如何用迭代计算期权的期权隐含波动率计算

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-12-02 15:24 标签： 50etf期权隐含波动率
期权的隐含波动率什么意思
&期权的隐含波动率什么意思海通[微博]期权投资者教育专栏
　　上世纪七十年代，Fisher Black、Myron Scholes以及Robert Merton在期权定价领域做出了重大突破，即导出了期权定价模型Black-Scholes-Merton（BSM）模型。BSM模型一经提出，便获得了极大的关注，甚至引发了华尔街&第二次革命&。尽管有学者认为BSM模型关于市场的某些假设过强会使模型失效，但BSM模型所蕴含的&无套利&思想，直接影响了随后几十年期权定价领域的发展。
　　对于欧式看涨期权，BSM模型给出的理论定价如：
　　BSMcall=S0 N(d1 )-Ke-rT N(d2)
　　其中，d1=[ln(S0/K)+(r+&2/2)T]/&，d2=d1-&， N(x)为标准正态分布的分布函数。从BSM模型不难发现，标的资产的价格S0，欧式看涨期权行权价K，无风险r以及期权剩余期限T都是已知的，都可以从当下的市场中直接观测到确切的取值。但BSM模型中关于标的资产波动率的参数&并不能从市场中直接得到。
　　在实际交易中，交易员一般会使用隐含波动率（Implied Volatility）来刻画标的资产的波动状况。对于给定的期权定价模型，隐含波动率是指令模型给出的理论定价和实际报价相等的波动率。如果我们利用BSM模型对期权定价，那么隐含波动率&IV就应当满足：
　　BSM(&IV )=Pmarket
　　其中Pmarket是期权的市场报价。BSM是关于波动率的非线性方程，而且并不存在波动率的解析表达式，所以我们需要利用数值方法（例如二分法）求解该方程。
　期权波动率微笑JP Morgan期权波动率微笑
　　下面，我们利用上文提到的方法来计算期权的隐含波动率。我们选择在欧洲所（Eurex）挂牌交易的EUR/USD外汇期权作为计算对象。标的资产计算当日的报价约为1.3357。给定到期日为日的看涨期权的市场报价，对于不同的行权价，我们可以计算得到对应的隐含波动率。隐含波动率和行权价格的关系如左图所示。不难发现，平值期权（ATM）的隐含波动率相对较低，而在行权价取值在较大或较小的部分时，隐含波动率相对较高，这即是著名的&隐含波动率微笑&。&隐含波动率微笑&现象在外汇期权市场的出现主要是由于汇率并不严格满足BSM模型关于标的资产价格服从几何布朗运动的假设。例如汇率的波动经常会受到货币政策或者政治环境的影响，极端事件的出现，会给汇率带来剧烈变化。BSM模型对于标的资产价格变动分布的假设往往低估了这类事件发生的概率。
　　对于期权，我们也可以观测到类似于外汇期权中体现出来的&波动率微笑&现象。我们计算标的资产为JP Morgan股票期权的隐含波动率。计算当日，标的资产的价格为57.23，期权到期日为日。隐含波动率和行权价的对应关系如右图所示。我们不难发现，隐含波动率关于行权价格近似单调递减，这种现象被称为&波动率偏斜（Volatility Skew）&。关于&波动率偏斜&的现象，一种可能的解释是当企业股票价格下跌，企业杠杆上升，这就意味着股票面临相对更高的风险，发生大波动的可能性更大。也有人认为，波动率偏斜的出现是由于基金经理人对卖出高行权价看涨期权和买入低行权价看跌期权的偏好所导致。
　　总之，隐含波动率可以较为准确反映市场对标的资产未来的状况的预期。我们甚至可以进一步计算出当前市场报价所隐含的风险中性概率分布（Risk-Neutral Probability Distribution）来分析市场情绪，作为期权投资交易的参考。
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期权隐含波动率的Matlab计算
金融数量分析是充满变革与创新的世界，从上个世纪50年代的马克维茨模型，到70年代的BS期权定价公式，到90年代CDOs的定价模型等等，这些模型无在当时无处是创新的产物。在金融数量分析的学习与研究中，往往遇见没有现成求解工具的模型，需要我们利用基本数学原理或者数值计算软件根据实际的需要进行金融数量模型的建立、模型的求解、模型的验证等。在这个过程中，不仅需要数学原理，可能需要更多的数值处理技巧。或许只有在数学原理与数值技术有效的结合的前提先，才能更有效的求解金融数学模型。本章以BS公式的隐含波动率计算、KMV模型方程组的求解、移动平均hurst指数计算与基于优化方法的指追踪技术为例，展示在金融数量分析的步骤与技巧。隐含波动率是将市场上的期权交易价格代入权证理论价格Black-Scholes模型，反推出来的波动率数值。由于期权定价BS模型给出了期权价格与五个基本参数之间的定量关系，只要将其中前4个基本参数及期权的实际市场价格作为已知量代入定价公式，就可以从中解出惟一的未知量，其大小就是隐含波动率。隐含波动率是一个重要的风险指标。历史波动率反映期权标的证券在过去一段时间的波动幅度，期权发行商与投资者在期权发行初期只能利用历史波动率作参考。一般来说，期权的隐含波动率越高，其隐含的风险也就越大。期权投资者除了可以利用期权的正股价格变化方向来买卖权证外，还可以从股价的波动幅度的变化中获利。一般来说，波动率并不是可以无限上涨或下跌，而是在一个区间内来回震荡，投资者可以采取在隐含波动率较低时买入而在较高时卖出期权的方法来获利。如何判断一个期权的价格是否高估？主要应该看隐含波动率与其标的证券的历史波幅之间的关系。隐含波动率是市场对其标的证券未来一段时间内的波动预期，与期权价格是同方向变化。一般而言，隐含波动率不会与历史波幅相等，但在其标的证券的基本面保持稳健的条件下，应该相差不大。作者:郑志勇，微信:xyz909090郑志勇(Ariszheng)
中国量化投资学会 专家 先后就职于中国银河证券、银华基金、方正富邦基金，从事金融产品研究与设计工作。专注于产品设计、量化投资、Matlab相关领域的研究。尤其对于各种结构化产品、分级基金产品有着深入的研究，同时也编著了多本教材，包括： 《运筹学与最优化MATLAB编程》， 《金融数量分析:基于MATLAB编程》等图书。国内Matlab金融领域的权威人士。
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