眼就看出其中的规律.但笔者解决此题时, 就是应用了&试探法& .根据题中所给的递推公式和初始条件,求得 x2=2, x3=3, x4=4, x5=5, x6=1...出现了以 5 为周期的循环.而 y2=1...y5=1, y6=2...y10=2, y11=3...每 5 个增加 1.当发现规 律后,其实原因很简单,就是 T((k-1)/5)和 T((k-2)/5)在被 5 除余 1 时恰好相相差 1,其余时 相等.于是答案轻松解决:坐标为(3,402) . 例 6 (1991 年全国高中联赛)设 an 为下述自然数 N 的个数:N 的十进制表示中的各 位数字之和为 n,且每位数字只能是 1,3,4. 求证:a2n 是完全平方数. 分析:应用&试探法& ,先对最小的数据进行试验.a1=1, a2=1, a3=2, a4=4. 当 n≥4 时, an=an-1+an-3+an-4. 这是一个递推式,即和为 N 的 n 位数由 n-1 位数添上一位 1,2,4 产生. 如果这个结论也得不到,可以多试几组,把这个结论&猜&出来.然后即可运用递推公式, 算出后面的几项.由于题目要求证明的是偶项为平方数,故数列一定与奇偶有关.分奇偶观 察数列,可发现一些有趣的性质.尤其是 a2n=n2, 表明结论正确,下面寻找的就是 a2n 与 n 的关系.注意到 an+an-2=n(如何找到的?通过试探), 故命题化为证明 a2n=(an+an-2)2, 找到了 目标,大大降低了难度.由于数列中关系很多,还有其他途径可以证明,不再赘述. 例 7 已知 a1=1,求数列 a n =1 ( 1 + 4a n - 1 + 24a n - 1 + 1 ) 的通项公式. 16分析:本题解法与例 5 类似,很容易发现规律,再用数学归纳法证明即可. 例 8 已知 f ( x ) = ( x + 该数列的前 n 项和 Sn (n 2 ) 2 ( x ≥0 ) , 又数列{an}中 a1=2,∈N)对所有大于 1 的自然数 n 都有 Sn= f(Sn-1).求{an}的通项公式. 分析:揭开函数 f(x)的神秘面纱,不过是一个较为特殊的递推数列,后一项与前 n 项和 有关.仍然采用试探法,注意到 an=Sn-Sn-1, 此题即可顺利解决. 当我们对一个数列的性质,通项公式&一无所知&时,不妨按照题意代入几个试验一 下,留意各项间的关系,必要时可以尝试作新数列,观察新数列的性质,也许有意想不到的10收获.当然,也可以应用&不动点法&等方法,对于模式化的数列,不动点法,公式法也许 更加简单直接. 5.4 试探法在函数方程中的应用 函数方程,正如其名,十分&抽象& ,不易摸透.如果直接接解函数方程,没有固定的 解法,还容易无从下手.本文只能讨论函数方程的可能表达式,而不能证明其唯一性,因为 证明仍然是一项高难度的技巧性工作. 试探法解函数方程,一般有试验顺序.首先检查基本初等函数是否是问题的解.多数 函数方程问题的解都是基本初等函数,这一步试探可以立即得知结论. 然后代入几个特殊值,运用&特殊值法& ,得出特殊关系式,便于猜想.常用的特殊值 包括:常数 0,1,-1;自变量能够使函数中某部分为零而消去的取值;能够使函数中两 部分相等的取值. 一般来说, 代入这些值后, 即可暴露出函数方程的几个特例, 即本质特点. 对这几个&简化版&函数方程进行加减乘除运算,即可消去某些不必要的项,得出基本函数 方程,从而根据知识储备得出函数方程的解.在得出解后,为了避免遗漏,最好检查常数项 (包括为零的隐含常数项) ,是否常数可能有其他取值.对于指数型函数方程,还应当检查 指数项.而函数的各项系数,一般是唯一的. 例 9 设 f(x)为 R 上的单调函数,解函数方程 f(f(x))=x. 分析:显然 f(x)=x 满足题意. (这就是试探法) 假设对某个 x,f(x)&x.(这里用了反证法,开始证明唯一性) 则由单调性知 f(f(x))&f(x)&x,与条件矛盾. (从这里发现,解函数方程问题常常需要应用 单调性.所以在解题前应先探讨函数的单调性,奇偶性. ) 若 f(x)&x,同理引出矛盾.故对任意 x∈R, 都有 f(x)=x. 例 10 求所有的函数 f(x):Q→Q,满足条件 f[x+f(y)]=f(x)f(y). 分析:显然 f≡0 满足条件.设 f(y)≠0, 由 f(y)=f[y-f(y)]f(y),得 f[y-f(y)]=1.即存在 a, 使 得 f(a)=1. 令 y=x( 特 殊 值 法 ) f(x+1)=f(x). 故 f(x)是 周 期 函 数 , 且 1 为 其 周 期 . 故 f , (x+n)=f(x). 又 f[nf(y)]=f[(n-1)f(y)+f(y)]=f[(n-1)f(y)]f(y)= =f(0)fn(y).设 f(g)=q/p, p,q∈ Z, 则 f(0)=f(q)=f(0)fn(y). 由 于 f(0)≠0, 则 fp(y)=1, f(y)=1 或 -1. 若 f(y)=-1, 则 f (x-1)=f(x)f(y)=-f(x), 仍导出 f(x)=0. 于是对一切 x∈Q, f(y)=1. 故所求 f(x)为 f(x)≡0 或 f(x)≡1. 注: 对有理数类问题, 可设为分数形式, 并采用由整数到分数的推广方法 (柯西方法) . 5.5 试探法在组合问题中的应用 试探法应用于组合问题,一般是&从小处着眼& ,先对较小的,容易计算的情况进行试 探,再解决一般性问题. 例 11 求数列通项公式:Sn=14+24+34++n4. 分析:令 S(n,m)=1m+2m++nm, 便于说明问题.我们先试探 S(n,0), ...S(n,3), 然后得出 要求的 S(n,4). 显然,S(n,0)=n. S(n,1)=(1+n)*n/2. S(n,2)=(n+1)(2n+1)/6.这都是我们常见的公 式 . 注 意 到 S(n,m)是 m+1 次 多 项 式 , 于 是 我 们 猜 想 S(n,4)是 5 次 多 项 式 . 设 S (n,4)=an5+bn4+cn3+dn2+en+f. 将 S(1,4), S(2,4)...S(6,4)手动算出,代入上式,可解出 S(n,4)的 各 项 系 数 .( 应 用 待 定 系 数 法 ) 经 分 解 因 式 , 结 论 为 :Sn =1 这里 n ( n + 1 )( 2n + 1 )( 3n 2 + 3n - 1 ). 此题严格的解法需要用到数列差分的知识, 30只是提供一种通用的&骗分&方法. 例 12 (2000 年全国高中联赛)有 n 个人,已知他们任意 2 人至多通电话 1 次,他们11任意 n-2 个人通电话的总次数相等,都等于 3k(k 为正整数) .求 n 的所有可能的值. 分析:通过对 4,5,6 个人的情况小规模试验知,不考虑 3k 问题,只是&任意 n-2 个人通 电话的总次数相等&就可以确定所有人之间全部通过电话.由于反例长时间找不到,我们便 设想有下面的加强结论: 在 n 个点组成的图 Kn 中,若对某个 2≤k≤n-2,任意 k 个点间的边数相同,则 Kn 是完 全图. 这个命题已被证明,要用到组合数,图论中正则图的知识,这里不详细展开,留给读 者思考. (提示:先证正则图,后证完全图. ) 本题的标准答案中用了其他方法,充分利用了 3k 条件.但以上推广,更能体现问题的 本质.而这个有趣的结论,就是通过&试探法&发现的. 上述例题还不能全面反映试探法在组合问题中的应用.很多较难的问题,都是从小规 模数据枚举,试算而找到规律的.