币圈就是娱乐圈，也是一个江湖，江湖就会有故事。林子大了什么鸟都有，币圈作为一个小小的生态圈，曾经在2013年底与2014年上半年火到极点。引发好几万名币民为之抛头颅洒热血，风风火火不可一世。一个江湖就必然几个众所周知的大佬。
第一个就是要说说李笑来老师，无论币圈怎么变，不变的是李老师的地位和影响力始终是币圈第一人。李老师是一名优秀的创业者和教育家。他成功创立了云币。如果没有云币在去年年初的推广，ETH的牛市可能不会持续到现在。如果没有李老师孜孜不倦在各种场合和APP上的布道，比特币也不会重新回到人们的视野里，牛市就更加无从谈起。从这一点上来说，笑来老师是一个好人，一个精明的商人，从当年东北的小镇青年，到如今区块链的资本大鳄；从当年为了照顾母亲勤工俭学的落魄少年，到如今作用千亿资产的比特币首富；我觉得无论有哪些黑历史，仅从这一点，就值得我们去尊敬。
沈波可能圈里的新韭菜不太熟悉，还很陌生但是对于圈里人，他是一个你必须知道的名字。如果说ETH的技术是V神扛大旗，那么在中国区推广这个领域里，ETH的成功要归功于万向集团，这个币圈背后的江东大鳄。沈波作为分布式资本的创始人，一直保持着低调，但是却时时刻刻的影响着币圈的一切。万向集团作为正规化的资本公司，却很少牵扯到币圈的是非恩怨当中，始终保持着克制和隐忍。但是却又无处不在，用自己的方式去参与行业的建设。
随着比特币、区块链的火爆雄起，一批新时代的弄潮儿，顺势崛起。吴忌寒，便是其中翘楚。这位面相似乎稚气未脱的80后企业家，在币圈一言九鼎，作风奔放老辣，堪称是中国币圈最有权势的人，他在国外论坛上，其中文名字拼音“Jihan”，被戏称为“JIHAD”，意思是恐怖分子。吴忌寒从北京大学毕业，拥有经济学和心理学双学位，他视巴菲特为人生偶像，毕业后吴忌寒成了一家风投公司的分析师和投资经理。2011年一次偶然机会，他接触了比特币，然后花了三天时间研究了技术要点，随后决定投资比特币。2013年初，吴忌寒决定创办比特大陆，他找到了技术合伙人詹克团共同研发蚂蚁矿机，并在2015年年初，推出第五代蚂蚁矿机，奠定了比特大陆在挖矿市场上的霸主地位。据猜测，比特大陆每月净利润为三千万美元，上半年净收益超过10亿人民币。吴忌寒因此多了一个头衔，被称为“中国比特币首富”。习大大说过一句话，新时代是属于奋斗者的，区块链时代的来临是必然的，但是后面还会有其他的XX时代。能不能抓的住，全看我们自己是否有眼光，并为之坚持下去。如果你有兴趣，可以加入我9cion平台，作为一名奋斗者，我们一起奋斗，一起致富！
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综上所述，在这“守寡容易守币难”的币圈擦亮眼睛，我们都想做这时代的英雄，可是被时代记住的人又能有几个。我们能做的也仅仅是，不忘初心，坚持到底。
没有更多推荐了，&p&干湿分离有6种设计方式（暂时想到这么多），以粗暴的图片演示给大家看，具体实行由&b&厕所面积+实际情况+习惯喜好&/b&来决定。&/p&&p&&b&1/ 独立淋浴房&/b&（最常见）&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-06f9d32b5add8d7daa4ce92d0b8dc07b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&900& data-rawheight=&750& data-default-watermark-src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-04d6dc602dcf04adbf85a_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-06f9d32b5add8d7daa4ce92d0b8dc07b_r.jpg&&&/figure&&p&转角淋浴房，对于大多数家庭来说都再常见不过，非常适宜目前商品房住宅的卫生间情况。放几张实景参考图：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-f39a10cced0fe_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&658& data-rawheight=&852& data-default-watermark-src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-25c1a50a1fadfc_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&658& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-f39a10cced0fe_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-9f8f521a4f1dd544e83d9e8a0c48d146_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1028& data-default-watermark-src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-ba41cf7af5a0f07f8b651_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-9f8f521a4f1dd544e83d9e8a0c48d146_r.jpg&&&/figure&&p&而独立淋浴房的设置不止这一种：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-fe442fe0cd0ade992a71d7_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1200& data-rawheight=&825& data-default-watermark-src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-70ced7dd91f_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-fe442fe0cd0ade992a71d7_r.jpg&&&figcaption&使用墙体隔断&/figcaption&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-9e69ed1becae1015bf62e_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1200& data-rawheight=&845& data-default-watermark-src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-cc118a342d7becb8fab8d185_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-9e69ed1becae1015bf62e_r.jpg&&&figcaption&三分之一空间的独立淋浴，尽情享受洗澡的舒爽&/figcaption&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-e2b14c15c8a0ee26cc08d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1200& data-rawheight=&1079& data-default-watermark-src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-cd71cf95e30b_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-e2b14c15c8a0ee26cc08d_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-6b636bf15e569fb9abd7c23d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1200& data-rawheight=&1500& data-default-watermark-src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-d617bdaa454b24e810a403_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-6b636bf15e569fb9abd7c23d_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-7d43df007aca1_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1200& data-rawheight=&1800& data-default-watermark-src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-92d7cec6444dc8acba15ef1a007f5c27_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-7d43df007aca1_r.jpg&&&/figure&&p&就要这个了，安排一下↓&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-65f6eabb8e845c0fe7ff_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1200& data-rawheight=&800& data-default-watermark-src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-d35aae0b57ef96df236f45_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-65f6eabb8e845c0fe7ff_r.jpg&&&/figure&&p&&b&2/ 三分离式&/b&&/p&&p&①依附转角设置，使空间最大化利用&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-6d6c1f6d53ec99cc2c7e2_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&900& data-rawheight=&752& data-default-watermark-src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-fc49580dffc45365adc54ba_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-6d6c1f6d53ec99cc2c7e2_r.jpg&&&/figure&&p&小面积里的强隐蔽性设置&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-027d50ea8da34b36811dd5_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&564& data-rawheight=&789& data-default-watermark-src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-4cdbe9b51f1_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&564& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-027d50ea8da34b36811dd5_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-ea8fc45b6b91d35a773609a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&564& data-rawheight=&564& data-default-watermark-src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-a828c694fa58fc2859fe7_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&564& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-ea8fc45b6b91d35a773609a_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-1d1afb61630eaeabad7a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&398& data-default-watermark-src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-996afbc8b1aeafb8fd85b9_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-1d1afb61630eaeabad7a_r.jpg&&&/figure&&p&② 洗面台独立于浴室之外，洗浴间与马桶间通过隔断后并排设计。&/p&&p&隔断材料也有多种选择，玻璃、水泥、瓷砖墙。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-035fd591c761bbf6023efcf86e290134_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&509& data-default-watermark-src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-e1aebd8336aafae_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-035fd591c761bbf6023efcf86e290134_r.jpg&&&/figure&&p&这种洗脸、洗浴、如厕实现完全分离的方式，完全可以应对忙乱的晨间洗漱。