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信托业（Trust Industry）《中华人民共和国信托法》 （简称《信托法》）于 日在第九届全国人大常委会第二十一次会议上通过，并于当年10月1日正式实施。《信托法》从制度上肯定了信托业在中国现行金融体系中存在的必要性，为中国信托市场（即财产管理市场）构筑了基本的制度框架，将信托活动纳入了规范化和法制化的发展轨道。 目录 [隐藏] 1 起源 2 发展 3 分类 4 作用 5 职能 6 构成要素 7 经营方略 8 参考资料
信托业-起源    信托业按照《信托法》第一章第一节对信托的定义，信托“是指委托人基于对受托人的信任，将其财产权委托给受托人，由受托人按委托人的意愿以自己的名义，为受益人的利益或者特定目的，进行管理或者处分的行为。” 信托在国外已有3800年的历史，因为它一头连着货币市场，一头连着资本市场，一头连着产业市场，既能融资又能投资，被誉为具有无穷的经济活化作用。用美国信托权威思考特的话说，“信托的应用范围，可以和人类的想象力相媲美。”。在国外将个人财产及金融资产委托给信托投资公司进行管理，已经成为一种非常普遍的现象。在发达的市场经济国家，信托业已经发展成为现代金融业的重要支柱之一，信托与银行、证券、保险并称为现代金融业的四大支柱。 据最早的文字记载，信托是来源于公元前2548年古埃及人写的遗嘱。但具有原始特性的信托，则起源于英国的“尤斯制”，英国是信托业的发源地。但英国现代信托业却不如美国、日本发达。开办专业信托投资公司，美国比英国还早，美国于1822年成立的纽约农业火险放款公司，后更名为农民放款信托投资公司，是世界上第一家信托投资公司。 中国的信托业始于20世纪初的上海。1921年8月，在上海成立了第一家专业信托投资机构――中国通商信托公司， 1935年在上海成立了中央信托总局。新中国建立至1979年以前，金融信托因为在高度集中的计划经济管理体制下，信托没有能得到发展。1979年10月，国内第一家信托机构――中国国际信托投资公司宣告成立，此后，从中央银行到各专业银行及行业主管部门、地方政府纷纷办起各种形式的信托投资公司，到1988年达到最高峰时共有1000多家，总资产达到6000多亿，占到当时金融总资产的10%。 信托业-发展    信托业信托投资公司主要从事的与银行类似的业务，真正的信托投资业务也有开展，如金信信托投资股份有限公司于1992年发行的浙江省内第一只共同基金“金信基金”，1995年8月推出的“个人特约集合委托存款”业务。但是由于缺乏法律上的规范和信托投资公司的管理经验，在1999年人民银行对信托业进行第五次整顿前，信托投资公司仅剩下239家。 从1999 年开始，人民银行就对原有的239家信托投资公司进行了清理整顿，拟合并保留60家，目前，已有50家经过了重新审核登记。此次清理整顿采取的方式是：一方面改变部分信托投资公司的企业性质，并让其彻底退出信托市场，另一方面通过资产整合和进行股份制改造，重新审核登记了部分信托投资公司。在中国信托业发展过程中，随着市场经济的不断深化，全行业先后经历五次清理整顿。在历史跨入新世纪之时，伴随《信托法》和《信托投资公司管理办法》的颁布实施，信托业终于迎来了发展的春天,我国的信托业也必将为加快建设有中国特色的社会主义事业，繁荣市场经济发挥出巨大的作用。 进入 2001年,以《信托法》、《信托投资公司管理办法》和《信托投资公司资金信托业务管理暂行办法》的颁布实施为标志，中国信托业基本结束了长达三年的“盘整”格局，跃出谷底，步入规范运行的轨道。日，中国人民银行颁发[2002]第5号令，根据《信托法》和《中国人民银行法》等法律和国务院有关规定再次对《信托投资公司管理办法》进行修订，其内容较原《信托投资公司管理办法》对信托投资公司业务开展的可操作性方面进行了重大调整，使信托投资公司在发起设立投资基金、设立信托新业务品种的操作程序、受托经营各类债券承销等方面的展业空间有了实质性突破。 按照新《信托投资公司管理办法》的有关规定，信托投资公司可以直接作为投资基金的发起人从事投资基金业务，而无需先成立基金管理公司，同时，信托投资公司设计信托业务品种可完全根据市场需求进行，而无须向中国人民银行报批核准。《信托投资公司资金信托业务管理暂行办法》也于日正式颁发，并在7月18日正式实施，进而为信托投资公司开展资金集合信托业务提供了政策支撑。至此，由《信托法》、新《信托投资公司管理办法》和《信托投资公司资金信托业务管理暂行办法》等法律文件和规定构建起来的信托公司规范展业的政策平台已经趋于完善。 信托业-分类     中国信托业协会陈玉鹏一、民事信托和商事信托按照信托的目的划分，信托可分为民事信托和商事信托。凡是以民法为依据建立的信托称为民事信托，即民事信托是属于民法范围内的信托。商事信托是“民事信托”的对称，是以商法为依据建立的信托，属于商法范围内的信托业务。(商法是国民经济管理和社会经济组织以及部分公民在经营活动中所发生的经济关系必须遵循的法律规范的总称)二、资金信托和财产信托资金信托，又称为“金钱信托”，是指委托人基于对信托投资公司的信任，将自己合法拥有的资金委托给信托投资公司，由信托投资公司按委托人的意愿以自己的名义，为受益人的利益或特定目的管理、运用和处分资金的行为。财产信托是指委托人将自己的动产、不动产(房产、地产)以及版权、知识产权等非货币形式的财产、财产权，委托给信托投资公司按照约定的条件和目的进行管理或者处分的行为。三、个人信托和法人信托按委托人的主体地位的不同，信托关系可以分为个人信托、法人信托、个人与法人通用信托以及共同信托。个人信托是以个人为服务对象的信托业务，其委托者是个人，受益者也是个人。法人信托又称为“公司信托”、“团体信托”，它包括营利法人团体(如公司组织、合作社组织及其他营业机构)和公益法人团体(如学术、宗教和慈善团体等)。凡以一个组织体为委托人的都是法人信托。若某项信托财产为几个人所共有，共同提出设立信托，委托人就是数个人，称为共同委托，即共同信托。此外，有的信托业务的成立，委托人有个人，也有法人，可称为个人与法人通用信托。四、私益信托和公益信托按照收益对象划分，信托可分为私益信托和公益信托。区别私益信托和公益信托的另一个主要标准是信托目的。委托人为自己、亲属、朋友或者其他特定个人的利益而设立的信托是私益信托。私益信托可以是自益信托，也可以是他益信托。私益信托是信托业务中的主要部分，信托投资公司通过运用信托手段为受益人谋取信托收益。委托人为了不特定的社会公众的利益或者社会公众利益而设立的信托是公益信托。公益信托只能是他益信托。设立公益信托不得有确定的受益人，只能以社会公众或者一定范围内的社会公众作为受益人，并且必须得到税务机关或者公益事业管理机构的批准或者许可。五、自益信托、他益信托和宣示信托按照委托人与受托人的关系划分，信托可分为自益信托、他益信托和宣示信托。委托人以自己为唯一受益人而设立的信托是自益信托。自益信托的委托人和受益人是同一人。自益信托只能是私益信托。凡委托人要求设定的信托，其目的是为第三者的收益，则为他益信托。被指定的第三者可以表示同意也可以拒绝接受，有时亦可采取默认方式，因其并无明确的同意或拒绝的示意根据。宣示信托又称宣言信托，是指财产所有人以宣布自己为该项财产受托人的方式而设定的信托。该项财产一经宣告受托就成为信托财产，财产并不转移但须与原有其他财产分别进行保管。这种信托只有在他益信托，以委托人以外的他人为受益人的场合始能成立。六、任意信托、推定信托和法定信托以信托关系建立的法律依据为标准，信托可分为任意信托、推定信托和法定信托。任意信托(express trust)指信托当事人(委托入、受托人、受益人)的意思要成立信托关系，明确订定在有关信托文件(契约或遗嘱)之中，即这种信托的成立完全以各方当事人的自由意思表示为依据，不受外力干预，故又称“自由信托”，又因其意思表示订定在文件上，亦称为“明示信托”。凡信托关系的成立，并没有订立明确的契约或遗嘱等，而是由法院根据信托关系人的来往书信或其他有关文件记载研究推定三方当事人确曾有建立信托关系的意思，继而明确真正的信托关系的信托称为推定信托。法定信托(Implied or constructive trust)是指依法律的规定来推测当事人的意思所发生的一种信托。即由司法机关确定其法律上信托的效力。 信托业-作用    中国信托业协会顾问王连洲(一)信托拓宽了投资者投资渠道对于投资者来说，存款或购买债券较为稳妥，但收益率较低；投资于股票有可能获得较高收益，但对于投资经验不足的投资者来说，投资股市的风险也很大，而且在资金量有限的情况下，很难做到组合投资、分散风险。此外，股市变幻莫测，投资者缺乏投资经验，加上信息条件的限制，难以在股市中获得很好的投资收益。信托作为一种新型的投资工具，把众多投资者的资金汇集起来进行组合投资，由专家来管理和运作，经营稳定，收益可观，可以专门为投资者设计间接投资工具，投资领域可以组合资本市场、货币市场和实业投资领域，大大拓宽了投资者的投资渠道。信托之所以在许多国家受到投资者的欢迎，发展如此迅速，都与信托作为一种投资工具所具有的独特优势有关。(二)信托通过把储蓄转化为投资，促进了产业发展和经济增长信托吸收社会上的闲散资金，为企业筹集资金创造了良好的融资环境，实际上起到了把储蓄资金转化为生产资金的作用。这种把储蓄转化为投资的机制为产业发展和经济增长提供了重要的资金来源，特别是对于某些基础设施建设项目，个人投资者因为资金规模的限制无法参与，但通过信托方式，汇集大量的个人资金投资于实业项目，不仅增加了个人投资的渠道，同时也为基础设施融资提供了新的来源。而且，随着信托的发展壮大，这种作用将越来越大。(三)信托促进金融市场的发展和完善证券市场作为信托重点投资的市场之一，信托的发展有利于证券市场的稳定。信托由专家来经营管理，他们精通专业知识，投资经验丰富，信息资料齐备，分析手段先进，投资行为相对理性，客观上能起到稳定市场的作用。同时，信托一般注重资本的长期增长，多采取长期的投资行为，不会在证券市场上频繁进出，能减少证券市场的波动。信托有利于货币市场的发展。 《信托投资公司管理办法》规定信托投资公司可以参与同业拆借，信托投资公司管理运用资产的方式可以采用贷款方式，信托投资公司可以用自有资产进行担保，这些业务不仅仅是银行业务的重复，而是对于中国货币市场的补充。商业银行作为货币市场的主要参与者，有其运作的规模效应，但同时也限制了它的灵活性。信托虽没有商业银行的资金优势、网络优势，但其可以直接联系资本市场和实业投资领域，自有其业务灵活性，对于企业的不同的融资需求和理财需求能够设计个性化的方案，丰富货币市场的金融产品。信托业-职能    信托业与信托法规从信托理论和国外信托业发展经验看，信托业的职能主要有财产管理、融通资金、协调经济关系、社会投资和为社会公益事业服务五种。信托业以其独特的，有别于其他金融机构的职能，牢固地在现代各国金融机构体系中占有重要的一席之地，并以其功能的丰富性，而获得“金融百货公司”之美誉。但必须明确的一点是，虽然时值今日，信托业的职能很多，但其原始功能——财产管理功能是其基本职能，其他诸种职能，都是在这一职能的基础上行生而来。(一)财产管理职能财产管理功能是指信托受委托人之托，为之经营管理或处理财产的功能，即“受人之托、为人管业、代人理财”，这是信托业的基本功能。现代信托业所从事的无论是金钱信托还是实物信托，都属于财产管理功能的运用，其理论支持是现代产权理论。在该功能下，信托业作为受托人，必须按委托人的要求或其指定的具体项目，发放贷款或进行投资，为委托人或受益人谋利。而且，信托财产所获收益，全部归受益人享有，信托机构只能按契约规定收取相应手续费。(二)融通资金职能融通资金功能是指信托业作为金融业的一个重要组成部分，本身就赋有调剂资金余缺之功能，并作为信用中介为一国经济建设筹集资金，调剂供求。由于在商品货币经济条件下，财产有相当一部分以货币资金形态存在，因此对这些信托财产的管理和运用就必然伴随着货币资金的融通。表面上看信托业的这一功能与信贷相似，但实则有质的区别：在融资对象上信托既融资又融物；在信用关系上信托体现了委托人、受托人和受益人多边关系；在融资形式上实现了直接融资与间接融资相结合；而在信用形式上信托成为银行信用与商业信用的结合点。因此，信托融资比信贷融资有显著优势。(三)协调经济关系职能协调经济关系功能是指信托业处理和协调交易主体间经济关系和为之提供信任与咨询事务的功能。因其不存在所有权的转移问题，所以有别于前二种功能形式。