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外校四年级创新思维训练电子版
数学创新思维训练 数学创新思维训练 创新 (四年级分册) 四年级分册)主 编: 副主编: 副主编 编 委:黄 敏 吴昌全 邝淑艺朱凤利李虹目录上 学 期 第一讲：加减法中的巧算 第二讲：乘除法中的巧算 第三讲：较复杂的和、差、倍问题 第四讲：较复杂的还原问题 第五讲：用消去法解题 第六讲：趣味算式谜 第七讲：巧求周长与面积 第八讲：简单的等差数列下 学 期 第九讲：统筹优化与获胜对策 第十讲：定义新运算 第十一讲：归一问题 第十二讲：盈亏问题 第十三讲：简单的鸡兔同笼问题 第十四讲：逻辑推理 第十五讲：植树问题 第十六讲：简单的方阵问题第一讲 加、减法中的巧算 〈知识广角〉 知识广角〉 1、加法的运算定律。 加法交换律：交换两个加数的位置和不变。即：a＋b=b＋a。 加法结合律： 三个数相加， 先把前两个数相加或者先把后两个数相加， 和不变。 即：a＋b＋c= a＋(b＋c)。 2、减法的运算性质。 连续减去两个数等于减去这两个数的和。即：a－b－c=a－(b＋c) 加法的运算定律和减法的运算性质适合多个加数或减数的计算。 3、加减混合运算性质。 （1） “带着符号走”的交换性质：a－b－c= a－c－b 或 a－b＋c=a＋c－b （2）去括号和添括号的性质。 去括号 a＋(b－c) a＋b－c （括号前面是“＋” ，括号内的符号不变） 添括号 去括号 a－(b－c) 添括号 〈方法探究〉 方法探究〉 例 1：.计算： （1）298＋76 (2) 835－497 （3）9＋99＋999＋9999＋3 【思路导航】 这三道题都有一个共同的特征：在参与运算的数中都有一个或多个数接近 于整十、整百、整千，在计算时就可以利用这一特征。例如（1）298 接近于 300， ； 原式就变成 300＋76－2（因为 298 看成 300，多加了 2）（2）497 接近于 500， 原式就变成 835－500＋3（因为本来只去掉 497，此时去掉了 500，多去掉了 3， 所以将多去的 3 补回来）（3）9 接近于 10，99 接近于 100，999 接近于 1000， ； 9999 接近于 10000。所以原式就变成 10＋100＋＋3－4。 解： （1）298＋76 （2）835－497 =300＋76－2 =835－500＋3 =376－2 =335＋3 =374 =338 （3）9＋99＋999＋＋100＋＋3－4 =11109 【思维链接】 计算中，我们首先要观察算式的特点，如果遇到参与运算的数接近于整十、 整百、整千，就将接近于整十、整百、整千的数看成整十、整百、整千，多加了 就减，多减了就加，少加了再加，少减了再减。 【举一反三】 1． 433＋501 a－b＋c（括号前面是“－” ，括号内的符号要变）2． 3.843－206 8＋98＋998＋9998＋6例 2： （1）236＋97＋764＋803 （2）746－67－33 【思路导航】 观察以上两个算式发现（1）中 236 与 764 相加能凑成 1000，97 与 803 相加 能凑成 900，所以本题可以交换加数的位置进行凑整； （2）中发现 67 与 33 相加 本题是一道连减的算式， 可以利用减法的性质， 减去 67 与 33 的和， 能凑成 100， 能使计算简便。 解： （1）236＋97＋764＋803 （2）746－67－33 =（236＋764）＋（97＋803） =764－（67＋33） = =764－100 = 【思维链接】 在连加、连减甚至加减混合的运算中，将算式进行分组凑整是经常用到的计 算方法，甚至有时还需要先去括号后再分组进行简便计算。例如：454＋（546 －98） ，去括号变成 454＋546－98，重新将 454 与 546 先加凑成 1000，再减去 98 得到 902。 【举一反三】 4． 73＋126＋27 5． 4 6． 954－（154－128） 例 3：计算 102＋99＋103＋96＋105＋103＋98 【思路导航】 观察算式发现，算式中的所有加数都接近同一个数：100，可以先将加数都 看做是１００， 再将多加的部分去掉， 少加的部分补上， 所以可以将原算式变成： 100×7＋（2－1＋3－4＋5＋3－2） ，这样计算起来就比较简单。 解： 102＋99＋103＋96＋105＋103＋98 =100×7＋（2－1＋3－4＋5＋3－2） =700＋6 =706 【思维链接】 当许多大小不同而又比较接近的数相加时， 可选择其中一个数或所有数都很 接近的一个整十、整百、整千…的数作为计数的基础（叫做基准数） ，再找出每 个加数与基准数的差，大于基准数的部分再加，小于基准数的部分再减，最后算 出结果。 【举一反三】 7． 199＋202＋196＋201＋203 8． 56＋51＋49＋48＋53＋47 例 4： 计算：100＋99－98＋97－96＋……＋3－2＋1 【思路导航】观察算式，这道题有加有减，如果不看首尾两个加数，发现中间都是先加再 减并且加数和减数都相差 1，所以这道题可以先将中间部分凑成若干个 1，再算 其余部分。 解：100＋99－98＋97－96＋……＋3－2＋1 =100＋（99－98）＋（97－96）＋……（3－2）＋1 =100＋49＋1 =150 【思维链接】 在加减混合的算式中，往往是先观察数据特征之后，再重新将数进行组合， 达到凑整的目的，这样计算能简便。 。2 【举一反三】 9． 203－202＋201－200＋199－198＋……＋3－2＋1 10． 96－95＋94－93＋92－91＋……＋4－3＋2－1 〈指点迷津〉 加减法中的简便计算，同学们需要首先观察算式中数据的特征，尽量以凑整 为目的进行简便。其中可能会用到加法的交换律、结合律，减法的性质，加减混 合运算中的添括号、去括号的方法进行凑成整十、整百、整千的数使计算简便。 数学冲浪 扬帆起航： 11． 985－496 12． 487－187－139－61 13． 67＋74＋71＋70＋68 14． 2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16+18 乘风破浪： 15． ＋997＋107＋91 16． －363－478－687－3－33－75＋25 18． 7＋9＋99＋999＋9999 激流勇进： 19． 1－2＋3－4＋5－6＋7－……＋99－100＋101 20． 1＋3＋5＋7……＋27＋29＋31 21． 801＋802＋803＋798＋808－795 22． （2＋4＋6＋8＋……＋200）－（1＋3＋5＋7＋……＋199）第二讲乘除法算式谜： 〈知识广角〉 知识广角〉1、 算式谜一般是给出某个算式的横式或竖式，但式子中有某些特定的数字或待定的运算 符号，要求我们根据运算法则、特征进行合适的推理判断，把不完整的算式补充完整。 2、解题时通常需要经过审题、选择突破口和试验求解三个步骤。： 〈方法探究〉 方法探究〉（1） 3 □ 7 例 1： × □ 2 □ 9 □（2） 1 4 □ × □ 6 8 □ □ 2 □ □ 3 6 9 2【思路导航】 (1)这一题的突破口在积的千位，积的千位是 2，那么第二个因数约在 5 至 9 之间。我们 可以从最大的 9 开始试起，个位 7 乘 9 得 63，要向十位进 6；积的十位是 9，9 减去进的 6 还剩 3，第一个因数的十位只有填 7，但是第一个因数的百位 3 乘 9 再加上进位的数得三十 几，与积的前两位是二十几矛盾，显然这个假设不成立。我们再尝试第二个因数是 8。个位 7 乘 8 得 56，向十位进 5，积的十位是 9，减去进的 5 还剩 4，所以可以在第一个因数的十 位填 3，百位与 8 相乘再加上进位的数得 26，正合适。 解答： 3 3 7 × 8 2 6 9 6这一题还有别的填法吗？ (2)这一题的突破口在积的个位，积的个位是 2，第二个因数的个位是 6，那么第一个因 数的个位有两种可能，就是 2 或 7。我们可以将之代入尝试，检验。还有一个突破口就是第 一个因数与第二个因数的十位相乘后，积的最高位是 2，所以第二个因数的十位应该是 2。 解答： 1 4 2 × 2 6 8 5 2 2 8 4 3 6 9 2 【思维链接】 ： 找准突破口是解决问题的关键。当某个数位上的数有几种不同的可能时，我们可以将 之逐一代入进行尝试，试验求解。 【举一反三】 ： 1、 3 1 7 □ 2、 2 8 5 × □ × □ □ □ □ □ 0 0 1 □ 2 □ □ □ □ □ 9 □ □例 2： 算式中的不同的汉字各代表哪个数字？ 读 好 书× □ □ □ □读 □ □ □好 □ 书书 □书 书 □ □ 书 【思路导航】 ： 由读好书×书=□□□书，可知书不等于 1 或 0，因此书只等于 5 或 6。假设书=5，由 于读好书×读的乘积是三位数，所以“读”不大于 3，且读好书×读的乘积的百位上的数字 大于等于 3 小于等于 5，所以读=2。由于读好书×好=□□5，可知好是奇数，且小于 5。我 们可以得出答案。 解答： 2 3 5 × 2 3 5 1 1 7 5 7 0 5 4 7 0 5 5 2 2 5 【思维链接】 ： 有时我们可以根据积的位数来圈定未知数的取值范围。 【举一反三】 ： 3 A B C D × 4 D C B A 4、新 年 好 × 年 好 □ □ 4 9 □ □ □ □ □ □ 9 □ □ 3 □ □ □ □例 3： □ 4 □ 4□ 8□ □ 0【思路导航： 】 因为除数 □4 乘商的十位 3 得 4□， 所以除数的十位应该是 1。 因为被除数的个位是 8， 且没有余数，所以□4×□=□8，那么商的个数是 2 或 7。将之代入尝试求解。解答： 1 43 4 42 84 2 2 28 8 0【思维链接】 ： 也可以将之转化为一道乘法算式 3□×□4＝□□8 来求解。 【举一反三】 ： 5、 □ □ 1 □ 4 6 8 3 6 1 □ □ 1 □ □ 0 6、 □ □ □ 9 1 5 □ □ □ □ 5 □ 8 □ 8 0： 〈指点迷津〉 指点迷津〉同学们，我们在破解有趣的算式谜时，一定先要认真审题，看题目里有哪些已知数， 且将能确定的数先填出来，再来选择突破口，进一步求解。有时这个未知数可能有几种不同 的填法，我们再将之代入进行试验求解。数学冲浪 扬帆起航：□ □ × □ 4 4 □ □ 2、 □ □ □ □ □ 6 5 □ 3 □ □ □ 4 3、 6 □ × □ □ □ □ □ □ □ □ 8 1、 74、6 □1 □× 3 □ □ □ □ 8 □ □ □5、6、7、 □ 3□ □ 1 4 □ □ □ □ 8 □ 9 □ 9 0乘风破浪：8、 A × 7 □ □ □ □ 3 9 2 A □□ 669、下面字母分别代表什么数字？B DA 9B C B B BD DD 1 0激流勇进：１0C D E × 4 E D C B A 下面各种图形分别代表什么数字？ △ ☆ △ 6 △ □ ☆ △ 6