&/p&&p&&b&3/ 洗手台单独设置在外&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-ffabdf1eb7b7da_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&900& data-rawheight=&753& data-default-watermark-src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-468c34f7cac79b670b9f4c9b4fa05c8a_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-ffabdf1eb7b7da_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-dd2f783e5888_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&690& data-rawheight=&1024& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&690& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-dd2f783e5888_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-f46c3a9db7_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&683& data-rawheight=&1024& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&683& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-f46c3a9db7_r.jpg&&&/figure&&p&↑考虑到便利+储物，这是比较极致的干湿分离方式，像图中所示，榨干最后一平米的储物柜设置，实际也很方便。淋浴区用的是挡水条+浴帘，成本低，美观。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-adb3958cfe6f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&781& data-rawheight=&956& data-default-watermark-src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-abeb56f4b31c503ceadb516b_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&781& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-adb3958cfe6f_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&b&4/ 浴室单独设置在外&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-5a54eeabb2c0ffa97dfa4_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&900& data-rawheight=&754& data-default-watermark-src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-aa26e0bf850bae34c7a56_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-5a54eeabb2c0ffa97dfa4_r.jpg&&&/figure&&p&实景图不好找，眼已花，后面找到来补上&/p&&p&&b&5/ 四分离卫浴&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-acbeaee040dffe7e8eb761_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&900& data-rawheight=&758& data-default-watermark-src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-18ed819fbc987f6f34e7_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-acbeaee040dffe7e8eb761_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&b&6/
1.5卫浴&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-c8dec5a5daeeb_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&900& data-rawheight=&757& data-default-watermark-src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-28e2cdcc1cd9c_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&900& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-c8dec5a5daeeb_r.jpg&&&/figure&&hr&&p&除了以上6种，比较经济的干湿分离方式——【挡水条+浴帘】&/p&&p&和玻璃隔断死角多清理麻烦相比，浴帘发霉脏了随时可以换不心疼。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-bdc422eb8eea55bb548c58_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&853& data-default-watermark-src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-0cab59e6bc4af102c6c000e1_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-bdc422eb8eea55bb548c58_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-a3fd31db2b8b63a528dc242dd354ac55_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1080& data-default-watermark-src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-5d6ffefed84f134e4efe67_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-a3fd31db2b8b63a528dc242dd354ac55_r.jpg&&&/figure&&p&颜值高的浴帘某宝一抓一大把，随手截几张&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-3d8fdab5bb036d2ac3e09_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&750& data-rawheight=&750& data-default-watermark-src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-2de6fc6ae1cdf58_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&750& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-3d8fdab5bb036d2ac3e09_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-ad8edf1f3c8_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&790& data-rawheight=&768& data-default-watermark-src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-d0a2dd8e7a_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&790& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-ad8edf1f3c8_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-c0dfa4d2fad6ebd3c41a29be_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&750& data-rawheight=&937& data-default-watermark-src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-45188cacf3e74bb69dab9_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&750& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-c0dfa4d2fad6ebd3c41a29be_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-400a3f41bb8c87f0948e6_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&750& data-rawheight=&563& data-default-watermark-src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-bdb9679842dde2804648_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&750& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-400a3f41bb8c87f0948e6_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&关于如何增加卫生间储物：&/p&&p&（除了常规的浴室柜和镜柜的储物之外）&/p&&p&&b&1/ &/b&&/p&&p&在台盆下部空间增加毛巾杆，木隔板&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-c673ca7cf9a7bc082ee4cdef2230aa7a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1200& data-rawheight=&1600& data-default-watermark-src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-768baaece8ec_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-c673ca7cf9a7bc082ee4cdef2230aa7a_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-e2b14c15c8a0ee26cc08d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1200& data-rawheight=&1079& data-default-watermark-src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-cd71cf95e30b_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-e2b14c15c8a0ee26cc08d_r.jpg&&&/figure&&p&&b&2/&/b&&/p&&p&从墙面“偷空间”——设置壁龛&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-44aed83c27eb3ea309e4123_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&630& data-rawheight=&707& data-default-watermark-src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-ab0ed6cfe3f2b_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&630& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-44aed83c27eb3ea309e4123_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-6b9bcbe9bbade30f364125_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1200& data-rawheight=&1200& data-default-watermark-src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-8fcca9f3ecd_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-6b9bcbe9bbade30f364125_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-5d33330aaa0f178c31e253_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1200& data-rawheight=&900& data-default-watermark-src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-1d960a009da8adf9004860_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-5d33330aaa0f178c31e253_r.jpg&&&/figure&&p&&b&3/&/b&&/p&&p&马桶上方做置物架&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-f449fad04acecf55d9729_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1200& data-rawheight=&757& data-default-watermark-src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-f9c951d9a7fc0fb3168aed_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-f449fad04acecf55d9729_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-6b636bf15e569fb9abd7c23d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1200& data-rawheight=&1500& data-default-watermark-src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-d617bdaa454b24e810a403_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-6b636bf15e569fb9abd7c23d_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&暂时考虑这么多，欢迎交流以上。&/p&&p&以最近莫名喜爱的卫生间实景收尾…&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-35dc509529fcc0cfb9829565ecafab19_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1200& data-rawheight=&1412& data-default-watermark-src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-8a9ea9243ddf08ac251f8_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-35dc509529fcc0cfb9829565ecafab19_r.jpg&&&figcaption&（所有用图如用侵权，请私信，立删）&/figcaption&&/figure&&p&&/p&