例如 2007 年全国高中联赛的&五子棋&问题,就可以应 用先用较小的棋盘试验, 猜想 &马步跳& 后证明的方法简单地解决. , (丁龙云 《从 &五子棋& 到&马步跳&, 》《中等数学》2008 年第 2 期)而当年很多同学就是不愿动笔试验,而盲目地 采用代数方法试图直接解出结论, 导致该题得分率偏低. 同样, 著名的 &红点问题& 的解决, 也是从小数据试验得出规律的. (李成章《 &红点问题&和解法的新进展》《中等数学》2006 , 年第 7 期)由此可见,试探法是组合问题的基本方法. 5.6 试探法在数论问题中的应用 试探法在数论问题中,与组合问题一样,都是遵循&由小见大& &由特殊到一般&的原 则.王连笑《通过试验证明数论中的存在性问题》《中等数学》1999 年第 2 期)就是这种 ( 方法的具体阐述. 例 13 数列{xn},{yn}定义如下: 0=1,x1=1, xn+1=xn+2xn-1. y0=1, y1=7, yn+1 =2yn+3yn-1. 求两 x 数列的公共项. 分析:显然 1 为两数列的公共项.公共项有两种可能:后面没有公共项,或公共项周 期性出现.我们采用取模的办法,对 xn,yn 取 mod 8: xn=1,1,3,5,11,21... xn≡1,1,3,5,3,5...(mod 8). yn=1,7,17,55,161... yn≡1,7,1,7,1...(mod 8). 显然分奇偶讨论可知,xn≠yn (mod 8). 故 1 为 两数列唯一的公共项. 此题中开始没有思路,列出几项,尝试几个模后,发现 mod 8 有规律,且能说明问题. 在列出几项发现规律后,要用数学归纳法证明. 例 14 试求不能表为|2a-3b| (a,b 为非负整数)的最小素数. 分析:这个问题很难直接解决, 只能先试探.经验算, 2,337 均可表示成|2a-3b|形式, 此时 a,b&10,列出 2,3 的次方数后很容易观察出差为素数的两项.而 41 长久不能试出,于 是猜测 41 为所求素数. (这是试探法在数论中应用的一般方法)下面用反证法证明. x-3y=41(1)或 3y-2x =1(2). 对于(1), mod 8: 2x≡0, 3y≡1 或 3, 41≡1, 故 2x-3y≠1,矛盾. 假设 2 对于(2), 考虑 mod 4: 3x≡3 或 1, 2y≡0, 41≡1, 故 3x≡1, x 为偶数. 再考虑 mod 3: 3x≡0, 2y≡2 或 1, 41≡2, 故 2y≡1, y 为偶数.(采用取多个模的办法,对不同的形式得出不同的结论,最终 化为奇偶性问题,引出矛盾) 设 x=2x1, y=2y1, 有 32x1-22y1=41 即(3x1+2y1)(3x1- 2y1)=41. 由于 41 是质数,3x1+2y1=41, 3x1- 2y1=1. 无整数解(试探法易知)矛盾.故 41 为所求质数. 在数论问题中,试探法往往用于试出取哪个模,对不同的模有不同的规律.我们应当 选择合适的余数,以便分析.下面给出一些常见的取模特征. ①两个 4k+3 数之积为 4k+1 数. ②x2 被 8 除的余数为 0,4(当 x 为偶数) ,及 1(当 x 为奇数) 2 被 4 除的余数为 0,1 ③x12④x2 被 3 除的余数为 0,1 ⑤x3 被 9 除的余数为 0,1,8 ⑥x2+y2≠4k+3 ⑦x2+y2≠8k+3, 8k+6, 8k+7 ⑧x3+y3≠9k+3, 9k+4, 9k+5, 9k+6. 5.7 试探法在平面几何中的应用 在平面几何中,试探法往往不能作为解题的最后手段.它是寻找几何直观,发现数量 关系,边角关系,方便证明的重要方法.当拿到一道较为复杂的平面几何题时,可以先用作 图工具,画出尽可能标准且较大的图形,观察有特殊关系的线段,是否四点共圆,是否线段 相等,是否两直线垂直…… 把向量作为工具解决平面几何问题,既避免了纯几何添置若干辅助线的麻烦,又避免 了纯解析几何法计算量过大的缺点.向量法的特点是数形结合,用向量论证明快,简洁,容 易入手. 三角法也是解决平面几何问题的重要工具, 面对一些边角关系复杂又无章可循的问题, 如果把其中重要的角度设出,利用正弦定理,余弦定理,张角定理等沟通边角关系,将各种 问题转化为证明三角恒等式或三角不等式,再使用和差化积,积化和差公式,结合三角形中 的若干重要不等式,可顺利解决几何难题.具体实现方法,有常用的切割化弦法,正余切法 (陶平生《三角形结构中的一个解题系统》《中等数学》2007 年第 4,5 期)等. , 下面是曹钦翔《从一个平面几何问题所想到的》的摘录,希望对读者有所启发. 在初中学习平行四边形的时候,我们了解了一系列平行四边形的几何性质,如:对边 相等,对角相等,对角线互相平分等等.当然了,矩形,菱形等特殊平行四边形的几何性质 就更丰富了.于是我就想到一个问题,一个三组对边分别平行的凸六边形(下简称平行凸六 边形)具有怎样的性质呢?对边相等?对角相等?对角线互相平分?经过简单的尝试与证 明,我发现上述三个命题只有&对角相等&是正确的. 但同时,我在作图中发现了一个惊人的巧合,我猜想:平行凸六边形六条非主对角线 所限定的六边形三条主对角线交于一点.所以我努力证明以下命题:凸六边形 ABCDEF 中, 若 AB//DE,BC//EF,CD//FA,AC 与 BD 交于 P1,BD 与 CE 交于 P2,CE 与 DF 交于 P3,DF 与 EA 交于 P4,EA 与 FB 交于 P5,FB 与 AC 交于 P6,则 P1P4,P2P5,P3P6 交于一点. 首先,在我的研究过程中,我对这个命题的正确性进行了一个判断.这项工作我是分 两步做的.第一:我通过作出不同位置关系的图,看是否大致交于一点(在误差允许的范围 内) .第二,在第一步我得到肯定的结论后,我通过电脑编程,对随机产生的符合条件的图 形,分别用解析几何计算 P1P4,P2P5,P3P6,两两交点的精确坐标,发现确实三线交于一 点.在完成了上述准备工作后,几乎可以确信,该命题是正确的,于是我开始了:证明. 在这个证明中,不难看出,证明的思路是反复利用边元及角元的 Ceva 定理论证共线. 方法十分初等易懂.在比例式的计算中,运用了一个非常精妙的变形:首先用正弦定理把线 段比例式化为三角函数的比例式,再用公式 S=1/2 ab sinC 把线段的比例式与面积的比例式 不断相互转化,最后相消得证.当然,不得不承认,这一方法虽然初等,但还是较为繁琐, 有没有好的方法呢? 我在学习了一些平面几何中点共线,线共点的定理后,发现在论证了 Q(AD 与 BE 的交 点) P1P4 上后, 在 可以反复使用 PAPUS 定理来证明待证结论(设 Q1=A P3∩DP5, EP2∩DP6, Q2= Q3= P3P6∩P2P5): 证明:因为 P1P4Q 共线. 由 PAPUS 定理知 P1QQ2 共线,所以 P1P4QQ2 共线 又由 PAPUS 定理 P4Q3Q2 共线,所以 P1P4QQ2Q3 共线 所以 Q3 在 P1 P4 上.证毕! 显 然, 这样的证明使的问题后半部分的解决方法简化了很多, 事实上, PAPUS 定理, P1P4Q 由 在13共线的条件下,还可以证明 P1P4QQ1Q2Q3 是六点共线的! 做到这里,我就想,是不是问题的前半部分也可以类似简洁的解决呢?指导老师周建 新老师提醒我: &ABCDEF 应该是在同一个二次曲线上的&我观察后发现,如果证明了 ABCDEF 是在同一个二次曲线上的, 那么由 Pascal 定理 (在二次曲线中的结论) 即可直接证明 P1P4Q , 时共线的.这样一转化,整个问题就只需证明:ABCDEF 在同一个二次曲线上! 这显然应该 是一个解析几何的问题,而由于我自身解析几何功底尚不够扎实,这一问题一直没有解决. 