图书名称：《信息安全数学基础第2版》【作者】张金全编著【页数】149【出版社】西安电子科技大学出版社有限公司,2021.12【ISBN号】978-7-5606-6050-9【价格】23.00【分类】信息安全-应用数学-高等学校-教材【参考文献】张金全编著.信息安全数学基础第2版.西安电子科技大学出版社有限公司,2021.12.图书封面：图书目录：《信息安全数学基础第2版》内容提要：《信息安全数学基础》系统地介绍了信息安全专业所需的数论和抽象代数的基础知识，给出了一些相关的应用实例。在书中，自然有着针对基本训练而设计的习题，更有相当数量的习题是正文的补充和延伸，它们的价值不言而喻……《信息安全数学基础第2版》内容试读第1章整数的可除性。1。第1章整数的可除性在中学我们已经学习过整除的部分知识，这里是对该部分知识的复习、加深和扩展，其中素数、最大公因数、带余除法和算术基本定理等知识在密码学中有广泛应用.1.1整除本节介绍整除以及素数的定义和基本性质.这些知识是初等数论的基础。1.整除【定义1.1.1】设a,∈Z(整数集合)，≠0，如果存在g∈Z,使得a=g,则称整除a或a可被整除，记作a,并称a是的倍数，是a的因数（或约数、因子）；否则，称不能整除a或a不能被整除，记作{a.说明：①根据整除的定义，对于a,∈Z,≠0，只有|a和{a两种可能.②可以把a读作整除a,{a读作不整除a.③a十c这种表达式，亦即|(a十c),表示整除后面表达式运算的结果④|a+c=d这种表达式，亦即a十c=d,|(a十c),|d.⑤对于a,∈Z,a≠0，≠0，若|a,则|a1≥
.对于整除，应注意下述特殊情况：①0是任何非零整数的倍数.也就是说，对于任何∈Z,≠0，有|0.②士1是任何整数的因数.也就是说，对于任何a∈Z,有1|a,一1|a.③任何非零整数是其自身的倍数，也是其自身的因数.也就是说，对于任何∈Z,≠0，有.下面列出整除的一些基本性质.有的性质比较直观，因此没有给出证明①设∈Z,≠0，则|.·2信息安全数学基础（第二版）》性质①称为自反性.平时用到的等号(=)也具有自反性，如x=x②设a,,c∈Z,若c|且|a,则c|a.证明因为c|且a,故存在q1和q2,使得=cq1且a=q2,从而有a=cq1q2,故ca.【例1.1.1】因为3|6,6|12，所以3|12.性质②称为传递性，即整除的性质可以传递.等号(=)、直线平行、三角形相似均具有传递性，③设a,∈Z,若|a,则-a,-|-a.④设a,,c∈Z,若c|且c|a,则c|a士证明已知c|且ca,则存在整数和m,使得=c且a=mc,从而有a士=mc士c=(m士)c又因为m士为整数，故c|a土⑤设a,∈Z,为素数，若a,则|a或|.⑥设a,,c∈Z,若c|且ca,则对任意整数、t,有c|a士t.证明已知c|且c|a,则存在整数和m,使得=c且a=mc.于是从a士t=mc士tc=(m士t)c即可看出c|a士t.性质⑥在后面被多次使用.该性质也可描述为：设a,,c∈Z,若c|且c|a,则c整除a和的线性组合.【例1.1.2】已知7|21,7|98，则对任意整数、t,有721十98t.2.素数在密码学中，素数是用得非常广泛的概念，例如公钥密码算法、数字签名算法以及一些密码协议中都有使用.在对称密码算法高级加密标准(AdvacedEcrytioStadard,AES)中使用的不可约多项式，也可以看作是素数在一元多项式环上的推广【定义1.1.2】设是大于1的整数，如果除了因子1和它本身外没有其他的因子，则称为素数（或质数，取自英文单词rime的首字母）.若m是大于1的整数，且m不是素数，则称m为合数.第1章整数的可除性·3·素数具有以下一些基本性质：①1既不是素数也不是合数.②若为素数，为正整数，当2≤≤√且十时，是素数.性质②可用来较快地判断一个小的整数是否是素数.【例1.1.3】判断37是不是素数.解为37，因为6≤√37，小于等于6的素数力有2、3、5，用去除37,发现2137,3137,537，故37为素数修【例1.1.4】判断137是不是素数.机票正西县解=137,因为11≤√137，小于等于11的素数有2、3、5、7、11，用去除137，发现2137,3137,5137,7137,11137，故137为素数.③素数有无穷多.证明用反证法.假设只有有限个素数，它们是q1,…,qk.人考虑m=q1…q十1，因为素数个数有限且为q1,…,q。,所以m必是合数，从而知必存在素数q:,使得q:|m.由于m=q1…q。十1，故整除是不可能的，矛盾.因此，假设是错误的，即素数必有无穷多个.【定理1.1.1】（素数个数定理）令π(x)表示不超过x(xgt0)的素数的个数，则随着x的增大，π(x)和x/1x的比值趋于l,即limπ(x)=1x/Iz其中，lx是x的自然对数.通过表1.1.1所示的对素数个数的统计，读者可以对素数的数量有个直观的了解.表1.1.1素数数量统计表xπ(x)x/lx整数部分π(x)/(x/1x)10001681451.16100000959286861.10100000006645796202411.07100000000050847478482549421.05素数的性质当然不止这些，比如孪生素数猜想、哥德巴赫猜想、黎曼猜想。4。