在现代经济生活中固有的信息不完备和交易主体内存的机会主义行为倾向，使得交易费用越发昂贵。因此，为降低交易费用，弱化交易对方的机会主义行为，交易主体通常都要了解与之经营有关的经济信息，如经济政策、技术可行性、交易对方资信、经营能力、付款能力、经营作风、市场价格、利率、汇率以至生活习俗等。信托机构通过其业务活动而充当“担保人”、“见证人”、“咨询人”、“中介人”，为交易主体提供经济信息和经济保障。(四)社会投资职能。是指信托业运用信托业务手段参与社会投资活动的功能。信托业务的开拓和延伸，必然伴随着投资行为的出现，也只有信托机构享有投资权和具有适当的投资方式的条件下，其财产管理功能的发挥才具有了可靠的基础，因此，信托机构开办投资业务是世界上许多国家的信托机构的普遍做法。信托业的社会投资职能，可以通过信托投资业务和证券投资业务得到体现。在我国，自1979年信托机构恢复以来，信托投资业务一直是其最重要的一项业务，这一点，从我国大多数信托机构都命名为“信托投资公司”可见一斑。因此，社会投资功能可以定位为中国信托业的辅助功能之一，但一定要按照信托原理的要求来对这一功能加以运用和发挥。(五)为社会公益事业服务的职能。是指信托业可以为欲捐款或资助社会公益事业的委托人服务，以实现其特定目的的功能。随着经济的发展和社会文明程度的提高，越来越多的人热心于学术、科研、教育、慈善、宗教等公益事业，纷纷捐款或者设立基金会，但他们一般对捐助或募集的资金缺乏管理经验，并且又希望所热心支持的公益事业能持续下去，于是就有了与信托机构合作办理公益事业的愿望。信托业对公益事业的资金进行运用时，一般采取稳妥而且风险较小的投资方法，如选取政府债券作为投资对象。信托机构开展与公益事业有关的业务时，一般收费较低，有的甚至可不收费，提供无偿服务。综上分析，所得的结论是：由于信托制度是一种财产转移和管理制度，信托业的本质是财产管理机构，所以中国信托业的职能定位应当是：以财产管理功能为主，以融通资金功能次之，而以协调经济关系功能、社会投资功能和为社会公益事业服务功能为辅。 信托业-构成要素     信托业(一)信托行为信托行为是指以信托为目的的法律行为。信托约定(信托关系文件)是信托行为的依据，即信托关系的成立必须有相应的信托关系文件作保证。信托行为的发生必须由委托人和受托人进行约定。(二)信托主体信托主体包括：委托人、受托人以及受益人。1、委托人。委托人是信托的创设者，他应当是具有完全民事行为能力的自然人、法人或者依法成立的其他组织。委托人提供信托财产，确定谁是受益人以及受益人享有的受益权，指定受托人，并有权监督受托人实施信托。2.受托人。受托人承担着管理和处分信托财产的责任，应当是具有完全民事行为能力的自然人或者法人。受托人必须恪尽职守，履行诚实、信用、谨慎、有效管理的义务；必须为受托人的最大利益，依照信托文件和法律的规定管理和处分信托事务。3、受益人。受益人是在信托中享有信托受益权的人，可以是自然人、法人或者依法成立的其他组织，也可以是未出生的胎儿。公益信托的受益人则是社会公众，或者一定范围内的社会公众。(三)信托客体信托客体主要是指信托财产。1、信托财产的定义和范围。信托财产是指受托人承诺信托而取得的财产，以及因管理、运用、处分该财产而取得的财产。通常我们也将前者称为信托财产，而将后者称为信托收益，信托财产和信托收益是广义的信托财产。2、信托财产的特性。信托财产特性主要表现为独立性，具体包括三个方面：(1)信托财产与委托人的自有财产和受托人的固有财产相区别，因此信托财产的安全较有保证。(2)信托设立后，信托财产脱离委托人的控制，由具有理财经验的受托人对其进行有效管理，进而较好地实现信托财产的保值增值。(3)受托人因信托财产的管理、运用或其他情形而取得的财产都归入信托财产。受托人不享有信托利益。3、信托财产的管理。为了保证信托财产的独立性，信托财产必须与受托人自己的固有财产及其他信托财产分别管理。只有分别管理，才能保障各个受益人的利益。如果信托财产是货币，可以放在一起管理、运用，但必须分别计算。信托业-经营方略     1、要重塑信托业的形象，注重品牌效应，突出自身比较优势，实施特色战略，获得崇高信誉，实现规模经营。特色也即要塑造自己的企业个性与风格，要与其他同类公司存同求异，在优势方面重点突破。要明确发展战略，制定业务发展规划，优化内部组织结构，建立起有效的内部控制制度，充分运用信托机制，优化社会资源配置，满足日益强劲的充满个性化特色的金融需求。以市场为依托，以创新为动力，开发信托业务新品种，捕捉信托制度孕育的无限商机。 2、在加入WTO的大变革中，要积极推行国际化战略，加快融入国际金融市场。要推进机构的国际化和信托业务的国际化，要积极与国际金融机构建立战略联盟，让他们参股或成立合资的信托机构，或合作开展信托业务，其立足点以国内为主，时机成熟时走出国门，开拓国际市场。在经营管理上要尽快与国际接轨，进行制度创新，尽快建立符合中国特色的信托模式，要加紧培养和吸纳高素质的国际经济、金融等专业人才，严格执行国际惯例，在境外，首先在香港、纽约等国际金融中心设立业务机构，健全国际业务网络，拓展国际业务领域。要扩大经营规模，降低经营成本，提高国际竞争力，更要注重国际业务的多边化发展，走出去，实现信托业的跨国经营。 3、加强与其他金融机构的战略合作。这种合作并将是金融混业的前奏。要想大规模销售信托品种，尤其是销售个人信托品种，利用银行或证券信托业的网点代理销售是最好的，不仅销售范围大、销售成本低，而且体现了信托业方便客户、服务客户的思想。信托和保险结合的空间也极其广阔，当前可以研究为信托业务提供收益保险，把信托不能承诺的收益改由保险信托业以保险的形式向投资者承诺。这样不仅可以开发新的业务品种，而且能够避开“信托投资公司不能承诺回报”的约束。　　 4、将实业投资领域作为信托业的重要业务领域。管理产业基金或创业基金，接受各种以实业投资为方向的专业资金信托，是信托业树立信托品牌、提高信托市场占有率的捷径，也是与实业经济的最佳结合点。同时信托业应积极参与基础建设和政府重点建设，提供各种形式的项目融资，通过发行信托收益凭证，如发行高速公路收费权收益凭证、电力等公用事业收益凭证等拓展业务空间。由于基础建设具有收益稳定的特点，对追求长期收益稳定的机构和个人投资者有相当的吸引力。 5、促进产业资本和金融资本的深度融合。针对我国转轨经济的特殊要求，支持企业改制，大力开展信托投资业务。发挥资本连接的纽带作用，促进产业资本的扩张；优化资源配置，盘活不良资产；提供财务管理服务，进一步提高资金利用效率；协调劳资关系，提供各种职工信托服务，促进职工企业归属感，在更高层次上激励职工的劳动积极性。立足于结构调整,寻找那些在未来的调整中将成为主导因素的企业、项目或产品,通过为他们提供全方位服务, 可以为企业融资提供担保，在企业治理结构上提供解决方案等等，帮助其提升价值而收益,即努力成为行业整合的战略投资者。 6、针对中国金融业发展滞后的现实，大力开展特色理财服务。运用信贷、拆借、项目投资等多种途径对资产进行组合管理，能够产生组合投资、规避风险、保值增值等多重效果，这是其他类型金融机构所不能比的。开展形式多样的特色信托，如证券信托、债券、信托、产业投资信托，引导个人和企业闲置资金转化为投资，通过收益和风险的合理组合，开发针对不同层次的特色理财服务，必然具有广阔的市场潜力。 7、开发北京市场，善用奥运商机。利用北京将在2008年举办奥运会的契机，在城市基础设施、公益设施建设和环境保护方面采用资金信托、公益信托等方式提供金融服务；此外凭借北京高新技术发展的区域优势，在高新技术领域的风险投资、激励机制的实现等方面提供金融信托服务。 8、积极进行业务创新，构筑高效的业务支持系统。（1）以资金信托为重点,在稳定发展现有委托存贷款业务基础上,重点开拓证券投资信托和个人信托业务。（2）在扩大证券投资基金业务的同时,积极筹组产业投资基金,探索国有股的收购和重组工作。（3）积极配合国家有关部门研究和设计国有股减持方案和社保基金管理方案,寻找国外金融机构共同拓展中国养老金管理市场。（4）受托开展债权清理和企业股权托管业务,同时开展财务顾问、管理咨询等业务。在业务创新的同时,还必须进行与之相适应的体制创新、制度创新、机制创新、组织创新和经营理念创新等一系列配套的创新,使业务创新得到保障和支持。培育一支稳定的、高素质的经营管理团队；实行优良的激励机制与作业机制；建立广泛的社会资源与业务管道。 经营管理者深层次策划，实行基本战略，并主动推进结构性、系统化的改革，自觉完善制度，优化管理，促进整个目标及过程的深入推进与展开，这便是战略经营管理的优化效应。努力增强信托业的经济实力，扩大社会影响力，提高知名度，树立美誉度，增殖无形资产，乃信托业战略实施之大计。战略思维，理性决策，果敢实践，信托业必将在“战略制胜”的知识经济时代中迎来新的辉煌。
三角函数目录[隐藏]起源同角三角函数间的基本关系式：三角函数的诱导公式正余弦定理三角恒等式部分高等内容三角函数的计算三角函数定义域和值域初等三角函数导数反三角函数 起源同角三角函数间的基本关系式：三角函数的诱导公式正余弦定理 三角恒等式部分高等内容三角函数的计算三角函数定义域和值域初等三角函数导数反三角函数  [编辑本段]起源　　历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用． 　　（一） 　　??马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方程的研究．由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽． 　　??自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆，原理是什么?还有，研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念，这是函数概念的力学来源． 　　（二） 　　??早在函数概念尚未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数，比如对数函数、三角函数、双曲函数等等．1673年前后笛卡儿在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义． 　　??1673年，莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量．由此可以看出，函数一词最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的，几乎与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用另一名词“流量”来表示变量间的关系，直到1689年，瑞士数学家约翰·贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义，贝努里把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为yx. 　　??当时，由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算，所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x和常数c而成的式子，取名为解析函数，还将它分成了“代数函数”与“超越函数”． 　　??18世纪中叶，由于研究弦振动问题，达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函数”的说法．在解释“任意的函数”概念的时候，达朗贝尔说是指“任意的解析式”，而欧拉则认为是“任意画出的一条曲线”．现在看来这都是函数的表达方式，是函数概念的外延． 　　（三） 　　??函数概念缺乏科学的定义，引起了理论与实践的尖锐矛盾．例如，偏微分方程在工程技术中有广泛应用，但由于没有函数的科学定义，就极大地限制了偏微分方程理论的建立．1833年至1834年，高斯开始把注意力转向物理学．他在和W·威伯尔合作发明电报的过程中，做了许多关于磁的实验工作，提出了“力与距离的平方成反比例”这个重要的理论，使得函数作为数学的一个独立分支而出现了，实际的需要促使人们对函数的定义进一步研究． 　　??