直到去旁听国家集训队的时候,金睿章同学提出,因为三组对边分别平行,即都交于无穷远 点,而三个无穷远点时共线的!那么,由 Pascal 定理逆定理就证明了 ABCDEF 在同一个二次 曲线上. 这样,整个问题的解答,就有原来的十分冗长变得很精炼了!在解决问题后,我又思 考,如果六边形 ABCDEF 是凹六边形,前面的结论还会成立吗?重新回顾前面的证明,不难 发现,凸六边形这一性质并没有使用过,也就说,这一条件是可以去掉的.即,对于一切六 边形 ABCDEF,若 AB//DE,BC//EF,CD//FA,AC 与 BD 交于 P1,BD 与 CE 交于 P2,CE 与 DF 交 于 P3,DF 与 EA 交于 P4,EA 与 FB 交于 P5,FB 与 AC 交于 P6,则 P1P4,P2P5,P3P6 交于一 点.之后,我又想, &三组对边分别平行&的条件是充要的吗?如果不是,那充要条件是什 么?我们注意到,ABCDEF 在同一二次曲线上,与 P1P4Q 共线是等价的(因为 Pascal 定理及 逆定理都成立) !而 P1P4Q 共线可推出 Q3P1P4 共线(前面已经证明了) ,下面证明:Q3P1P4 共线可推出 P1P4Q 共线. 证明:因为 P1P4Q3 共线. 由 PAPUS 定理 P4Q3Q2 共线,所以 P1 P4Q2Q3 共线 又由 PAPUS 定理知 P1QQ2 共线,所以 P1 P4QQ2 Q3 共线 所以 Q 在 P1 P4 上. 证毕! 这样,P1P4Q 共线与 Q3P1P4 共线是等价的!所以我们知道:Q3P1P4 共线(即 P1P4, P2P5,P3P6 交于一点)的等价命题是 ABCDEF 在同一二次曲线上! Pascal 定理:ABCDEF 六点在同一二次曲线上,则 AB∩DE,BC∩EF,CD∩FA 共线. 这样,我们就给出了一个完整的解答.最终我们发现,一个较为高等的证明,可以使 得一个问题的解决简洁很多.因此,从这一个问题的两种解答方法可以看出,要处理好几何 问题,一方面要有一个很好的几何思想,另一方面要能够熟练掌握各个领域的著名定理. 读罢曹大牛论文,不知读者有何感想.论文中用试探法,首先得出了结论,然后再用 各种方法试图证明.所有竞赛高手,都是善于思考,解决问题的.我们要做牛年大牛,就要 认真考虑问题是否有更简单的解法,问题的本质是什么,问题是否能够做一些推广.只有善 于&举一反三& ,才能提高自身水平. 综上所述,当遇到毫无头绪,无从下手的问题时,千万不要轻言放弃,通过对简单数 据的试探与观察,也许&山重水复疑无路,柳暗花明又一村& . 6 高效骗分&秒杀&选择题 在本文的上半部分,通过几个方面的数学竞赛问题,简要介绍了&骗分&的两个重要 方法――特殊值法,试探法.我们已经看到,这些方法在竞赛考试中有多么巨大的威力.实 际上,上述方法只能说是&巧题妙解& ,属于&正统方法& ,不能说是&骗分& .但是,问题 始终是困难的.我们必须承认,有许多问题,即使应用了各种常规方法,上述巧妙解法,仍 然不能得到解决.这时,所谓的&巧题妙解&就派不上用场了.放弃?不!我们为了得分, 就要尽可能地去&猜&――追求得分最大化. 2009 年,随着数学竞赛题型&全面改版& ,选择题也成为了仅在预赛中出现的&无足轻 重& 的题目. 但我们不能因此放弃选择题的训练, 因为选择题的思路在其他题型中也有应用, 并且不少选择题的背后隐藏着丰富的内涵. 以下是第一版《骗分导论》中关于选择题重要性的叙述,供读者参考.许多同学有轻 视选择填空题,只重视解答题的想法.我们可以算一笔账.选择题 6 道,每道 6 分;填空题146 道,每道 9 分;两项加起来 90 分.而一试解答题总共 60 分,选择填空占了一试的 60%. 由此可见,把握了选择填空,就是一试成功的一大半,每道题事关全局,怎能马虎对待? 选择题,四选一,有且仅有一个选项是正确的.这就为&骗分&提供了极好的条件. 利用选择题特点的最好方法,就是&排除法& . 做英语题时,同学们一定对&排除法&印象深刻.数学竞赛也不例外.说来简单,就 是将四个选项一一代入题干, 选择符合题意的一个. 排除法适合 &求符合条件的……值& &下 列命题中,哪一个是正确的&之类的题目,或代入选项,或代入特殊值.尤其注意,在&命 题正确&类题目中,一定要使用&特殊值法& ,考虑全面,注意边界,特殊情况,避免掉入 命题人的&陷阱& . 我们发现,数学竞赛选择题中能应用排除法的并不多.对于询问个数类的问题,我们 首先应该想办法解决.最好的办法是自己找实例,找实例时一定注意不重不漏.一旦找到的 个数超过某个选项, 该选项立即被排除. 若找到的个数恰好达到某个选项的值又确信没有其 他可能,或者其他选项远远超出此选项,即可下定结论.当没有任何办法解决时,一个命题 规律可能派上用场:个数&次大&的选项往往是正确答案.据笔者统计,这个结论对 70% -80%的&个数问题&正确. 例 15 过 点 A( 11, 2) 做 圆 x2+y2+2x- 4y-164=0 的 弦 , 其 中 弦 长 为 整 数 的 共 有 ( )条. A.16 B.17 C.32 D.34 2 +(y-2)2=132, 故 10-26 均为其弦,由于弦长是连续变化的,故 分析:配方得(x-1) 10,11,...26 均可取到.又两侧是对称的,11,...25 出现两次,故共 32 条,选 C.如果此题不 会做,可以使用&次大原则& :直接选 C. 对于选择题中的区间问题, 不要直接求区间, 应先在坐标轴上将这几个区间表示出来, 注意区间之间的包含关系.从区间的边界值入手,将区间的边界代入原式检验,可迅速排除 错误选项,从而得出结论. 例 16 集合 M={(x,y)|x3+8y3+6xy≥1,x,y∈R}, D={(x,y)|x2+y2≤t2, t∈R}, M∩D=, 则有 ( ) A.-1&t&1 B. -3 3 & t& 4 4C. -5 5 & t& 5 5D. -1 1 &t& 2 2分析:观察到集合之间有明显的包含关系 BCDA.注意到正负是对称的,首先代 入 1/2,发现矛盾,排除 A,D 选项.接着代入 C 的边界值,发现是正确的,故选 C.在代 入过程中也有技巧,即适时应用&特殊值法& ,令 x=y 或 x,y 一个为 0,经过试验,只要找 出一组例子即可.此题若直接求解,会浪费较多的时间. 对于选择题中的&最多& &最少&问题,可以用简单方法先找出一个上界,对上界以内 的数进行讨论.只要构造一组可行的接近上界答案的解即可说明问题.选择题中的选项,若 明显与其他项相差过多, 则十有八九是迷惑项, 应予排除. &可能的数目是多少& 对 类问题, 只需上下界均考虑即可. 例 17 设集合 T={x1,x2,...,x10}的五元子集满足 T 中的任意两个元素最多在两个子集中出 现.问这样的子集最多有多少个. ( ) A.252 B.18 C.10 D.8 5 =252,A 被立即排除.首先尝试构造,发现较为困难.考虑 10 个元 分析:注意到 C 10 素的任意两个元素共 C210=45 种,每个最多出现 2 次,故所有子集最多有 90 个数对.每个 子集 5 个元素,10 对,故最多有 9 个子集.于是只能选 D.事实上,8 个子集是很难构造的,15而 9 个子集根本不可能.若开始就使用构造法,此题将变得异常困难.这是&先估计(卡范 围) ,后排除,有必要时再构造&方法的范例. 选择题中的几何问题,可以采用&直觉法&解决.当几何题求解较困难时,使用作图 工具, 画出一个标准的图形, 通过度量角度, 长度等参量, 结合几何直观, 直接选择. 