干湿分离有6种设计方式（暂时想到这么多），以粗暴的图片演示给大家看，具体实行由厕所面积+实际情况+习惯喜好来决定。1/ 独立淋浴房（最常见）转角淋浴房，对于大多数家庭来说都再常见不过，非常适宜目前商品房住宅的卫生间情况。放几张实景参考图：而独立…
&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-a424bf6eb8ea8aa10b7d_b.jpg& data-rawwidth=&659& data-rawheight=&409& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&659& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-a424bf6eb8ea8aa10b7d_r.jpg&&&/figure&&h2&&b&1 引言&/b&&/h2&&p&今天我们来聊聊大名鼎鼎的&b&凯利公式&/b&（英文叫 &b&Kelly Formula&/b& 或 &b&Kelly Criterion&/b&，所以中文也译作凯利准则）。&/p&&p&凯利公式由 John R. Kelly, Jr. 于1956年提出（Kelly 1956）。&b&它指出在一个期望收益为正的重复性赌局或者重复性投资中，每一期应该下注的最优比例。&/b&凯利公式在“拉斯维加斯”和“华尔街”久负盛名。很多数学天才将它在赌场和投资中发扬光大，取得了非凡的成就。这其中最著名的大概就是 Dr. Edward Thorp，他开辟了战胜 Blackjack（21 点）的策略，并使用凯利公式计算出来的比例进行下注（Thorp 1962）；玩转赌场后，Thorp 博士将它在统计学和概率论上的天赋用在投资中，他创建的 PNP 对冲基金曾在近 30 年内取得了年化 20% 以上的收益率（Thorp 2017）。此外，学术界也对凯利公式的各种数学性质以及实践应用进行了大量的研究，这些成果汇总于 MacLean 等人编辑的论文集 MacLean et al. Eds (2010) 中。&/p&&p&凯利公式的计算非常简单，但它背后所传达的数学含义至关重要。本文从一个扔硬币游戏出发介绍凯利公式以及它的性质，之后会揭示凯利公式背后的实质。最后文章介绍如何把凯利公式推广到量化投资中确定投资的最优杠杆比例。&/p&&p&鉴于凯利公式的知名度，网上介绍它的文章自不在少数。本文是我和另一位合伙人高老板思想碰撞的产物，虽不求另辟蹊径，但也希望能给小伙伴们理解凯利公式提供一些新的思路。&/p&&h2&&b&2 赌桌上的大学问 —— 从扔硬币到凯利公式&/b&&/h2&&p&让我们从扔硬币说起。&/p&&p&假设在一个赌局游戏中，我们一直不断的扔硬币。每局中，硬币出现正面的概率为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=p%3E0.5& alt=&p&0.5& eeimg=&1&& （出现反面的概率为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=q%3D1-p%3C0.5& alt=&q=1-p&0.5& eeimg=&1&&）且局与局之间扔硬币的结果独立。每局中我们下注一定的金额，如果出现正面我们赢钱（假设赔率为 1，即不算本金，我们赢的钱和下注的金额相等），反之我们亏钱。&b&由于 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=p%3E0.5& alt=&p&0.5& eeimg=&1&&&b&，这个游戏长期的期望收益为正，因此玩下去对我们是有利的。&/b&&/p&&p&&b&在这个游戏中，我们需要做的决策是决定每局下注的金额。&/b&令 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=B_i& alt=&B_i& eeimg=&1&& 表示第 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&& 局的下注金额； &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T_i%3D1& alt=&T_i=1& eeimg=&1&& 表示在第 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&& 局中获胜、 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=T_i%3D-1& alt=&T_i=-1& eeimg=&1&& 表示在第 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&& 局中失败。假设初始资金是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_0& alt=&X_0& eeimg=&1&&，则第
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 局之后的资金量 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n& alt=&X_n& eeimg=&1&& 满足：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n%3DX_0%2B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5EnB_iT_i& alt=&X_n=X_0+\sum_{i=1}^nB_iT_i& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&假设我们的目标是最大化 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n& alt=&X_n& eeimg=&1&&&b&的期望 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmbox%7BE%7D%5BX_n%5D& alt=&\mbox{E}[X_n]& eeimg=&1&&&b&。&/b&由上面的关系时可知， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmbox%7BE%7D%5BX_n%5D& alt=&\mbox{E}[X_n]& eeimg=&1&& 的表达式如下：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmbox%7BE%7D%5BX_n%5D%3DX_0%2B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%5Cmbox%7BE%7D%5BB_iT_i%5D%3DX_0%2B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%28p-q%29%5Cmbox%7BE%7D%5BB_i%5D& alt=&\mbox{E}[X_n]=X_0+\sum_{i=1}^n\mbox{E}[B_iT_i]=X_0+\sum_{i=1}^n(p-q)\mbox{E}[B_i]& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&由于 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=p-q%3E0& alt=&p-q&0& eeimg=&1&&&b&，最大化 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmbox%7BE%7D%5BX_n%5D& alt=&\mbox{E}[X_n]& eeimg=&1&&&b&相当于在每一局都最大化当期下注金额的期望 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmbox%7BE%7D%5BB_i%5D& alt=&\mbox{E}[B_i]& eeimg=&1&&&b&。这意味着，每一局中我们都应该有多少押多少。&/b&举例来说，在第一局中，我们应该押注所有的初始资金，因此 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=B_1%3DX_0& alt=&B_1=X_0& eeimg=&1&&；如果我们赢了则 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_1%3D2X_0& alt=&X_1=2X_0& eeimg=&1&&，在第二局中下注 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=B_2%3DX_1%3D2X_0& alt=&B_2=X_1=2X_0& eeimg=&1&&，以此类推。&/p&&p&这个游戏的期望收益虽然为正，但我们每局获胜的概率 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& 毕竟不等于 1，而是小于 1。也许我们能连赢几次，但总有“运气用尽”的那一局。一旦在某一局中硬币出现反面，由于押注了全部资金，我们将会输掉所有。由于 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=p%3C1& alt=&p&1& eeimg=&1&&，随着赌局数
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&
的增加，“输掉全部”这种结果一定会出现。所以，&b&以最大化 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmbox%7BE%7D%5BX_n%5D& alt=&\mbox{E}[X_n]& eeimg=&1&&&b&为目标的下注策略（即每把都“满仓干”）并不是最优的。&/b&&/p&&p&下面让我们看另一个策略 —— &b&固定比例投注（fixed fraction betting）&/b&。假设我们按照 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=B_i%3DfX_%7Bi-1%7D%2C+0%3Cf%3C1& alt=&B_i=fX_{i-1}, 0&f&1& eeimg=&1&& 的方式投注。每一局中，我们下注现有资金量的一个固定比例 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&。用
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&
和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 分别表示在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 局中获胜和失败的次数， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S%2BF%3Dn& alt=&S+F=n& eeimg=&1&& 。 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&
局后的资金 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n& alt=&X_n& eeimg=&1&& 为：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n%3DX_0%281%2Bf%29%5ES%281-f%29%5EF& alt=&X_n=X_0(1+f)^S(1-f)^F& eeimg=&1&&&/p&&p&由于 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=0%3Cf%3C1& alt=&0&f&1& eeimg=&1&&，那么我们永远不会输光。但是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n& alt=&X_n& eeimg=&1&& 显然和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 的取值有关。&b&应该如何决定最优的 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&&b& 呢？因为扔硬币有随机性，因此 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=S& alt=&S& eeimg=&1&&&b& 和 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&&&b& 的取值也是不确定的，那么这个最优又是从什么意义上来说的呢？&/b&这就是凯利研究的问题。&/p&&p&定义函数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=G_n%28f%29& alt=&G_n(f)& eeimg=&1&& 如下：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=G_n%28f%29%3D%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%5Cln%5Cleft%5B%5Cfrac%7BX_n%7D%7BX_0%7D%5Cright%5D%3D%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Cfrac%7BS%7D%7Bn%7D%5Cln%281%2Bf%29%2B%5Cfrac%7BF%7D%7Bn%7D%5Cln%281-f%29& alt=&G_n(f)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\ln\left[\frac{X_n}{X_0}\right]=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{S}{n}\ln(1+f)+\frac{F}{n}\ln(1-f)& eeimg=&1&&&/p&&p&这个 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%281%2Fn%29%5Cln%5BX_n%2FX_0%5D& alt=&(1/n)\ln[X_n/X_0]& eeimg=&1&& 是什么呢？由 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cexp%5C%7Bn%C3%97%281%2Fn%29%5Cln%5BX_n%2FX_0%5D%5C%7D+%3D+X_n%2FX_0& alt=&\exp\{n×(1/n)\ln[X_n/X_0]\} = X_n/X_0& eeimg=&1&& 可知， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%281%2Fn%29%5Cln%5BX_n%2FX_0%5D& alt=&(1/n)\ln[X_n/X_0]& eeimg=&1&&&b& 就是单局资金的指数增长率（即单局的对数收益率）。&/b&在决定最优的下注比例