☆ 0A B第三讲 较复杂的和、差、倍问题 较复杂的和 ： 〈知识广角〉 知识广角〉1、和差问题：已知两数之和与两数之差求两数的应用题称之为和差问题。 数量关系： （和－差）÷2=较小数 （和+差）÷2=较大数 或者：和 －较小数=较大数 2、和倍问题：已知两数之和与两个量的倍数关系求两数的应用题称之为和倍问题。 数量关系：两数和÷（倍数+1）= 1 倍数 1 倍数×倍数= 几倍数 或者：两数和－1 倍数=几倍数 3、差倍问题：已知两数之差与两个量的倍数关系求两数的应用题称之为差倍问题。 数量关系：两数差÷（倍数－1）=1 倍数 1 倍数×倍数=几倍数 4、在涉及和、差、倍问题时，应善于将已知条件进行变形，找到相关的量。另外，选取 合适的量作为 1 倍数也很重要。： 〈方法探究〉 方法探究〉例 1： 兄妹两人共有 18 块糖， 妹妹给哥哥 3 块后就和哥哥一样多。 两人原来各有多少块糖？ 【思路导航】 此题是基本的和差问题，难点就在于哥哥和妹妹的相差量未知，所以找到哥哥和妹妹 糖的数量相差多少，此题就容易解决了。 “妹妹给哥哥３块后就和哥哥一样多”说明妹妹应 该比哥哥多（3×2）块。 可见，妹妹比哥哥多 6 块，又知兄妹两人的和为 18 块，这样我们 就可以求出两人各有多少块糖了。 妹妹： ？块 | | | | 3块 3 块（给哥哥）哥哥： | ？块 |―――|3块 解： 妹妹比哥哥多：3×2=6（块） 哥哥有： （18－6）÷2=6（块） 妹妹有：18－6=12（块） 答：哥哥有 6 块糖，妹妹有 12 块糖。想一想，你还有其他解法吗？【思维链接】 ： 在和差问题中， 经常会遇到像例 1 一样两个量的和或者差未知的情况， 这时可以通过线 段图找到两个量的和或者两个量的差，再利用数量关系来解决问题。 【举一反三】 ： 1、上下两层书架中共 70 本书，若下层给上层 4 本，则两层书架中的书同样多。这个书架上 下两层原来各有书多少本？ 2、小明喜欢数学，在一次考试中数学分数比语文高 8 分，已知语文、数学两科的平均分是 95 分。小明的数学考了多少分？ 例 2：甲、乙两筐梨，共重 362 千克，甲筐比乙筐的 3 倍少 38 千克，求两筐各重多少千克？ 【思路导航】 ： 甲筐虽然不恰好是乙筐的倍数，我们可以假设甲筐正好是乙筐的 3 倍，即甲筐增加 38 千克，甲乙两筐梨之和 362 千克也随着增加 38 千克，即（362+38）千克正好是乙筐的 3 倍， 即可求出乙筐里的重量。 ？千克 乙：|―――――| 3倍 甲：|―――――|―――――|―――|――| 少 38 千克 解：乙筐有： （362+38）÷（3+1） =400÷4 =100（千克） 甲筐有：362－100=262（千克） 答：甲筐有 262 千克，乙筐有 100 千克。 【思维链接】 ： 在解决和倍问题时， 经常会遇到题中两个量之间不是整倍数的情况， 这就需要我们通过 假设两个量之间是整倍数关系，或者利用线段图，找到新的和与倍数和，再应用数量关系解 决。甚至遇到三个量的和倍问题时也可以用同样的思路去解决。 【举一反三】 ： ３、养鸡场有公鸡和母鸡共 350 只，其中公鸡比母鸡的 3 倍少 10 只。求公鸡和母鸡各多少 只？ ４、师傅和徒弟共生产零件 410 个，师傅生产的个数比徒弟的 3 倍多 10 个。师、徒各生产 多少个？ 例 3： 今年小胖 8 岁，妈妈的年龄是 36 岁，几年前妈妈的年龄是小胖的 8 倍？【思路导航： 】 妈妈、小胖的年龄每年都会增长一岁，所以两人的年龄差是保持不变的，那么几年前的 年龄差也会是一样，这时一道差、倍问题。几年前的年龄数量关系线段图如下： 36-8 差： 36 - 8= 28（岁） 差对应的倍数： 8 C 1 = 7 几年前小胖的年龄： 28÷7 = 4（岁） 8 C 4 = 4（年） 答：4 年前妈妈的年龄是小胖小胖：|----|解：妈妈：|----|----|----|----|----|----|----|----|年龄的 8 倍。 【思维链接】 ： 年龄问题有一个无形的桥粱，两人的年龄差保持不变，但是年龄的倍数差是会变的，所 以我们可以通过差及对应的倍数，先推导出一倍数，再推导多倍数。 【举一反三】 ： ５、今年小胖的年龄是 8 岁，妈妈的年龄是 36 岁。妈妈的年龄是胖胖的 3 倍时，妈妈几 岁？ ６、晓晓和奶奶的年龄差是 60 岁，当奶奶的年龄是晓晓的 5 倍时，晓晓和奶奶的年龄和 是多少岁？ 例 4：甲、乙、丙的和是 56，甲数是乙数的 4 倍，丙数比乙数多 14，甲、乙、丙三个数各 是多少？ 【思路导航】 ： 甲、乙、丙三个数和知道，但是三个数没有已知量，根据线段图，我们可以先求出丙数 是多少，再推道其它两个数。 ？ 甲：|-----|-----|-----|-----| 解：先求出乙数的 6 倍再求乙数； （56-14）÷（4+1+1） ？ =42÷6 乙：|-----| 14 =7 甲数：7×4 = 28 丙：|-----|-----------| 丙数：7＋14 = 21 答；甲数是 28，乙数是 7，丙数是 21。 ？ 【思维链接】 ：当三个数都是未知数时，最好的分析帮手就是线段图，通过线段图找出一份 数，再求多份数或较大的数。 【举一反三】 ： ７、甲、乙、丙三数之和是 420，甲是乙的 3 倍，丙为乙的 2 倍，求甲、乙、丙各是多少？ ８、甲、乙、丙三数之和是 183。乙比丙的 2 倍少 4，甲比丙的 3 倍多 7，求甲、乙、丙三 数各是多少？： 〈指点迷津〉 指点迷津〉同学们，我们在解决和、差、倍问题时，往往会遇到“数量差”与“倍数差”或者“总 数量”与“总倍数”没有直接给出的情况，这时我们就需要对数量进行调整，找出新的对应 关系。在解题过程中，根据已知条件和问题画出线段图，可以使数量关系一目了然，解题方便。数学冲浪 扬帆起航：1、甲和乙两个桶共装水 30 千克，如果从甲桶倒入乙桶 6 千克，则甲、乙两桶水就同样重。 原来甲桶和乙桶各装水多少千克？ 2、小明和小红共有 20 块巧克力，如果小明吃掉 8 块后比小红少 2 块。两人原来各有多少块 巧克力？ 3、一块长方形木板，长是宽的 2 倍，周长是 42 厘米。这个长方形木板的面积是多少平方厘 米？ 4、甲乙冷库原来共存牛肉 92 吨，乙库存肉比甲库的 4 倍少 3 吨。原来甲库存牛肉多少吨？ 5、今年比小亮大 33 岁，妈妈的年龄是小亮的 4 倍，小亮今年多少岁？ 6、今年爸爸 45 岁，儿子今年 15 岁，十年前，爸爸的年龄是儿子的几倍？ 7、工厂将 875 元奖金分别给创造发明的三名优秀工人。第一名比第二名多得 250 元，第二 名比第三名多得 125 元，三名优秀工人各得多少元？ 8、中、小三筐菠萝，小筐装的是中筐的一半，中筐比大筐少装 16 千克，大筐装的是小筐的 4 倍。大、中、小三筐各装菠萝多少千克？乘风破浪：９、小刚和小志共有 48 本连环画，小刚给小志 5 本后，小志还比小刚少 4 本。他们俩人各 几本？ １０、甲、乙两个粮仓共存粮 350 吨，后来从甲仓运出 40 吨，给乙仓运进 20 吨，这时甲仓 的存粮是乙仓的 2 倍。两个粮仓原来各存粮多少吨？ １１、今年小刚 6 岁，爸爸今年 30 岁，几年后，爸爸的年龄是小刚的 3 倍？ １２、甲、乙、丙三袋化肥。甲、乙两袋共重 32 千克，乙、丙两袋共重 30 千克，甲、丙两 袋共重 22 千克。甲重几千克？乙重几千克？丙重几千克？激流勇进：1３、李刚用 270 元买了一件外衣、一顶帽子和一双鞋子。外衣比鞋贵 140 元，买外衣和鞋 共比帽子多花 210 元。李刚买鞋花了多少钱？ １４、十元一张与五元一张的钱共 175 元，十元的张数是五元的张数的 2 倍。十元和五元各 有几张？ １５、今年张华 10 岁，奶奶的年龄是张华的 7 倍，几年后两人年龄和是 90 岁？ １６、有彩色粉笔和白粉笔若干盒，白粉笔是彩色粉笔的 7 倍。如果彩色粉笔和白粉笔各买 12 盒，则白粉笔的盒数是彩色粉笔的 3 倍，两种粉笔原来各有多少盒？第四讲 较复杂的还原问题 ： 〈知识广角〉 知识广角〉 1、逆推法：就是用还原思想解题的方法，也就是从题目的问题或者结果出发，根据已知条件一步一步进行逆推，逐步靠进原始条件。 2、解答关键：在从后往前推算的过程中，每一步都是同原来相反的运算。原题加的，逆推 时减;原题减的，逆推时加;原题乘的，逆推时除;原题除的，逆推时乘。： 〈方法探究〉 方法探究〉 例 1：小虎在做一道加法题时，把一个加数个位上的 1 写成了 7，十位上的 8 看成了 3，千 位上的 6 看成了 0，结果是 3320，正确的结果是多少？ 【思路导航】 ： 分析数位上每个错误数字对正确结果的影响，个位上的 1 看成了 7 多加了 6 个，要减 6；十位上的 8 看成了 3 少加了 5 个 10，要加 50；千位上的 6 看成了 0，结果会小 6 个千， 要加 6000。 列表 千位 十位 个位 ＋6000 ＋50 -6 解： -6 = =64 答正确的结果是 9364. 【思维链接】 在解决这类逆推问题时，我们要根据错误数字对结果的影响，用逆推的思想校正错误， 因为数据较多， 而且每个数位的意义不一样， 所以我们最好列表整理， 这样准确率就比较高。 【举一反三】 ： 1、 小丽在计算两个数相加时， 把一个加数个位上的 1 看着 7， 把另一个加数十位上的 8 看着当作 3，所得的和是 946。原来两数相加的正确答案是多少？ 例 2：工贸商店四月份卖出一些电视机，上旬卖出了总数的三分之一，中旬卖出了余下的一 半多 8 台，下旬卖出了余下的 15 台，四月份共卖出了多少台电视机？ 【思路导航】 要找知道四月份共卖出多少电视机，我们从下旬卖出的台数入手，15 台不是中旬余下 数的一半，它比一半少 8 台，所以中、下旬卖出了（8+15）×2=46 台。因为上旬卖出了总 数的三分之一，所以 46 台是总数的三分之二，46÷2×3=69 台，就是总数。用线段图分析， 就更清楚了 上旬卖出台数 中旬卖出台数 多 8 下旬卖出 15 台 | | | | 解： （8+15）×2=46（台） 46÷2×3=69（台） 答：四月份共卖出了 69 台 【思维链接】 这类逆推问题，思考三个关键问题， （1）原数变化了几次？就要还原几次。 （2）逆推 从最后一步开始，找到最后一次取之前的总数（3）依次找到类推每次取之前的总数，就可 以找到原数了。 【举一反三】 ： 2、 冰柜里的鸡蛋,第一天拿走了一半多两个,第二天拿走了余下的一半多 4 个,这时刚好 拿完,求原来有多少个？.例 3：甲、乙、丙三人准备为图书室搬 120 本书，乙看甲搬得很多，就从甲那里拿走了 5 本， 丙看乙搬得很多，就从乙那里拿走了 7 本，这时三人搬的本数一样多，甲、乙、丙三人原来 各搬多少本书？ 【思路导航】 本题不论谁给谁几本，我们可以看作 120 本总数不变，首先思考三人一样多时，每人 的本书，120÷3=40 本，再分析丙的本书，还给乙 7 本，40-7=33 本，乙的本书是得到丙 还的 7 本， 还给甲 5 本， 40+7-5=42 本， 最后分析甲的本书， 收回乙还给的 5 本是 40＋5=45 本。 解： 120÷3=40（本） 丙：40-7=33（本）乙：40+7-5=42(本) 甲：40+5=45(本) 答：甲、乙、丙原来各有 45 本、42 本、33 本课外书。 