第二章& 数学的发展与展望
数学的发展与展望
数学作为一门独立的自然科学学科已被广泛认同。人们常把数学形象地比喻成一株枝叶茂密的大树，它包含着并且一直还在生长出越来越多的分枝。按美国《数学评论》（Mathematical
Reviews）杂志的分类，数学包括了约60个二级学科，400多个三级学科。面对如此庞大的知识系统，即便是职业数学家也往往只能熟悉一、二个专门的领域。因此，对于非数学专业大学生，本章所要介绍的数学只能是常识性的、基本的内容。此外我们力图给出一些容易理解的、趣味性强的、或者美的数学内容。
数学的概念、特征和作用
1.1 什么是数学
我们谈论数学，自然会关心“什么是数学”这个问题。
数学本身是一个历史的概念，数学的内涵随着时代的变化而变化。给数学下一个一劳永逸的定义是不可能的。数学发展到今天，可以说它是不得不“由对象下定义”朝着“由方法下定义”。从亚里士多德给出第一个定义――数学是量的科学――以来，不少数学家、哲学家探索过这个问题，发表过不同的观点，如笛卡尔、恩格斯、希尔伯特等。迄今为止，可以找出十余种数学定义（参见文献
[1,2]。现在普遍接受的数学定义是：对结构、模式以及模式的结构和谐性的研究，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。这一定义实际上是用“模式”代替了“量”，而所谓的“模式”有着极广泛的内涵，包括了数的模式，形的模式，运动与变化的模式，推理与通信的模式，行为的模式，……。这些模式可以是现实的，也可以是想象的，可以是定量的，也可以是定性的。
汉字“算”和“数”的字源及其分析：“算”的一个古体是“{”，它由两个示（读qi）字组成。依《说文解字》知，“示，神事也”。依甲骨文解释，其上部“二”表“上”，下部“小”
表示“日，月，星”。分明是说“{”字源出于神事和占星。再看“攴”字，左部“洹弊直硎疽淮幔挥也俊瓣贰保Pu）字的上部为“卜”，下部“又”（攵）表右手；合起来，左部表示“结绳记数”，右部表示“占卜”。这说明数学和占卜神事有“血缘渊源”。另一方面，古代中国将数学叫做“算术”，意指“数学是计算的方法和技术”。它显示出数学定义的雏形。这一点很重要，它体现我国古代数学家对数学的原始观念。还有就是我国古代数学书名不是算术、算经、算法等，就是缀术、数术、历象术等，很少用数学作书名的。直到南宋大数学家秦九韶始用《数书九章》作书名。我国传统将数学称作算学，直到60多年前科学名词审定委员会成立时，才决定采用数学一词。这也同时说明我国的数学家都是从研究方法上而不是以研究对象作为数学的特征的。这是中西数学家理解数学的原始观念不同的地方。
数学家小档案 2.1
秦九韶：南宋大数学家（公元），四川安岳人。他的划时代巨著《数书九章》成书于公元1247年，内容丰富，精湛绝伦，特别是“大衍求一术”和高次方程的数值解法，在世界数学史上占有很高的地位。欧洲到1819年才由英国人霍纳提出高次方程的数值解法，而求解一次同余式则直到18、19世纪大数学家欧拉（1743年）和高斯（1801年）才获得相同的结果。美国科学史家萨顿称秦九韶是“他那个民族、他那个时代，并且也是所有时代最伟大的数学家之一”。
《数书九章》，共八十一题，分为九大类，每类各有九题，每题又各立名目。九大类如表2.1：
表2.1 《数书九章》分为九大类
叙述“大衍求一术”
有关历法推算、降雨（雪）量的计算等
土地面积的计算
勾股重差问题
“均输”及税收等问题
粮谷转运和仓库容积问题
工程施工问题
营盘布置及军需供应问题
粮谷、布匹的交易及利息计算等问题
数学家小档案 2. 2& 欧拉（Leonhard
）：瑞士巴塞尔人，他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文。据统计，他一生共写下886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学占3%。几乎所有数学领域都可见到欧拉这个名字。彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙了47年。更难能可贵的是他在双目完全失明的情况下，仍然以顽强的毅力，靠心算和记忆进行研究直到去世，长达17年，口述完成几本书和400余篇论文。
欧拉的风格是高尚的，拉格朗日是稍后于欧拉的法国大数学家，从19岁起与欧拉通信，讨论等周问题的一般解法，这导致变分法的诞生。等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题，拉格朗日的解法博得欧拉的高度赞扬，并压下自己的结果暂不发表，使年轻的拉格朗日的工作得以发表和流传，并赢得了巨大的声誉。欧拉晚年的时候，欧洲的所有数学家都把他当作自己的老师。
欧拉的一生，是为数学的发展而奋斗的一生，他那杰出的智能，顽强的毅力，孜孜不倦的拼搏精神和高尚的科学道德，永远值得我们学习。
欧拉还创立了许多数学符号，如π(1736年)，i（1777年），Σ、Δx（1755年），e，sin/cos（1748年），f(x)（1734年）等。
数学家小档案2.3& 高斯(Gauss
C.F.,)：德国数学家、物理学家、天文学家。生于不伦瑞克。童年时就显示出超人的数学才能。十一岁发现了二项式定理。十五岁读完了牛顿、拉格朗日等的著名著作，并掌握了牛顿的微积分定理。十八岁进入戈丁根大学。大学一年级时，发明了用圆规和直尺进行正十七边形的作图法，解决了两千年悬而未决的几何问题。1807年获得戈丁根大学的数学和天文教授职位，并担任了该校天文台的台长。