同样, 立体几何题可用折纸,用笔搭建框架等方法帮助思考,使立体图形更直观,便于发现边角关 系.立体几何中的相等,垂直,平行往往是较多的,若能观察出这些特点,求解十分容易. 例 18 设 P 为△ABC 所在平面内一点,并且 AP = △ABC 的面积之比为( A.1/5 B.2/5 ) C.3/51 2 AB + AC .则△ABP 的面积与 5 5D.4/5分析:通过画图,或结合题图,易得△ABP 占△ABC 不到一半,但接近一半,再度量 AB 上的高,可得比例约为 0.4.这说明 B 为正确选项. 选择题中,往往会出现枚举类问题.这时要细心,不重不漏,不要因为是选择题就不 打草稿,要把找到的情况一一列出,才便于分类讨论. 例 19 (2008 年河北初赛)把 2008 表示成两个整数的平方差形式,则不同的表示方法 有( )种. A 4 B6 C 8 D 16 答案:C. 解: 设 x2-y2=2008,即(x+y)(x-y)= 有 8 个正因数,分别为 1,2,4,8,251, 502, . 而 且 x+y 与 x-y 只 能 同 为 偶 数 , 因 此 对 应 的 方 程 组 为 x +y=-2,-4,-502,-,502,1004; x-y=-,-4,-2,,2. 故(x,y)共 有 8 组 不 同 的 值 : (503,501),(-503,-501), (-503,501), (503,-501), (253,249), (-253,249), (253,-249). 分析:此题看似简单,其实容易出错.若未考虑到负整数的可能性,就会错选.另外作 为选择题,此题的 8 组值没有必要求解出来.如果时间充裕,求解这些值可以起到检查答案 的作用. 对于选择题中的组合选项问题,应分析各选项组合间的逻辑关系,先判断与选项关系 大的题支, 然后判断其它问题, 应用排除法. 对于判断不清的题支应暂时搁置. 若不能解决, 可根据特殊值法或由直觉推测. 选择题,最能暴露命题者的意图.从选项的设置特点,有时能得出问题的基本思路. 辨别命题思路需要真题实践,这里不多加讨论. 选择题无论如何,不能留下空白.即使没有任何方法,也要凭直觉&猜&一个选项. 据笔者的经验, &猜&的选择题正确率一般为 40%-50%,而不是纯概率的 25%,因为大脑中 已经排除了一些&看似不正确&的选项. 选择题是竞赛试卷中的基础题,不能浪费过多的时间,应用技巧,在保证正确率的前提 下,争取&秒杀& ,速战速决. 7 高效骗分提高填空题正确率 填空题,是一试中得分率较高的题目,也是改版后的数学联赛中唯一的非解答题型. 在多数选手填空题几乎满分的情况下,我们必须做到填空题少丢分,不丢分,至少不能犯低16级错误,无谓失分.所以我们要在填空题的解答上下大工夫,努力提高填空题正确率. 下面分类介绍解答填空题的若干策略. 对询问个数类问题,应使用分类讨论,枚举法.通常填空题设计的答案不会太大太麻 烦,只需合理分类枚举即可.有时明显个数不多,难以找到第二个,则极有可能是 1 个,即 结果是唯一的,此时可大胆猜想作答. 例 20 已知椭圆与双曲线共焦点(3,0)(-3,0) , ,且短轴重合.则两曲线交点轨迹所 围成区域内部的格点数是 .x2 y2 x2 y2 分析:由题设, C 1 : + = 1 . C2: - = 1 . 其中 0&m&9. m+ 9 m 9-m m设交点 P(x0,y0),则有 P 在 C1,C2 上,知x2 x2 + =2. 故 x02=9-m2/9. m+ 9 9 - m从而,y02=m2/9, 故 x02+y02=9. 由画图知,围成区域内共 25 个格点. 注:最后一步&画图法&若改用代数方法,将较为困难. 例 21 已 知 集合 S={1,2,3,4,5,6}, 映射 f:S→S 满足 条 件 :对 于 任 意的 x∈S, 有 f (f(x))=x, 则满足条件的映射 f(x)的个数是 . 分析:f(f(x))=x 的本质是对每个 x,都有 x→y,y→x. 此时 x,y 称为一对.若映射中有多 个 x 对应一个 y,则必有一个 y 对应多个 x,矛盾.故 f 是一一映射,并且是满射.由此, 用递推的方法寻找 f(x)的个数,记为 g(x).显然 g(1)=1, g(2)=2. 对 g(n), 考虑其中的第 1 个 元素.若 f(1)=1, 则后面 2-n 这 n-1 个元素按题意排列,共 g(n-1)种排法.若 f(1)≠1, 设 f (1)=x, 则 f(x)=1. 剩余的 n-2 个元素按题意排列,各 g(n-2)种排法.又 x 有 n-1 种取值,故 g (n)=g(n-1)+(n-1)g(n-2). 下面可以求出 g(n)的通项公式.作为填空题,可以逐个递推计算,节 省时间. 由这道题可以看出,递推法在解填空题中起着至关重要的作用.尤其是对于后一种状 态可由前一种状态变化而来的计数问题,找到递推公式,比直接计算往往更加方便.下面再 举一例. 例 22 (全国中学生物理竞赛)六个相同的电阻,阻值均为 R,连成一个电阻环,六 个接点依次为 1,2,3,4,5,6. 现有五个完全相同的这样的电阻环,分别称为 D1,D2,D3...D5. 现在 将 D2 的 1,3,5 三点分别与 D1 的 2,4,6 三点用导线连接,然后将 D3 的 1,3,5 三点分 别与 D2 的 2,4,6 三点用导线连接……以此类推,最后连接 D5,D4. 则全部接好后,在 D1 的 1,3 两点间等效电阻为 ,在 D5 的 1,3 两点间等效电阻为 . 分析略.这是一道很好的递推问题,不能硬算,要充分利用对称性,对电路进行变形, 找到 Dn-1 与 Dn 的递推关系,再逐步推算. 在填空题中,有要求某个量的表达式类的题目.这是填空题比选择题难的重要原因, 由于表达式几乎不可能&猜&出来.作为填空题,求这些值时可充分利用几何直观,代数直 觉,不必要证明.特别是边角关系较多的立体几何问题,此法应用广泛. 例 23 正三棱柱底面边长与侧棱长都是 1, 过底面的一边与上下底面中心连线的中点作 棱柱的截面.则截面的面积为 . 分析:作出图后,发现此图形&和谐对称& .立即想到截面是等腰梯形,求出上下底, 高由勾股定理和 2/3 相似关系可得. S =1 1 2 3 4 3 (1 + ) × = . 2 3 3 917解函数表达式求值时,不必要求出一般情况的值,只需代入一些特殊值即可利用&答 案的唯一性& .尤其是对于三角函数问题,对表达式略微化简后代入特殊角(0, 30, 45, 60, 90 等),往往问题迅速解决. 例 24 已知 x 是锐角,则函数 f ( x ) =sin 2 x cos 2 x 的值域是 + cos x sin x.分析:由均值不等式,原式≥2sinx cosx=sin2x. 而 x=45 时,sin2x 最大为2 ,恰好取到等号.而代入 0,30,60,90 均比 f(45)大,且观察到关于 45 度对称,是单峰函数,故值域为[ 2 , +∞ ) .比起其他方法,笔者的方法也许更加节省时间.在填空题中,往往有&经过多少次& &至少多少个&类问题,可直接应用模拟法.部分 问题按题目要求模拟几次即可得到结果;否则模拟几次即可找到规律.在模拟时,若题目的 参量无关紧要,可代入特殊值,较小的值简化计算;若题目参量开始较大,可从小的值开始 试起,寻找规律.这类情况往往出现在以&年份&为参量的问题中,结果不外乎几种:0,1 等特殊数,与年份无关;年份本身或±1 的附近数;年份除以某个较小的常数.究竟是哪一 种,由小数据一试便知. 例 25
的个位数字是 .