【思维链接】 这类问题， 一般从最后的结果入手， 找到问题的突破口， 对每一个数的变化， 要明确增、 减两个方面的变化数量，找回原数。 【举一反三】 3、 姐姐、弟弟、妹妹都爱集邮，姐姐对弟弟说：我很喜欢你的 7 张邮票，弟弟慷慨的 给了姐姐，妹妹也很想要姐姐的 5 张邮票，姐姐也给妹妹，这时三人的张数都是 85 张，原来各有多少张邮票？ 例 4 书架分为上、中、下三层，共放 144 本书。现在上层取出中层同样多的书放到中层，再 从中层取出下层同样多的书放到下层，最后，从下层取出上层剩下的同样多的书放到上层， 这时三层书架所放的书的本数相等。这个书架三层原来各放书多少本？【思路导航】 本题，上、中、下之间数据是循环在变化，我们先找到最后相等时的数据，再列表推算 结果。 解： 144 ÷ 3 = 48（本） 原来 上 中 下 66 42 36 第一次 24 84 36 第二次 24 48 72 第三次 48 48 48答：这个书架原来上、中、下层分别有书 66 本、42 本和 36 本。 【思维链接】 当一组数据之间循环有规律的变化时，列算式计算比较麻烦，通过列表观察，就能清楚 的反应数据之间的变化，这种方法叫做列表法。 【举一反三】 两只猴子拿 30 个桃子，甲猴子眼疾手快抢先得到，乙猴看甲猴拿得太多，就去抢了一 半，甲猴不服气，又从乙猴那里抢走了一半，乙猴又不肯，甲猴又给乙猴 4 个，这时，甲猴 比乙猴还多 4 个，甲猴最初拿了几个桃子？： 〈指点迷津〉 指点迷津〉 小精灵们：通过上面的例题，我们看到了，逆推问题的各种类型的解题方法，当数量 关系不是很复杂时，我们可以用还原的思路，列算式逆推解答。当数量关系较复杂时，我们可以用画图或列表的方法解答。两种方法要根据实际情况，灵活应用。数学 冲浪【扬帆起航】 1、小马虎在做一道加法题时,把个位上的 5 看作 3,把十位上的 6 看成了 9,得出结果是 210, 正确的结果是 多少？ 2、 小强在做一道减法计算时，把被减数十位上的 7 看成了 1，把被减数百位上的 5 写成了 8，结果是 462，正确的结果是多少？ 3、小马虎做一道减法题，把被减数十位的 6 当作 9，把减数个位的 3 当成 5，结果是 217， 正确的答案是多少？ 4、 吴勇在计算 1234 加一个多位数时，把加数个位的零看掉了，结果少了 2250，正确的和 应该是多少？ 5、王叔叔在银行取款，第一次取了总数的一半还多 6 元，第二次取了余下的一半还多 8 元， 这时还剩 100 元，王叔叔原有存款多少元？ 6、某班做大扫除，把总数的一半少 5 人擦窗子，把余下的一半人扫地，再把余下的一半多 2 人擦桌椅，最后余下 2 人对齐桌椅。做清洁的共有多少人？ 7、红红和聪聪共买了 50 张邮票。如果红红给聪聪 6 枚，聪聪比红红多 6 枚，聪聪买了多少 枚？ 8、上层和小层共有 262 本书，如果上层给下层 40 本，上层比下层还多 20 本，上下层原来 各多少本？ 9、方方、小红和小勇三个人去参观科技馆，共带 160 元。如果方方给小红 20 元，小红给小 勇 5 元，小勇给方方 15 元，结果三个人带的钱就一样多。这三个人原来各有多少元？ 10、甲、乙、丙、丁四个小朋友有彩色玻璃球 100 颗，甲给乙 18，乙给丙 18 颗，丙给丁 16 颗，丁给甲 7 颗后四人的个数相等。他们原来各有玻璃球多少颗？ 11、A 和 B 两个杯子装有若干千克牛奶，如果从 A 杯中倒出与 B 杯同样多给 B 杯，再从 B 杯中倒出与 A 同样多到 A 杯，这时恰好两杯中都是 360 毫升牛奶，两个杯子里原来各有多 少毫升牛奶？ 12、学校运来 48 棵树苗， 乐乐与欢欢两人争着去栽，欢欢拿了若干树苗，乐乐看到欢欢拿 得太多，就抢了 10 棵，欢欢不肯，又从乐乐那里抢回来 6 棵，这时乐乐拿的棵数比欢欢的 多 4 棵，欢欢最先拿了多少棵树苗？ 13、甲、乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙 桶中倒出和甲桶剩下的同样多的油放入甲桶。这时两桶油恰好都是 36 千克。问两桶油原来 各有多少千克？ 14、奇奇和李异各有画片若干张。如果奇奇拿出和李异同样多的画片给李异，李异再拿出和 奇奇同样多的画片给奇奇，这时两个人都有 24 张。问奇奇和李异原来各有画片多少张？ 15、两棵树上共有麻雀 25 只，从第一棵飞到第二棵树上 5 只，又从第二棵树上飞走了 7 只， 这时第二棵树上的只数是第一棵树上的 2 倍，原来每棵树上各有多少棵？ 16、有 3 个树上站着 42 棵小鸟。如果从第一棵树飞到第二棵树上 4 只，再从第二棵树飞到 第三棵树上 2 只，又从第三棵飞到第一棵树上 4 只，这时三棵树上的只数就相等了，原来各 停有几只小鸟？ 【乘风破浪】 17、小明在做一道减法题时，把被减数个位上的 5 看成了 8，十位上的 0 看成了 6。把减数 十位上的 2 看成了 5，减数百位上的 6 看成了零，结果是 2402，正确的结果是多少？18、袋子里有若干个球,小明每次拿出其中的一半,再放回 1 个,一共做了 4 次, 袋中还有 3 个 球,问袋中原来有几个球? 19、哥哥和弟弟分 48 颗巧克力糖，弟弟拿了若干颗后，妈妈不同意，就从弟弟那拿了 8 颗 给哥哥， 哥哥还是还给了弟弟 4 颗， 这时弟弟的颗数是哥哥的 2 倍， 他们原来各拿了多少颗？ 20、张叔叔从果园里摘了两筐苹果，第一筐有 280 个，第二筐有 40 个，张叔叔每次从第一 筐中取出 8 个苹果放入第二筐。想一想：这样取几次两筐苹果的个数才相等呢？ 【激流勇进】 21、已知甲乙丙丁的和是 45，甲+2=乙-2=C×2=D÷2，求甲乙丙丁各是多少？ 22、 批发站有若干筐苹果,第一天卖出总数的一半,第二天运进 450 筐,第三天又卖出现有苹果 的一半又 50 筐,还剩 600 筐,这个批发站原来有多少筐苹果？23、两只猴子拿 30 个桃子，甲猴子眼疾手快抢先得到一些桃子，乙猴看甲猴拿得太多，就抢走了甲的一半，甲猴子不服气，又抢走了乙猴子的一半，乙猴又不肯，甲猴还给乙猴 4 个，这时，甲猴比乙猴还多 4 个，甲猴最初拿了几个桃子？ 24、有 26 块砖，兄弟两人争着去挑，弟弟抢在前面，刚装好砖头，哥哥赶到了。哥哥看弟 弟挑得太多，就抢过来一半。弟弟不服，又从哥哥那儿抢走一半，哥哥不肯，弟弟还给了哥 哥 6 块，这时，哥哥比弟弟多挑 2 块。问最初弟弟准备挑多少块砖？第五讲 用消去法解题： 〈知识广角〉 知识广角〉 1、消去法；利用两个数量的差求两个未知量的方法叫做消去法。 2、用消去法解题的关键：是要根据题中的数量关系，设法将其中的一个未知数消去，先求 出另一个未知数，进而再求出消去的另一个未知数。 方法探究〉 〈方法探究〉 ： 例 1：妈妈和金阿姨一起到超市买了同样的两种水果，妈妈买了 4 千克苹果和 5 千克梨共用 26 元，金阿姨买了 4 千克苹果和 8 千克梨共用 32 元，你能推算出苹果和梨的单价吗？ 【思路导航】 ：苹果和梨的单价都是两个未知量，但是妈妈和金阿姨都买了同样的 4 千克苹 果，金阿姨多付的钱是因为多买了 3 千克梨，也就推算出 3 千克梨用了 32-26=6 元，就可以 求梨的单价，再推算出苹果的单价。 列表 苹果 梨 总钱数 妈妈 4 5 26 金阿姨 4 8 32 解： （32-26）÷ （8-5） =6 ÷ 3 = 2 （元） 。。。 。。。梨 26-2×5=16（元） 16 ÷ 4 = 4（元）。。。苹果 。。。 答：苹果每千克 4 元钱，梨每千克 2 元钱。【思维链接】 ：在消去法解题中，当两组数量中有对应的一个未知数的数量相同时，我们先 消去这个未知数，推算另一个未知数，再回到条件中去，推算消去的未知数。【举一反三】 1、王方买了 4 枝铅笔和 3 枝钢笔，共付了 19 元，张华买了同样的 4 枝铅笔和 5 枝钢笔， 共付 29 元，铅笔和钢笔的单价各是多少元？ 2、看图填空 5 3 10单位：元 毽 子 10 10 10 （ 总 价 35 25 ）跳 绳例 2 4 头牛和 3 匹马每天吃草 90 千克，2 头牛和 4 匹马每天吃草 70 千克。每头牛和每匹 马每天各吃草多少千克？【思路导航】：本题两组对应的数量中没有可以直接消去的未知数，而 4 头牛和 2 头牛正好 是倍数关系，所以可以把 2 头牛和 4 匹马每天吃草 70 千克转化成 4 头牛和 8 匹马每天吃草 140 千克，就可以消除牛每天吃草这个未知数。解：列 表牛马吃草总数4390247048140马： （140-90）÷（ 8-3）= 10 （千克）牛：（90-10×3）÷ 4 =15 （千克）答；牛每天吃草 15 千克。马每天吃草 10 千克。【思维链接】：当条件中两个未知数不能直接消去一个未知数时，我们可以利用扩大几倍的 方法，找到消去一个未知数的条件，再按照先消去一个未知数，求其中一个未知数，就可推 算另一个未知数的方法解决问题。 【举一反三】 ： ３、5 个大球和 3 个小球共 42 克，10 个大球和 4 个小球共 76 克，每个大球和每个小球各多 少克？ ４、毛方买 4 练习本和 5 个软面抄共付 19 元，黎明同样的 3 本练习本和 10 本软面抄共付 33 元，问一本软面抄和一本练习本各多少钱？例 3：学校买了 3 张桌子和 4 把椅子，共付 1472 元。每张桌子比每把椅子贵 192 元，问每 把椅子和每张桌子各多少钱？【思路导航】：本题中桌子和椅子的单价都不知道，也是含有两个未知数，但是我们知道每 张桌子比每把椅子贵 192 元， 所以我们可以把 3 张桌子价钱转换成 3 把椅子的价钱， 1472 把 去掉 3 个 192 元，就是 7 把椅子的价钱了，知道椅子的价钱再推到在桌子的单价。解：192×3=576（元）椅子（）÷（3+4）=128（元）桌子： 128+192=320（元）答：桌子每张 320 元，椅子每把 128 元。【思维链接】：当条件中两个未知数不能直接消去一个未知数时，我们可以用转换的方法， 把两个未知数，转换成一个未知数，先求出一个未知数，就可推算另一个未知数了。【举一反三】５、4 辆大巴和 3 辆中巴共坐 276 人，已知一辆大巴比一辆中巴多坐 13 人，每辆大巴和中 巴各坐多少人？６、红红用 2.7 元买了 3 本语文本和 5 本数学本，刚刚用 3.4 元买了同样的 4 本语文本和 6 本数学本，已知语文本比数学本贵 0.1 元，求语文本和数学本的单价。 例 4 4 包科技书和 5 包故事书共 500 本， 同样的 5 包科技书和 3 包故事书共 430 本， 每包 科技书和每包故事书各多少本？【思路导航】 ：当扩大一个条件的倍数，还是不能消去其中的一个未知数时，我们就把第一 个条件扩大 5 倍，第二个条件扩大 4 倍，就能找到科技书都是 20 包的条件下书的总本数， 这样就可以消去科技书的未知数，先求故事书有多少包？再求科技书有多少包？解：列表科技书 4 5 ①×5 20 20故事书 5 3 25 12总包数 500 430 ①②③②×4④④ - ③故事书： （）÷（25-12）= 60（本） 科技书： （500-5×60）÷ 4 = 50（本）答；故事书每包 60 本，科技书每包 50 本。