高斯对超几何级数、复变函数、统计数学、椭圆函数论都有重大的贡献。他的曲面论是近代微分几何的开端，着有《曲面的一般研究》一书（1827）。他建立了最小二乘法，并曾发表有关这方面的著作。他沿着拉普拉斯的思想方法，继续发展了势论。他于1818年就提出了关于非欧几里得几何可能性的思想。生前虽未发表，但实际上他是非欧几里得几何学的创始人之一。此外，他对向量分析、关于正态分布的正规曲线、质数定理的验算等的研究也取得了成果。
在天文学方面，高斯研究了月球的运行规律。创立了一种可以计算星球椭圆轨道的方法，能准确地预测出行星的位置。他利用这种计算法和最小二乘法，算出了意大利天文家皮亚齐（Piazzi
G.，）发现的谷神星的轨道，并于1802年发现了智神星的位置。1809年他发表了《天体运动论》一书，阐述了星球的摄动理论。
年，高斯为了测绘汗诺华公园的地图，研究了测地学。写出了《对高等大地测量学对象的研究》一书，并发明了“日光反射器”。
年，高斯与韦伯一道建立了电磁学中的高斯单位制；首创了电磁铁电报机。他还发表了地磁概论；绘出了世界上第一张地球磁场图；定出了磁南极和磁北极的位置。
高斯的著作很多，但在其生前并未全部发表出来。直到第二次大战前夕，才由戈丁根大学的学者们对其遗著进行整理研究，并出版了高斯全集，共11卷。其遗著中，最有意义的是高斯的日记，以及关于非欧几里得几何和椭圆函数论的数据。
1.2 数学的主要特征
数学具有两重性：内部的发展和外部的应用。数学本身的内部活力和对培育其发展的养分的需要，数学本身就是智力训练的学科。另外数学也是科学、工程、工业、管理和金融的基本工具和语言。内部特征如下：
特征之一：高度的抽象性。数学是一切科学中最抽象的学科。数学是对结构、模式以及模式的结构和谐性的研究。探究抽象模式结构中的对称性和规则性是纯粹数学的核心。
特征之二：
数学结果的精确性和持久性。精确性无须多言。而数学结果的持久性表现在两个方面。其一是有些结果也许数十年之后会以一种意想不到的方式找到重要应用（数论与密码学的关系就是一例）；其二是数学结果一经证明，决不会被否定，即使它们可能会被更强的结果所取代。如果我们对比天文学的“地心说”、物理学的“以太说”、化学的“燃素说”，就可以看出数学不同于其它学科的这一特征。
特征之三：
数学理论与结果的优美性。数学作为一种创造性活动，还具有艺术的特征，这就是对美的追求。数学理论的高度概括性和数学结果与公式的简洁、奇异、对称、和谐的优美之例比比皆是（见后附美例点滴）。可以说，数学理论和结果都是按美学标准建起来的。
1735年，德国的鲍姆伽藤（Baumgarten）首次提出美学这一名词，并且以此名撰写了一本专著。他因此被誉为美学之父。随后的康德、黑格尔等逐步建立了较严整的美学科学体系。美学是把人对现实的（即审美主体与审美个体所构成的）审美关系作为自己的研究对象。
数学美可简单地看成是数学活动者们（数学家、教师或学生等）在数学活动中可亲身体验及感受到的心历。
亚里士多德指出：认为数学不涉及美或善是错误的。数学特别体现了秩序、对称和明确性，而这些正是美的主要形式。普洛克拉斯断言：哪里有数，哪里就有美。
罗素认为：数学不仅拥有真，而且拥有非凡的美－一种像雕塑那样冷峻和严肃的美。
庞加莱说：数学家在他的工作中可体验到和艺术家一样的乐趣。
怀德黑比喻：作为人类精神的创造，只有音乐堪与数学媲美。
波莱尔阐明：数学在很大程度上是一门艺术，她的发展总是源于美学准则，受其指导，据以评价的。
黑格尔曾讲：美可以有许多方面，这个人抓住的是这一方面，那个人抓住的是那一方面。
与其寻求一个数学美的严格定义（很难办到），不如我们去把握数学美的如下特征：
数学美在于发现隐含的真理。例如，代数基本定理隐含着多项式的唯一性定理并说明其部分可以决定整体。
数学美在于发现一般的规律。例如，圆周率刻划了所有圆的周长与直径的比。
数学美在于高度的抽象和统一。 例如，伽罗瓦群论；格拉斯曼外微分形式下的斯托克思定理。
数学美在于和谐，雅致。例如，费尔马与笛卡尔创立的解析几何学。
数学美在于对称、简捷。数学美在于有序。
数学美的社会性。数学使自然物具有人的本质的印记，也就是数学的社会性。它是数学美产生的本源。
数学美的宜人性。审美对象可使主体感到愉悦。一方面要会欣赏，另一方面，也是最根本的，还在于对象具有条件足以是主体感到愉悦。
一般说来，能够被成为数学美的对象（问题，理论和方法等）应该是：在极度复杂的事物中揭示出的极度的简单性、在极度离散或杂乱的事物中概括出的极度的统一性或和谐性。
中国古代的诗词妙句中到处都有数学美的佳句。请看（参考文献[3]）：
美例点滴2.1&
李白的诗词“朝辞百帝彩云间，千里江陵一日还，两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”，是公认的长江漂流的名篇，一幅轻快飘逸的画卷。“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”，“白发三千丈”等诗句借助数字达到了高度的艺术夸张。杜甫的诗句“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天。窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船”，同样脍炙人口。数字深化了时空意境。他还有“霜皮溜雨四十围，黛色参天两千尺”，“青松恨不高千尺，恶竹应须斩万竿”表现出强烈的夸张和爱憎。柳宗元的诗句“千山鸟飞绝，万径人踪灭。孤舟衰笠翁，独钓寒江雪”中，数字具有强烈的对比和衬托作用，令人为之悚然。他的“一身去国六千里，万死报荒十二年”诗句和韩愈的“一封朝秦九重天，夕贬潮阳路八千”诗句一样，抒发迁客的失意之情，收到惊心动魄的效果。岳飞的千古绝唱“三十功名尘与土，八千里路云和月”，陆游的豪放佳吟“三万里河东入海，五千仞岳上摩天”，同样是壮怀激烈的。