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&
时，&b&凯利选择最大化单局对数收益率的期望&/b&（下文会解释为什么），记为
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=g%28f%29& alt=&g(f)& eeimg=&1&& ：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Brll%7D+g%28f%29%26%3D%26%5Cdisplaystyle%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Cmbox%7BE%7D%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D%5Cln%5Cleft%5B%5Cfrac%7BX_n%7D%7BX_0%7D%5Cright%5D%5Cright%5C%7D%5C%5C%5C%5C+%26%3D%26%5Cdisplaystyle%5Clim_%7Bn%5Crightarrow%5Cinfty%7D%5Cmbox%7BE%7D%5Cleft%5C%7B%5Cfrac%7BS%7D%7Bn%7D%5Cln%281%2Bf%29%2B%5Cfrac%7BF%7D%7Bn%7D%5Cln%281-f%29%5Cright%5C%7D%5C%5C%5C%5C+%26%3D%26p%5Cln%281%2Bf%29%2Bq%5Cln%281-f%29+%5Cend%7Barray%7D& alt=&\begin{array}{rll} g(f)&=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\mbox{E}\left\{\frac{1}{n}\ln\left[\frac{X_n}{X_0}\right]\right\}\\\\ &=&\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\mbox{E}\left\{\frac{S}{n}\ln(1+f)+\frac{F}{n}\ln(1-f)\right\}\\\\ &=&p\ln(1+f)+q\ln(1-f) \end{array}& eeimg=&1&&&/p&&p&令
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=g%28f%29& alt=&g(f)& eeimg=&1&& 的一阶导数等于 0 可以求出最优值 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%5Cstar+%3D+p+-+q& alt=&f^\star = p - q& eeimg=&1&& ，此外不难验证在 (0,1) 区间上
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=g%28f%29& alt=&g(f)& eeimg=&1&& 的二阶导恒为负，因此 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=g%28f%29& alt=&g(f)& eeimg=&1&& 在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f+%3D+f%5E%5Cstar& alt=&f = f^\star& eeimg=&1&& 时有最大值。&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%5Cstar+%3D+p+-+q& alt=&f^\star = p - q& eeimg=&1&&&b& 就是最优的下注比例，它就是凯利公式。&/b&在上面的例子中，我们假设每局的赔率等于 1。更一般的，如果用 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=b& alt=&b& eeimg=&1&& 表示每局赔率，则&b&凯利公式的一般形式&/b&为：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%5Cstar%3D%5Cfrac%7Bbp-q%7D%7Bb%7D& alt=&f^\star=\frac{bp-q}{b}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&如果我们一直将这个游戏玩下去，按 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%5Cstar& alt=&f^\star& eeimg=&1&&&b& 比例下注将最大化对数收益率的期望。对于任何给定的局数 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&&b&（和初始资金 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_0& alt=&X_0& eeimg=&1&&&b&），按此比例下注实际上就是在最大化 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmbox%7BE%7D%5B%5Cln%28X_n%29%5D& alt=&\mbox{E}[\ln(X_n)]& eeimg=&1&&&b&，即 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&&b& 局后资金量的对数的期望。&/b&&/p&&p&按照凯利公式，我们在每局下注时都在最大化 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmbox%7BE%7D%5B%5Cln%28X_n%29%5D& alt=&\mbox{E}[\ln(X_n)]& eeimg=&1&& ；而按照之前说的每局都全押，我们是在最大化 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmbox%7BE%7D%5BX_n%5D& alt=&\mbox{E}[X_n]& eeimg=&1&& 。由对数函数的特性可知， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmbox%7BE%7D%5B%5Cln%28X_n%29%5D%3C%5Cmbox%7BE%7D%5BX_n%5D& alt=&\mbox{E}[\ln(X_n)]&\mbox{E}[X_n]& eeimg=&1&& ，所以我们自然会问，为什么要最大化 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmbox%7BE%7D%5B%5Cln%28X_n%29%5D& alt=&\mbox{E}[\ln(X_n)]& eeimg=&1&& ？这么做如何就最优了？&/p&&p&按照 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%5Cstar& alt=&f^\star& eeimg=&1&& 比例而非其他比例下注有如下这两点颠覆性的优势（在数学上都被证明了，我们只需要牢记就行了）：&/p&&ol&&li&&b&随着局数 &/b& &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&&b& 的增大，按照凯利公式 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%5Cstar& alt=&f^\star& eeimg=&1&&&b& 下注的资金 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n%28f%5E%5Cstar%29& alt=&X_n(f^\star)& eeimg=&1&&&b& 将远远超过按照任何其他比例 &/b& &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&&b& 下注的资金 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n%28f%29& alt=&X_n(f)& eeimg=&1&&&b&；&/b&&/li&&li&&b&对于任何给定的目标资金额 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=C& alt=&C& eeimg=&1&&&b&，以凯利公式 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%5Cstar& alt=&f^\star& eeimg=&1&&&b& 下注的策略超过该资金额所需要的期望时间（即期望局数）最少。&/b&&/li&&/ol&&p&上述两点是按照凯利公式 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%5Cstar& alt=&f^\star& eeimg=&1&& 下注时， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n& alt=&X_n& eeimg=&1&& 的重要性质。尤其是第一条，用白话来说，它的意思是&b&只要我们一直玩下去（ &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&&b& 足够大），那么想赢得最多的钱（&/b& &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n& alt=&X_n& eeimg=&1&&&b& 尽量大），那么就应该按照 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%5Cstar& alt=&f^\star& eeimg=&1&&&b& 下注。&/b&事实上，当 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 小的时候， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n%28f%5E%5Cstar%29& alt=&X_n(f^\star)& eeimg=&1&& 很有可能小于 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n%28f%29+& alt=&X_n(f) & eeimg=&1&& —— 即凯利公式策略的资金额比不过其他下注比例的资金额。但只要
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&
足够大，凯利公式一定会笑到最后，战胜其他任何比例。下面我们就来解读凯利公式背后的实质。&/p&&h2&&b&3 理解凯利公式 —— 初探&/b&&/h2&&p&从上一节的数学表达式可知，凯利公式的推导中考虑的是当局数
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&
趋近于无穷时，资金量
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n& alt=&X_n& eeimg=&1&&
逼近其极限情况的一些特性。 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n%28f%5E%5Cstar%29& alt=&X_n(f^\star)& eeimg=&1&& 一定超过其他 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n%28f%29& alt=&X_n(f)& eeimg=&1&& 也是以
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&
足够大为前提的。但是在现实中，足够大是多大呢？毕竟无论是在赌场中还是在投资中，我们的局数（投资期数） &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&
都是有限的。&b&对于有限次数的赌局或者投资，无法保证按照凯利公式下注能产生最高的期末资金量 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n& alt=&X_n& eeimg=&1&&&b&；当 &/b& &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&&b& 有限时，使用凯利公式最优比例下注得到的 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n& alt=&X_n& eeimg=&1&&&b& 在多大概率上优于其他下注比例？是否有比凯利公式更好的下注比例呢？&/b&&/p&&p&为了搞清楚这些问题，考虑下面这个实验。令 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=p+%3D+0.6& alt=&p = 0.6& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=q+%3D+0.4& alt=&q = 0.4& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=b+%3D+1& alt=&b = 1& eeimg=&1&& ，初始资金为 1。由凯利公式易知 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%5Cstar+%3D+0.2& alt=&f^\star = 0.2& eeimg=&1&& 。假设我们玩 20 局，即 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n+%3D+20& alt=&n = 20& eeimg=&1&& 。除了 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%5Cstar& alt=&f^\star& eeimg=&1&& 外，考虑另一个下注比例 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f+%3D+0.6& alt=&f = 0.6& eeimg=&1&& 。通过一百万次蒙特卡罗仿真来比较这两个策略。每次仿真中扔硬币 20 局，并记录 20 局后这两个策略的资金额，最后对这一百万次结果取均值。