(mod 10). 而 81≡8,82≡4,83≡2,84≡6, 分析:2008≡8 (mod 10), 故 ……每 4 个一循环.由于 2008≡0 (mod 4), 故
的个位数字是 6. 本题中先通过 小数据寻找循环规律,再利用同余解决. 填空题最好不要有空白,虽然猜对的可能性较小,但可利用直觉,应用特殊值法或试 探法,加上初步的计算,得到可能的结论,一旦正确就是 9 分,不可轻言放弃. 同选择题一样,填空题同样要注意特殊情况,边界情况,考虑全面.例如代数中区间 的开闭,边界处;分母为零,根式为负时;不等式等号成立时;变量恰好相等或为零时;数 论,组合中的初始条件(1,2 个)时有特例;几何中恰好重合,共点,共线,共面,一般 相交直线可能恰好平行等特殊情况;二次函数中判别式小于零,等于零;对称计数在遇到自 对称元素时可能重复;两侧可能有相似情况而忽略一侧;求得的点在边界上;点求得的值出 现重复或负值不符合实际情况.对以上特殊情况,解题时要多加注意,应用特殊值法进行检 查,避免计数时±1 的错误或计算中出现增根,漏根现象. 本文第六节中针对选择题的各种策略,有些对填空题同样适用,不再赘述. 8 抓住解答题的每一分 8.1 减少低级错误 解答题,是单题分数最高的题型,一定要留足时间,不要有来不及做的遗憾.一试解 答题,通常难度不大,在时间充裕时均可解出,只是容易在细节上出问题. 我们知道, 一试解答题的评分标准规定, 每题 20 分, 只设 5 分一档, 即只有 0,5,10,15,20 五个分数.下面我们利用一试解答题的评分特点,一是对不会做的题尽可能&骗分& ,二是 对会做的题尽可能不丢分. 我们应当看到, 分一档对考生认真细致的要求很苛刻, 5 因为一道题如果仅有一个小错 误,扣掉的不是 2-3 分,而是 5 分,较为严重.笔者在模拟赛中一道求椭圆半长轴取值范围 的问题中,忘记舍弃增根,误把负的区间加入到正确答案中,显然是小错误,但一次性扣掉 了 5 分,令人遗憾.18若要尽可能减少丢分,首先要注意审题.审题时,要特别注意:题目中各个标记符号 代表什么?题目中各变量的定义域 (包括实际问题隐含的定义域) 是什么?变量间有什么大 小关系?不等式等号是否有可能成立?递推中初始条件, 终止条件是什么?关联词语是 &存 在& &任意& &有且仅有&还是&至多& &至少&?有无对结论的特殊要求? 其次是表达规范.这个问题在本文 2 节已作为基础出现,不赘述. 要在运算过程中注意细致,对较大的数尽量利用草稿纸笔算,而不是口算.尤其是在 较长的题目中,特别注意开始时的计算(初始化)不能出错,否则前功尽弃.这里提供一种 运算不易出错的方法:程序化简法. 所谓&程序法& ,即为不跳步,严格按照计算规定的顺序进行计算,不要想当然.对每 一种可能都要讨论,在没有充足的理由前不能认为某种可能&不存在& .尤其对于&特殊情 况& ,更要独立出来分类讨论,有可能此处&与众不同& .在较长的表达式化简过程中,可将 反复出现的一个较为复杂的部分&令……为 A&使之独立出来,最后再把 A 代入原式,避 免中间抄错,简化运算,在不等式放缩时还有利于观察式子特征.应特别注意去括号,开根 号的正负号问题,笔者在此处经常出错.n n i例如这样一道题: 已知 n ∈ N , a i ∈ R ,++∑a = 1 ,i= 1求和式∑( a
logi i= 12a i ) 的值域, 并证明之. 看起来此题并不难,只需证明一个不等式即可.事实上,要得到值域 [ - log 2 n , 0 ). 除需证明最大最小不等式外, 还需证明诸 a i =1 时取到最小值 -log 2 n , 一个 a i →1 时和式 n→0(极限为 0), 中间的值均可取到(连续性). 否则会酌情扣分. 做到 &会做的题不丢分& 其实不难, 关键是静下来做好分类讨论, 使用 &模块化处理& , 不要怕麻烦. 一试中不会做的解答题较少,万一思路受阻,应静下心来细细考虑,一般会很快有思 路;但注意不能耽误过多的时间,若长时间没有任何想法,就应考虑&骗分& ,将在 5.4 节 中讨论.8.2 尽可能寻找思路 数学竞赛中难题是常见的.尤其是在二试中,更是有全国无人能做的&废题& .正如文 章开头所说,面对 50 分,取之不会,舍之可惜,如何&骗分&? 在正式决定&骗分&前,先尽可能寻找一个哪怕是不完整的思路.我们可以采用&广 度优先搜索&的办法,甚至采用&双向搜索& ,即从结论和已知分别出发,得出一些已知的 充分条件,结论的必要条件.这种尝试的模式,在平面几何题中尤其奏效. 寻找思路,要学会&登高望远& ,而不是&低头找路& .试想,在一个地形错综复杂的 山区,如果漫无目的的寻找,是很难找到出路的.如果应用高科技手段,如卫星定位,我们 就能较快的找到正确的路线.在解题中, 巧妙的技巧就是 &卫星& ,当积累达到一定数量时, 就能形成条件反射,对某一类问题有较为固定的解法. 下面举例说明,思路是如何找到的. 为了真实再现考场的思考过程,我们假定一些 &关 键步骤&是考生无法想到的,而在此处被&卡住& . 例 26 (平面几何)平面上任意五条直线,其中每四条确定一条牛顿线,则所得的五 条牛顿线交于一点. 注:四条直线两两相截得六个点,形成完全四边形.完全四边形的三条对角线的中点19共线,成为此完全四边形的牛顿线. 不同于平面几何,下面我们提出一种运用行列式证明的方法.运用解析几何,对角线 中点坐标为 L(x 14 + x 23 y14 + y23 x13 + x 24 y13 + y24 x 12 + x34 y 12 + y 34 , ), M ( , ), N ( , ) 要 2 2 2 2 2 21xL xM xNyL yM yN=0 . 即证证明 L,M,N 共线,只需证1 1这只是一个计算问题,并没有实质性困难. x 14 + x 23 y14 + y 23 只需将左边一步步化简,最终会得到&值为 1 零& 这就是采用解析几何法, . 辅以行列式, 2 2 求解平面几何题的一种方法. x 13 + x 24 y13 + y 24 在例题中所介绍的结论, 也可以用行列 1 =0. 2 2 式证明:用行列式表示每条直线;证明一条 直线在另两条直线所成直线束内, 就是两行 x 12 + x 34 y12 + y 34 1 列式相加等于第三个; 同理可得到其他的三 2 2 线共点, 问题得证. 希望读者自行推算一下. 类似的,解析几何还可用于解决其他较为复杂的平面几何题.例如 1988 年的一道国家 队选拔题:在△ABC 中,∠C=30°,O 是外心,I 是内心,边 AC 上的点 D 与边 BC 上的点 E 使得 AD=BE=AB.求证 OI=DE 且 OI⊥DE. 这道题问题描述很短,但难度非同一般.由于外心,内心&悬浮&在三角形中,与边 角关系不紧密,用纯粹几何的办法难以下手.本题适合用解析几何解决,在推导过程中能得 到著名的欧拉公式 OI = R - 2Rr .注意到对任意的三角形,都有 OI⊥DE,而∠C=30°可以 推出 OI=DE.本题的证明很繁琐,有兴趣的读者可以一试. 例 27 (数论)试证明: 对任意正整数 p, 若 p, p+2 均为素数, 则对任意正整数 a, 满足: 若设 a ≡ b (mod p ( p + 2 ) ), 则 b ≡ a (mod p ( p + 2 ) ) . 