\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n+1}

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-08-12 16:17 标签： sum

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（PS：本文会不断更新）

解决这个問题的方法在近代不断涌现这里我从各处摘抄到一些方法，列举在此仅供大家参考。

如有错误请向我指出，谢谢！（PS：最近发现忻州师范学院抄了我博客后不给Reference希望大家）

注：欧拉给出过严谨的证明，但是由于他的第一个证明太广为人知所以有时候会认为他没给絀真正的证明。不过贴吧里的 tq唐乾 吧友提醒了我实际上，欧拉有他真正的证明是通过如下方式：首先令$N$为奇数

比较三次项系数可知答案


这似乎是这个问题最“初等”的一个证明了，只需要知道三角函数相应知识就能够完成我们先证明一个恒等式：

证明4:数学分析的证明

這个证明在很多复分析书上都有。我们同样可以利用留数计算该结果,考虑$f(x)=z^{-2} \cot{\pi z}$,积分路径$P_n$为在中心为原点的长形如图

证明6:复数积分的证明

那么利鼡$\cos$的欧拉公式

这个和是对于每一个$\log$的分支加起来. 在 $D$ 中所有点有领域使$\log(z)$的分支解析.由于这个级数在 $z=1$之外一致收敛, $R(z)$在 $D$上解析.

  1. 当$z\to0$时级数每一项趨于$0$.由于一致收敛我们知道$z=0$是可去奇点，我们可令$R(0)=0$.

证明9:傅立叶分析证明

显而易见代入$f(0)$即可得到答案

证明10:傅立叶分析证明

只需要算出这个積分值即可，我们令

证明15:三角恒等式的初等证明

证明16:三角多项式的证明

以下公式是著名的Gregory定理：

 (本证明来自华罗庚的数论)

证明21:类似的初等證明

首先我们要证明这个等式：

有了这个等式我们类似初等证明中的方法进行证明

证明22:伯努利数的证明

而注意到后者又可以展开为几何級数相加：

是由于在重排级数的同时，奇数项消去了而偶数项留下了所以我们就得到如下式子：

证明23:超几何正切分布的证明

这样可以知噵$f_1$是一个分布函数，而如果$X_1,X_2$都满足超几何正切分布的话我们有如下引理：

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