&/p&&p&结果显示，按 0.6 比例下注的策略可以获得比按照凯利公式下注更高的平均期末资金，即 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmbox%7BE%7D%5BX_n%28f%3D0.6%29%5D+%3E+%5Cmbox%7BE%7D%5BX_n%28f%5E%5Cstar%3D0.2%29%5D& alt=&\mbox{E}[X_n(f=0.6)] & \mbox{E}[X_n(f^\star=0.2)]& eeimg=&1&& 。这其实不难理解，因为凯利公式的目标是最大化 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmbox%7BE%7D%5B%5Cln%28X_%7B20%7D%29%5D& alt=&\mbox{E}[\ln(X_{20})]& eeimg=&1&& ，而不是为了最大化 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmbox%7BE%7D%5BX_%7B20%7D%5D& alt=&\mbox{E}[X_{20}]& eeimg=&1&& 。每次全押（即 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f+%3D+1& alt=&f = 1& eeimg=&1&& ）的策略最大化 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmbox%7BE%7D%5BX_%7B20%7D%5D& alt=&\mbox{E}[X_{20}]& eeimg=&1&& ，任何大于 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%5Cstar& alt=&f^\star& eeimg=&1&& 的下注比例的期末期望 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmbox%7BE%7D%5BX_%7B20%7D%28f%29%5D& alt=&\mbox{E}[X_{20}(f)]& eeimg=&1&& 都会大于凯利公式的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmbox%7BE%7D%5BX_%7B20%7D%28f%5E%5Cstar%29%5D& alt=&\mbox{E}[X_{20}(f^\star)]& eeimg=&1&& 。&/p&&p&然而有意思的是，在这一百万次实验中，&b&按照 0.6 比例下注的策略最终的 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_%7B20%7D%28f%29& alt=&X_{20}(f)& eeimg=&1&&&b& 取值仅仅在 12.6% 的情况中战胜了按照凯利公式下注得到的 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_%7B20%7D%28f%5E%5Cstar%29& alt=&X_{20}(f^\star)& eeimg=&1&&&b&。&/b&在现实中显然无法将这 20 局的赌局进行一百万次，我们只能进行一次。&b&虽然按照 0.6 下注的期望更高，但就只进行一次 20 盘的赌局最终能得到的资金 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_%7B20%7D& alt=&X_{20}& eeimg=&1&&&b& 来看，使用凯利公式下注战胜使用 0.6 的比例下注的概率高达 87.4%。&/b&&/p&&p&这是为什么呢？&/p&&p&下图显示了当
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&
取 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=0.1%2C0.2%2C%5Ccdots%2C0.9& alt=&0.1,0.2,\cdots,0.9& eeimg=&1&& 时， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_%7B20%7D%28f%29& alt=&X_{20}(f)& eeimg=&1&& 的概率质量函数（probability mass function）。扔硬币 20 局，出现正面的次数取值是 0 到 20 这 21 个数，因此对于每一个
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_%7B20%7D%28f%29& alt=&X_{20}(f)& eeimg=&1&& 的取值只有 21 个。图中横坐标是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_%7B20%7D%28f%29& alt=&X_{20}(f)& eeimg=&1&& 的可能取值，纵坐标是取值对应的概率。随着 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&
的增大， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_%7B20%7D%28f%29& alt=&X_{20}(f)& eeimg=&1&& 的取值范围随指数增长， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_%7B20%7D%28f%29& alt=&X_{20}(f)& eeimg=&1&& 的最大、最小值都按指数的速度在横坐标的左右两端延伸。由于 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_%7B20%7D%28f%29& alt=&X_{20}(f)& eeimg=&1&& 无论如何也不会低于 0，所以它能变小的范围有限，而它可能变大的范围则要大得多（比如 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%3D0.2& alt=&f=0.2& eeimg=&1&& 时， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_%7B20%7D& alt=&X_{20}& eeimg=&1&& 的最大值为 38.34；而当 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%3D0.6& alt=&f=0.6& eeimg=&1&& 时， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_%7B20%7D& alt=&X_{20}& eeimg=&1&& 的最大值为 12089.26）。&b&因此，&/b& &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_%7B20%7D%28f%29& alt=&X_{20}(f)& eeimg=&1&&&b& 的分布是非常右偏的。这种病态的右偏造成了 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmbox%7BE%7D%5BX_%7B20%7D%28f%3D0.6%29%5D+%3E+%5Cmbox%7BE%7D%5BX_%7B20%7D%28f%5E%5Cstar%3D0.2%29%5D& alt=&\mbox{E}[X_{20}(f=0.6)] & \mbox{E}[X_{20}(f^\star=0.2)]& eeimg=&1&&&b&。由于严重的右偏，&/b& &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmbox%7BE%7D%5BX_n%5D& alt=&\mbox{E}[X_n]& eeimg=&1&&&b& 在横坐标上的位置非常靠右，但是在现实中根本无法实现。&/b&因此以最大化 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmbox%7BE%7D%5BX_n%5D& alt=&\mbox{E}[X_n]& eeimg=&1&& 为目标的下注一定不是最优的。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-49c1e52bffdedd_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1486& data-rawheight=&787& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1486& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-49c1e52bffdedd_r.jpg&&&/figure&&p&&b&随着 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&&b& 的增大，&/b& &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_%7B20%7D%28f%29& alt=&X_{20}(f)& eeimg=&1&&&b& 分布的右偏越来越严重，其越来越多的取值被压缩在整体分布的左侧，因此 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_%7B20%7D%28f%29& alt=&X_{20}(f)& eeimg=&1&&&b& 大于任何给定常数 &/b& &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=C& alt=&C& eeimg=&1&&&b& 的概率 —— &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmbox%7BProb%7D%28X_n%28f%29+%3E+C%29& alt=&\mbox{Prob}(X_n(f) & C)& eeimg=&1&&&b& 随 &/b& &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&&b& 的增大而快速下降。&/b&举例来说，当 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%3D0.2& alt=&f=0.2& eeimg=&1&& 时， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_%7B20%7D%3E1& alt=&X_{20}&1& eeimg=&1&& 的概率为 0.416；而当 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%3D0.6& alt=&f=0.6& eeimg=&1&& 时， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_%7B20%7D%3E1& alt=&X_{20}&1& eeimg=&1&& 的概率骤减到 0.126。这暗示着在 20 局结束后， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_%7B20%7D%28f%5E%5Cstar%3D0.2%29& alt=&X_{20}(f^\star=0.2)& eeimg=&1&& 比 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_%7B20%7D%28f%3D0.6%29& alt=&X_{20}(f=0.6)& eeimg=&1&& 更高的概率很大。&b&即便是对于有限局数（本例中的 20），凯利公式计算出的下注比例仍然是非凡的。&/b&&/p&&p&我们将上面的结论推广到更一般的情况。对于现实世界中任意给定的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& 、 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=q& alt=&q& eeimg=&1&&
以及赔率 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=b& alt=&b& eeimg=&1&& （下面假设 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=b%3D1& alt=&b=1& eeimg=&1&& ），我们都能利用凯利公式算出 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%5Cstar& alt=&f^\star& eeimg=&1&& ，那么最少需要玩多少局我们就能拍着胸脯说使用 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%5Cstar& alt=&f^\star& eeimg=&1&& 下注一定比其他任何别的 f 所获得的收益更高呢？&/p&&p&下面这个热图为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%5Cstar& alt=&f^\star& eeimg=&1&& 以 90% 的概率（足够拍着胸脯说了）战胜其他
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&
所需要的最小局数。其中每一行左边的数值为出现正面概率 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& 的取值，每一列最下方的数字代表下注比例 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&& 。每个 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& 对应的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%5Cstar& alt=&f^\star& eeimg=&1&& 也相应的标注在图中。举个例子，如果我们看 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=p%3D0.6& alt=&p=0.6& eeimg=&1&& 那一行， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%5Cstar& alt=&f^\star& eeimg=&1&& 的格子所在列为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%3D0.2& alt=&f=0.2& eeimg=&1&& ，说明 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%5Cstar%3D0.2& alt=&f^\star=0.2& eeimg=&1&& 。该行的其他列中的数字说明了 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n%28f%5E%5Cstar%29& alt=&X_n(f^\star)& eeimg=&1&& 以 90% 的概率打败 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n%28f%29& alt=&X_n(f)& eeimg=&1&& 所需要的最小的局数 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 。比如当 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%3D0.6& alt=&f=0.6& eeimg=&1&& 时，对应的格子里的数字是 28，说明仅需要 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n%3D28& alt=&n=28& eeimg=&1&& 局， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n%28f%5E%5Cstar%3D0.2%29& alt=&X_n(f^\star=0.2)& eeimg=&1&& 就能以 90% 的概率战胜 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n%28f%3D0.6%29& alt=&X_n(f=0.6)& eeimg=&1&& 。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-abb47b69c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1111& data-rawheight=&742& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1111& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-abb47b69c_r.jpg&&&/figure&&p&当