趣话2.2& 秀才进京赶考：
明朝有一穷书生，历尽千辛万苦赶往京城应试。由于交通不便，赶到京城时，试期已过。经他苦苦哀求，主考官让他先从一到十，再从十到一作一对联。穷书生想起自己的身世，当即一气呵成：一叶孤舟，坐着二三个骚客，启用四浆五帆，经过六滩七湾，历尽八颠九簸，可叹十分来迟。十年寒窗，进了九、八家书院，抛却七情六欲，苦读五经四书，考了三番两次，今天一定要中。几十载的人生之路，通过十个数字形象深刻地表现出来了。主考官一看，拍案叫绝，当即将他排在榜首。
文君复书：
西汉时期，司马相如赴长安赶考，对送行的妻子卓文君发誓：“不高车驷马，不复此过。”多情的卓文君却深为忧虑，就叮嘱他：“男儿功名固然很重要，但也切勿为功名所缠，作茧自缚。”说完，司马相如便上路了到了长安，勤奋读书，终于官拜中郎将。从此，他沉湎于声色犬马、纸醉金迷的生活。觉得卓文君配不上他了，处心积虑想休妻，另娶名门千金小姐。时光任苒，一转眼5年过去了。一天卓文君正暗字垂泪，忽然京城来了一名差官，交给她一封信，并说司马相如大人吩咐，立等回书。卓文君又惊又喜，拆开一看，寥寥数语：“一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万。”
卓文君一下子明白了，当了新贵的丈夫，已有弃她之意。卓文君回信写道：“一别以后，二地相悬，只说三四个月，又谁知五年六年。七弦琴无心弹，八行书无可传，九连环又从中折断，十里长亭望眼欲穿，百思想，千思念，万般无奈把郎怨。万语千言说不完，百无聊赖十依栏，重九登高看孤雁，八月中秋月圆人不圆，七月半烧香秉烛问苍天，六月伏天人人摇扇我心寒，五月石榴火红偏遭阵阵冷雨浇花端，四月枇杷未黄我欲对镜心意乱，急匆匆，三月桃花随水转，飘零零，二月风筝线儿断，噫！郎呀郎，巴不得下一世你为女来我为男。”司马相如读后十分羞愧、内疚，良心受到了谴责，越想越对不住这位才华出众、多情多义的妻子。后来他终于用高车驷马，亲自登门接走卓文君，过上了幸福美满的生活。试想一下，在上述妙语绝句中，如果没有数字与文字的结合，会如此精彩和美妙吗？
数学这块肥沃富饶的土地为人类培育出万千杰出的英才。欧几里德的几何原本、笛卡尔与费尔马的解析几何、牛顿和莱布尼兹的微积分、罗拔切夫斯基的双曲几何、黎曼的椭园几何、伽罗瓦的群论、康托的集合论、希尔伯特的几何基础、庞加莱的组合拓扑、奈万林纳的亚纯函数值分布理论、布尔巴基学派的数学原理、陈省身的纤维丛与示性类理论、华罗庚的典型域上的调和分析、冯康的有限元等等。他们都在数学史上写下光辉灿烂的一页，为数学的发展作出了不朽的贡献。
数学的语言和符号是静怡典雅的音乐。数学的模式是现实世界数形贡献优美的画卷。数学的抽象思维是人类智慧奥秒的诗篇。
目前数学研究的主要子领域如表 2.2 所示：
表 2.2& 数学研究的主要子领域
代数学和几何学
数论和代数几何
拓扑学和几何学
数学的逻辑基础
结构、离散性
数和多项式的性质
空间结构、模式、形状
微积分的延伸和推广
随机性和不确定现象
自然中提出的问题
要用计算机来解决的问题
这些子领域的边界既不是固定不变的也不是理由充分的，数学中的某些最有趣和富有成果的发展产生在子领域的边缘交叉处。某些研究领域出现在此分类中的若干个子领域中。如理论物理、数学物理出现在拓扑学和几何学、分析以及应用数学中。
数学的外部应用通常是在对现实生活中的物理学、生物学和商业等活动中碰到的事件或系统进行数学建模时所激发产生的。
数学建模的三个步骤：
1、并非是清楚明白的实际情况创建一个明确的数学模型。这种数学建模需要在忠于实际情形的模型要求和数学上易于处理的要求之间进行妥协。
2、通过解析或计算的方法或两者混合的方法来求解该数学模型。
3、开发在求解特殊数学模型时大概可以重复使用的一般工具。
由于数学建模的重要性，教育部（原国家教委）从1992年起已在全国范围内组织大学生数学建模竞赛，并将其纳入高等学校教学评估指标体系中。
数学的外部特征主要是应用的广泛性。
1.3 名家论数学
(1) 一种科学只有在成功地运用数学时，才算达真正完善的地步（马克思）。
数和形的概念不是从其它任何地方，而是从现世界中得来的（恩格斯）。
数学中的转折点是笛卡尔的变量。有了变量，运动进入了数学；有了变量，辩证法进入了数学；有了变量，微分和积分也就成为立刻必要的了，而它们也就立刻产生，并且是由牛顿和莱布尼兹大体上完成的，但不是他们发明的（恩格斯）。
(4) 不要怕困难，要学好物理，化学，尤其是数学（毛泽东）。
(5) 我们欢迎数学，社会主义建设需要数学（毛泽东）。
实际运用数学的范围是很高谈广阔的。将来不管你们研究哪一门科学，不管你们进哪一个大学，不管你们在那个部门工作，如果你们想在那里作出某些成绩，那么，到处都必须要有数学知识（加里宁）。&
因为数学可以使人们的思想纪律化，能教会人们合理地去思维。无怪乎人们说，数学是锻炼思想的“体操”（加里宁）。&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
如果欧几里德（几何）不能激起你年轻的热情，那么你就不会成为一个科学思想家（爱因斯坦）。&&&&