后来，人们又给出了这样的定义：如果一个量依赖着另一个量，当后一量变化时前一量也随着变化，那么第一个量称为第二个量的函数．“这个定义虽然还没有道出函数的本质，但却把变化、运动注入到函数定义中去，是可喜的进步．” 　　??在函数概念发展史上，法国数学家富里埃的工作影响最大，富里埃深刻地揭示了函数的本质，主张函数不必局限于解析表达式．1822年，他在名著《热的解析理论》中说，“通常，函数表示相接的一组值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的……，我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律；他们以任何方式一个挨一个．”在该书中，他用一个三角级数和的形式表达了一个由不连续的“线”所给出的函数．更确切地说就是，任意一个以2π为周期函数，在〔－π，π〕区间内，可以由 　　?表示出，其中 　　??富里埃的研究，从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想，在当时的数学界引起了很大的震动．原来，在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟，级数把解析式和曲线沟通了，那种视函数为解析式的观点终于成为揭示函数关系的巨大障碍． 　　??通过一场争论，产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义． 　　??1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每个x都有确定的值，并且随着x一起变化．函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法．函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的．”这个定义建立了变量与函数之间的对应关系，是对函数概念的一个重大发展，因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分． 　　??1837年，德国数学家狄里克莱（Dirichlet）认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，所以他的定义是：“如果对于x的每一值，y总有完全确定的值与之对应，则y是x的函数．” 　　??根据这个定义，即使像如下表述的，它仍然被说成是函数（狄里克莱函数）： 　　f（x）= 1???（x为有理数）， 　　0???（x为无理数）． 　　??在这个函数中，如果x由0逐渐增大地取值，则f（x）忽0忽1．在无论怎样小的区间里，f（x）无限止地忽0忽1．因此，它难用一个或几个式子来加以表示，甚至究竟能否找出表达式也是一个问题．但是不管其能否用表达式表示，在狄里克莱的定义下，这个f（x）仍是一个函数． 　　??狄里克莱的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受．至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义． 　　（四） 　　??生产实践和科学实验的进一步发展，又引起函数概念新的尖锐矛盾，本世纪20年代，人类开始研究微观物理现象．1930年量子力学问世了，在量子力学中需要用到一种新的函数——δ-函数， 　　即?ρ（x）＝ 0，x≠0， 　　∞,x=0． 　　且 　　??δ-函数的出现，引起了人们的激烈争论．按照函数原来的定义，只允许数与数之间建立对应关系，而没有把“∞”作为数．另外，对于自变量只有一个点不为零的函数，其积分值却不等于零，这也是不可想象的．然而，δ-函数确实是实际模型的抽象．例如，当汽车、火车通过桥梁时，自然对桥梁产生压力．从理论上讲，车辆的轮子和桥面的接触点只有一个，设车辆对轨道、桥面的压力为一单位，这时在接触点x=0处的压强是 　　??P（0）=压力／接触面=1／0=∞． 　　??其余点x≠0处，因无压力，故无压强，即?P（x）=0.另外，我们知道压强函数的积分等于压力，即 　　?函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展，产生了新的现代函数定义：若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f（x）.元素x称为自变元，元素y称为因变元． 　　??函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字，但却是概念上的重大发展，是数学发展道路上的重大转折，近代的泛函分析可以作为这种转折的标志，它研究的是一般集合上的函数关系． 　　??函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革，形成了函数的现代定义，应该说已经相当完善了．不过数学的发展是无止境的，函数现代定义的形式并不意味着函数概念发展的历史终结，近二十年来，数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念—“关系”． 　　??设集合X、Y，我们定义X与Y的积集X×Y为 　　??X×Y=｛（x,y）｜x∈X,y∈Y｝． 　　??积集X×Y中的一子集R称为X与Y的一个关系，若（x,y）∈R，则称x与y有关系R，记为xRy.若（x,y）R，则称x与y无关系． 　　??现设f是X与Y的关系，即fX×Y，如果（x,y），（x,z）∈f,必有y=z，那么称f为X到Y的函数．在此定义中，已在形式上回避了“对应”的术语，全部使用集合论的语言了． 　　??从以上函数概念发展的全过程中，我们体会到，联系实际、联系大量数学素材，研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要． 　　三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。　　由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。　　三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。　　基本初等内容　　它有六种基本函数(初等基本表示)：　　函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割　　(见:函数图形曲线)　　三角函数图形曲线在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有　　正弦函数 sinθ=y/r　　余弦函数 cosθ=x/r　　正切函数 tanθ=y/x　　余切函数 cotθ=x/y　　正割函数 secθ=r/x　　余割函数 cscθ=r/y　　（斜边为r，对边为y，邻边为x。）　　以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：　　正矢函数 versinθ =1-cosθ　　余矢函数 coversθ =1-sinθ　　正弦（sin）:角α的对边比上斜边 　　余弦（cos）:角α的邻边比上斜边 　　正切（tan）:角α的对边比上邻边 　　余切（cot）:角α的邻边比上对边 　　正割（sec）:角α的斜边比上邻边 　　余割（csc）:角α的斜边比上对边[编辑本段]同角三角函数间的基本关系式：　　·平方关系：　　sin^2α＋cos^2α＝1　　1＋tan^2α＝sec^2α　　1＋cot^2α＝csc^2α　　·积的关系：　　sinα=tanα×cosα　　cosα=cotα×sinα　　tanα=sinα×secα 　　cotα=cosα×cscα　　secα=tanα×cscα 　　cscα=secα×cotα　　·倒数关系：　　tanα ·cotα＝1　　sinα ·cscα＝1　　cosα ·secα＝1　　商的关系：　　sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα　　cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα　　直角三角形ABC中, 　　角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 　　余弦等于角A的邻边比斜边 　　正切等于对边比邻边,　　·[1]三角函数恒等变形公式　　·两角和与差的三角函数：　　cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ　　cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ　　sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)　　·三角和的三角函数：　　sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ　　cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ　　tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)　　·辅助角公式：　　Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+t)，其中　　sint=B/(A²+B²)^(1/2)　　cost=A/(A²+B²)^(1/2)　　tant=B/A　　Asinα-Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B　　·倍角公式：　　sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)　　cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)　　tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)]　　·三倍角公式：　　sin(3α)=3sinα-4sin³(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α)　　cos(3α)=4cos³(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α) 　　tan(3α)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)　　·半角公式：　　sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)　　cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)　　tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα　　·降幂公式　　sin²(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2　　cos²(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2　　tan²(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))　　·万能公式：　　sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]　　cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]　　tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]　　·积化和差公式：　　sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]　　cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]　　cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]　　sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]　　·和差化积公式： 　　sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]　　sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]　　cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]　　cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]　　·推导公式　　tanα+cotα=2/sin2α　　tanα-cotα=-2cot2α　　1+cos2α=2cos²α　　1-cos2α=2sin²α　　1+sinα=(sinα/2+cosα/2)²　　·其他：　　sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0　　cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及　　sin²(α)+sin²(α-2π/3)+sin²(α+2π/3)=3/2　　tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0　　cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx　　证明：　　左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx　　=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx （积化和差）　　=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边　　等式得证　　sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx　　证明:　　左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)　　=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)　　=- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边　　等式得证[编辑本段]三角函数的诱导公式　　公式一： 　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 　　sin（2kπ＋α）＝sinα 　　cos（2kπ＋α）＝cosα 　　tan（2kπ＋α）＝tanα 　　cot（2kπ＋α）＝cotα 　　公式二： 　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 　　sin（π＋α）＝－sinα 　　cos（π＋α）＝－cosα 　　tan（π＋α）＝tanα 　　cot（π＋α）＝cotα 　　公式三： 　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 　　sin（－α）＝－sinα 　　cos（－α）＝cosα 　　tan（－α）＝－tanα 　　cot（－α）＝－cotα 　　公式四： 　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 　　sin（π－α）＝sinα 　　cos（π－α）＝－cosα 　　tan（π－α）＝－tanα 　　cot（π－α）＝－cotα 　　公式五： 　　利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 　　sin（2π－α）＝－sinα 　　cos（2π－α）＝cosα 　　tan（2π－α）＝－tanα 　　cot（2π－α）＝－cotα 　　公式六： 　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 　　sin（π/2＋α）＝cosα 　　cos（π/2＋α）＝－sinα 　　tan（π/2＋α）＝－cotα 　　cot（π/2＋α）＝－tanα 　　sin（π/2－α）＝cosα 　　cos（π/2－α）＝sinα 　　tan（π/2－α）＝cotα 　　cot（π/2－α）＝tanα 　　sin（3π/2＋α）＝－cosα 　　cos（3π/2＋α）＝sinα 　　tan（3π/2＋α）＝－cotα 　　cot（3π/2＋α）＝－tanα 　　sin（3π/2－α）＝－cosα 　　cos（3π/2－α）＝－sinα 　　tan（3π/2－α）＝cotα 　　cot（3π/2－α）＝tanα 　　(以上k∈Z)[编辑本段]正余弦定理　　正弦定理是指在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ．(其中R为外接圆的半径) 　　余弦定理是指三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bc cosA　　角A的对边于斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即sinA=角A的对边/斜边　　斜边与邻边夹角a　　sin=y/r　　无论y&x或y≤x 　　无论a多大多小可以任意大小 　　正弦的最大值为1 最小值为-1　　　　三角恒等式　　对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC　　证明:　　已知(A+B)=(π-C)　　所以tan(A+B)=tan(π-C)　　则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)　　整理可得　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC　　类似地,我们同样也可以求证:当α+β+γ=nπ(n∈Z)时，总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ[编辑本段]部分高等内容　　·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：　　sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)　　cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2　　tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]　　泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… 　　此时三角函数定义域已推广至整个复数集。　　·三角函数作为微分方程的解：　　对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明　　Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。　　补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的　各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，
三角函数目录[隐藏]起源同角三角函数间的基本关系式：三角函数的诱导公式正余弦定理三角恒等式部分高等内容三角函数的计算三角函数定义域和值域初等三角函数导数反三角函数 起源同角三角函数间的基本关系式：三角函数的诱导公式正余弦定理 三角恒等式部分高等内容三角函数的计算三角函数定义域和值域初等三角函数导数反三角函数  [编辑本段]起源　　历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用． 　　（一） 　　??马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方程的研究．由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽． 　　??自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆，原理是什么?还有，研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念，这是函数概念的力学来源． 　　（二） 　　??早在函数概念尚未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数，比如对数函数、三角函数、双曲函数等等．1673年前后笛卡儿在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义． 　　??1673年，莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量．由此可以看出，函数一词最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的，几乎与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用另一名词“流量”来表示变量间的关系，直到1689年，瑞士数学家约翰·贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义，贝努里把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为yx. 　　??当时，由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算，所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x和常数c而成的式子，取名为解析函数，还将它分成了“代数函数”与“超越函数”． 　　??18世纪中叶，由于研究弦振动问题，达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函数”的说法．在解释“任意的函数”概念的时候，达朗贝尔说是指“任意的解析式”，而欧拉则认为是“任意画出的一条曲线”．现在看来这都是函数的表达方式，是函数概念的外延． 　　（三） 　　??函数概念缺乏科学的定义，引起了理论与实践的尖锐矛盾．例如，偏微分方程在工程技术中有广泛应用，但由于没有函数的科学定义，就极大地限制了偏微分方程理论的建立．1833年至1834年，高斯开始把注意力转向物理学．他在和W·威伯尔合作发明电报的过程中，做了许多关于磁的实验工作，提出了“力与距离的平方成反比例”这个重要的理论，使得函数作为数学的一个独立分支而出现了，实际的需要促使人们对函数的定义进一步研究． 　　??后来，人们又给出了这样的定义：如果一个量依赖着另一个量，当后一量变化时前一量也随着变化，那么第一个量称为第二个量的函数．“这个定义虽然还没有道出函数的本质，但却把变化、运动注入到函数定义中去，是可喜的进步．” 　　??在函数概念发展史上，法国数学家富里埃的工作影响最大，富里埃深刻地揭示了函数的本质，主张函数不必局限于解析表达式．1822年，他在名著《热的解析理论》中说，“通常，函数表示相接的一组值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的……，我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律；他们以任何方式一个挨一个．”在该书中，他用一个三角级数和的形式表达了一个由不连续的“线”所给出的函数．更确切地说就是，任意一个以2π为周期函数，在〔－π，π〕区间内，可以由 　　?