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&
接近 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%5Cstar& alt=&f^\star& eeimg=&1&& 的时候， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%5Cstar& alt=&f^\star& eeimg=&1&& 打败
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&
所需要的最小局数要高一些。但在现实中，如果 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%5Cstar%3D0.2& alt=&f^\star=0.2& eeimg=&1&& ，那么我们刻意去拿它和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f+%3D+0.24& alt=&f = 0.24& eeimg=&1&& 或者 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f+%3D+0.16& alt=&f = 0.16& eeimg=&1&& 这些很接近它的比例去比也没什么意义。 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&
越接近 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%5Cstar& alt=&f^\star& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n%28f%29& alt=&X_n(f)& eeimg=&1&& 也就越接近 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n%28f%5E%5Cstar%29& alt=&X_n(f^\star)& eeimg=&1&& ，所以我们会用一个和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%5Cstar& alt=&f^\star& eeimg=&1&& 显著不同的
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&
来对比。从上面的热图可以看到，对于任意给定的
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& ，当
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&
和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%5Cstar& alt=&f^\star& eeimg=&1&& 显著不同时， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n%28f%5E%5Cstar%29& alt=&X_n(f^\star)& eeimg=&1&& 仅仅需要很少的局数（一般不超过 50）就可以以 90% 的概率战胜 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n%28f%29& alt=&X_n(f)& eeimg=&1&& 了。50 是一个什么概念？如果我们在赌场待几天，重复的玩一个赌局 50 次恐怕很容易。如果我们做投资，以周频为单位的话，50 次只不过是短短一年，以月频为单位的话，50 次也不过区区 4 年出头。所以，50 次以内在现实生活中是非常容易达到的次数。&b&因此，对于现实中的 &/b& &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&&b& 有限的情况，凯利公式也能在很大的概率上保证是最优的。&/b&&/p&&p&第二节直接给出了结论说明当 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 足够大的时候， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n%28f%5E%5Cstar%29& alt=&X_n(f^\star)& eeimg=&1&& 一定是最高的；本节通过实证说明即便在 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 有限的情况下， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n%28f%5E%5Cstar%29& alt=&X_n(f^\star)& eeimg=&1&& 也大概率是最高的。那么，到底是什么保证了凯利公式的
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%5Cstar& alt=&f^\star& eeimg=&1&&
如此非凡呢？下一节就来给出答案。&/p&&h2&&b&4 理解凯利公式 —— 本质&/b&&/h2&&p&上一节的介绍让我们对凯利公式已经有一定的理解。本节就来揭示凯利公式背后的实质。&/p&&p&前文说到，以最大化 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmbox%7BE%7D%5BX_n%5D& alt=&\mbox{E}[X_n]& eeimg=&1&& 为目标制定下注比例根本不靠谱。那么来看看靠谱的目标。第二节指出，&b&凯利最大化的是单期对数收益率的期望，对于任何给定的 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&&b&，这等价于最大化 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmbox%7BE%7D%5B%5Cln%28X_n%29%5D& alt=&\mbox{E}[\ln(X_n)]& eeimg=&1&&&b&，即 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n& alt=&X_n& eeimg=&1&&&b& 的对数的期望。&/b&在上一节中，我们给出了 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n%3D20& alt=&n=20& eeimg=&1&& 时， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n& alt=&X_n& eeimg=&1&& 的概率质量函数，并指出随着
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&
的增大它呈现出越来越显著的病态右偏。&/p&&p&&i&下面就请睁大眼睛，我们要变魔术了！&/i&&/p&&p&将上一节中 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n& alt=&X_n& eeimg=&1&& 的概率质量函数的横坐标变成&b&以 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&&&b& 为底的对数坐标&/b&，那么它们就变成了下面这个样子。由于进行了坐标变换，下面这个其实就是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cln%28X_n%29& alt=&\ln(X_n)& eeimg=&1&&&b& 的概率质量函数&/b&。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-b58a308fadbb_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1563& data-rawheight=&822& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1563& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-b58a308fadbb_r.jpg&&&/figure&&p&怎么样？ &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cln%28X_n%29& alt=&\ln(X_n)& eeimg=&1&&&b&，&/b& &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n+%3D+20& alt=&n = 20& eeimg=&1&&&b& 的概率分布不再右偏，而是呈现出几乎左右对称的钟形（bell-shaped）形状（当然 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cln%28X_n%29& alt=&\ln(X_n)& eeimg=&1&&&b& 的取值还是随着 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&&b& 的增大越来越宽）。&/b&这个钟形不太平滑是因为
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&
的取值比较小。假如 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n+%3D+200& alt=&n = 200& eeimg=&1&& ，那么不同比例
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cln%28X_n%29& alt=&\ln(X_n)& eeimg=&1&&
的分布如下图所示，分布更加平滑，钟形左右更加对称。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b8fb9fab695c07afeb2e061_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1559& data-rawheight=&833& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1559& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b8fb9fab695c07afeb2e061_r.jpg&&&/figure&&p&你一定已经猜到了我为什么多次提到“钟形”。因为正态分布的形状就是“钟形”的。&b&随着 &/b& &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&&b& 的增大，&/b& &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cln%28X_n%29& alt=&\ln(X_n)& eeimg=&1&&&b& 的分布越来越接近正态分布！&/b&此外，上面了两张图说明&b&随着 &/b& &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&&b& 的增大，&/b& &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cln%28X_n%29& alt=&\ln(X_n)& eeimg=&1&&&b& 的众数（即 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cln%28X_n%29& alt=&\ln(X_n)& eeimg=&1&&&b& 的所有取值里面概率最高的那一个，就是图中概率质量函数的那个&尖儿&对应的 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cln%28X_n%29& alt=&\ln(X_n)& eeimg=&1&&&b& 的取值）先变大、后变小，在 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f+%3D+f%5E%5Cstar& alt=&f = f^\star& eeimg=&1&&&b& 时达到峰值。对于正态分布来说，它的众数就是它的期望。&/b&因此，分布上这个“尖儿”对应的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cln%28X_n%29& alt=&\ln(X_n)& eeimg=&1&& 的取值向右移动的过程就是 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmbox%7BE%7D%5B%5Cln%28X_n%29%5D& alt=&\mbox{E}[\ln(X_n)]& eeimg=&1&& 向右移动的过程。这意味着 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmbox%7BE%7D%5B%5Cln%28X_n%29%5D& alt=&\mbox{E}[\ln(X_n)]& eeimg=&1&&&b&在 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f+%3D+f%5E%5Cstar& alt=&f = f^\star& eeimg=&1&&&b& 时最大&/b&，而这正是凯利求解
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%5Cstar& alt=&f^\star& eeimg=&1&&
时的初衷。&/p&&p&对于初始资金 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_0& alt=&X_0& eeimg=&1&& （假设等于 1）， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cln%28X_n%29+%3D+%5Cln%28X_n%2FX_0%29& alt=&\ln(X_n) = \ln(X_n/X_0)& eeimg=&1&& 就是整个