【思维链接】 当使用消取法解决问题时， ： 如果变换一个条件不能消去其中的一个未知数时， 我们就要根据已知条件的数据，将两个条件同时扩大几倍后，先消去一个未知数，求其中的 一个未知数的方法解决问题。【举一反三】７、买 3 个包暖杯和 4 个茶杯花了 190 元，买 7 个包暖杯和 9 个茶杯花了 440 元，求茶杯和 保暖杯的单价。8、一个童装店做同样一种童装，如果做 3 件上装和 5 条裤子要用 11 米布，如果 做 5 件上装和 4 条裤子要用 14 米布，平均每件上装需要多少米布？数【扬帆起航】学冲浪1、买 4 本故事书和 6 本科技书共用 162 元，买 5 本故事书和 3 本科技书共用 135 元，每本 故事书和每本科技书各多少元？2、妈妈买了 20 个鸡蛋和 30 个鸭蛋共重 2800 克，奶奶买了 30 个鸡蛋和 10 个鸭 蛋共重 2100 克，他们叫小军算一算，每个鸡蛋和每个鸭蛋各重多少克？ 3、买 4 本故事书和 6 本科技书共用 162 元，买 5 本故事书和 3 本科技书共用 135 元，每本故事书和每本科技书各多少元？4、妈妈买了 20 个鸡蛋和 30 个鸭蛋共重 2800 克，奶奶买了 30 个鸡蛋和 10 个鸭 蛋共重 2100 克，他们叫小军算一算，每个鸡蛋和每个鸭蛋各重多少克？5、学校买回 20 个皮球，60 根跳绳共用 200 元，买一个皮球的钱可以买两根跳绳，每个皮 球多少元？6、新光小学去科技馆参观，7 辆大巴和 15 辆中巴正好坐满 744 名师生，每辆大 巴比中巴多做 12 人，每辆大巴和每辆中巴各坐多少人？ 7、7 头牛和 3 只羊每天吃草 123 千克，5 头牛和 2 只羊每天吃草 87 千克。每头牛每天吃草多少千克？8、 张老师用 70 元给同学买奖品，可以买 20 支水性笔和 30 把米尺，或者买 15支水性笔和 40 把米尺，你能推算水性笔的单价吗？【乘风破浪】９、用一个杯子向一个空瓶里倒水，如果倒进了 4 杯水，连瓶重 520 克，如果倒进 7 杯水， 连瓶共重 760 克，那么一杯水和一个空瓶各多少千克？１１、水果商店共卖出 32 箱苹果和 45 箱梨，共售出 2900 元，1 箱苹果和 1 箱梨共售出 76 元，每箱梨多少钱？ １２、新湖水果店运进苹果和梨一共 1750 千克，每箱苹果有 20 千克，每箱梨有 25 千克， 苹果比梨多 11 箱，苹果和梨各是多少箱？【激流勇进】1３、中心食堂本周运大米 7 袋，面粉 4 袋共重 1020 千克，上周运来大米 3 袋，面粉 6 袋共 重 780 千克，问每袋大米、每袋面粉各重多少千克？１５、体育王老师买了 5 个足球和 4 个篮球，用了 640 元，如果买了 2 个足球和 3 个篮球， 用了 340 元，足球和篮球的单价各是多少元？ １６、 某次测验，A、B、C、D 四位同学的成绩作如下统计：A、B、C 的平均分为 94 分； B、C、D 的平均分为 92 分；A、D 的平均分为 96 分。求 A 得了多少分？第六讲 巧求周长与面积 〈知识广角〉 知识广角〉1、周长：物体表面或封闭图形一周的长度就是它们的周长。 2、面积：物体表面或封闭图形的大小就是它们的面积。 3、长方形和正方形是我们认识过的两种常见的平面图形，它们的周长和面积计算公式如 下： 长方形的周长＝（长＋宽）×2 长方形的面积＝长×宽 正方形的周长＝边长×4 正方形的面积＝边长×边长〈方法探究〉 方法探究〉例 1：下图是一块草坪示意图。现在要为这块草坪围上栏杆。请问栏杆有多长？30 米 100 米 【思路导航】 求栏杆的长度就是求上图的周长。求这个多边形的周长，也就是求围成这个多边形的 六条线段的长度和。其中有两条线段的长度是已知的，其余四条线段的长度均未知。通过观 察我们发现， 我们可以通过平移将这个图形转化成一个长方形， 且这个图形的周长与转化后 的长方形的周长是相等的。所以只要求出这个长方形的周长就可以得出这个多边形的周长。 具体方法如下： G A F .A F C B C B 30 米 30 米 D E D E 100 米 100 米 将线段 CB 水平向上移动到 GF 边，发现 CB+AF 的长度正好与 DE 相等。把线段 AB 向左平移到 GD 边，发现 AB+CD 的长度正好与 FE 相等。求这个多边形的周长就转化成为 求一个长方形的周长，这个多边形的周长就巧妙地求出来了。 解： (100+30) ×2=260(米) 答： 围这块草坪的栏杆长 260 米。【思维链接】 ： 在巧求一些表面上不是长方形或正方形的不规则图形的周长或面积时， 常常需要运用 平移等方法将不规则图形转化成规则图形来求解。 【举一反三】 ： 1、下图是一个楼梯的侧面图。已知每步台阶宽 4 分米，高 2 分米。问这个楼梯的侧面的周 长是多少分米？合多少米？ 4 分米 .2 分米 2、求下面图形的周长。(单位：厘米) 2 4 73、下图是一个由 8 条线段围成的多边形，要计算这个多边形的周长，至少要测量其中多少 条线段的长度？ ⑤① ② ⑧ ③④ ⑥⑦ 例 2：下图是由 4 个边长为 6 厘米的小正方形组成的图形，每个小正方形的顶点，恰好在另 一个正方形的中心，且都互相平行。问拼成后的图形的周长是多少厘米？6 厘米【思路导航】 ： 求这 4 个正方形重叠着组合而成的图形的周长， 我们可以将这个图形转化成为一个大正 方形， 大正方形的边长相当于原来小正方形边长一半的 5 倍， 并且大正方形与转化以前的图 形的周长相等。那么求出这个大正方形的周长也就求出了原图的周长。解： 大正方形的边长：6÷2×5=15(厘米) 大正方形的周长：15×4=60(厘米) 答： 拼成后的图形周长是 60 厘米。 想一想：还可以怎样计算这个图形的周长呢？ 【思维链接】 ： 在解决这个问题时， 我们还可以用这个方法： 先求出四个小正方形在未重叠的情况下的 周长之和，再减去被围进图形里面的所有边线的长度和。 【举一反三】 ： .４、如上左图， 每个正方形的边长是 8 厘米， 每两个正方形重叠的相交点是正方形边长的中 点。求这个图形的周长。 ５、 如上右图是由若干个相等正方形组成的图形，已知每个正方形的边长是 5 分米，求这 个图形的周长是多少分米？ 例 3：如下图，一块长方形花圃，长 12 米，宽 9 米。周围有一条 1 米宽的道路环绕着。求 道路的面积是多少平方米？花圃】 【思路导航： 图中的道路可以看成为一个不规则图形， 我们可以间接来解决这个问题。 如果求出图中 大长方形的面积和小长方形的面积，再将其相减，就得出道路的面积了。 解： 大长方形的长：12+12=14(米) 大长方形的宽：9+12=11(米) 大长方形的面积： 14×11=154(平方米) 小长方形的面积： 12×9=108(平方米) 道路的面积：154－108= 46(平方米) 答： 道路的面积是 46 平方米。 【思维链接】 ： 对于有些不规则图形来说， 有时我们可以通过间接计算来解决问题。 如转化成两个图形 之和来求解或转化成两个图形之差来求解。 【举一反三】 ： ６、 如果将边长为 20 厘米的正方形的每条边长增加 5 厘米，那么这个正方形的面积增 加了多少平方厘米？ ７、一块长方形空地，长 15 米，宽 9 米。现在在四周留一条宽 1 米的道路，里面的长方形 部分用做花圃。花圃的面积是多少平方米？例 4：一个大长方形被分成 4 个小长方形。已知其中 3 个长方形面积分别是 36 平方厘米、 12 平方厘米和 63 平方厘米，求另一个长方形的面积是多少平方厘米？ 36 63 c 36 63 d 12 12？【思路导航】 ： a b？如上图我们可以发现： 12= a ×d 36= a×c 63= b× c ?= b ×d 斜着相对的两个长方形的面积的乘积相等，都是 a×b× c ×d。 解： 12×63÷36=21(平方厘米) 答：另一个长方形的面积是 21 平方厘米。 【思维链接】 ： 这里求未知长方形的面积， 不需要知道它的长与宽， 而是根据它与其它已知长方形之间 的关系将其面积推理出来。 【举一反三】 ： ８、一个大长形被分成 4 个小长方形。已知其中 3 个长方形面积分别是 54 平方厘米、56 平方厘米和 63 平方厘米，求另一个长方形的面积是多少平方厘米？ 54 63？ 56９、大小两个正方形边长分别为 6 厘米和 4 厘米，它们部分重合，已知重合部分面积是 8 平方厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米？： 〈指点迷津〉 指点迷津〉同学们， 我们在巧求一些表面上不是长方形或正方形的不规则图形的周长或面积时， 常 常需要运用平移等方法将不规则图形转化成规则图形来求解。 同学们要特别注意转化前的图 形与转化后的图形的周长与面积的关系，不能重复也不能遗漏地计算。数学冲浪 扬帆起航：1、求下图左边图形的周长。 （单位：厘米） 742、求上面右边这个“十”字形图案的周长。 （每个小正方形的边长是 10 厘米。 ） 3、下面是一个会议中心进大厅处的楼梯的侧面图，要在这样共 5 层的楼梯上铺上地毯，地 毯共长多少米？3米6米4、把 4 个完全相同的正方形，拼成一个大正方形，这个大正方形周长是 160 厘米。那么每 个小正方形的周长是多少厘米？ 5、下图是由 3 个长方形组成的，求这个组合图形的周长。 （单位：厘米） 15 15 20 186、下图是由 6 个边长 4 分米的正方形拼成的，这个图形的周长是多少分米？7、一个长方形长 18 厘米，如果把长缩短 6 厘米这个长方形就会变成一个正方形。这个长方 形的面积是多少平方厘米？乘风破浪：８ 求下面这个水渠侧面的周长。 （单位：米） 2 3 8 ９、有个边长是 8 厘米的正方形，如果分别把它的两组对边缩短 1 厘米、2 厘米，那么这个 正方形的面积将会减少多少？ １０、 一个长方形的周长是 30 厘米， 且长是宽的 2 倍。 这个长方形的面积是多少平方厘米？激流勇进：１１已知长方形内几个小长方形的面积（如图。 ）求其它几个小长方形的面积。 2 6 18？ 12？ .１2、四个一样的长方形和一个小正方形拼成如上右图所示的大正方形，已知，大正方形的 边长是 6 分米，小正方形的边长是 2 分米，问一个长方形的周长是多少分米？ １3、在一个长为 120 厘米、宽为 30 厘米的长方形黑板上涂满白色，现在有一块长 10 厘米的长方形黑板擦， 用它在黑板内紧紧沿着黑板的边擦一周(如图所示， 黑板擦只平移不旋转)。 如果黑板上没有擦到的部分的面积恰好是黑板面积的一半，那么黑板擦的宽是多少厘米？第七讲 简单的等差数列 〈知识广角〉 知识广角〉 1、数列：按一定次序排列的一列数叫做数列。 项：数列中的每一个数都叫做数列的项，依次叫第一项（或首项） 、第二 项、……、末项。 项数：数列中数的个数叫项数。 2、等差数列：每相邻两个数的差都相等的数列叫做等差数列。 公差：相邻两项的差叫做公差。 3、等差数列 a1,a2,a3,……,an 的求和公式： 和＝（首项＋末项）×项数÷2 即 Sn＝(a1＋an) ×n÷2 4、求等差数列 a1,a2,a3,……,an 的第 n 项的计算公式： 第 n 项＝首项＋（项数－1）×公差 即 an＝a1＋(n－1) ×d 5、求等差数列 a1,a2,a3,……,an 项数的计算公式： 项数＝（末项－首项）÷公差＋1 〈方法探究〉 方法探究〉 例 1：判断下面的数列中哪些是等差数列？ （1）1，3，5，7，10，13，16，19 （2）2，5，8，11，14，17，20 （3）5，9，13，17，21，23 （4）85，75，65，55，…15，5 【思路导航】 根据等差数列的定义进行判断。 （1）3－1=2，10－7=3，2≠3，不是等差数列。 （2）5－2=8－5=11－8=14－11=17－14=20－17=3，是等差数列。 （3）9－5=13－9=17－13=21－17=4，而 23－21=2，2≠4，不是等差数列。 （4）85－75=75－65=65－55=…=15－5=10，是等差数列。 【思维链接】 判断一个数列是不是等差数列，不能单独只看数列中的某些数，要将整个 数列中的每个数观察到，只要发现相邻两个数的差不相等，这个数列就不是等差 数列。另外，从大到小排列的数列，只要相邻两项的差都相等，这个数列也是等 差数列。 【举一反三】 1、判断下面的数列哪些是等差数列？ （1）0，2，4，6，12，20，30 （2）90，79，68，57，46，35，24，13 （3）7，14，21，28，35，42，49，562、找规律填数，并在是等差数列的题号上做上记号。 （1）1，3，5，7， （ ） ，11，13， （ ） （2）1，2，4，5，7，8， （ ）（ ， ） （3）80，70，60， （ ）40，30，20 例 2：计算：1＋2＋3＋4＋5＋…＋14 【思路导航】 观察算式后得知，1＋14，2＋13，3＋12，4＋11，5＋10…，每一组和都等 于 15，共有 7 组这样的和，所以 1＋2＋3＋4＋5＋…＋14=15×7=105。 解：1＋2＋3＋4＋5＋…＋14 =（1＋14）×14÷2 首 项 还有别的想法吗？ 末 项 项 数 =105还可以这样想： 把算式倒着写一遍，与原式对照： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14 14＋13＋12＋11＋10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1 对应项相加得：15＋15＋15＋15＋15＋15＋15…＋15 14 个 15 所以， 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14 =（1＋14）×14÷2 =105 【思维链接】 等差数列求和，虽然在知识要点中已经介绍了计算公式，但同学们一定要知 道公式的由来，本例题中介绍了两种解决问题的办法。在弄清楚了等差数列中的 求和公式的推导过程后，再利用公式进行计算，这样在理解的基础上应用公式解 决问题会更清晰。另外，在等差数列求和过程中，项数往往不会直接告诉，这时 需要根据公式求出项数后再求和。 【举一反三】 3、计算：11＋12＋13＋14＋15＋16…＋100 4、计算 46，52，58，…172 共有多少项?46＋52＋58＋…＋172 的和是多少？ 例 3、 （1）求等差数列：8，14，20，26，…，302 的末项是第几项？ （2）求等差数列：6，9，12，15，…中的第 99 项是多少？ 【思路导航】（1）观察发现，首项：a1=8， 第二项：a2=14，比首项多 1 个 6， 第三项：a3=20，比首项多 2 个 6， 第四项：a4=26，比首项多 3 个 6， …… 末项：an=302，比首项多（n－1）个 6 即 302=8＋（n－1）个 6 解： （302－8）÷6＋1=49＋1=50 答：8，14，20，26，…，302 的末项是第 50 项。 （2）观察发现，首项：a1=6， 第二项：a2=9，比比首项多 1 个 3 第三项：a3=12，比首项多 2 个 3， 第四项：a4=15，比首项多 3 个 3， …… 第 99 项：比首项多（99－1）个 6 解：6＋（99－1）×3 =6＋294 =300 答：6，9，12，15，…中的第 99 项是 300。 【思维链接】 求项数和求末项的题型要注意判断。 本题中求 302 是第几项， 说明是求项数， 而第 99 项是多少，使求某一项的具体值，求的是末项，判断清楚后可以通过推 理,找到规律，求出结果。 【举一反三】 5、求等差数列 245，238，231，224，…中的 105 是第几项？6、从 35 开始往后数 17 个（包括 35）连续的奇数，最后一个奇数是多少？例 4：一个报告厅有 20 排座位，第一排有 36 个座位，往后每排都比前一排多 2 个座位，这个报告厅一共有多少个座位？ 【思路导航】 这道题是等差数列在生活中的应用， “往后每排都比前一排多 2 个座位” 因为 ， 每排座位数实际上是一个等差数列，首项是 36，公差是 2，项数就是排数 20。 所以要求出座位的总数，先要求出第 20 排的座位数，即等差数列的末项，再按 等差数列的求和计算公式求解即可。 解：36＋（20－1）×2 （36＋74）×20÷2 =36＋38 =110×20÷2 =74 （个） =1100（个） 答：这个报告厅一共有 1100 个座位。 【思维链接】 在生活中有很多等差数列的实际范例。在解决相关问题时，首先一定要注意判断，其次要能将题中的已知条件与等差数列的各个量进行对应，这样就能运 用等差数列的一些公式很轻松地解决问题。 【举一反三】 7、妈妈读一本故事书，第一天读了 20 页，以后每天比前一天多读 2 页，这样 18 天读完这本书。这本书有多少页？8、有一堆粗细均匀的圆木，最上面有 4 根，每层都比上层多 1 根，最下层有 23 根。这堆圆木有多少根？〈指点迷津〉 等差数列在计算、找规律填空、日常生活的解决问题中经常遇到，我们一定 要注意观察数列中相邻数的关系，应用时一定注意找到与等差数列相对应的量， 应用公式求解。另外对于特殊的等差数列，如：求 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15 ＋17＝（1＋17）×9÷2=（1＋17）÷2×9=9×9=81，实际上，经过数形结合的 推导，我们还可以得出从 1 开始的奇数列的和等于项数的平方。数学冲浪 扬帆起航： 1、判断下面数列哪些是等差数列？ （1）1，1，2，3，5，8，13，21 （2）68，60，52，44，36，28，20 （3）700，693，686，679，673 （4）3，7，11，15，19，23，27，31，35 2、计算： （1）43＋44＋45＋46＋47＋48＋49＋50 （2）73＋77＋81＋85＋89＋93 3、求等差数列 4，8，12，16，……中第 31 项是多少？ 4、已知一个等差数列的第 1 项是 3，公差是 5，最后一项是 48。这个数列有多 少项? 5、李俊看一本长篇小说，他第一天看 40 页，从第二天开始起，每天看的页数比 前一天多 5 页，最后一天看 70 页。这本书共有多少页？ 6、有 20 个同学聚会，见面时如果每人都和其他人分别握一次手，那么参加聚会 的同学一共握了几次手？ 乘风破浪： 7、计算： （1）100＋200＋300＋…2000 （2）2＋6＋3＋12＋4＋18＋5＋24＋6＋30 8、已知一个等差数列：32，32×2，32×3，32×4……，求等差数列中的第 2001 项的积。9、如果在 13 与 29 之间插入三个数，使这五个数组成一个等差数列，那么插入 的三个数分别是多少？ 10、写出被 9 除余 1 的所有两位数组成的等差数列。 11、时钟在每个整点敲钟点数，每半点钟敲一下，一昼夜敲多少下？ 激流勇进： 12、在小于 400 的自然数中，有多少个数是 7 的倍数？求这些数的和。 13、一把钥匙只能开一把锁，现有 10 把钥匙和 10 把锁，最多要试多少次才能配 好全部的钥匙和锁？ 14、5 个连续自然数的和是 225，求第一个数是多少？ 15、10 个盒子，44 个彩球，能不能把 44 个彩球放到盒子里，使各个盒子里的彩 球数量不相等？第八讲 统筹优化与获胜对策 ： 〈知识广角〉 知识广角〉１、统筹：是一种安排工作进程的数学方法。简单地说，就是通过调整、重组等手段优化办 事效率的一种方法。 它的实用范围极广泛， 在基本生活和复杂的组织与管理中， 都可以应用。 华罗庚教授是中国优选法统筹法研究会的创始人，在我国倡导并开始应用推广“统筹法” 。 2、对策：在对抗性活动中，竞争双方取胜的有效方法，我们就可以称之为对策。： 〈方法探究〉 方法探究〉②洗漱（3 分钟） ③做早 例 1：聪聪早晨起床是这样安排的：①穿衣服（4 分钟） 操（5 分钟） ④淘米（1 分钟） ⑤用电饭锅煮饭（20 分钟） ⑥吃早饭（5 分钟） ⑦读英语（10 分钟） 。这样他一共用了 48 分钟才去上学。怎样合理安排，能使聪聪在 最短的时间内上学呢？ 【思路导航】 聪聪上学一共要做 7 件事情。他必须先穿好衣服，淘好米，再开始煮饭，最后吃早饭， 这个顺序是不宜改变的。聪聪在等电饭锅煮饭的 20 分钟内，可以同时做洗漱、做早操、读 英语这几件事情，这样就节省了时间。 解：聪聪可以这样安排。 ①穿衣服 4 分钟） ④淘米（1 分钟） ⑤用电饭锅煮饭（20 分钟）同时：②洗漱（3 分钟） ③做早操（5 分钟） ⑦读英语（10 分钟）吃早饭（5 分钟）一共用时：4＋1＋20＋5＝30（分钟） 答：聪聪一共用 30 分钟做完这些事情。 【思维链接】 ： 为了节省时间，我们要先弄清楚一共要完成哪些任务，然后理清思路，看哪些事情必须先做，哪些事情必须后做，再来思考有哪些事情可以同时做。这样就能优化做事的顺序， 达到节省时间提高效率的目的。 【举一反三】 ： 1、妈妈要外出，外出前必须做完以下几件事：整理房间要用 10 分钟，清理好带的包要 5 分钟，把衣服放进洗衣机再放好水要 2 分钟，洗衣机自动洗涤要 25 分钟，晾好衣服要 5 分 钟，健身要 10 分钟。妈妈怎样合理安排能最节省时间呢？ 2、丁阿姨要做以下事情：杀鱼、洗鱼要 5 分钟，烧鱼要 10 分钟，淘米要 3 分钟，电饭锅把 饭煮好要 14 分钟。怎样设计做事的顺序，能尽早开饭？ 例 2：早餐时，妈妈一共要烙 5 张饼给家里人吃，饼的两面都要烙，每面要烙 2 分钟，平底 锅里每次只能烙 2 张饼。怎样烙才能尽快把饼全部都烙好呢？ 【思路导航】 ： 为了便于描述，我们把五张饼分别编上号。假设我们先依次烙第①②张饼的正反面， 再依次烙第③④张饼的正反面，最后依次烙第⑤张饼的正面和反面，这样一共要烙 6 次。但 是我们应该观察到在烙最后一张饼的正反面时， 每次平底锅都没有充分利用。 因此这不是最 优的烙法。我们应该思考充分地利用平底锅，每次都让锅里有 2 张饼的最优烙法。 解： 烙饼方法如下表所示。 饼① 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 正 反 饼② 正 反 正 反 反 正 正 反 饼③ 饼④ 饼⑤2×5＝10（分） 答：一共要烙 10 分钟。 想一想：还可以按什么方法来烙呢？ 