为什么数学比其它一切科学受到特殊的尊重，一个理由是它的命题是绝对可靠的和无可争辩的。……数学之所以有如此高的声誉，还有另外一个理由，那就是数学给予精密的自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，这些学科是达不到这种可靠性的（爱因斯坦）。
(10)在物理学中，通向更深入的基本知识的道路，是同精密的数学方法联系着的（爱因斯坦）。
(11)数学是一种神奇的艺术，如果你和她交上了朋友，你就会懂得：你在也不能离开她！
她用数学写诗！她那质朴、简单而又完美的诗行，象晨星在人类的黎明闪烁，永远不会坠落。连莎士比亚、但丁也会羡慕她的统一；是质量与能量的相互制约与转换。她礼赞的是伟大的物质演化的进程；是生命的起源与奥妙。
她用符号作曲！她那昂扬、和谐的旋律，象瀑布在历史的颠峰倾泻，永远不会衰竭。连贝多芬、巴哈也不能与她的强度和力度抗衡！
她叹息的是大地的脉动、雷电的交响！是潮汐的涨落、台风的凯旋。她传达的是来自遥远太空的信息――创造的回声；是光线与电磁波的不可超越的速度。
她用线条绘画！她那细腻、准确的色彩，象虹霓在宇宙的画布上展现。连提香和拉菲尔也无法想象这样的绚烂和丰富！她描绘的是无限膨胀的动力学的宇宙模型；是恒星与行星的轨道。她勾勒的是基本粒子的踪迹；是细胞核染色体的组合与排列（爱因斯坦）。
(12)在数学中，最微小的误差也不能忽略（牛顿）。
(13)数学是科学的大门和钥匙（培根）。&&&&&&&&&&&
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(14)读史使人明智，读诗使人灵秀，数学使人周密，科学使人深刻，伦理学使人庄重，逻辑修辞之学使人善辩，凡有所学，皆成性格（培根）。
(15)加里宁曾经说过：数学是锻炼思想的体操。体操能使你身体健康，动作敏捷；数学能使你的思想正确敏捷。有了正确的思想，你们才有可能爬上科学的大山（华罗庚）。&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
(16)宇宙之大，核子之微，火箭之速，日用之繁，无处不用数学（华罗庚）。
(17)在中等教育中，数学的训练是极为重要的一个环节。可以说，学好数学是掌握打开科学宝库的钥匙之一（华罗庚）。
(18)当今科学发展的一个重要趋势就是各门学科的“数学化”。例如过去认为与数学关系不大的生物学，现在已开始用数学作为工具来研究了。因此，数学的基础理论一方面在实践的基础上不断发展和深化，同时又对其他自然科学的发展起着重大的推动作用（苏步青）。
(19)世界上的万事万物都是由物质和量互相联系着的。要做到“胸中有数”，掌握事物的数量规律，就必须依靠数学这个有力的工具（苏步青）。
(20)现代科学技术不管哪一部门都离不开数学，离不开数学科学的一门或几门学科（钱学森）。
(21)代数与几何分道扬镳的时候，它们的进展就缓慢，应用也有限。但是，这两门学科一旦联袂而行，它们就互相从对方吸收新鲜的活力，从而大踏步走向各自的完美（拉格朗日）。
(22)数学发明的动力，不是推理而是思想（Ａ.狄摩根）。
(23)没有诗人气质的数学家，决不是一个完美的数学家（外尔斯特拉斯）。
(24)数学的统一性及简单性都是极为重要的。因为数学的目的，就是用简单而基本的词汇去尽可能地解释世界。归根结底，数学仍然是人类的活动，而不是计算机的程序（M.F.Atiyah）。
1.4 数学在社会中的作用
数学是一个美妙的研究领域，并且是独一无二的学科：它既是一种严格的训练，又是人类知识的少数几个“入口”之一。
数学的发展与社会的进步有着密切的联系。数学从它萌芽之日起，就表现出解决因人类实际需要而提出的各种问题的功效。数学在现代社会生活中的应用是大量的，经常的和十分重要的。最突出的是反映在它与能从根本上改变人类物质生活方式的产业革命的关系上。人类历史上已发生三次重大的产业革命。这三次产业革命的主体技术都与数学的新理论，新方法的应用相关联。数学支持着大多数当前的科学和技术活动。数学的全部新领域正是在对实验科学（生物学、化学、地球物理、医学科学），对政府（国防、安全、教育、环境监测）以及对商业（工业、技术、制造业、服务业、金融业）的各种问题的应答中发展的。现在，所有这些领域都需要对大量只有松散结构的资料进行分析和管理，而且都要用数学模型来模拟现象和进行预测。对于缺乏观察资料或涉及大量的不确定性的（诸如天文学、气候学以及公众政策分析等）诸领域建摸和模拟是必不可少的。表
2.3说明了数学对某些社会的当前的和潜在的贡献。
数学对某些社会的当前的和潜在的贡献
来自数学的贡献
核磁共振成象技术和计算机辅助成象
空中交通管理
应急用储备物质的管理
复杂网络的稳定性
机密和完整性
大气和海洋的建摸
敏捷制造、自动制造
设计和训练
人类基因组分析
合理的药物设计
Seiberg-Witten方程（弦论）
宇宙资料的解释
复合材料的设计系统
地震的分析和预测
Black-Scholes期权定价和Monte-Carlo模拟
信号处理、图形处理、数据采集
运筹学、最优化理论
逻辑、计算机科学、组合学
数论、密码学/组合学
小波、统计学、数值分析
过程质量控制中的几何学、可视化、机器人、控制论
模拟、建摸、奇点理论
数据采集、模式识别、算法
数据采集、组合学、统计学
数据采集、建摸、奇点理论
控制论、计算、偏微分方程
程控论中的统计学、动力学/湍流、建摸