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&
局的对数收益率。&b&对数收益率的最大好处是它的可加性，把单期的对数收益率相加就得到整体的对数收益率。&/b&&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Brll%7D+%5Cdisplaystyle%5Cln%5Cleft%5B%5Cfrac%7BX_n%7D%7BX_0%7D%5Cright%5D%26%3D%26%5Cdisplaystyle%5Cln%5Cleft%5B%5Cfrac%7BX_1%7D%7BX_0%7D%5Ctimes%5Cfrac%7BX_2%7D%7BX_1%7D%5Ctimes%5Ccdots%5Ctimes%5Cfrac%7BX_n%7D%7BX_%7Bn-1%7D%7D%5Cright%5D%5C%5C%5C%5C+%26%3D%26%5Cdisplaystyle%5Cln%5Cleft%5B%5Cfrac%7BX_1%7D%7BX_0%7D%5Cright%5D%2B%5Cln%5Cleft%5B%5Cfrac%7BX_2%7D%7BX_1%7D%5Cright%5D%2B%5Ccdots%2B%5Cln%5Cleft%5B%5Cfrac%7BX_n%7D%7BX_%7Bn-1%7D%7D%5Cright%5D+%5Cend%7Barray%7D& alt=&\begin{array}{rll} \displaystyle\ln\left[\frac{X_n}{X_0}\right]&=&\displaystyle\ln\left[\frac{X_1}{X_0}\times\frac{X_2}{X_1}\times\cdots\times\frac{X_n}{X_{n-1}}\right]\\\\ &=&\displaystyle\ln\left[\frac{X_1}{X_0}\right]+\ln\left[\frac{X_2}{X_1}\right]+\cdots+\ln\left[\frac{X_n}{X_{n-1}}\right] \end{array}& eeimg=&1&&&/p&&p&由于不同期之间是相互独立的， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&
期对数收益率相加相当于
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&
个独立的随机变量相加。由&b&中心极限定理（Central limit theorem）&/b&可知，它们的和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cln%28X_n%29& alt=&\ln(X_n)& eeimg=&1&& 逼近正态分布，这解释了为什么上面 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cln%28X_n%29& alt=&\ln(X_n)& eeimg=&1&& 的概率分布呈现出“钟形”。&/p&&p&由于 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cln%28X_n%29& alt=&\ln(X_n)& eeimg=&1&& 是整个
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&
期的对数收益，因此 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%281%2Fn%29+%C3%97+%5Cln%28X_n%29& alt=&(1/n) × \ln(X_n)& eeimg=&1&& 就是每期对数收益率的均值。&b&由大数定律（Law of Large Numbers）&/b&可知， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%281%2Fn%29+%C3%97+%5Cln%28X_n%29& alt=&(1/n) × \ln(X_n)& eeimg=&1&& 随着
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&
的增大一定会收敛于它的期望，即 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmbox%7BE%7D%5B%281%2Fn%29+%C3%97+%5Cln%28X_n%29%5D& alt=&\mbox{E}[(1/n) × \ln(X_n)]& eeimg=&1&& ；对于给定的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& ， &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 期的总收益会收敛于 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmbox%7BE%7D%5B%5Cln%28X_n%29%5D& alt=&\mbox{E}[\ln(X_n)]& eeimg=&1&& 。&/p&&p&&b&我们玩一个赌局或者投资，最终是想让 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n& alt=&X_n& eeimg=&1&&&b& 越大越好，但我们不知道 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n& alt=&X_n& eeimg=&1&&&b& 最终会变成什么样，或者会收敛到什么值。但上面的分析说明只要 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&&b& 足够大，大数定律保证了 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n& alt=&X_n& eeimg=&1&&&b& 的对数，即 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cln%28X_n%29& alt=&\ln(X_n)& eeimg=&1&&&b&，一定会非常接近它的期望 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmbox%7BE%7D%5B%5Cln%28X_n%29%5D& alt=&\mbox{E}[\ln(X_n)]& eeimg=&1&&&b&，那么我们自然就想找到一个下注比例使得 &/b& &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmbox%7BE%7D%5B%5Cln%28X_n%29%5D& alt=&\mbox{E}[\ln(X_n)]& eeimg=&1&&&b& 尽可能的大。而凯利公式的 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%5Cstar& alt=&f^\star& eeimg=&1&&&b& 恰恰就是使 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmbox%7BE%7D%5B%5Cln%28X_n%29%5D& alt=&\mbox{E}[\ln(X_n)]& eeimg=&1&&&b& 最大的下注比例。&/b&这就是凯利公式为什么 NB 的原因。&/p&&p&由于中心极限定理和大数定律的特性，我们并不要求单期的收益率满足特定的分布。因此即便本文中使用扔硬币这个例子 —— 它的单期收益率是个伯努利分布 —— &b&凯利公式的思想，即最大化单期对数收益率，可以应用到任何不同的分布中。&/b&&/p&&p&最后想提一句的是，凯利当初选择使用对数收益率是受了伯努利对数效用函数的启发。伯努利于 1738 年发表了一篇关于风险下做决策的重要论文（原作不是英文版，后来为了推广，于 1954 年被一个大牛教授翻译成英文出版，见 Bernoulli 1954）。在那篇文章中，伯努利提出了对数效用函数以及著名的圣彼得堡悖论（St. Petersburg paradox）。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-9cbbb299ec943fe13354_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&359& data-rawheight=&238& class=&content_image& width=&359&&&/figure&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cln%28X_n%29& alt=&\ln(X_n)& eeimg=&1&& 随 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n& alt=&X_n& eeimg=&1&& 的变化如上图所示。&b&由于对数函数的特性，它说明当 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n+%3E+1& alt=&X_n & 1& eeimg=&1&&&b& 时（即我们在期末赢钱了），我们挣得越多，感受到的边际喜悦越低；当 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n+%3C+1& alt=&X_n & 1& eeimg=&1&&&b& 时（即我们在期末亏钱了），我们亏的越多，感受到的边际痛苦越高，这十分符合人在投资时的主观感受。&/b&所以，从最终收益 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=X_n& alt=&X_n& eeimg=&1&& 的效用的角度来说，最大化期望效用 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmbox%7BE%7D%5B%5Cln%28X_n%29%5D& alt=&\mbox{E}[\ln(X_n)]& eeimg=&1&& 也是对凯利的初衷的一种解释。当然，对数收益率可以相加，这样单期的收益率能和总体的收益率联系起来。因此从业务实际出发，选择对数收益率作为优化目标实属必然。&/p&&h2&&b&5 凯利公式在量化投资中&/b&&/h2&&p&最后就来看看如何将凯利公式应用于量化投资中确定投资品的最佳杠杆比例（仓位）。&/p&&p&首先来看一种“生搬硬套”的方法。对于很多策略（特别是技术分析策略），一般都有胜率和盈亏比的概念。这里胜率就是每次交易赚钱的概率，即 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& ；盈亏比就相当于赔率
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=b& alt=&b& eeimg=&1&& ，即每单位亏损对应的收益。所以，我们可以使用凯利公式计算每次交易的仓位 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%5Cstar+%3D+%28bp+%E2%80%93+q%29+%2F+b& alt=&f^\star = (bp – q) / b& eeimg=&1&& 。当然，考虑到投资者对于风险的诉求，还可以在这个仓位控制上加一个风险系数，从而进一步降低仓位。&/p&&p&但这种方法并不是很好。这里的&b&赔率的计算方法是所有盈利交易的平均收益除以所有亏损交易的平均亏损。由于每个交易的开仓、平仓时间并不固定，因此每次交易的持续时间都是不同的。这种方法在计算收益率时完全不考虑交易时间这个因素。&/b&比如两次赢钱的交易，一次开仓时间为 2 天，收益 1%；而另一次开仓时间为 3 小时，收益为 1%。它们的平均收益为 1%，但是显然这两次交易的风险特性完全不同。所以，这个不考虑交易时间的赔率计算方式是有问题的，以此计算的 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%5Cstar& alt=&f^\star& eeimg=&1&& 并不合理。&/p&&p&下面就来看看更合理的应用凯利公式的方法。&b&我们并不是生搬硬套第二节中的那个 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=f%5E%5Cstar& alt=&f^\star& eeimg=&1&&&b& 公式，而是利用凯利公式的思想，即最大化单期对数收益率。&/b&由于收益率都是相对一个给定的频率而言的（如日收益率、周收益率等），因此这种方法更加合理。&/p&&p&假设一个投资品的单期的百分比收益率（即期末价格 / 期初价格 - 1）满足均值为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmu& alt=&\mu& eeimg=&1&& 、标准差为
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma& alt=&\sigma& eeimg=&1&&
的正态分布。可以证明，在这个假设下，该投资品的单期对数收益率的期望为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%CE%BC+-+0.5%CF%83%5E2& alt=&μ - 0.5σ^2& eeimg=&1&& 。我们来看看最大化该对数收益率的杠杆率 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=L& alt=&L& eeimg=&1&& 是多少。&/p&&p&当我们使用
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=L& alt=&L& eeimg=&1&&
倍的杠杆时，均值和标准差分别变为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%CE%BCL& alt=&μL& eeimg=&1&& 和 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%CF%83L& alt=&σL& eeimg=&1&& ，因此对数收益率变为 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%CE%BCL+-+0.5%28%CF%83L%29%5E2& alt=&μL - 0.5(σL)^2& eeimg=&1&& 。以 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=L& alt=&L& eeimg=&1&& 为自变量来最大化 &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%CE%BCL+-+0.5%28%CF%83L%29%5E2& alt=&μL - 0.5(σL)^2& eeimg=&1&& 。对其求一阶导数并使它为 0，并检查其二阶导数有：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Brlr%7D+%E4%B8%80%E9%98%B6%E5%AF%BC%E6%95%B0%26%3A%26%5Cmu-%5Csigma%5E2L%3D0%5C%5C+%E4%BA%8C%E9%98%B6%E5%AF%BC%E6%95%B0%26%3A%26-%5Csigma%5E2+%5Cend%7Barray%7D& alt=&\begin{array}{rlr} 一阶导数&:&\mu-\sigma^2L=0\\ 二阶导数&:&-\sigma^2 \end{array}& eeimg=&1&&&/p&&p&由一阶导数等于 0 可得最优的杠杆率为