【思维链接】 ： 在求烙饼的总时间时，我们还可以用这个方法：先求出 5 张饼一共有 10 个面，锅里每 次只能烙 2 张饼，也就是能烙 2 个面，所以烙完这些饼一共需要 5 次，再乘上每次烙的时间 就能得出烙完所有的饼的总时间了。 【举一反三】 ： ３、复印机里最多能放 2 张纸，纸的正反面都要复印，每复印一面要 30 秒钟。现在一共有 7 张纸要复印，全部印完最快要多少秒钟？ 例 3：丁丁和当当两人从 1 开始按自然数顺序轮流报数，每人每次最少报 1 个数，最多报 2 个数。这样继续下去，谁报到 18，谁就获胜。是先报的人还是后报的人有必胜的对策？怎 样报才能保证获胜呢？ 【思路导航： 】 如果把每人报一次称为一轮，那么总可以保证每轮两人报数的个数和是 3。因为每人每 次最少报 1 个数，最多报 2 个数，那么如果一方报 1 个数，另一方就报 2 个数；一方报 2 个数， 另一方就报 1 个数； 这样总能保证每轮连续两次报数的个数合起来是 3。 运用倒推法， 从后往前想：根据“谁报到 18，谁就获胜” ，假如对方报 17，自己报 18，就能获胜；假如对方报 16，那么自己报 17、18，也获胜。因此，要想报 18，必须先报 15。同理，要报 15， 必须先报 12；要报 12，必须先报 9，继续分析后报的人所报的数，一定是 18、15、12、9、 6、3。这就是说，后报数就能获胜，策略是：如果对方先报 1，自己就报 2、3；如果对访先 报 1、2，自己就报 3。依次类推。 解答： （1）在这个游戏中，如果要获胜，必须后报数； （2）先报的人若报 a 个数（1≤a≤2） ，则后报的人就报（3-a）个数，后报的人必 定获胜。 【思维链接】 ： 本题是利用倒推法来思考解决对策问题的典型例题。 如果交换报数顺序，但对方未掌握必胜策略，那么，第一个报数的人一旦抓住机会报出 3 的倍数，先报数者也能稳操胜券。 由上面的例子可以看到两列数：报 1、2、4、5、7、8、……、16、17 必败，报数者出 现的这种状态称平衡态；报 3、6、9、……15、18 必胜，报数者出现的这种状态称临胜态。 斗智游戏的策略，在于找出临胜态和平衡态，并迫使对方总处于平衡态，自己占据临胜态。 【举一反三】 ： ４、两人轮流报数，每次只能报 2 或 3，把两人的所有数加起来，谁报数后和是 30，谁就获 胜。想一想：如果两人都采取最佳方法，是先报数的人获胜还是后报数的人获胜？ ５、两人轮流报数，每次只能报 1 或 2，把两人的所有数加起来，谁报数后和是 20，谁就获 胜。想一想：如果让你先报数，为了确保获胜，你第一次应该报几？接下来应该怎么报？ 例 4：桌子上放着 50 根火柴，甲和乙二人轮流每次取走 1～3 根，规定谁取走最后一根 火柴谁获胜。如果双方都采取最佳方法，甲先取，谁将获胜？ 【思路导航】 ： 要知道甲一开始应该取几根， 才能保证他取到最后的一根， 我们把乙取过以后甲再取称 为一轮。先假定取到倒数第二轮时，还剩下 4 根的情况，这时轮到乙取，因为不管乙取多少 根，他至少要取 1 根，至多取 3 根，从而甲必胜，可见“4”是一个关键数。一开始甲取的 根数，应该使余下的火柴根数是 4 的倍数。往后的每一轮，不管乙取多少根（1 至 3 根） ， 甲总可以使得每一轮甲、乙两人所取火柴根数之和为 4，这样到最后一轮时，只剩下 4 根， 迫使乙败，从而甲能获胜。 根据上面的分析可知，甲一开始取的火柴根数应该为 50 除以 4 的余数。50÷（1＋3） ＝12（轮）?? ???2（根） ，因此，甲一开始应取 2 根。 解答： （1）因为 50÷（1＋3）＝12（轮）?? ???2（根） ，因此，甲一开始应取 2 根。 （2）乙若取 a（1≤a≤3）根，甲就取（4-a）根，则甲必获胜。 【思维链接】 ： 在每次取 1～n 根火柴，取到最后一根火柴者获胜的规定下，谁能做到总给对方留下 （1+n）的倍数根火柴，谁将获胜。 【举一反三】 ： ６、54 张扑克牌，A、B 两人轮流拿牌，每人每次至少拿 1 张，至多拿 4 张，谁拿到最后 一张谁获胜。你能保证 A 必胜吗？ ７、54 张扑克牌，A、B 两人轮流拿牌，每人每次至少拿 1 张，至多拿 4 张，谁拿到最后 一张谁输。如果 A 先拿牌，A 如何获胜？〈指点迷津〉 指点迷津〉 ：著名数学家华罗庚爷爷曾经指出：善于“退” ，足够的“退” ，退到最原始而又不失去重 要性的地方，是学好数学的一个诀窍。对策问题多种多样，要想在对决中获胜，关键是使自 己处于优势地位。只要善于观察和思考，并能随机应变，就能成为一名常胜将军。数学冲浪 扬帆起航：1、甲乙丙丁四位同学去打水，他们的水桶接满分别要 5 分钟、4 分钟、3 分钟和 2 分钟。现 在只有一个水龙头， 应该怎样安排这四个人的打水顺序， 才能使他们等候的时间总和最少？ 这个时间是多少分钟？ 2、飞飞和丽丽玩扑克游戏，飞飞抽到了 9、6、4 三张牌，丽丽抽到了 10、8、5 三张牌。规 定每次每人出一张牌，点数大的胜，出三次，谁胜的次数多，谁就最终赢得比赛胜利。请问 飞飞有获胜的机会吗？ 3、 两人轮流报数，每次只能报 1 或 2，把两人的所有数加起来，谁报数后和是 10，谁就 获胜。想一想：如果让你先报数，为了确保获胜，你第一次应该报几？接下来应该怎么报？ 4、 豆豆和小雪两人轮流取棋子，每人每次取 3 个或 4 个，规定谁取到最后一个谁获胜。 豆豆先取，他有必胜的对策吗？怎样取才能保证获胜？○ ○ ○ ○ ○○ ○ ○ ○ ○○ ○ ○ ○ ○○ ○ ○ ○ ○○ ○ ○ ○ ○乘风破浪：５、有 50 根火柴棍，两人轮流取火柴，规定每人只能取 1 根或 2 根，谁取到最后一根谁就 输。问先取的人还是后取的人有获胜的对策？应该怎么取才能确保获胜？ ６、盒子里有 35 粒珠子，甲、乙二人依次轮流去取，每人每次至少取 1 粒，至多取 3 粒， 谁取到最后一粒，谁就是胜利者。问谁能获胜？若要获胜，应该怎样来取？激流勇进：７、有两个箱子，分别装着 20、18 个球，聪聪和明明两人轮流在其中任一箱子中取球，取 得个数不限，但不能不取。规定取得最后球者胜。是先取的人胜，还是后取的人胜？取胜的 对策是什么？ ８、20 张正面朝下的扑克牌排成一排放在桌面上，两个小朋友做翻牌游戏。规定：每人每 次只能翻动一张或两张相邻的牌使之正面朝上，翻过的牌不能再翻，两人轮流翻动，翻动最 后一张牌的人获胜。问：怎样做才能获胜？下学期第九讲 定 义 新 运 算： 〈知识广角〉 知识广角〉 1、 定义新运算：生活中为了某种需要，常把含有加、减、乘、除的一个运算规定，用 一个代表符号表示，要求按照新定的运算规定进行计算或推理。 2、 解题关键：要抓住运算的本质，根据规定的新运算和四则运算的关系式，推道出运 算的结果。： 〈方法探究〉 方法探究〉 例 1： a*b= 3a+2b 计算 2*3 、 3*4 【思路导航】 ：本题规定的新运算要求是*前面的数 a 的 3 倍，加上*后面数 b 的 2 倍。 解： 2*3= 3a+2b =3×2＋2×3=6+6=12 3*4=3a+2b=3×3＋2×4=9＋8=17【思维链接】 ：解决问题的思路是，首先分析新规定的关系式，将条件代入关系式，再按四 则混合运算的运算法则进行计算。【举一反三】 ：1、 规定 a*b=a＋a×b，求 2 * 3。2、 规定： 6 * 2 = 6＋66 =72， 求 3 * 4。例 2： X○Y= X-Y÷2计算 7○（10○4）【思路导航】：本题要根据规定分两步计算，先算 10○4 的值，再算 7○?的值，就是所 得的结果。解：10○4=10-4÷2=10-2=87○8=7-8÷2=7-4=3【思维链接】：本类型的计算，不同例 1 是他要经过两次推算，才能得到结果。第一步的结 果，是第二步的条件，计算出第二步的结果，也就是本题的结果。 【举一反三】 3、 规定 a*b=(b＋a)×b，求(2*3)*5。4、若规定 a*b=a÷3-b，a、b 表示两个数，那么 9*（12*2）=？例 3：规定 AB=A÷5+B÷2,求（58）×3-（152 的）÷2 的值。【思路导航】：先求 58 和 152 值各是多少？这样式子中就没有新定义，只有四则运算， 再按四则运算的规律计算出结果。解：58=5÷5+8÷2=1+4=5152=15÷5+2÷2=3+1=4（58）×3-（152 的）÷2=5×3-4÷2=15-2=13【思维链接】：本题有新运算，又有四则运算的混合运算，可将新运算，转化成为只有四则 运算，再进行计算。【举一反三】5、如果有 A◎B=A×4-B, 求(8◎2)×3-(4◎5)的值。6、如果有 Q※P = Q×2÷P求 240※8 +( 6※2)×4例 4、用 4 、5、7、8 算 24。【思路导航】 ）+（ ）+（ ）+（ ）=24、 （8 ×3 = 24、4 × 6 = 2412 ×2 = 24、这几个思路都适合本题。解：(1)4 + 5 + 7 + 8 = 24(2) (3) (4)[8-（7-5）]×4 =24 (5+7)÷4× 8=24 (5+7)×(8÷4) = 12×2=24【思维链接】算 24 是用四个数，每个数都用一遍，加入计算的行列，应用四则运算的规则，使最后的结果得 24，通常有 3×8、4×6、12×2 等。我 们这里探究的仅为整数混和运算。【举一反三】 （7）用 6、 7、 8、 9 算 24。（8）用 6、6、5、5 算 24。数 学 冲 浪【扬帆起航】1、如果 a△b=(a-2)×b，计算 3△4 的值。2、如果规定 X◎Y=100-X+Y，其中 X,Y 是自然数，计算 40◎30 的值。3、如果规定 a*b 表示从 a 开始的 b 个自然数的和，计算 3*5 的值。4、如果规定 a*b=13×a-b÷8，那么 3*24 的值是多少？ 5、规定 X*Y=(X+Y)÷5,X、Y 表示两个数，那么 8*（3*7）=？ 6、如果规定 a*b=2×a+a×b，那么 234=？ 7、如果规定 2◎3=2+3+4，3◎4◎5=？ 8、规定 a*b=a×2+18÷b，计算（4*3）*18 的值。 9、规定，X※Y=X-2×Y 计算 40※8-(20※5)÷2 的值。10、 若有 1□2=1+2， 4□6=4+5+6+7+8+9,计算：（3□5）÷5+（4□3）×2 的值。11、定义一种运算，A◎B=A×A＋B×B，计算(8◎4)×6+(3◎4)×512、一种规定 M □ N = O ― N＋12 计算 11□9-2×(3□2)=?13、用 2、2、3、 3 算 24。14、用 1、2、3、 4 算 24。15、用 3、4、7、 9 算 24。16、用 2、5、6、9 算 24。【乘风破浪】17、规定 a*b=a×b-（a+b），求（10*6）- （8*4）18、 、若有 X○Y=X×Y÷2，X◎Y=X×Y-2， 计算（3○4）◎（2○7）的值。19、规定 1！=1，2！=1×2，3！=1×2×3，求（5！-3!）÷3 值. 20、如果 3 、5、（A ）9 算 24，A 可能是什么？你能找出几个答案？【激流勇进】21、整数 A,B,C 规定符号 BA等于 A×B＋B×C-C÷A 计算 3 的值。C5622、 定义一种新运算法则 1！=1，2！=1×23！=1×2×3，计算 5！=?23、 “◎”表示新运算符号，已知，2◎3=2+3+4， 5◎3=5+6+7，X◎4=46,那么 x 是多少？ 