分析 乍一看,此题不是著名的&孪生素数&问题吗?显然数学竞赛中不会出如此难度 的试题.我们观察问题,事实上是一个有趣的现象:将任何 a 乘方取模后得到 b,b 经过同 样运算又回到 a.熟悉 RSA 加密算法的读者可能立刻有了思路.事实上,笔者命此题时, 就 是 由 RSA 算 法 出 发 , 选 择 质 数 p,p+2,令 n = p ( p + 2 ) = ( p + 1 ) - 1 ,取a ab B ab ≡1 (mod ( p - 1 )( p + 1 )) , 则对任意整数 A, ≡A (mod n ) , 而 k ≡ k (mod n ) 此2p p22处取 a= b= p,即可满足题意.这里有定理:若一个正整数 m 是若干个不同素数的乘积,则 对任意整数 a,有 a1+ φ ( m)≡ a (mod m ) . 事实上,关于模为素数的高次同余方程,还有很多值得研究,请参考初等数论书籍. 由此可见,尽可能寻找思路,并不是不可完成的.只要耐心,一步步去推导,总有结 论出现的时刻.20下面介绍雷勇老师创造的在解析几何中十分实用的&八分方案& . 针对一个解析几何题,只要是圆锥曲线与直线相交类型的(这种类型十分常见) ,首先 设出未知的圆锥曲线方程或直线方程,注意题目的隐含条件,减少未知量个数;联立上述方 程,写出联立后的二次方程;解出未知量,或将一个用另一个表示;注意验证二次方程的判 别式,给出有根时的自变量取值范围,为舍弃增根做准备.在高考中,上述步骤通常价值 8 分,故称&八分方案& ;在竞赛中的一试解答题至少占 5 分,同样不可小视.遇到难的解析 几何题,不要放弃,联立方程就是 5 分,也为后面的解答铺平道路.尤其是判别式的问题, 一定要在开始时予以解决, 正如变量代换后要先给出新变量的取值范围一样, 不仅避免最后 忘记验根,还能在解题过程中及时排除一些不可能的范围,减少分类讨论的计算量. 从实质上说, &八分方案&就是&将自己的思路表达清楚& ,不仅是解析几何,各种题 型的解答题中都要尽可能做下去,把自己所掌握的知识用上,能构造的模型写出,能变形的 表达式变换,能解的方程解出,不一定得到最终结论,而要争取阶段性成果. 8.3 &踩&准采分点 不论是否会做,都要清晰地表达自己的想法,以便得到部分分.表达清楚,就是当不 能完全解出时,把自己脑中正在想的解题思路,用自然语言描述,再加上适当的数学符号和 逻辑推理,有时会因此得分.具体描述方式,类似竞赛辅导书上的&分析&即可.不要因为 未最后证明或得出结论而&交白卷& .而解题思路的叙述,必须遵循&采分点&的设置规律, 这样才容易由中间步骤得分. 竞赛评分标准规定,10 分一档,按档次给分.现在我们通过 2007 年全国联赛加试的三 道试题,研究一下&采分点&是如何设置的. (加粗的部分为采分点) (见第十一节) 我们在做题时,应当时刻注意揣摩采分点的位置,争取&阶段性成果& .一般中间结论 要求是一个完整的部分,有已知,推导和结论.如果有方程,一般是方程的解作为采分点; 数学归纳法的结论常作采分点;几何中全等,相似证明,重要定理应用常作采分点;代数中 巧妙的代换变形放缩, 著名不等式应用常作采分点; 组合问题中构造正例, 反例位于采分点. 答案中 &下面证明……& 往往是前一阶段结束的标志. , 结论一般是要求整理并加以说明的. 不要在离采分点一步之遥时停止,与分数失之交臂.另外,解题时可以应用一些标记,在采 分点处重点强调,以免误判. &踩&准采分点,是同样的解答思路,却有不同的分数的原因.尤其是当解答不完整 或中间出错时,抓住&采分点&显得格外重要. 综上所述,针对竞赛中出现的不同题型,采用不同的手段,辅以常规方法,可将其各 个击破. 9 高效骗分破解难题 在竞赛中,很多难题不能&瞬间破解& ,则需要我们掌握一些常用的变形,构造的方法 与手段,便于我们打开思路. 以下这些内容,每一种方法都是有丰富内涵的,都已经分别独立成一篇文章.为了总结 &骗分&的具体策略,本文仅对以下方法的主要内容进行概述.若要进一步探究,请参考相 关文章. 9.1 调整法――不等式的终结者 调整法, 顾名思义, 就是 &自顶向下, 逐步求精& 的思维方法, 就是逐步缩小问题规模, 最终各个击破小问题.逐步调整法解不等式,可以称得上是一种&历史悠久&的方法,最早 发表于 1987 年 8 月的《中学数学》杂志上.经过 20 年的发展,调整法已不限于不等式问题 的求解,而进一步应用于组合极值,函数极值, 甚至线性规划问题中.在信息学竞赛中, &模21拟退火&的调整策略,估计也是从此处发展而来. 调整法的核心原理就是,将不等式中变量的个数减少,三元变二元,二元变一元,最终 将复杂的不等式问题化为简单的二元不等式,一元函数求极值问题,化繁为简,大大降低问 题的难度. 调整原理 假设 { a 1 , a 2 ,... a n ) 为任意实数数列. 做如下变换Δ:①选取 i , j ∈ {1 , 2 ,... n } 使 a i = min{ a 1 , a 2 ,... a n ).②令 a i = a j =ai +aj2或 aia j 或1 1ai 2+ a j221或2a i a ja i+ a j.设 Δ ( a 1 , a 2 ,... a n ) = ( a 1 , a 2 ,... a n ). 记 Δ ( a 1 , a 2 ,... a n ) = ( a 1 示的是迭代次数.)k k k k +1, a 2 k + 1 ,... a n k + 1 ), k ∈ N + . (注意, 这里的 k 不表示次方, 表则经过无限次Δ变换,
a i =a 1 + a 2 + ... + a n n.注:在论文《证明不等式的&逐步调整法& 》中,该定理称为&平均调整原理& .这里将 其做了推广,应用到算术平均,几何平均,均方根平均,调和平均等运算上. 不等式调整定理 假设 f : R → R 是连续的对称(指任意交换若干自变量的位置, 函数均 不 变 ) 函 数 , 满 足 f ( a 1 , a 2 ,... a n ) ≥ f ( Δ ( a 1 , a 2 ), Δ ( a 1 , a 2 ), a 3 ,... a n ) , 则 有f ( a 1 , a 2 ,... a n ) ≥ f ( a , a ,... a ) ,其中 a =a 1 + a 2 + ... + a n n, Δ ( a 1 , a 2 ) 是 a 1 , a 2 通过算术平均, 几何平均, 均方根平均或调和平均变换得到的. 由于本文重点不在论证定理,而在讲述方法,这里不给出定理的证明.注意,不等式调 整定理只适用于对称式,对轮换式并不适用. 这样, 我们就将 n 变量的函数极值(不等式)问题转化成单变量函数极值问题. 再令h ( a 1 , a 2 ) = f ( a 1 , a 2 ,... a n ), 原命题转化为证明 h ( a 1 , a 2 ) ≥ h ( Δ ( a 1 , a 2 ), Δ ( a 1 , a 2 )) 这个二元不等式问题. 琴 生 不 等 式 设 f(x)在 区 间 I 上 是 下 凸 函 数 , 则
xi ∈ I , p i & 0 , i = 1 , 2 ,... nn n i i有∑p