信息安全数学基础（第二版）等，感兴趣的读者可参阅相关书籍，这里只介绍了一些很基本的性质，【人物传记】克里斯汀·哥德巴赫(ChritiaGoldach,1690一1764)生于普鲁士哥尼斯堡（这个城市因七桥问题而在数学界很有名）.1725年成为圣彼得堡皇家学院的数学教授.1728年到莫斯科成为沙皇彼得二世的老师.1742年任职于俄国外交部.除了“每个大于2的偶数都能写为两个素数的和以及每个大于5的奇数能写为3个素数的和”的猜想外，在数学分析方面也做出了令人瞩目的贡献」【人物传记】中国数学家陈景润(1933一1996)取得了关于孪生素数和哥德巴赫猜想的重要结果.l966年发表Otherereetatioofalargeeveitegeratheumofarimeadtheroductofatmottworime(《大偶数表为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》，简称“1十2”)，成为哥德巴赫猜想研究上的里程碑.他所发表的成果也被称为陈氏定理，【人物传记】美籍华裔数学家张益唐(1955一)于1978年进入北京大学数学科学学院攻读本科，1982年读硕士，师从潘承彪，1985年入读普渡大学，导师为莫宗坚.2013年由于在研究孪生素数猜想上取得了重大突破，于第六届世界华人数学家大会中荣获晨兴数学卓越成就奖，后来他还获得了Otrowki奖和RolfSchock奖.2014年，美国数学学会更将崇高的柯尔数论奖授予张益唐.同年7月4日，张益唐当选为中央研究院第30届数理科学组院士，同年9月，张益唐获得了该年度的麦克阿瑟奖（俗称“天才”奖）.1.2最大公因数最大公因数是中学里面的知识.在密码学中用得较多的是互素，这是最大公因数为1的情形.在本门课程中，常用来求两个数的最大公因数的方法是欧几里德算法，也称辗转相除法，1.2.1带余除法带余除法是关于整除性的一个重要结论：【定理1.2.1】（带余除法）设a、是两个给定的整数，gt0,则一定存在唯一的一对整数q与r,满足a=q十r,0≤r证明先证存在性，考虑一个整数序列第1章整数的可除性…,-3,-2,一,0,,2,3,…它们将实数轴分成长度为的区间，而α必定落在其中的一个区间中，因此存在一个整数q使得q≤alt(g+1).令r=a一q,则有a=g十r,0≤r再证唯一性.如果分别有q与r和q1与r1满足a=q十r,0≤ra=q1十r1,0≤r1两式相减有(q一q1)=一(r一r1),故r一r1.由于0≤r【定义1.2.1】在a=q十r,0≤r【推论】|a的充要条件是a被除所得的余数r=0.【定理1.2.2】设a、是两个给定的整数，≠0，则对任意整数c,一定存在唯一的一对整数q与r,满足a=q+r,c≤rlt
十c这是带余除法的一般形式.该定理的证明和定理1.2.1的相似.定理1.2.1就是定理1.2.2指定gt0,c=0时的一种特殊情形【例1.2.1】设a=100,=30,由定理1.2.2知：若c=10,则10≤rlt40,即100=3×30+10；若c=35,则35≤rlt65,即100=2×30+40；若c=-50,则-50≤rlt-20,即100=5×30+(-50).可以看出，无论如何指定c的值，r和被除数在除以除数时，余数相同.比如100=2×30十40这个式子中，100和40除以30后的余数是相同的，1.2.2最大公因数【定义1.2.2】设a和是两个整数，若整数d是它们中每一个数的因数，则d称为a和的公因数（或公约数）.a和的公因数中最大的一个称为最大公因数，记为(a,).也有的书中将其记作gcd(a,),即greatetcommodivior三个英文单词的首字母.若(a,)=1,则称a和互素或互质，。6信息安全数学基础（第二版）进一步地，若整数a1,a2,…,a不全为零，那么a1,a2,…,a的公因数中最大的一个称为最大公因数，记作(a1,a2,,a.当(a1,a2,…,a)=1时，称a1,a2,…,am互素或互质.注意，这与a1,a2,…,a两两互素不同，a1,a2,…,am两两互素要求(a:,a,)=l,i≠j【例1.2.2】求最大公因数(168,90).解这里采用短除法求解.我们知道，一个整数要么是素数，要么有不超过√的素因数.要求a和的最大公因数，可以依次用2,3,5，…去试除a和,若都能整除，则找到公因数1,然后依次用2,3,5，…去试除a/1和/1·重复这个过程，就可以找到a和的所有公因数.所有公因数的乘积即为a和的最大公因数.因为216890384452815故168和90的最大公因数为(168,90)=2×3=6.下面列出最大公因数的一些基本性质.在掌握短除法的基础上，这些性质直观易懂，故证明从略①设a、为正整数，则(a,)=(,a).②设a、为正整数，若a,则(a,)=.③设a1,a2,…,am是个不全为零的整数，则(i)a1,a2,…,am与a1,a2,…,am|的公因数相同；(i)(a1,a2,…,a)=(a1,a2l,…,a|).④设a、为正整数，则(a,)=(a,-)=(-a,)=(-a,-)⑤设为整数，≠0，则(0，)=|1因为0是任何非0整数的倍数，从而
0,所以(0，)=1.⑥设mgt0,则m(a1,a2)=(ma1,ma2).从前面给出的短除法的求解过程，可以直观地理解该性质，⑦设a1,a2,…,am为整数，且a1≠0，令(a1,a2)=d2,(d2,a3)=d3,…,(dm-1,am)=d,则(a1,a2,…,a)=dm···试读结束···...
2023-02-08
epub百度百科
epub 书