24、2、3、6、7 算 24，你能用两种方法解答吗?第十讲： 第十讲： 归 一问题： 〈知识广角〉 知识广角〉 １、在生活中，我们通常需要先知道速度、单价、一份量等，才能推道相关联的量 的问题，叫做归一问题。 ２、正归一：先求出一个单位的量，再求出相关联的量。 单位量 × 份数 = 总数量 ３、反归一： 知道总量、单位量或份数，求份数或单位量。 份数或单位量。 份数或单位量 总数量÷单位量=份数 总数量÷份数=单位量 方法探究〉 〈方法探究〉 ：例 1： 张老师 12 分钟改完 6 本作业本，照这样的速度，他改完 90 本作业本要 多少分钟？【思路导航】 ： 先求出改一本作业本要几分钟， 再根据张老师改本子的速度推道 90 本需要几分钟？ 解： 12 ÷ 6 × 90 = 2 × 90 = 180 （分钟） 答：90 本作业需要 180 分钟改完。【思维链接】 ： 解决问题的思路是先求一个单位的量， 再求向这样多个单位的量， 或者通过多个单位 的量，来求一个单位的量。【举一反三】 ：1、学校用 280 元买了 4 个足球，买回同样的 20 个足球需要多少元？ 2、一只小蜗牛 3 分钟钟爬行 6 分米，照这样速度，20 分米它要爬几分钟？例 2： 为了支援青海玉树灾区，实验小学四年级 6 个班，在两次捐款活动中共捐出 8100 元人民币，平均每班每次捐款多少元？【思路导航】：8100 元是两次捐款的总数，我们可以先求出每次捐款的平均数，再求出每 次每班的捐款平均数。解：=（元）平均每次每班捐款 675 元。【思维链接】：本类型的归一问题是复合归一问题，它需要通过两次归一才能得到一个单 位的量，我们通过总数与份数的复合关系，找到对应的两个份数，就能推算 一个单位的量。 【举一反三】 3、5 台织布机 4 小时织布 560 米。照这样计算，1 台织布机 6 小时织布多少米？ 4、4 个人 10 天修公路 840 米,照这样算, 8 人要修 4200 米, 要用多少天？例 3：某车队计划用 4 辆载重量相同的汽车，7 次运货物 168 吨，后来又增加 3 辆同样的汽 车，这些货几次可以运完？【思路导航】解决这个问题，首先还是要知道汽车每次的载重量，再根据货物总量不变，每 次共 4＋3 辆车运的条件，推算问题。解：168÷ 【168÷4÷7×（4＋3）】= 4（次）答：这批货 4 次就能运完。【思维链接】这类问题，一个单位的量是不变的，它解决问题的桥梁。当与总数相关联的一 个份数发生变化后，另一个相关联的量也会发生变化，但是解决问题的数量关 系式是不变的。【举一反三】， 5、5 台拖拉机 24 天耕地 12000 公亩。照这样要计算，18 天耕完 54000 公亩土地，需要 同样拖拉机多少台？例 4、某小水泥厂计划 24 天完成一批任务,每天应生产 45 吨水泥.改进技术后,每天比原计 划多生产 15 吨,这样提前几天完成? 【思路导航】 要求提前的天数， 先要计算实际生产多少天？根据总任务和实际的生产速度求的实际的天数，就能解决问题了。24-45×24÷（45＋15）=24-（天）答：可提前 6 天完成。【思维链接】这类问题，总工作量是不变的，由于速度的变化引起时间的变化。根据基本的 数量关系总量÷工作时间=工作效率也是不会变的。【举一反三】6、 某涂料厂计划春节前 40 天生产涂料 3400 吨，实际头 4 天就生产了 360 吨。照这样计 算，春节前可超产多少吨？数学冲浪【扬帆起航】 】1、一辆货车 5 小时行 225 千米，以同样的速度，12 小时行多少千米？ 2、一个粮食加工厂要磨面粉 12000 千克。2 小时磨了 4000 千克。.照这样计算，磨完剩下的 面粉还要几小时？3、 灭虫高手青蛙 3 天吃 315 只害虫， 照这样计算， 只青蛙一周吃多少只害虫？ 34、三箱矿泉水共有 72 瓶，现在又 500 名学生在植树，如果每人至少一瓶，大约需要几箱 矿泉水？ 5、某工程队,15 个工人 8 天能挖水沟 1560 米,照这样计算，2 个工人 12 天能挖多少米？6、一辆载重量相同的汽车，7 次共运货物 168 吨，现有同样的汽车 8 辆，10 次可以运货物 多少吨？ 7、油料加工厂要磨 20000 千克花生。3 小时磨了 6000 千克。.照这样计算，磨完剩下的花 生还要几小时？ 8、卡车 7 次能运货 210 吨，2 辆汽车 7 次运货 42 吨，用这样的两种车各一辆，5 次能运货 多少吨？ 9、8 头牛 30 天能吃 4800 千克的青草，照这样计算，15 头牛 20 天能吃多少青草？ 10、一件工程原计划 15 人每天工作 7 小时，40 天完成．现在少用 3 人，每天工作 10 小时，多少天可以完成(假定每人工作效率相同)？ 11、为了迎接六一儿童节，娃娃服装厂计划在 25 天，20 人完成 2000 套童装，由于商家要 求在 20 天内交服装，实际每人每天需要做多少套？ 12、4、奋进工程队计划修一条长 1944 米的水渠，54 人 12 天可修好。后来为了提前完成任 务，在工效不变，增加 18 人，天数减少为 10 天的情况下，可以修好这条水渠吗？13、某运输公司计划用 8 辆汽车运水泥，每天可运 128 吨。由于任务增加，现在增加 4 辆同 样的汽车，每天一共运水泥多少吨？14、某工程,6 个人 45 天完成,现在如果增加 9 人,工效不变，可提前多少天完成？15、劳动街小学组织学生勤工减学，装订一批作业本，计划 45 人，6 小时内完成。后来用 增加了一批任务，他们必须工作 8 小时才能完成，要想按时完成，需要增加几人？16、某养鸡场共养了 2400 只母鸡，每 20 只鸡 6 天可产蛋 96 个，现在收了 5760 个蛋，是这 些鸡多少天下的？【乘风破浪】 17、东方红织布厂，原计划一周内 8 人完成 4800 米织布任务，为了减轻工人负担，又增加 2 人参加织布，平均每人至少织布多少米？ 18、 学校平整操场,40 人 4 小时平整 1920 平方米,照这样算,25 人平整 900 平方米,要多少小 时？19、2 台机床 3 小时可以加工 480 个零件，照这样计算，5 小时多加工 240 个零件，需要几 台机床？20、华南蛋糕店规定 400 克面粉用 5 个鸡蛋调制，现有 1600 克面粉加入 15 鸡蛋对吗？【激流勇进】 21、一根木料，锯成 2 段需要 3 分钟；如果要锯成 6 段，需要多少分钟？ 22、某园林原计划 15 人 3 天种 450 棵树，工作期间又增加了一批任务，在工效相同的情况 下，需要 10 人 8 天完成。那么他们要多种多少棵树? 23、第一车间有 90 人，5 天用饮水 450 千克．第二车间有 210 人，目前有引水 750 千克．照一车间用水情况推算，二车间 7 天，还必须再准备饮水多少千克？ 24、一个牧场的草均匀的成长，可以供 27 头牛 6 周吃完，或者 23 头牛 9 周吃完，如果供 21 头牛吃，可吃几周？第十一讲盈亏问题： 〈知识广角〉 知识广角〉1、盈亏问题：把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。如果物 体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，少了，就叫亏。研究盈和亏这一类算法的问题就叫 盈亏问题。 2、解题关键：在两次分配过程中，可能一次有剩余，一次不足；或两次有剩余，或两次 不足。要根据它们之间的关系，找出物品总数和分的份数。 ３、数量关系： （１）份数＝（盈＋亏）÷两次分配差 或份数＝（大盈－小盈）÷两次分配差 或份数＝（大亏－小亏）÷两次分配差 （２）总数量＝每次分的数量×份数＋盈 或总数量＝每次分的数量×份数－亏： 〈方法探究〉 方法探究〉例 1：老师给幼儿园的小朋友发彩笔画画。如果每人发４支，则多出７支彩笔；如果每人发 ５支，则差３支彩笔。请问有多少个小朋友？共有多少支彩笔？ 【思路导航】 彩笔总数和小朋友人数是一定的。每人发４支，就多余７支；如果每人再多发１支，不 仅把多的７支发完，还要再拿３支才够发。两种不同的分配方法中，彩笔共相差（７＋３） 支，每个小朋友发到的彩笔相差（５－４）支。因此可以先求出小朋友的人数。 解： （７＋３）÷（５－４）＝１０（个） １０×４＋７＝４７（支）或１０×５－３＝４７（支） 答：有１０个小朋友，共有４７支彩笔。 【思维链接】 ： 在例 1 中，就是在两次分配中，一次有剩余，一次不足的情况。因此用（盈＋亏）÷两 次分配差来求分的份数。 【举一反三】 ： １、同学们排队做游戏，站的队数一定。如果每队站１０人，则多出３名同学；如果每 队站１１人， 则有一队还差１名同学。 请问同学们排成几队做游戏？一共有多少名同学呢？ ２、小朋友植树，如果每人植６棵，则多出２棵树没人植；如果每人植８棵，则还有一 名同学差４棵树。有多少名小朋友参加植树活动？一共要植多少棵树？例 2：学校有一些篮球。如果给高年级每个班发５个，则还差２８个；如果给每个班发３个， 则还差４个。学校一共有多少个篮球？高年级有多少个班？ 【思路导航】 ： 比较两次不同的分配方法，篮球亏的个数从２８下降到４，是因为每个班少发了（５ －３）个。说明（２８－４）个里有几个（５－３） ，就有几个班级。因此可以先求出高年 级的班级数，再来求篮球的个数。 解： （２８－４）÷（５－３）＝１２（个） １２×５－２８＝３２（个）或１２×３－４＝３２（个） 答：学校一共有３２个篮球。高年级有１２个班。 【思维链接】 ： 在例２中，就是在两次分配中，两次均不足的情况。因此用（大亏－小亏）÷两次分配 差来求分的份数。【举一反三】 ： １、老师给同学们发课外书，如果每人发８本，就差１３本；如果每人发５本，就只差 １本。有几名同学？一共有多少本课外书？ ２、 同学们去旅游。 如果每间房住３人， 则多出１１人没有房间住； 如果每间房住４人， 则还多出２人。请问有多少间房？有多少名同学？例３：四年级（３）班的同学到公园去划船。如果每条船坐６人，则还剩余３个空座位；如 果每船坐５人，则还缺少一条船。四年级（３）班一共有多少人去划船？ 【思路导航】 ： 在第二次分配中，如果每船坐５人，则还缺少一条船的含义是如果每船坐５人，则还缺 少（５×１）个座位。这样就可以按照前面的思路去求解。 解： （３＋５×１）÷（６－５）＝８（条） ６×８－３＝４５（人）或５×８＋５＝４５（人） 答：四年级（３）班一共有４５去划船。 【思维链接】 ： 在例３中，仍然属于两次分配中，出现一次盈一次亏的情况，只是盈或亏的数量没有 直接出示必须先将其转化求出来。再来用（盈＋亏）÷两次分配差来求分的份数。 【举一反三】 ： １、某校同学去春游。如果每辆车坐４５人，则有３０人没座位坐。如果每辆车坐４０ 人，则还必须再租２辆车。一共有多少名同学去春游？ ２、师傅们去搬运树苗。如果每位师傅运６棵，则还有２棵树没人搬；如果每人运８ 棵，则多出了一位师傅不用搬。一共有多少棵树苗？例４：妈妈每天步行上班。如果每分钟步行１００米，则会迟到３分钟；如果每分钟步行 １２０米，则可提前５分钟到单位。妈妈从家到单位需要步行多少分钟才能准时上班？ 