f( x )i= 1 np ∑ xii≥ f(ii= 1 n). 式中等号当且仅当 x1 = x2 = ... = xn 时成立.ip ∑i=1p ∑i =1琴生不等式,事实上是调整法的推广,实现了对一般函数从自变量到函数值的转化,但 不能替代调整法的作用. 证明二元不等式,可以使用偏导数法.所谓偏导数, 就是将多元函数的某一个变量视作22真正的变量, 而将其他变量视作常数. 以 x 为自变量的偏导数记作 fx ( x , y ) .本文仅以二元函 数为例, 说明偏导数的应用. 对函数 f ( x , y ) ,若令 g ( x ) = f ( x , y ) , 则 fx ( x , y ) = g '( x ). 这样, 一元函数的求导公式 和方法都可沿用到二元函数偏导数的计算上来. 首先, 令 g '( x ) = 0 , 解出 x = h ( y ). 若原函数是 R 上的连续函数,则满足 g '( x ) = 0 的 x 为 f ( x , y ) 的极值点所对应 x. 由于需要引入多元函数的极限, 较为复杂, 故这里不对函数的 连续性及其证明进行讨论. 需要指出的是, 我们在数学竞赛中遇到的函数不等式一般是连续 的, 由于它是由基本初等函数经过有限次四则运算和复合迭代得到的. 然后, 将 x = h ( y ) 代入原函数 f ( x , y ) , 得到函数 f ( h ( y ), y ) , 是 y 的一元函数. 这样, 就将二元函数问题化归成一元函数的极值问题. 至于一元函数的极值问题,直接使用导数法,或利用函数性质即可解决. 例 1 a,b,c,d 为正数,求证:21 1 1 1 16 + + + ≥ . b+ c+d c +d+ a d +a + b a +b+ c 3 (a +b+ c+d )证明:记 F ( a , b , c , d ) =1 1 1 1 16 , 则 + + + m - a m- b m - c m - d 3 m 1 1 + ) a +b c+d mm2 2F (a , b,c ,d )- F (a +b a +b 1 1 , ,c, d) = + -( 2 2 m-a m-bm-b +m-a 4 ( m - b + m - a ) 2 - 4 ( m - a )( m - b ) = = ≥0 . ( m - a )( m - b ) m - b + m - a ( m - a )( m - b )( m - b + m - a )∴ F (a ,b,c ,d ) ≥ F( ∴ F (a ,b,c ,d ) ≥ F( ∴a +b a +b , , c , d ). 2 2 m m m m , , , )= 0 4 4 4 41 1 1 1 16 + + + ≥ . m- a m - b m - c m- d 3 m调整法, 在组合极值问题中也有重要应用. 组合极值的特点是函数中变量多, 运算复杂, 直接证明组合不等式较为困难. 这时利用调整法, 固定若干变量, 考虑一部分变化时的取值; 再让这些变量活动起来,求整体的最值.具体来说,就是对函数 f ( x , y , z ) ,固定变量 x,得 到 g ( y , z ) , 再证明 g ( y , z ) ≤ h ( x ) , 最后证明 h ( x ) ≤ C , C 为待证的常数.23但有时, h ( x ) 的表达式是分段函数,形如 h ( x ) =h1 ( x ) x ∈ A h2 ( x ) x ∈ B, 这时需要分段讨论,类似用导数法证明不等式,需要分段证明解决. 从理论上说,调整法对多数对称不等式适用.实际应用时,可以先代入特殊值,观察对 称式是否满足&逐步调整原理& ,再决定是否使用调整法证明.因为有的对称式不满足调整 原理,但确实在相等处取得最值,若盲目应用调整法只会误入歧途.尽管如此,调整法仍不 失为一种解决对称不等式问题的&通法& . 9.2 二进制――追溯数字的本源 二进制,是计算机采用的计数方式,因为它简单,只有两种可能,便于处理.我国古代 的&两仪生四象,四象生八卦&中就包含了朴素的&二进制&思想. 二进制在数学竞赛中,有重要作用.在集合问题中,如果涉及 2 的方幂,采用二进制思 想解决问题,能把复杂的取整,同余操作转化为对二进制数位的运算,简化思考过程. 例 1 若 x ,y ,z ∈(0 ,1) ,证明 x (1 - y) + y (1 - z) + z (1 - x) & 1. 证明 因为 x , , ∈(0 ,1) ,所以 1 - x , - y , - z ∈(0 ,1) . 不妨将形如 a 与 1 - a 的 y z 1 1 两个数称为一组对偶数. 规定对偶数的排列顺序为 XYZ ,其中 X = x 或 X = 1 - x , Y = y 或 Y = 1 - y , Z= z 或 Z = 1 - z . 构造如下函数(当出现 x ,y ,z 时,其相应位置用 1 表示;当出现 1 - x ,1 -y ,1 - z 时,其相应位置用 0 表示) :φ(100) = x (1 - y) (1 - z) ,φ(101) = x (1 - y) z , 则 φ(100) +φ(101) = x (1 - y) ; φ(010) = (1 - x) y (1 - z) ,φ(110) = xy (1 - z) , 则 φ(010) +φ(110) = y (1 - z) ;φ(001) = (1 - x) (1 - y) z ,φ(011) = (1 - x) yz , 则 φ(001) +φ(011) = z (1 - x) .易证φ ( 000) + φ ( 001) + φ ( 010) +φ(011) + φ ( 100) + φ ( 101) + φ ( 110) +φ(111) = 1 ,即φ(000) +φ(111) + [ x (1 - y) +y (1 - z) + z (1 - x) ] = 1. 又φ(000) = (1 - x) (1 - y) (1 - z) & 0 ,φ(111) = xyz & 0 ,所以, x (1 - y) + y (1 - z) + z (1 x)= 1 - [φ(000) +φ(111) ] & 1. 分析 这是一道不等式题目,当然可以用&正统&的不等式方法求解.但此处给出的二 进制方法,用 0,1 表示对称的两个状态,便于理解.事实上,不用二进制表示,直接写出 较长的表达式,证明仍可进行.类似的题目有:已知正数 a ,b,c ,A ,B ,C 满足 a + A = b + B = c + C = k 证明: aB + bC + cA & k2. 例 2 (2008 国家队选拔)证明:对任意正整数 n≥4,可以将集合 Gn={1,2,...n}的元素 个数不小于 2 的子集排成一列: P 1 , P 2 ,... P 2 n - n - 1 ,使得 | P i ∩ P i + 1 | = 2 , i = 1 , 2 ,... 2 - n - 2 . 证明 我们把 G 的每个子集看做一个 n 位二进制数,若某数 i 存在于子集中,则第 i 位 为 1;若 i 不属于子集,则第 i 位为 0. 这样,我们把复杂的集合运算转化为数的运算. 所要求的是找到 2 - n - 2 个二进制数排成一列, 使得每两个相邻数都恰有两个相同位置 上全为 1. 或者说,相邻两数取&与&运算后的二进制数有两个 1. 