科学技术是第一生产力。科学技术的发展离不开数学已是不争的事实。因此世界各国对数学学科的建设和发展都非常重视。数学学科的成就往往作为衡量一个学校。乃至一个国家科技水平与实力的重要指标。迄今为止，国家自然科学一等奖有相当比例为数学家所获得。例如：华罗庚、吴文俊、陈景润、冯康、廖山涛等。2001年，著名数学家吴文俊院士又荣获首届国家最高科学技术奖。2002年，毕业于北大数学系的王选院士荣获第二届国家最高科学技术奖。这些都充分体现了国家对数学事业的重视和支持。也充分说明了数学在科学技术革命中的重要性。2002年8月，第24届国际数学家大会在北京召开。这是首次在发展中国家举办这一盛会。这一切都表明中国数学的发展到了赶超世界先进水平的关键时刻。
数学家小档案2.4&
华罗庚()，江苏金坛人，初中毕业后，他父亲送他到上海中华职业学校学习，未读完即被召回。1930年，他在家乡写出的论文《苏家驹之代数的五次方程式解法不可能成立之理由》在《科学》杂志发表，引起千里之外的清华大学算学系主任熊庆来的注意，1931年被调到清华大学任助理员。1936年，经维纳教授推荐，在当时解析数论研究的世界中心剑桥大学作访问学者。在哈代教授名下从事数论研究。两年内，发表论文十余篇。在华林问题、塔利问题等方面取得重要结果。1936年回到西南联大，被破格提升为教授。现在，华罗庚在国内可谓家喻户晓。在众多大、中、小学校园中，可以在教室见到他的像。邮局发行纪念他的邮票，有多本描写他平生的电视剧在中央电视台及各地电视台播放过。在中华世纪坛上有他的名字，有众多以他命名的学校、丛书及公园。在不少地方有他的铜像。例如：中国科学院数学与系统科学院、中国科学技术大学、清华大学以及他的家乡江苏金坛等。国内科学家能享有这样盛誉的为数不多。我们为什么要纪念他？因为他是中国现代数学的奠基人。“很难想象，如果他不曾回国，中国数学会是怎么样？”（A.Selberg语）。因为他是国际上一流的数学家，对现代数学的发展，作出了很大的贡献，在国际上享有很高的声誉。因为他有崇高的品德，因为他走上了“不为个人而为人民服务”（毛泽东主席致华罗庚信中语）的道路，永远值得我们学习。
最近诺贝尔奖得者杨振宁教授说到：“从过去发展的历史可以看出来，中国最早得到世界绝对第一流研究成果的，也是在数学领域，华罗庚先生、陈景润先生就是证明”。在这方面说得更具体的有Fields获得者、数学大师丘成桐教授的如下的一段话：“中国近代数学能超越西方或与之并驾齐驱的主要有三个，当然我不是说其它工作不存在，主要是讲能够在数学历史上很出名的有三个：一个是陈省身教授在示性类（Characteristic
class）方面的工作；一个是华罗庚在多复变函数方面的工作；一个是冯康在有限元计算方面的工作。我为什么单讲在多复变函数方面的工作，这是我个人的偏见，华先生在数论方面贡献是大的，可是华先生在数论方面的工作不能左右全世界在数论方面的发展，他在这方面的工作基本上是从外面引进来的观点和方法。可是他在多复变函数方面的贡献比西方至少早了十年，海外的数学家都很尊重华先生在这方面的成就。所以，我们一定要找自己的方向，我想这是一个很重要的看法，我们要从数学的根本上找研究方向，我们近二十年来基本上跟外国的潮流。我们没有把基本的想法搞清楚，所以始终达不到当年陈先生、华先生或冯先生他们的工作。我想我们一定要找自己的方向，可是我们在很多方面还很缺乏，我们一定要在了解了其它方面的发展后才能发展自己的方向”。丘先生的这番话十分重要，不仅客观、公正地评价了华罗庚，还为中国现代数学研究指明了方向，“一定要找自己的方向”，而这正是我们应该很好地向华罗庚学习的地方。
介绍华罗庚的生平及学术成就最全面、最完满的传记是由王元教授写的书。如果读者想更多了解华罗庚，我们推荐读者读王元的这本书。
数学家小档案2.5&
吴文俊：上海人（1919－），1940年从上海交通大学毕业后任中学教员，直至抗战胜利。1946年被陈省身先生吸收到中央研究院数学所，在陈先生指导下，从事拓扑学研究，从此走上数学研究道路。1947年赴法留学，师从著名数学家C.埃里斯曼（C.Ehresmann）与H.嘉当（H.Cartan），继续拓扑学的研究。1949年获法国国家博士学位。1951年回到解放不久的祖国，在北京任教授。1952年到中科院数学所任研究员，1980年到中科院系统所工作至今。吴文俊现任中国科学院数学与系统科学研究院研究员、系统科学研究所名誉所长、中国科学院院士，第三世界科学院院士。曾任中国数学会理事长（），中国科学院数理学部主任（），全国政协委员、常委（）。
吴文俊对数学的主要领域－拓扑学作出了奠基性的贡献，70年代后期又开创了崭新的数学机械化领域。此外，吴文俊在中国数学史、代数几何学、对策论等领域也有独创性的成果，作出了杰出贡献。这些成果不仅对数学研究影响深远，还在许多高科技领域得到应用。
拓扑学是许多数学分支的重要基础，是现代数学的两个支柱之一。法国数学家迪厄多内说“吴示性类”与“吴示嵌类”的引入以及“吴公式”的建立，在拓扑学研究中，起到了承前启后的作用，极大地推进了拓扑学的发展，引发了大量的后续研究。许多著名数学家从吴的工作中受到启发或直接以吴的成果为研究起点之一，获得了一系列重大成果。数学界的最高奖是菲尔兹奖。吴的工作曾被五位菲尔兹奖得主引用，其中三位还在他们的获奖工作中应用了吴的成果。
吴在拓扑学方面的杰出贡献，使他于1956年获得首届国家自然科学一等奖。当年，一等奖共颁发三项，另外两位获奖人是华罗庚和钱学森教授。次年，38岁的吴文俊当选为中科院学部委员（后更名为院士）。1958年，国际数学家大会邀请吴做示嵌类方面的报告。这在数学界被认为是很高的荣誉。国际数学家大会每四年举办一次，被邀请报告工作都是各领域中最突出的成果。