【思路导航】 ： 每分钟步行１００米，则会迟到３分钟就是说到了上班时间妈妈离单位还有（１００ ×３）米的路程；每分钟步行１２０米，则可提前５分钟到单位就是说按这样的速度走，当 到了上班时间时，妈妈不仅能到达学校还可以多走（１２０×５）米。两次在相同的时间内 所走的路程相差（１２０×５＋１００×３）米，这是因为妈妈每分钟多走了 （１２０－ １００）米。这样就可以按照前面的思路去求所走的时间。 解： （１２０×５＋１００×３）÷（１２０－１００）＝４５（分） 答：妈妈从家到单位需要步行４５分钟才能准时上班。 【思维链接】 ： 在例４中，也仍然属于两次分配中，出现一次盈一次亏的情况。只是盈和亏的数量 不是直接出示的，而要间接将其求出来，再来根据（盈＋亏）÷两次分配差的数量关系来求 分的份数。 【举一反三】 ： １、爸爸从家骑自行车去会场开会，如果每分钟骑３００米，则会提前２分钟到达会 场；如果每分钟骑４５０米，则会提前５分钟到会场。爸爸从家到会场骑行多少分钟就按时 到会场？从家到会场的路程是多少米？ 2、学校规定早晨 8 点到校，明明以 60 米/分的速度上学，可以提前 2 分钟到，若以 50 米/分的速度，又会迟到 2 分钟。明明上学动身时间应该是几时几分？例 5：在一次大扫除中，有一些同学被分配擦玻璃，他们当中如果有 2 人各擦 4 块，其余的 人各擦 5 块，就会多下 12 块玻璃没有人擦；如果每人擦 6 块，刚好擦完。擦玻璃的同学有 多少人？玻璃共有多少块？ 【思路导航】 ： “如果有 2 人各擦 4 块，其余的人各擦 5 块，就会多下 12 块玻璃没有人擦” ，在这种 分配方法中， 每个人擦的玻璃块数是不一样的， 因此我们要将它转化成每人擦的玻璃块数相 同的情况，就是说如果每人擦５块，就会多下（１２－１×２）块玻璃没有人擦。这样就可 以按照前面的思路去求有多少名同学，有多少块玻璃。 解： （１２－１×２）÷（６－５）＝１０（名） １０×６＝６０（块） 答：擦玻璃的同学有１０人，玻璃共有６０块。【思维链接】 ： 例５和前面不同的是，每次分配中每份数不尽相同，因此要先将其转化成每份数相同 的情况再来解答。 【举一反三】 ： １、飞飞家买来一篮苹果分给全家人。如果其中二人每人分 4 个，其余每人分 2 个，则多出 4 个；如果其中一人分 6 个，其余每人分 4 个，则又缺 12 个。飞飞家买来多少个苹果？共 有多少人？ ２、学校最近买来一批电风扇，分给初中班。若有两个班每班分到 4 台，其余每班只能分 2 台；如果有一个班分 6 台，其余每班分 4 台，还差 12 台。共买来多少电风扇？有几个班？〈指点迷津〉 指点迷津〉 ：同学们，我们在解决盈亏问题时，有时题中并没有直接给出剩余或亏的数量，要先将 它求出来，再根据两次分配的数量关系求出份数和要分的数量的总数。数学冲浪 扬帆起航：1、 幼儿园老师组小朋友发积木，如果给每个小朋友发３个，就多出１１个；如果给每小朋 友发５个，就还差１１个。一共有多少个小朋友？有多少块积木？ 2、 同学们去搬运花盆。如果每个人搬６个，则还多出２７个；如果每个人搬９个，则还多 出３个。有多少个同学？有多少个花盆？３、把一些书装到箱子里。如果每个箱子里装２０本，则还缺少４０本书；如果每个箱子里 装１４本，则还缺少４本书。有多少个箱子？一共有多少本书？４、用一根绳子绕树５圈还余２米，绕树６圈还差６米。问这根绳子长多少米？ ５、老师给同学们发图画纸，如果给每个同学发１０张，就还多２０张；如果给每个同学发 ８张，就还多１００张。请问一共有多少名同学？老师一共有多少张图画纸？６、同学们站队，如果每队站８人，则多出９人；如果每队站１１人，则不多不少。一共有 多少个同学？乘风破浪：７、同学们坐在一起吃饭。如果每张桌子坐５人，就有２个同学没地方坐；如果每张桌子坐 ８人，则可以减少２张桌子。问有多少张桌子？有多少名同学？８、学校分配宿舍。如果每间房住８人，则有一间房空出２个床位；如果每间房住６人，则 还得多加２个房间。一共有多少间房？有多少位同学？９、同学们去划船。如果每条船坐８人，则可以少租１条船；如果每条船坐６人，则要多租 １条船。同学们原来打算租多少条船？一共有多少个同学？１０、丁叔叔打字。如果每小时打８篇文章，就要比预定时间少打４小时；如果每小时打１ ０篇文章，就比预定时间少打５小时。一共有多少篇文章要打？１１、聪聪每天早上８时上学。如果每分钟走６０米，就会迟到３分钟；如果每分钟走７０ 米，就会提前２分钟到。聪聪每天几时几分开始上课？激流勇进：１２ 水果店的店主运进一批苹果。如果每千克卖５元，就会亏损１０元；如果每千克卖８ 元，就会赚２０元。每千克苹果进价多少元？ １３ 两辆汽车运同样多的两批货。载重量是２吨的汽车比载重量３吨的汽车要多跑４趟。 问一批货物共有多少吨？ １４ 六一儿童节快到了，幼儿园里有一筐苹果，要分给大班和中班的小朋友。分给大班， 每人 5 个，余 10 个；分给小班，每人 8 个，缺 2 个；已知大班比小班多 3 人，问这筐苹果 有多少个？１５ 饲养员把一堆桃子分给若干只猴子，每只猴分５个桃，还剩２６个；如果每只猴分１ ０个桃，就有３只猴一个桃也分不到，还有一只猴只分到６个。有多少只猴？一共有多少个 桃？ １６、在桥上测量桥的高度。把绳长对折后垂到水面，还余 4 米；把绳长 3 折后垂到水面， 还余 1 米。桥高多少米？绳长多少米？ １７、小明在一座楼顶的平台用长绳吊一重物来测楼高,当将子 2 折时绳子比楼高出 18 米, 当他把绳子 4 折时,绳子比楼短出 2 米.绳长和楼高各多少米? １８、张叔叔和一个朋友一起买足球。他发现自己身边的钱，如果买 10 个足球，还差 42元；后来他向朋友借了 1000 元，买了 31 个足球，结果多了 13 元。张叔叔自己有多少元？第十二讲乘除法中的巧算〈知识广角〉 ： 1、 学习乘、除法的简算，是为了提高计算准确率和计算速度，它的依据主要是根据乘 除法的运算定律、性质来进行，在学习中，我们不仅可以提高计算速度和准确率， 同时也可以提高我们的观察能力、分析能力。 2、 乘、除法的运算定律和性质 乘法的交换律 a×b=b×a 乘法的结合律 a×b×c=a×(b×c) 乘法的分配律 a×(b+c)=ab+ac a×(b-c)=ab-ac 乘法的分配律的拓展 (a+b)÷c=a÷c+b÷c （a-b）÷c=a÷c－b÷c 除法的运算性质 a÷b÷c=a÷(b×c) 3、 积、商不变的性质 a×b=(a×c)×(b÷c) =(a÷c)×(b×c) a÷b=(a×c)÷(b×c) =(a÷c)÷(b÷c) 4、 乘、除法混合运算的性质 （1） 符号带着走的性质 a÷b÷c = a÷c÷b a÷b×c = c÷b×a （2） 去括号、添括号的性质 去括号 a×(b÷c) a×b÷c 括号前面是乘号，添、去括号不变号。 添括号添括号 a÷b×c 去括号 a÷(b÷c) 括号前面是除号，添去括号要变符号。〈方法探究〉 ： 例 1： 25×5×128×125 【思路导航】 因为 25×4=100 5×2=10 ： 125×8=×4×8×2 ，所以把 128 分成所需要的因数，分别与 25、5、125 相乘凑成整数，计算就简便了。 解： （25×4）×（5×2）×（125×8）×2 = 100 × 10 × 1000 × 2 = 1000 × 1000 × 2 = 2000000 【思维链接】 在乘法简算中，如果有 25、5、125 这些特殊的因数，能找到与它凑整的数， ： 计算就比较便， 记住 25 4 5 2 125 8 。 【举一反三】 1、125×18×52、160×25 3、a×b×c= a×（ ）× b例26×420【思路导航】根据乘法的分配律，算式中能找到 420 这个相同的因数，正好 234 加 766 和是 1000，这样算起来就比较方便。解：6×420=234×420＋766×420=420×(234＋766)=420×1000=420000【思维链接】 乘法分配律在计算中能使较复杂的计算简便，分析中能否找到相同的因数， 这是我们应用乘法分配律的关键，如果不能直接找到，也可通过转化条件得到相同因数。分 配律的拓展，应用也很广泛，我们要灵活应用。【举一反三】 ：4、23×68＋32×235、123×45－23×456、（125+4）×8例 3： 【思路导航】因为 2727 是 27 的整倍数，所以把 3 和 9 先相乘积 27，再除 2727，这样算较 简便。解：=2727÷（3×9）=【思维链接】 在计算除法时，是同级运算，需要改变运算顺序时，我们可以添或去括号， 但是添、去括号都要注意括号里的运算反号问题。【举一反三】7、378÷(9×2)8、9、777÷(7÷11) 例 4 特殊计算： （1） 23÷6＋14÷6＋11÷6（2） 10-09【思路导航】（1）本题每一步的商都有余数，无法用整数计算，我们可以改变运算了顺序， ： 先把 3 个被除数相加，再求商，就简便了。 （2）092009 都可以写成 、，这样因数 中就都有 ×10001，它的结果就显然易见。 解： （1） （23+14+11）÷ 6 = 48÷6 = 8（2） 10-09 = ××= 0 【思维链接】：（1）在求几个商的和的计算中，如果几个除数相同，我们可以用先求几个 被除数的和， 再求商的方法比较简便。 注意， 被除数相同， 不能用先求除数的和， 再求商的方法计算。（2） 一组循环数组成的多位数， 可以写成这组数 AB…D×100…001 表示计算比 较简便。【举一反三】10、26÷15＋17÷15＋62÷1511、99-98数 学 冲 浪 【扬帆起航】 1、 125×32×25 2、 25×（8×40） 3、 、 125×4×8×25 5、 32×24＋68×24 6、320×161－320×61 7、 51×45＋12×45＋45×37 8、23×24＋23×65-39×23 9、 10、125÷（50÷8） 11、756÷（36×7） 12、999÷444×4 13、123÷90+356÷90+241÷9014、125÷50×8÷4 15、96×25×125 16、 （9＋9＋8）× 125 【乘风破浪】 17、320÷15×210÷16 18、 19、 20、 11×11×11-11×11-11×10 ×3434 （91×27×84）÷（13×9×7）【激流勇进】 21、176×125×11×25 22、11×40＋39×48＋8×11 23、 09-08 24、14×44×104第十三讲简单的鸡兔同笼问题【知识广角】 1、在我国古代著名的数学专著《孙子算经》中有一道广为流传的数学趣题： “今 有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各有几何？”将这道题翻译 成现代数学语言就是： “现在有鸡、兔共居一笼，鸡头和兔头一共有 35 个，鸡脚 和兔脚共有 94 只，问鸡兔各有几只？”这就是著名的“鸡兔同笼问题” 。 2、解答“鸡兔同笼”问题，我们可以用列表法和假设法。但列表法有一定的局 限性，特别是数据较大时，列表非常麻烦，所以通常用假设法解答“鸡兔同笼” 问题。即先根据题意进行假设，然后把假设的情形和实际情形作比较，得出两种 情形下的差；而出现这个“差”的原因是因为经过假设