表示出，其中 　　??富里埃的研究，从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想，在当时的数学界引起了很大的震动．原来，在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟，级数把解析式和曲线沟通了，那种视函数为解析式的观点终于成为揭示函数关系的巨大障碍． 　　??通过一场争论，产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义． 　　??1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每个x都有确定的值，并且随着x一起变化．函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法．函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的．”这个定义建立了变量与函数之间的对应关系，是对函数概念的一个重大发展，因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分． 　　??1837年，德国数学家狄里克莱（Dirichlet）认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，所以他的定义是：“如果对于x的每一值，y总有完全确定的值与之对应，则y是x的函数．” 　　??根据这个定义，即使像如下表述的，它仍然被说成是函数（狄里克莱函数）： 　　f（x）= 1???（x为有理数）， 　　0???（x为无理数）． 　　??在这个函数中，如果x由0逐渐增大地取值，则f（x）忽0忽1．在无论怎样小的区间里，f（x）无限止地忽0忽1．因此，它难用一个或几个式子来加以表示，甚至究竟能否找出表达式也是一个问题．但是不管其能否用表达式表示，在狄里克莱的定义下，这个f（x）仍是一个函数． 　　??狄里克莱的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受．至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义． 　　（四） 　　??生产实践和科学实验的进一步发展，又引起函数概念新的尖锐矛盾，本世纪20年代，人类开始研究微观物理现象．1930年量子力学问世了，在量子力学中需要用到一种新的函数——δ-函数， 　　即?ρ（x）＝ 0，x≠0， 　　∞,x=0． 　　且 　　??δ-函数的出现，引起了人们的激烈争论．按照函数原来的定义，只允许数与数之间建立对应关系，而没有把“∞”作为数．另外，对于自变量只有一个点不为零的函数，其积分值却不等于零，这也是不可想象的．然而，δ-函数确实是实际模型的抽象．例如，当汽车、火车通过桥梁时，自然对桥梁产生压力．从理论上讲，车辆的轮子和桥面的接触点只有一个，设车辆对轨道、桥面的压力为一单位，这时在接触点x=0处的压强是 　　??P（0）=压力／接触面=1／0=∞． 　　??其余点x≠0处，因无压力，故无压强，即?P（x）=0.另外，我们知道压强函数的积分等于压力，即 　　?函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展，产生了新的现代函数定义：若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f（x）.元素x称为自变元，元素y称为因变元． 　　??函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字，但却是概念上的重大发展，是数学发展道路上的重大转折，近代的泛函分析可以作为这种转折的标志，它研究的是一般集合上的函数关系． 　　??函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革，形成了函数的现代定义，应该说已经相当完善了．不过数学的发展是无止境的，函数现代定义的形式并不意味着函数概念发展的历史终结，近二十年来，数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念—“关系”． 　　??设集合X、Y，我们定义X与Y的积集X×Y为 　　??X×Y=｛（x,y）｜x∈X,y∈Y｝． 　　??积集X×Y中的一子集R称为X与Y的一个关系，若（x,y）∈R，则称x与y有关系R，记为xRy.若（x,y）R，则称x与y无关系． 　　??现设f是X与Y的关系，即fX×Y，如果（x,y），（x,z）∈f,必有y=z，那么称f为X到Y的函数．在此定义中，已在形式上回避了“对应”的术语，全部使用集合论的语言了． 　　??从以上函数概念发展的全过程中，我们体会到，联系实际、联系大量数学素材，研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要． 　　三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。　　由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。　　三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。　　基本初等内容　　它有六种基本函数(初等基本表示)：　　函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割　　(见:函数图形曲线)　　三角函数图形曲线在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有　　正弦函数 sinθ=y/r　　余弦函数 cosθ=x/r　　正切函数 tanθ=y/x　　余切函数 cotθ=x/y　　正割函数 secθ=r/x　　余割函数 cscθ=r/y　　（斜边为r，对边为y，邻边为x。）　　以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：　　正矢函数 versinθ =1-cosθ　　余矢函数 coversθ =1-sinθ　　正弦（sin）:角α的对边比上斜边 　　余弦（cos）:角α的邻边比上斜边 　　正切（tan）:角α的对边比上邻边 　　余切（cot）:角α的邻边比上对边 　　正割（sec）:角α的斜边比上邻边 　　余割（csc）:角α的斜边比上对边[编辑本段]同角三角函数间的基本关系式：　　·平方关系：　　sin^2α＋cos^2α＝1　　1＋tan^2α＝sec^2α　　1＋cot^2α＝csc^2α　　·积的关系：　　sinα=tanα×cosα　　cosα=cotα×sinα　　tanα=sinα×secα 　　cotα=cosα×cscα　　secα=tanα×cscα 　　cscα=secα×cotα　　·倒数关系：　　tanα ·cotα＝1　　sinα ·cscα＝1　　cosα ·secα＝1　　商的关系：　　sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα　　cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα　　直角三角形ABC中, 　　角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 　　余弦等于角A的邻边比斜边 　　正切等于对边比邻边,　　·[1]三角函数恒等变形公式　　·两角和与差的三角函数：　　cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ　　cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ　　sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)　　·三角和的三角函数：　　sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ　　cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ　　tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)　　·辅助角公式：　　Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+t)，其中　　sint=B/(A²+B²)^(1/2)　　cost=A/(A²+B²)^(1/2)　　tant=B/A　　Asinα-Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B　　·倍角公式：　　sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)　　cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)　　tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)]　　·三倍角公式：　　sin(3α)=3sinα-4sin³(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α)　　cos(3α)=4cos³(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α) 　　tan(3α)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)　　·半角公式：　　sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)　　cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)　　tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα　　·降幂公式　　sin²(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2　　cos²(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2　　tan²(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))　　·万能公式：　　sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]　　cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]　　tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]　　·积化和差公式：　　sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]　　cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]　　cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]　　sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]　　·和差化积公式： 　　sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]　　sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]　　cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]　　cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]　　