数学机械化研究是由中国数学家开创的研究领域，已引起国外数学家的高度重视，开始吸引外国数学家向中国学习。吴方法传到国外后，一些著名学府和研究结构，如Oxford，INRIA，Cornell等，纷纷举办研讨会介绍和学习吴方法。国际自动推理杂志JAR与美国数学会的《现代数学》，破例全文转载吴的两篇论文。并特别说明：本刊物一般不转载已经发表过的论文，但由于该论文非常重要，为了使更多的人可以读到这些论文，特予转载。美国人工智能协会前主席等人主动写信给我国主管科技的领导人，称赞“吴关于平面几何定理自动证明的工作是一流的。他独自使中国在该领域进入国际领先地位”，并建议中国政府对这项工作给予支持。
数学家小档案2.6&
陈省生（1910－）：浙江嘉兴人，1926年入南开大学，1930年到清华大学攻读研究生，指导教师孙光远，1934年获硕士学位，是中国自己培养的第一位数学研究生。1934年赴德国汉堡大学，师从著名微分几何学家柏拉须开，不到两年就获得了博士学位，经柏拉须开推荐到巴黎在E.嘉当名下访问研究。1937年回国后任教于西南联大。1943年应美国O.维布伦、H.外尔之邀请到普林斯顿研究院工作两年，正是在此期间，他完成了将高斯－博内公式推广到高维曲面和紧致黎曼曲面的经典性工作，引起了国际微分几何学界的震惊。之后他又回到中国，中央研究院数学研究所的筹办工作实际由他负责。1949年再度赴美，先后在芝家哥大学和柏克莱加州大学任终身教授，1981年创柏克莱数学研究所。陈省生是现代微分几何的奠基人，由于他的特殊和突出贡献，1984年他荣获了沃尔夫奖，是迄今为止获此殊荣的唯一华人。1985年，他在南开大学创建了南开数学研究所，现定居在南开大学。
数学家小档案2.7&
费尔马（P.Fermat,）: 法国业余数学家。1631年他当选为Foulouse地方议会议员之后，仍一直坚持业余自学数学，从事数学研究工作。他思维敏捷，记忆力极强，所得数学结果，大部分写在书的空白之处，或和朋友通信时，报告一个梗概。从未附过证明。使其在数学史上闻名的，就是以其名命名的“费尔马大定理”（详见数学小典故2.13）。
数学家小档案2. 8& 黎曼（B.Riemann,
）：德国数学家，汉诺威人。高斯晚年门下高徒。
1851年，25岁的才华横溢的黎曼写出了博士论文《复变函数论的基础》，高斯给予了很高的评价，不仅取得了博士学位，还赢得了一流数学家的声誉。
1854年，黎曼又提出了把函数表示成三角函数的论文和《几何学的假设》的论文，这两篇论文都具有十分重要的意义，特别是后者，黎曼发展了罗巴切夫斯基和其它人所开辟的非欧几何体系，确立了后人称之为《黎曼几何》的理论。由于《黎曼几何》所讨论的空间可以是任意维的，所以他远远超过了前人。《黎曼几何》的重要性是：第一，它包含了欧氏几何学和欧氏空间内曲面的几何学。不仅如此，无论内容还是范围，都作了自然的推广。第二，它对张量分析中一些极为抽象的概念提供了几何现象和应用，同时，同这一学科一起，对于一般相对论给出了模型，对一般相对论的发展起着推动作用。第三，把电磁现象纳入一般相对论模式（即统一场论）的绝大部分工作中，都这样或那样用到黎曼几何。第四，黎曼几何是进入各种广义微积分的阶梯。
此外，黎曼还对数论（他开创了解析数论这一新的分支）、偏微分方程等作出了开创性的贡献。
日，不满四十岁的“德国光辉的数学家”黎曼，因长期患肺病而在意大利的马佐列湖畔去世。
第二节&&&&&&&
数学的发展简史
在人类历史的长河中，数学的发展经历了一条漫长的道路，出现过三次危机，迄今仍未完全消除。数学作为一门基础学科，其重要性毋庸质疑。因此，了解数学的发展历程（数学史）和规律，对于我们认识数学是完全必要的。
2.1数学史的分期
数学的发展经历了数学的萌芽时期、常量数学时期、变量（近代）数学时期、现代数学时期。
2.1.1 数学的萌芽时期（远古到公元前6世纪）
数学的萌芽时期大体从远古到公元前6世纪，根据目前考古学的成果，可以追朔到几十万年以前。这一时期可以分为两段，一是史前时期，从几十万年前到大约公元前5000年，二是从公元前5000年前到公元前6世纪。数学萌芽时期的特点，是人类长期的生产实践中，逐步形成了数的概念，并初步掌握了数的运算方法，积累了一些数学知识。由于土地丈量和天文观测的需要，几何知识初步兴起，但是这些知识是片段和零碎的，缺乏逻辑因素，基本上看不到命题的证明，这个时期对数学的发展还未形成演绎的科学。这一时期对数学的发展作出的贡献的主要是中国、埃及、巴比伦和印度。从很久以前的年代起，我们中华民族勤劳的祖先就已经懂得数和形的概念了。在漫长的萌芽时期中，数学迈出了十分重要的一步，形成了最初的数学概念，如自然数、分数，最简单的几何图形，如正方形、矩形、三角形、圆形等。一些简单的数学计算知识也开始产生了，如数的符号、记数方法、计算方法等等。中小学数学中关于算术和几何最简单的概念，就是在这个时期的日常生活实践基础上形成的。总之，这一时期是最初的数学知识积累时期，是数学发展过程中的渐变阶段。
2.1.2 常量数学时期（公元前6世纪到公元17世纪）