我们采用数学归纳法证明. n=4 时, 当 序列 , , , , , 1001 满足要求.假设 n=k 时满足要求.对 n=k+1, 我们采用如下构造方法,先排 所有首位为 0 的二进制数,按照 n=k 时的办法排下来,加上首位的 0,仍满足题意.这样, 序列从 1100...0 开始,到 00..011 结束.对于所有首位为 1 的二进制数,我们需要一个引理. 引理 当 n≥3 时,可以将 G 的非空子集排成一列,使得 | P i ∩ P i + 1 | = 1 . 我们用数学归纳法证明引理. n=3 时, 当 序列 001, 011, 101, 110, 010, 111, 100 满足要求.nn24假设 n=k 时成立.对 n=k+1,我们采用&分奇偶添首位&的办法.先将 n=k 时的数列复制一 遍,对新的数列的奇数项的二进制数前面一位填上 0,偶数项填上 1,这样由于 n=k 时的序 列个数为奇数 2k-1,故前一组中填入的与后一组中填入的首位恰好分别为 0,1,这样便覆 盖了除 100...0 之外的所有 k+1 位二进制数,且由于交替添首位,仍然满足相邻一个 1 相同. 在数列最后填上 100...0,与前一个 1100...0 恰好差 1,满足条件,形成 2k+1-1 个数.证毕. 回到原题.对于所有首位为 1 的二进制数,只需在引理中交集为 1 的二进制数之前填上 一位 1 即可使得相邻两个交集为 2.现在只需考虑首位为 1 的末尾与首位为 0 的开始这两个 相邻数.首位为 1 的末尾,由引理,为 100..01;首位为 0 的开始,由归纳假设,为 010...01, 满足题目条件. 由此,n=k+1 时也可构造出使得开头为 100...01 的二进制数.证毕. 分析 在本题的官方解答中,使用了大量的集合运算,其本质与上述解答相同.但上述 解答易于理解,在解题时也较为形象,易于想到.这就是二进制&化抽象为形象&的功能. 例 3 设 S 是 n 元集合,A1,A2,...Ak 是 S 的 k 个互不相同的子集,k≥2. |Ai|=ai≥1 (1≤i≤kk). 证明:S 的不包含任一个 Ai 的子集个数不少于 2n∏( 1 i= 11 2ai).分析 有了上题的经验,我们把子集视为二进制数处理,仍采用数学归纳法证明.当 k =2 时,结论显然成立.设|A1∪A2|=m, 则 m≤a1+a2.于是 S 的不包含任一个 Ai 的子集个数为2n - 2n -a1-2n- a 2+ 2 n - m ≥2 n ( 1 -1 2a1)( 1 -1 2a2).设结论对 n=k 成立.对于 n=k+1,考虑所有包含 Ak+1 的集合,Ak+1 所在位均为 1,我们 将这些位舍弃,得到 n-ak+1 位,先不考虑是否影响前面的 k 个集合,共有 2 而,若存在某个 Ai 与 Ak+1 存在交集,则 2n - a k+1 n - a k+1个集合.然个集合中必有某些包含 Ai 不在 Ak+1 中的部分,而 Ai 在 Ak+1 中的部分全为 1,这样的集合不满足归纳假设,应舍弃.故不包含 A1..Ak, . 但包含 Ak+1 的集合不多于 2 乘以 1 n - a k+1个.而 n 个元素的子集共 2n 个.所求值不少于 n=k 的个数k+ 1 n1 2ai.故 S 的不包含任一个 Ai 的子集个数不少于 2∏( 1 i= 11 2ai) ,归纳假设成立.上题采用的&从反面考虑问题&的方法值得学习,先计算出总体,再计算出不满足条件 的个数,相减即得结论.注意不等号的方向问题.由此可见,二进制只是一个思考问题的工 具,具体表达仍可用集合论语言描述. 例 4 设 A 为正整数集 N 的一个非空子集,如果所有充分大的正整数都可以写成 A 中可 以相同的两个数之和,则称 A 为一个二阶基.对 x≥1,记 A(x)为 A 中所有不超过 x 的正 整 数组 成的 集合 .证 明: 存在 一个 二阶 基 A 及正 常数 C,使 得对 所有 的 x≥1,都 有| A( x )| ≤ C x .证明 将每个正整数用二进制表示,由于结论中涉及根号,故考虑将二进制的位数缩小 一半.但简单的分成前后两个部分不能解决问题,故考虑按奇偶性分类.将二进制数的奇数 位分为一类,偶数位分为一类,设 A 集合为所有奇数位全为零的二进制数和所有偶数位全 为零的二进制数的集合, 则由于所有正整数均可表示成二进制, 这个二进制数都能分开成奇 数位部分和偶数位部分,分开后另一类位全部填 0,正好对应 A 集合中两类数中各一个,这25两数之和即为此正整数.于是 A 为二阶基.下面计算 A 中元素的个数.对于所有奇数位全 为零的二进制数,只有偶数位可能改变,位数缩小为一半,个数至多为 O ( x ) ; 对于偶数 位为零的,个数也为 O ( x ) .故存在常数 C,使得 | A( x )| ≤ C x . 分析 上述证明的最后,应用了渐进复杂度符号 O.它的意义是,准确数目大约是这个 数量级,对本题来说就是乘上一个常数.O 中表示的内容是函数的大致变化速度,即当自变 量线性变化时,函数值的变化速度.O 不表示实际大小,例如当 x 较小时,O(x)可能大于 O (x2), 因为其中的常数因子不同; 但当 x 增大时, 2)的增长速度快于 O(x); x 足够大时, O(x 当 O(x2)最终大于 O(x). 在不精确或只要求大致变化趋势的分析中, 渐进复杂度 O 有重要用处. 在上题中,把正整数用二进制表示,并将奇数位,偶数位分开,是构造的亮点,也是二 进制的绝妙应用.一般来说,0/1 选择类问题,涉及 2 的方幂问题可用二进制解决.子集问 题当然属于 0/1 选择问题,每个元素只有选或不选两种可能. 我们注意到,以上例题 2,3,4 都是国家集训队选拔或培训试题,这说明二进制方法在 难题中有普遍应用.下文中还将涉及二进制在组合等问题中的应用. 9.3 反证法――草船借箭的妙用 反证法,就是从反面假设,推出错误结论,说明原命题是正确的.说它&草船借箭& , 是指借了&反面结论&之箭,增加了问题的条件.在待证结论很强而条件很少时,这个&反 面条件&往往能起到至关重要的作用. 例 1 有一张 n ×n 的方格纸, 先允许从中任意选择 n - 1 个方格染为黑色, 然后再逐步 地将那些至少与两个已染黑的方格相邻的方格也染为黑色. 证明:不论怎样选择最初的 n - 1 个方格, 都不能按这样的法则染黑所有的方格. 分析 任意选择 n - 1 个方格染为黑色,选择哪些格作为 n - 1 个方格, 染黑后根据条件的 要求又遵循什么规律, 最后的结果又是什么,并不是很明了. 若用反证法, 就有了比较,在变 化中与都能染黑的情况比较,从变化中寻找规律, 假设成立的结论就成为一个很好的&参照 物&. 证明 假设能够染黑所有的方格, 那么,对于黑色区域来说, 方格纸的边界就是区域的边 界. 如果将每个小方格的边长记作 1 ,那么,黑色区域的边界总长为 4 n. 但在一开始时, 黑色 区域仅包括 n - 1 个小方格,即使它们都互不相邻,其区域的边界长度也仅为 4 ( n - 1) . 而在以 后逐步扩大黑色区域的面积的过程中, 由于只能染黑那些至少与已染黑的区域有两条公共 边的方格,所以,面积的扩大并未带来边界总长度的增加. 从而,边界总长度将始终不会超过 4 ( n- 1) ,矛盾. 因此, 我们不能按照法则染黑所有的方格.