·推导公式　　tanα+cotα=2/sin2α　　tanα-cotα=-2cot2α　　1+cos2α=2cos²α　　1-cos2α=2sin²α　　1+sinα=(sinα/2+cosα/2)²　　·其他：　　sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0　　cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及　　sin²(α)+sin²(α-2π/3)+sin²(α+2π/3)=3/2　　tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0　　cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx　　证明：　　左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx　　=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx （积化和差）　　=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边　　等式得证　　sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx　　证明:　　左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)　　=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)　　=- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边　　等式得证[编辑本段]三角函数的诱导公式　　公式一： 　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 　　sin（2kπ＋α）＝sinα 　　cos（2kπ＋α）＝cosα 　　tan（2kπ＋α）＝tanα 　　cot（2kπ＋α）＝cotα 　　公式二： 　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 　　sin（π＋α）＝－sinα 　　cos（π＋α）＝－cosα 　　tan（π＋α）＝tanα 　　cot（π＋α）＝cotα 　　公式三： 　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 　　sin（－α）＝－sinα 　　cos（－α）＝cosα 　　tan（－α）＝－tanα 　　cot（－α）＝－cotα 　　公式四： 　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 　　sin（π－α）＝sinα 　　cos（π－α）＝－cosα 　　tan（π－α）＝－tanα 　　cot（π－α）＝－cotα 　　公式五： 　　利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 　　sin（2π－α）＝－sinα 　　cos（2π－α）＝cosα 　　tan（2π－α）＝－tanα 　　cot（2π－α）＝－cotα 　　公式六： 　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 　　sin（π/2＋α）＝cosα 　　cos（π/2＋α）＝－sinα 　　tan（π/2＋α）＝－cotα 　　cot（π/2＋α）＝－tanα 　　sin（π/2－α）＝cosα 　　cos（π/2－α）＝sinα 　　tan（π/2－α）＝cotα 　　cot（π/2－α）＝tanα 　　sin（3π/2＋α）＝－cosα 　　cos（3π/2＋α）＝sinα 　　tan（3π/2＋α）＝－cotα 　　cot（3π/2＋α）＝－tanα 　　sin（3π/2－α）＝－cosα 　　cos（3π/2－α）＝－sinα 　　tan（3π/2－α）＝cotα 　　cot（3π/2－α）＝tanα 　　(以上k∈Z)[编辑本段]正余弦定理　　正弦定理是指在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ．(其中R为外接圆的半径) 　　余弦定理是指三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bc cosA　　角A的对边于斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即sinA=角A的对边/斜边　　斜边与邻边夹角a　　sin=y/r　　无论y&x或y≤x 　　无论a多大多小可以任意大小 　　正弦的最大值为1 最小值为-1　　　　三角恒等式　　对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC　　证明:　　已知(A+B)=(π-C)　　所以tan(A+B)=tan(π-C)　　则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)　　整理可得　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC　　类似地,我们同样也可以求证:当α+β+γ=nπ(n∈Z)时，总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ[编辑本段]部分高等内容　　·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：　　sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)　　cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2　　tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]　　泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… 　　此时三角函数定义域已推广至整个复数集。　　·三角函数作为微分方程的解：　　对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明　　Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。　　补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的　各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，
三角函数目录[隐藏]起源同角三角函数间的基本关系式：三角函数的诱导公式正余弦定理三角恒等式部分高等内容三角函数的计算三角函数定义域和值域初等三角函数导数反三角函数 起源同角三角函数间的基本关系式：三角函数的诱导公式正余弦定理 三角恒等式部分高等内容三角函数的计算三角函数定义域和值域初等三角函数导数反三角函数  [编辑本段]起源　　历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用． 　　（一） 　　??马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方程的研究．由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽． 　　??自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆，原理是什么?还有，研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念，这是函数概念的力学来源． 　　（二） 　　??早在函数概念尚未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数，比如对数函数、三角函数、双曲函数等等．1673年前后笛卡儿在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义． 　　??1673年，莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量．由此可以看出，函数一词最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的，几乎与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用另一名词“流量”来表示变量间的关系，直到1689年，瑞士数学家约翰·贝努里才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义，贝努里把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为yx. 　　??当时，由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算，所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数x和常数c而成的式子，取名为解析函数，还将它分成了“代数函数”与“超越函数”． 　　??18世纪中叶，由于研究弦振动问题，达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函数”的说法．在解释“任意的函数”概念的时候，达朗贝尔说是指“任意的解析式”，而欧拉则认为是“任意画出的一条曲线”．现在看来这都是函数的表达方式，是函数概念的外延． 　　（三） 　　??函数概念缺乏科学的定义，引起了理论与实践的尖锐矛盾．例如，偏微分方程在工程技术中有广泛应用，但由于没有函数的科学定义，就极大地限制了偏微分方程理论的建立．1833年至1834年，高斯开始把注意力转向物理学．他在和W·威伯尔合作发明电报的过程中，做了许多关于磁的实验工作，提出了“力与距离的平方成反比例”这个重要的理论，使得函数作为数学的一个独立分支而出现了，实际的需要促使人们对函数的定义进一步研究． 　　??后来，人们又给出了这样的定义：如果一个量依赖着另一个量，当后一量变化时前一量也随着变化，那么第一个量称为第二个量的函数．“这个定义虽然还没有道出函数的本质，但却把变化、运动注入到函数定义中去，是可喜的进步．” 　　??在函数概念发展史上，法国数学家富里埃的工作影响最大，富里埃深刻地揭示了函数的本质，主张函数不必局限于解析表达式．1822年，他在名著《热的解析理论》中说，“通常，函数表示相接的一组值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的……，我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律；他们以任何方式一个挨一个．”在该书中，他用一个三角级数和的形式表达了一个由不连续的“线”所给出的函数．更确切地说就是，任意一个以2π为周期函数，在〔－π，π〕区间内，可以由 　　?表示出，其中 　　??富里埃的研究，从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想，在当时的数学界引起了很大的震动．原来，在解析式和曲线之间并不存在不可逾越的鸿沟，级数把解析式和曲线沟通了，那种视函数为解析式的观点终于成为揭示函数关系的巨大障碍． 　　??通过一场争论，产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义． 　　??1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每个x都有确定的值，并且随着x一起变化．函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法．