从公元前6世纪到公元17世纪初，是数学发展的第二个时期，通常称为常量数学或初等数学时期。这一时期也可以分成两段，一是初等数学的开始时代，二是初等数学的交流和发展时期。这个时期的特点是，人们将零星的数学知识进行了积累、归纳、系统化，采用逻辑演绎的方法形成了古典初等数学的体系。数学萌芽时期，人们认识的“数”和“形”，只是零星的数学知识，并未构成逻辑体系。到了公元前5世纪，埃及由于尼罗河长期泛滥，冲毁了土地区域，需要重新丈量，积累了丰富的几何知识，后来古埃及人把几何知识传到古希腊，由欧几里得（Euclid）把人们长期实践发现、积累的几何知识，按照演绎的方法写成了《几何原本》。同一时期，人们为了解决实践中的一些实际应用问题，如研究天文历法中的问题，促使算术、代数的发展，数学从原始自然数、分数发展扩充到正负数。成书于东汉时期的《九章算术》，就是人们长期实践中，用数学解决实际问题的经验总结。公元前3世纪至公元前2世纪撰写成的《几何原本》和《九章算术》标志着古典的初等数学体系的形成。《几何原本》全书共13卷。全书主要以空间形式为研究对象，以逻辑思维为主线，从5条公设、23个定义和5条公理推出了467条定理，从而建立了公理化演绎体系。《九章算术》则由246个数学问题、答案的术文组成。全书主要的研究对象是数量关系。该书以直觉思维为主线，按算法分为方田、粟米、衰分、少广、商广、均输、盈不足、方程、勾股等九章，构成了以题解为中心的机械化算法体系。
数学家小档案2.9& 欧几里得（Euclid,
公元前330-前275）：古希腊数学家，生于雅典。柏拉图的学生。欧几里得最著名的著作是《几何原本》，全书共13卷。第1－6卷为初等几何部分；第7&－9卷是关于数的理论；第10卷是关于不尽根的几何解法；第11－13卷为立体几何学。《几何原本》曾被翻译成全世界各种文字。它一直受到各个历史时期数学工作者和重视。长期以来，《几何原本》的几何学部分还是一本广为采用的几何学教科书。《几何原本》的主要特点是第一次用公理化演绎体系著书。
除《几何原本》外，欧几里德还著有《资料》、《图形分割》、《论数学的伪结论》、《光学之书》、《反射光学之书》等。
2.1.3 变量(近代)数学时期 （18-19世纪）
从17世纪到19世纪末，是数学发展的第三个时期，通常称为变量学时期。这个时期，数学的研究对象已由常量进入变量，由有限进入无限，由确定性进入非确定性，数学研究的基本方法也由传统的几何演绎方法转变为算术、代数的分析方法。17世纪是数学发展史上一具开创性的世纪，17世纪创立了一系列影响很大的新领域：解析几何、微积分、概率论、射影几何和数论等，每一个领域都使古希腊人的的成就相形见拙。这一世纪的数学还出现了代数化的趋势，代数比几何占有重要的位置，它进一步向符号代数转化，几何问题常常反过来用代数方法解决。随着数学新分支的创立，新的概念层出不穷，如无理数、虚数、导数、积分等等，它们都不是经验事实的直接反映，而是数学认识进一步抽象的结果。18世纪是数学蓬勃发展的时期：以微积分为基础发展出一门宽广的数学领域D数学分析（包括无穷数论、微分方程、微分几何、变分法等学科），它后来成为数学发展的一个主流。数学方法也发生了完全的转变，主要是欧拉、拉格朗日和拉普拉斯完成了从几何方法向解析方法的转变。这个世纪数学发展的动力，除了来自物质生产之外，一个直接的动力是来自物理学，特别是来自力学、天文学的需要。19世纪是数学发展史上一个伟大转折的世纪：它突出地表现在两个方面。一方面是近代数学的主体部分发展成熟了，经过一个多世纪数学家们的努力，它的三个组成部分取得了极为重要的成就：微积分发展成为数学分析，方程论发展成为高等代数，解析几何发展成为高等几何，这就为变量数学向近代数学转变准备了充分条件。另一方面，变量数学的基本思想和基本概念在这一时期中发生了根本的变化：在数学分析中傅立叶（J.
Fourier，）级数的产生和建立，使得函数概念有了重大突破；在代数学中伽罗瓦（E.
Galois，）群论的产生，使得代数运算的概念发生了重大突破；在几何学中，非欧几里得的P生在空间概念方面发生了重大突破。这三项突破促使变量数学迅速向近代数学转变。19世纪还有一个独特的贡献，就是数学基础的研究形成了三个理论：实数理论、集合论和数理逻辑，这三个理论的建立为现代数学准备了更为坚实的基础。
数学家小档案2.10&
伽罗瓦（E.Galois，）：法国数学家，生于巴黎附近一个小镇。1829年中学毕业后，上过一年师范学院。他从小对数学极感兴趣。上中学时，他看到五次方程代数解法所存在的问题，便抓住不放，决心攻克这个难关。1828年，17岁的伽罗瓦终于写出了关于五次方程的代数解法问题的论文。但是，由于权威的压制，一直未曾发表。
伽罗瓦发现了每个代数方程必有反映其特性的置换群存在，利用群的性质，解决了多年来未能解决的高次代数方程用根求解的可能性的判断问题，创立了“伽罗瓦理论”，并为群论的建立、发展和应用奠定了基础。现在，群论已成为研究数学许多分支以及结晶学、近代物理学等的重要工具。伽罗瓦是一位有才华的数学家，可惜早逝（终年不满21岁），而且他的著作长期无人重视。直到1846年，在他死后14年，才由法国数学家刘维尔把他的数学遗稿进行汇集，加以出版。其中最重要的一篇著作是：《论方程可以用开方法求解的条件》。1870年，也就是伽罗瓦死后38年，法国数学家约当，根据伽罗瓦的思想写了一本书，即《论置换与代数方程》，伽罗瓦的思想才得到进一步阐述。
2.1.4 现代数学时期（公元19世纪以后）
从19世纪末到现在的时期，是现代数学时期，其中主要是20世纪。这个时期是科学技术飞速发展的时期，不断出现震撼世界的重大创造与发展。在这个时期里数学发展的特点是，由研究现实世界的一般抽象形式和关系，进入到研究更抽象、更一般的形式和关系，数学各分支互相渗透融合。随着计算机的出现和日益普及，数学越来越显示出科学和技术的双重品质。20世纪初，涌现了大量新的应用数学科目，内容丰富，名目繁多，前所未有。数学渗透到几乎所有的科学领域里去，起到越来越大的作用。今天，在人类的一切智力活动中，没有受到数学（包括电子计算机）影响的领域已经廖廖无几了。从19世纪起，数学分支越来越多，到20世纪初，可以数出上百个不同的分支。另一方面，这些学科又彼此融合，互相促进，错综复杂地交织在一起，产生出许多边缘性和综合性学科。因此，数学发展的整体化趋势日益加强，同时纯数学也不断向纵深发展。