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=L%5E%5Cstar+%3D+%CE%BC+%2F+%CF%83%5E2& alt=&L^\star = μ / σ^2& eeimg=&1&& ，由于二阶导数恒小于 0，因此对数收益率在
&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=L+%3D+L%5E%5Cstar& alt=&L = L^\star& eeimg=&1&&
有最大值。因此，凯利公式确定的最优杠杆率就是：&/p&&p&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=L%5E%5Cstar%3D%5Cfrac%7B%5Cmu%7D%7B%5Csigma%5E2%7D& alt=&L^\star=\frac{\mu}{\sigma^2}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&在实际使用中，&/b& &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%CE%BC& alt=&μ& eeimg=&1&&&b& 和 &/b&&img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=%CF%83& alt=&σ& eeimg=&1&&&b& 难以估计，此外不同期之间的收益率也很难保证绝对独立，因此业界普遍的观点是凯利公式的理论杠杆率风险较高。为此，普遍的做法是把 &/b& &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=L%5E%5Cstar& alt=&L^\star& eeimg=&1&&&b& 看作是杠杆率的上限，而使用 &/b& &img src=&http://www.zhihu.com/equation?tex=L%5E%5Cstar%2F2& alt=&L^\star/2& eeimg=&1&&&b& 的杠杆率，这称之为“half-Kelly”。&/b&投资者可根据自己愿意承担的最大风险来决定是否进一步降低杠杆率。&/p&&p&最后想说明的是，无论如何应用凯利公式，重复性投资毕竟不是玩一个有固定且独立收益特征的赌局。投资的收益参数随时间不停的变化，这就给我们在投资中应用凯利公式带来了更多的障碍。有人说凯利公式的核心是控制风险，我比较认同这句话。毕竟，控制好风险才能在市场中活得长，活得长才有可能获得更高的收益。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&参考文献&/b&&/p&&ul&&li&Bernoulli, D. (1954). Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk. &i&Econometrica&/i&, Vol. 22(1), 23 – 36.&/li&&li&Kelly, J. R. Jr. (1956). A New Interpretation of Information Rate. &i&Bell System Technical Journal&/i&, Vol. 35, 917 – 926.&/li&&li&MacLean, L. C., E. O. Thorp, and W. T. Ziemba, Eds (2010). &i&The Kelly Capital Growth Investment Criterion.&/i& World Scientific Handbook in Financial Economics Series, Vol 3.&/li&&li&Thorp, E. O. (1962). &i&Beat the Dealer.&/i& Random House, New York.&/li&&li&Thorp, E. O. (2017). &i&A Man for all Markets: from Las Vegas to Wall Street, How I beat the Dealer and the Market.&/i& Random House, New York.&/li&&/ul&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&原创不易，请保护版权。如需转载，请联系获得授权，并注明出处，谢谢。已委托“维权骑士”(&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//rightknights.com/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&维权骑士_领先的原创内容监测、保护及快速授权平台&/a&) 为进行维权行动。&/p&
1 引言今天我们来聊聊大名鼎鼎的凯利公式（英文叫 Kelly Formula 或 Kelly Criterion，所以中文也译作凯利准则）。凯利公式由 John R. Kelly, Jr. 于1956年提出（Kelly 1956）。它指出在一个期望收益为正的重复性赌局或者重复性投资中，每一期应该下注的最…
&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-0afe6dab5e4b8f17e2706_b.jpg& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&721& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-0afe6dab5e4b8f17e2706_r.jpg&&&/figure&&p&&b&Pomonote提示&/b&&br&&/p&&blockquote&&b&本文首发于公众号PomoNote，&/b&专注于番茄工作法、效率和阅读。&br&在公众号PomoNote回复关键词“阅读大纲”，领取30本干货书籍的详细大纲资料。&/blockquote&&h2&&b&前言&/b&&/h2&&p&一周前，我入了一台iPad。&/p&&p&这是我的第三台iPad，六年前入了iPad 2，三年前入了iPad mini2，新的这一台，是2018款的9.7寸iPad，买它，纯粹是冲着Apple pencil。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-84f3a861fdb5e32d6b96b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&305& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-84f3a861fdb5e32d6b96b_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&入手一周之后，我的真实感受是——&/p&&p&&b&这款强大的神器，让我沉迷于学习不能自拔。&/b&&/p&&p&以下，我将告诉你，我如何运用iPad和Pencil来完成学习过程中的这几大场景：阅读、学习微课和思考。&/p&&h2&&b&1. 阅读&/b&&/h2&&p&作为一名长时间面对屏幕后就会眼睛发酸的干眼症患者，我用iPad阅读的时候并不多，Kindle仍是我的主力阅读设备。&/p&&p&但新设备到手，难免会尝试一下这件人人都推崇的事。&/p&&p&使用iPad进行阅读，最关键的问题，是用什么App来进行。&/p&&p&这得说到格式，电子的格式，通常是PDF、mobi和epub，&b&对于PDF，推荐且只推荐良心神器PDF Expert，而mobi和epub，推荐苹果官方出品的iBooks。&/b&&/p&&p&先说用于阅读PDF的App——PDF Expert。&/p&&p&这款App并不免费，我花了68软妹币购买，曾有过限免记录，可惜我没有遇到这样的好事。&/p&&p&PDF Expert可以导入电脑上的PDF文档，或是直接从网盘下载，整个阅读过程非常流畅。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-c94a7a5c81d9b68ea938e8a03f887eb5_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1060& data-rawheight=&624& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1060& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-c94a7a5c81d9b68ea938e8a03f887eb5_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&更重要的是，配合Pencil，你能够像阅读纸书一样对PDF文档里的内容进行勾画和批注，和其它类似的App比起来，PDF Expert的体验非常棒，勾画的位置非常精准，这一点其它App就相形见绌了。&/p&&p&用于阅读mobi和epub的iBooks，阅读体验不错，但是很难理解，苹果自家的App，对于Pencil的支持那叫一个渣，所以，基本可以忽略，当作常规的App使用就行。&/p&&p&结论：&b&如果是阅读PDF，使用iPad，配合PDF Expert，是最佳的选择；而如果是mobi格式的电子书，还是交给Kindle吧！&/b&&/p&&h2&&b&2. 学习微课&/b&&/h2&&p&和爱学习的你一样，我也购买了很多课程——这真是获取知识性价比最高的方式。&/p&&p&在iPad上学习微课，怎一个爽字了得！&/p&&p&在iOS11中，iPad可以同时打开两个应用，所以，你可以在打开微课App的同时，再打开一个笔记App。&/p&&p&一边听课，一边使用Pencil写笔记，我使用的笔记App是Notability，可打字、可手写，如果连接上Pencil，Notability会自动屏蔽手指输入，以免误操作，此时使用手指，仅仅能够移动笔记纸张。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-e33ea44e19b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&762& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-e33ea44e19b_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&此外，Notability还可以切换纸张，比如使用我最爱的方格纸。&/p&&p&如果课程是视频，那么，还可以把视频最小化置顶播放的同时，写笔记。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-17a7e793a1af670abde8efe_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1439& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-17a7e793a1af670abde8efe_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&（字太丑，见谅）&/p&&p&针对经常上课的学生或经常开会的公司职员，Notability还能一边记笔记，一边录音，真是贴心至极。&/p&&h2&&b&3. 思考&/b&&/h2&&p&关注PomoNote的小伙伴知道，关于思考，我有一个观点：&b&相比电子笔记工具，纸质笔记更适合用于思考。&/b&&/p&&p&&b&配合Pencil，iPad可以真正做到无纸化。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-bfb9f936def454d2b062942_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&779& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-bfb9f936def454d2b062942_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&思考前，在笔记App Notability中新建一条笔记，选择方格纸，然后配合方格纸的特性，以大纲形式层层缩进便于记录。&/p&&p&在《零秒思考》一书中，提出了一种快速训练思维能力的方法——&/p&&blockquote&在一张A4纸上，快速写下你对一个问题的3-5点思考，在一分钟之内写完。 &br&这样的过程，每天写十张，即针对10点问题，进行快速思考，以此来训练自己的快速思维能力。&/blockquote&&p&如果是使用传统纸张，一天10张白纸，一年就是3650张，绝对是加速破坏森林的反自然操作。&/p&&p&有了iPad和Pencil，这个过程就不在话下了，直接新建一条笔记，然后开始写，整个过程和真实纸张几乎没有差异，而且作为电子工具，你的笔记也便于长期查找和翻阅。&/p&&h2&&b&结语&/b&&/h2&&p&以上，是我主要使用iPad来进行学习的场景运用，配合Pencil，大大提升了iPad的学习价值和笔记的易用性。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-e1db8be21b130b412263_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&717& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-e1db8be21b130b412263_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&在电影《蜘蛛侠》里，蜘蛛侠的叔叔在弥留之际告诉他：&b&能力越大，责任越大。&/b&&/p&&p&在工作和学习的过程中，这句话正好诠释了工具的力量——随着移动互联网的高速发展，任何知识都变得唾手可得，而学习的设备也越来越强大，但是，&b&越是强大的设备，也会带来越大的干扰。&/b&&/p&&p&如果运用得当，iPad无疑是学习的神器，但如果运用不当，便会和手机一样，成为工作和学习中的杀手。&/p&&p&你会善用它吗？&/p&&p&一个预告：&b&下一篇文章，我们聚焦一下，我会告诉你——如何优雅地使用iPad记笔记，以及思维笔记、读书笔记应该如何更好地记录。&/b&&/p&&p&Btw，&b&你有什么使用电子产品的经验吗？请在留言区告诉我吧！&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-f38bd3c4bc3d6fbbacf6c5_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&436& data-rawheight=&398& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&436& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-f38bd3c4bc3d6fbbacf6c5_r.jpg&&&/figure&&p&&/p&
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