函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的．”这个定义建立了变量与函数之间的对应关系，是对函数概念的一个重大发展，因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分． 　　??1837年，德国数学家狄里克莱（Dirichlet）认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，所以他的定义是：“如果对于x的每一值，y总有完全确定的值与之对应，则y是x的函数．” 　　??根据这个定义，即使像如下表述的，它仍然被说成是函数（狄里克莱函数）： 　　f（x）= 1???（x为有理数）， 　　0???（x为无理数）． 　　??在这个函数中，如果x由0逐渐增大地取值，则f（x）忽0忽1．在无论怎样小的区间里，f（x）无限止地忽0忽1．因此，它难用一个或几个式子来加以表示，甚至究竟能否找出表达式也是一个问题．但是不管其能否用表达式表示，在狄里克莱的定义下，这个f（x）仍是一个函数． 　　??狄里克莱的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受．至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义． 　　（四） 　　??生产实践和科学实验的进一步发展，又引起函数概念新的尖锐矛盾，本世纪20年代，人类开始研究微观物理现象．1930年量子力学问世了，在量子力学中需要用到一种新的函数——δ-函数， 　　即?ρ（x）＝ 0，x≠0， 　　∞,x=0． 　　且 　　??δ-函数的出现，引起了人们的激烈争论．按照函数原来的定义，只允许数与数之间建立对应关系，而没有把“∞”作为数．另外，对于自变量只有一个点不为零的函数，其积分值却不等于零，这也是不可想象的．然而，δ-函数确实是实际模型的抽象．例如，当汽车、火车通过桥梁时，自然对桥梁产生压力．从理论上讲，车辆的轮子和桥面的接触点只有一个，设车辆对轨道、桥面的压力为一单位，这时在接触点x=0处的压强是 　　??P（0）=压力／接触面=1／0=∞． 　　??其余点x≠0处，因无压力，故无压强，即?P（x）=0.另外，我们知道压强函数的积分等于压力，即 　　?函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展，产生了新的现代函数定义：若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f（x）.元素x称为自变元，元素y称为因变元． 　　??函数的现代定义与经典定义从形式上看虽然只相差几个字，但却是概念上的重大发展，是数学发展道路上的重大转折，近代的泛函分析可以作为这种转折的标志，它研究的是一般集合上的函数关系． 　　??函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革，形成了函数的现代定义，应该说已经相当完善了．不过数学的发展是无止境的，函数现代定义的形式并不意味着函数概念发展的历史终结，近二十年来，数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念—“关系”． 　　??设集合X、Y，我们定义X与Y的积集X×Y为 　　??X×Y=｛（x,y）｜x∈X,y∈Y｝． 　　??积集X×Y中的一子集R称为X与Y的一个关系，若（x,y）∈R，则称x与y有关系R，记为xRy.若（x,y）R，则称x与y无关系． 　　??现设f是X与Y的关系，即fX×Y，如果（x,y），（x,z）∈f,必有y=z，那么称f为X到Y的函数．在此定义中，已在形式上回避了“对应”的术语，全部使用集合论的语言了． 　　??从以上函数概念发展的全过程中，我们体会到，联系实际、联系大量数学素材，研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要． 　　三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。　　由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。　　三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。　　基本初等内容　　它有六种基本函数(初等基本表示)：　　函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割　　(见:函数图形曲线)　　三角函数图形曲线在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有　　正弦函数 sinθ=y/r　　余弦函数 cosθ=x/r　　正切函数 tanθ=y/x　　余切函数 cotθ=x/y　　正割函数 secθ=r/x　　余割函数 cscθ=r/y　　（斜边为r，对边为y，邻边为x。）　　以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：　　正矢函数 versinθ =1-cosθ　　余矢函数 coversθ =1-sinθ　　正弦（sin）:角α的对边比上斜边 　　余弦（cos）:角α的邻边比上斜边 　　正切（tan）:角α的对边比上邻边 　　余切（cot）:角α的邻边比上对边 　　正割（sec）:角α的斜边比上邻边 　　余割（csc）:角α的斜边比上对边[编辑本段]同角三角函数间的基本关系式：　　·平方关系：　　sin^2α＋cos^2α＝1　　1＋tan^2α＝sec^2α　　1＋cot^2α＝csc^2α　　·积的关系：　　sinα=tanα×cosα　　cosα=cotα×sinα　　tanα=sinα×secα 　　cotα=cosα×cscα　　secα=tanα×cscα 　　cscα=secα×cotα　　·倒数关系：　　tanα ·cotα＝1　　sinα ·cscα＝1　　cosα ·secα＝1　　商的关系：　　sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα　　cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα　　直角三角形ABC中, 　　角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 　　余弦等于角A的邻边比斜边 　　正切等于对边比邻边,　　·[1]三角函数恒等变形公式　　·两角和与差的三角函数：　　cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ　　cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ　　sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ　　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)　　tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)　　·三角和的三角函数：　　sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ　　cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ　　tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)　　·辅助角公式：　　Asinα+Bcosα=(A²+B²)^(1/2)sin(α+t)，其中　　sint=B/(A²+B²)^(1/2)　　cost=A/(A²+B²)^(1/2)　　tant=B/A　　Asinα-Bcosα=(A²+B²)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B　　·倍角公式：　　sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)　　cos(2α)=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α)　　tan(2α)=2tanα/[1-tan²(α)]　　·三倍角公式：　　sin(3α)=3sinα-4sin³(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α)　　cos(3α)=4cos³(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α) 　　tan(3α)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)　　·半角公式：　　sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)　　cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)　　tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα　　·降幂公式　　sin²(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2　　cos²(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2　　tan²(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))　　·万能公式：　　sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]　　cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]　　tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]　　·积化和差公式：　　sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]　　cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]　　cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]　　sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]　　·和差化积公式： 　　sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]　　sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]　　cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]　　cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]　　·推导公式　　tanα+cotα=2/sin2α　　tanα-cotα=-2cot2α　　1+cos2α=2cos²α　　1-cos2α=2sin²α　　1+sinα=(sinα/2+cosα/2)²　　·其他：　　sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0　　cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及　　sin²(α)+sin²(α-2π/3)+sin²(α+2π/3)=3/2　　tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0　　cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx　　证明：　　左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)/2sinx　　=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]/2sinx （积化和差）　　=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx=右边　　等式得证　　sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx　　证明:　　左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/(-2sinx)　　=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x]/(-2sinx)　　=- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边　　等式得证[编辑本段]三角函数的诱导公式　　公式一： 　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 　　sin（2kπ＋α）＝sinα 　　cos（2kπ＋α）＝cosα 　　tan（2kπ＋α）＝tanα 　　cot（2kπ＋α）＝cotα 　　公式二： 　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 　　sin（π＋α）＝－sinα 　　cos（π＋α）＝－cosα 　　tan（π＋α）＝tanα 　　cot（π＋α）＝cotα 　　公式三： 　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 　　sin（－α）＝－sinα 　　cos（－α）＝cosα 　　tan（－α）＝－tanα 　　cot（－α）＝－cotα 　　公式四： 　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 　　sin（π－α）＝sinα 　　cos（π－α）＝－cosα 　　tan（π－α）＝－tanα 　　cot（π－α）＝－cotα 　　公式五： 　　利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 　　sin（2π－α）＝－sinα 　　cos（2π－α）＝cosα 　　tan（2π－α）＝－tanα 　　cot（2π－α）＝－cotα 　　公式六： 　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 　　sin（π/2＋α）＝cosα 　　cos（π/2＋α）＝－sinα 　　tan（π/2＋α）＝－cotα 　　cot（π/2＋α）＝－tanα 　　sin（π/2－α）＝cosα 　　cos（π/2－α）＝sinα 　　tan（π/2－α）＝cotα 　　cot（π/2－α）＝tanα 　　sin（3π/2＋α）＝－cosα 　　cos（3π/2＋α）＝sinα 　　tan（3π/2＋α）＝－cotα 　　cot（3π/2＋α）＝－tanα 　　sin（3π/2－α）＝－cosα 　　cos（3π/2－α）＝－sinα 　　tan（3π/2－α）＝cotα 　　cot（3π/2－α）＝tanα 　　(以上k∈Z)[编辑本段]正余弦定理　　正弦定理是指在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ．(其中R为外接圆的半径) 　　余弦定理是指三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bc cosA　　角A的对边于斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即sinA=角A的对边/斜边　　斜边与邻边夹角a　　sin=y/r　　无论y&x或y≤x 　　无论a多大多小可以任意大小 　　正弦的最大值为1 最小值为-1　　　　三角恒等式　　对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC　　证明:　　已知(A+B)=(π-C)　　所以tan(A+B)=tan(π-C)　　则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)　　整理可得　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC　　类似地,我们同样也可以求证:当α+β+γ=nπ(n∈Z)时，总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ[编辑本段]部分高等内容　　·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：　　sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)　　cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2　　tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]　　泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… 　　此时三角函数定义域已推广至整个复数集。　　·三角函数作为微分方程的解：　　对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明　　Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。　　补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的　各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，
事后抢劫罪是指犯盗窃、诈骗、抢夺罪，为窝藏赃物，抗拒抓捕或者毁灭罪证，于行为时实施暴力或者胁迫的行为。理论上，称为准抢劫罪或事后抢劫罪。事后抢劫的犯罪主体、犯罪实行行为、犯罪的停止形态的判断、共犯的成立均迥异于一般抢劫罪。目录[隐藏] ? 与抢劫罪区别 ? 犯罪的主体 ? 不可能是既遂 ? 犯罪实行行为 ? 犯罪停止形态 ? 犯罪的共犯 ? 相关词条 ? 参考资料 事后抢劫罪-与抢劫罪区别    抢劫罪的定罪与量刑 抢劫罪是指以非法占有为目的，以暴力或以当场实施暴力相威胁，或以其他使被害人不能抗拒的方法，当场劫取公私财物的行为。而事后抢劫罪是指犯盗窃、诈骗、抢夺罪，为窝藏赃物，抗拒抓捕或者毁灭罪证，于行为时实施暴力或者胁迫的行为。理论上，前者称为一般抢劫罪，后者称为准抢劫罪或事后抢劫罪。值得注意的是按照德、日刑法学界的观点，准抢劫罪包括事后抢劫罪和昏睡抢劫罪，可见在德国和日本，准抢劫罪和事后抢劫罪内涵和外延并不相同，它们之间具有种属关系。但根据中国刑法典，昏睡抢劫属于使用暴力、胁迫以外，使被害人不能反抗的其他方法，劫取财物的一般抢劫。正是因为有这些差异，为了避免不必要的争议，本文用事后抢劫而不用准抢劫。尽管大多数国家和地区都规定了事后抢劫罪，比如德国、日本、韩国和中国的台湾地区、澳门地区就是这种立法例，但这种事后抢劫罪与普通抢劫罪在犯罪的主体、犯罪的客观方面，以及罪数形态、既未遂的判断上与普通抢劫罪均有很大不同，它并不是严格意义上的抢劫罪，而是法律所拟制的。因此在刑法典里，往往规定以抢劫罪论，当然了，根据罪刑法定的一般原理，既然法典这样规定了，它们就应该被看作一种独立的犯罪，司法实践上，在定罪时，对二者往往不加区分，均定为抢劫罪。由于抢劫罪是危害严重的贪利性暴力犯罪，抢劫罪不仅侵犯公私财产所有权，而且严重侵犯人的生命和健康权利，是侵犯财产罪中性质最严重、危害最大的犯罪，这种行为严重侵犯了刑法所保护的社会关系。一直是各国重点打击的对象，各国刑法典也往往为抢劫罪配置较重的法定刑，所以相比之下，同为贪利性犯罪的盗窃罪，因为危害性不是特别严重，法定刑较抢劫罪低，所以发案率居高不下，同时犯罪分子往往怀有侥幸心理，既想获取不法利益，又想避免较大的风险，在盗窃被发现时，为逃避惩罚，往往使用暴力，故事后抢劫罪比一般抢劫罪发案率高，危害性大，又鉴于事后抢劫，与一般抢劫又有重大不同，很有研究的必要。但考虑到盗窃罪发案率的高发性，由盗窃罪转化为抢劫罪的可能性最大，以由盗窃转化的抢劫罪为例来研究事后抢劫罪。那么，事后抢劫罪的主体包括那些人？什么是它的实行行为和停止形态？事后抢劫罪的共犯又如何界定呢？事后抢劫罪-犯罪的主体    审批犯罪嫌疑人 根据97刑法第十七条第二款的规定：“已满十四周岁不满十六周岁的人，犯故意杀人、故意伤害致人重伤或者死亡、强奸、抢劫、贩卖毒品、放火、爆炸、投毒罪的应当负刑事责任”。可见一般抢劫罪的犯罪主体是年满十四周岁，具有刑事责任能力的自然人，而刑法第二百六十九条关于事后抢劫的规定“犯盗窃、诈骗、抢夺罪，为窝藏赃物，抗拒抓捕或者毁灭罪证而当场使用暴力或者以暴力相威胁的，依照本法第二百六十三条的规定定罪处罚。”根据第二百六十九条的规定，只有盗窃犯、诈骗犯、抢夺犯才能成为事后抢劫罪的主体，而一般人不能成为事后抢劫罪的主体，所以事后抢劫的犯罪主体属于特殊主体。而根据中国刑法只有年满十六周岁，具有刑事责任能力的人才能成为盗窃犯、诈骗犯、抢夺犯的犯罪主体，所以事后抢劫的犯罪主体也必须是年满十六周岁，具有刑事责任能力的自然人，由上可见，已满十四周岁，不满十六周岁，具有刑事责任能力的自然人，只能成为一般抢劫罪的主体而不能成为事后抢劫罪的主体。通说一般认为：一般抢劫的结构是暴力、胁迫——压制被害人反抗——夺取财物；事后抢劫的结构是夺取财物——暴力、胁迫——压制被害人的反抗，二者只是暴力、胁迫与取财的先后顺序上有差别，但罪质一样，具有相同的危害性。这样就存在着一个问题：对于一般抢劫罪的成立并无数额限制。而对事后抢劫却要求必须多次盗窃或盗窃数额较大时，才能成立，这样必将导致罪刑失衡。可见刑法第二百六十九条规定：“犯盗窃、诈骗、抢夺罪”存在缺陷，应予修改。但实定法的权威不容置疑，在刑法典未作修改之前，对事后抢劫，必须严格执行，不能作不利于被告的扩张解释，以免损害罪刑法定原则。事后抢劫罪-不可能是既遂    模拟犯罪场面 之所以能将盗窃后实施的暴力胁迫行为和一般抢劫行为作等价值评判，是因为可以将事后的暴力、胁迫评价为夺取财物的手段，也就是说，盗窃行为与暴力胁迫之间必须具有紧密的联系。于是怎样判断盗窃罪与事后实施的暴力，胁迫之间具有紧密的联系，便成为至关重要的问题，因为二者之间只有具有这种紧密联系，才能视为抢劫罪，反之则不能视为抢劫罪。这不仅涉及到此罪彼罪的认定问题，而且若没有紧密联系，往往构成数罪，涉及到罪数问题。正因为如此，理论界和司法实务界对盗窃行为与暴力、胁迫之间紧密联系的界定问题，一直甚为关注，这已经不仅仅是一个学理上探讨的问题，而且涉及到立法的严谨，司法的可操作性问题。而理论告诉我们，判断两者之间的联系往往离不开实施这两种行为的场所和时间。尽管人们都注意到从场所和时间入手界定两者之间的紧密性的必要性，但判断标准并不一致。分歧仍在，远未达成共识。德国刑法规定必须是“于行为时”，巴西刑法规定必须“立即”，意大利刑法规定必须是“在窃取物品后当即使用暴力或威胁”但是，何为“行为时”、“立即”、“当场”仍是比较模糊的概念，司法实践上很难认定。日本判例及学说认为，事后抢劫中的暴力与胁迫必须是在实施盗窃的机会中实施。所谓盗窃的机会，是指盗窃的现场以及与该现场相连接的追还财物或逮捕犯人的状况中，原则上要求在时间与场所上必须与盗窃行为相密接，但是即使在时间与场所上有一定距离，如果仍处于追赶犯人的过程中，则认为是盗窃现场的延伸，被认为是“在盗窃的机会中”（机会延伸的理论），在这种情况下，盗窃犯实施暴力或者胁迫行为，就成立事后推动罪。很显然，日本的判例及学说较之其他国家的认定标准，可操作性更强，但问题并没有完全解决，因为并不是所有与该现场相连接的追还财物或逮捕犯人的状况都能视为在“盗窃的机会中