美例点滴2.2&
功不可没的0:0可以说是位值计数法的必然产物。否则人们便很难区分301和3001了。古印度最早使用0，而且最早承认0是一个数。我国古代曾经也用空格表示
0，后来用□示之，最后演变为O（1247年, 秦九韶的数书九章）。比印度晚了两个世纪。但在当时的世界上仍处于领先的地位，欧洲直到 13
世纪初，才由斐波拉契引进印度－阿拉伯数字，又过了两三百年才广泛流传开来。
有趣的是，汉字零公元前就已出现，比数位O早一千多年。其本意不含有空和无之意，而是指雨后的小雨滴。后来引伸为零头。
古罗马使用的是非位置计数法。有七个基本数字：I(1)、V(5)、
X(10)、L(50)、C(100)、D(500)、M(1000)。罗马教皇禁止使用从东方传入的0。
美例点滴2.3&
令人着迷的π：圆周率π是数学和其它自然科学中经常使用的一个重要常数。一位德国的数学家评论到：历史上一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以做为衡量这个国家当时数学发展水平的一个标志。公元前2000年左右，古巴比仑尼亚人最早定出π的比较精确的值为π=
3+1/8 = 3.125。
公元前500年左右，古希腊人定出π= 3.1416。
公元前200年间，阿基米德用圆外切与内接正多边形的周长逐步逼近圆的周长，求得
庞加莱猜想
任何单连通3维闭流行同胚于3维球
任何Hodge类关于一个非奇异复射影代数簇都是某些代数闭链类的有理线性组合
Birch及 Swinnerton-Dyer
对于建立在有理数域上的每一条椭圆曲线，它在1处的L函数变为零的阶等于该曲线上有利点的阿贝尔群的秩
Navier-Stokes方程组
在适当条件下，对3维Navier-Stokes方程组证明或反证其光滑解的存在性
Yang-Mills理论
证明量子Yang-Mills场存在并存在一个质量间隙
最后我们以外尔斯（Andrew
Wiles）在千禧年数学悬赏问题发布会上的讲话作为结束：
我们相信，作为20世纪未解决的重大数学问题，第二个千禧年的悬赏问题（黎曼猜想）令人瞩目。有些问题可以追溯到更早的时期。这些问题并不新。它们已为数学界所熟知。但我们希望，通过悬赏征求解答，使更多的听众深刻地认识问题，同时也把在做数学的艰辛中获得的兴奋和刺激带给更多的听众，我本人在十岁时，通过阅读一本数学的普及读物，第一次接触到费尔马问题。在这本书的封面上，印着WOLFSKEHL奖的历史，那是50年前为征求费尔马问题而设的一项奖金。我们希望现在的悬赏问题，将类似地激励新一代的数学家及非数学家。
然而，我要强调，数学的未来并不限于这些问题。事实上，在某些问题之外存在着整个崭新的数学世界，等待我们去发现、去开发。如果你愿意，可以想象一下在1600年的欧洲人。他们很清楚，跨过大西洋，那里是一片新大陆。但他们可能悬赏巨奖去帮助发现和开发美国吗？没有为发明飞机的悬赏，没有为发明计算机的悬赏，没有兴建芝加哥城的悬奖，没有为收获万顷小麦的收割机的发明悬赏奖金。这些东西现在已变成美国的一部分，但这些东西在1600年是完全不可想象的。或许他们可以悬赏去解决诸如经度的问题。确定经度的问题是一个经典问题，它的解决有助于新大陆的发展。
我们坚信，这些悬赏问题的解决，将类似打开一个我们不曾想象到的数学新世界。
关于本课程的考核与评分的若干说明
1. 完成一篇读书报告。选题最好从指定的题目中拟定，也可自己另定。
2. 读书报告的字数四千以上，用 Word 编辑并打印。
3. 交读书报告文本及软盘。
4. 思考题：
(1)数学中的轶闻趣事；
(2)中国近、现代数学落后的原因探析；
(3)数学中美的事例集粹；
(4)中国数学的世界之最汇集；
(5)大众趣味数学。
5. 参考文献与推荐阅读书目：
李文林《数学史教程》M 北京 高等教育出版社 2000
岳建尧《数学资料集锦》 M 北京 北京师范大学出版社 1985
曾睁《数学教育的现代发展与研究》 M 长沙 湖南师范大学出 2001
&&& [4] 龚升《纪念华罗庚》 J
高等数学研究 4(2000)
朱伯昆《易学漫步》 沈阳出版社 1997
李兴民,彭立中《伏羲八卦与八元数》、《周易研究》& 待发表
程民德主编《中国现代数学家传（第一卷）》 江苏教育出版社 南京1994
&&& [8] 李文林编《数学珍宝》
科学出版社北京 1998 (第一版)
[9] 曾少潜等著《世界著名科学家简介》科技文献出版社北京
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[13] P.A.Griffiths《千年之交话数学》数学译林
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[15] J.Ewing《数学：一百年前，一百年后》数学译林，-79
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V.Tikhomirov《20世纪前半叶的数学》 数学译林 2001（4） 292-302
V.Tikhomirov《20世纪后半叶的数学》 数学译林 2002（2） 145-157
6.推荐网页
7. 评分以读书报告的内容、形式等为主，考勤为辅。分优、良、中、合格、不合格五个等级。