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新编利息理论 刘波 课后答案
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北大版金融数学引论第二章答案
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你可能喜欢一、基础知识—资金时间价值
　　（一）含义
　　资金时间价值是指一定量资金在不同时点上的价值量差额。
　　【举例】银行存款，多出来的利息就是该部分资金在某一段时间的资金时间价值。
　　（二）利息和利率的概念
　　资金时间价值衡量标准：利息额（绝对尺度），利率（相对尺度）。
　　如果资金时间价值用利率来表示，那么：
　　理论：资金时间价值等于没有风险、没有通货膨胀条件下的社会平均资金利润率。
　　实际：可以用通货膨胀率很低条件下的政府债券利率来表现时间价值。
　　（三）利息的计算
　　1.单利计息
　　特点：“利不生利”。
　　It＝P×i单　
二、资金等值计算及应用
　　◆不同时期、不同数额但其“价值等效”的资金称为等值，又叫等效值。
　　◆常用的等值计值公式主要有终值和现值计算公式。
　　终值：将来值，是现在一定量现金在未来某一时点上的价值，俗称“本利和”，通常记作F。
　　现值：是指未来某一时点上的一定量现金折合到现在的价值，俗称“本金”，通常记作“P”。
　　★现值与终值之间的差额是利息。
　　【例题】某人希望在第5年末得到本利和1000元，用以支付一笔款项。在利率为5%、单利计息条件下，此人现在需要存入银行多少资金？
　　P＝1000/（1＋5×5%）＝800（元）
三、复利终值与现值
　　（1）复利终值：已知现值，求终值。
　　F＝P（1＋i）n
　　在上式中，（1＋i）n称为“复利终值系数”，用符号（F/P，i，n）表示。所以也可以写为：F＝P（F/P，i，n）
　　【例题】某人拟购房，开发商提出两个方案：方案一是现在一次性付80万元；方案二是5年后付100万元。若目前银行贷款利率为7%（复利计息），要求计算比较那个付款方案有利。
　　方案一的终值＝80×（F/P，7%，5）＝112.208（万元）&100（万元)。
　　由于方案二的终值小于方案一的终值，所以应该选择方案二。
　　★如果其他条件不变，当期数为1时，复利终值和单利终值是相同的。
　　（2）复利现值：已知终值，求现值。
　　（1＋i）-n称为“复利现值系数”，用符号（P/F，i，n）表示，平时做题时，可查教材附表2得出，考试时一般会直接给出。
　　【例题】某人存入一笔钱，想5年后得到10万，若银行存款利率为5%，要求计算下列指标：
　　（1）如果按照单利计息，现在应存入银行多少资金？
　　（2）如果按照复利计息，现在应存入银行多少资金？
『答案解析』（1）P＝F/（1＋n×i）＝10/（1＋5×5%）＝8（万元）
　　（2）P＝10×（P/F，5%，5）＝10×0.7835＝7.835（万元）
　　【提示】无论单利还是复利，终值和现值都互为逆运算，系数均互为倒数。
四、年金现值与年金终值
　　&& 普通年金的终值与现值
　　1.概念
　　含义：指一定时期内每次等额收付的系列款项。
　　特点：金额相等；时间间隔相等。
　　【提示】年金收付间隔的时间不一定是1年，可以是半年、一个季度或者一个月等。
　　年金的种类
　　普通年金：从第一期开始每期期末收款、付款的年金。（最基本的形式）
　　即付年金：从第一期开始每期期初收款、付款的年金。
　　递延年金：在第二期或第二期以后收付的年金。
　　永续年金：无限期的普通年金。
　　2.普通年金终值与现值的计算
　　（1）普通年金终值计算：已知年金，求终值。
　　被称为年金终值系数，用符号（F/A，i，n）表示。考试会直接给出该系数。
　　【例题】小王是位热心于公众事业的人，自1995年12月底开始，他每年都要向一位失学儿童捐款。小王向这位失学儿童每年捐款1 000元，帮助这位失学儿童从小学一年级读完九年义务教育。假设每年定期存款利率都是2%，则小王九年捐款在2003年底相当于多少钱？
　　『答案解析』F＝1000×（F/A，2%，9）＝6＝9754.6（元）
　　【例题】A矿业公司决定将其一处矿产开采权公开拍卖，因此它向世界各国煤炭企业招标开矿。已知甲公司和乙公司的投标书最具有竞争力，甲公司的投标书显示，如果该公司取得开采权，从获得开采权的第1年开始，每年末向A公司交纳10亿美元的开采费，直到10年后开采结束。乙公司的投标书表示，该公司在取得开采权时，直接付给A公司40亿美元，在8年后开采结束，再付给60亿美元。如A公司要求的年投资回报率达到15%，问应接受哪个公司的投标？
　　【解答】
　　甲公司的方案对A公司来说是一笔年收款10亿美元的10年年金，其终值计算如下：
　　F＝10×（F/A，15%，10）＝10×20.304＝203.04（亿美元）
　　乙公司的方案对A公司来说是两笔收款，分别计算其终值：
　　第1笔收款（40亿美元）的终值＝40×（1＋15%）10
　　＝40×4.0456＝161.824（亿美元）
　　第2笔收款（60亿美元）的终值＝60×（1＋15%）2
　　＝60×1.3225＝79.35（亿美元）
　　终值合计161.824＋79.35＝241.174（亿美元）
　　因此，甲公司付出的款项终值小于乙公司付出的款项的终值，应接受乙公司的投标。
　　【单选题】某人连续5年每年末存入银行20万元，银行年利率6%，按年复利计算，第5年年末一次性收回本金和利息，则到期可以回收的金额为（　）万元。
　　A.104.80　　 　　　　　
　　B.106.00　　
　　C.107.49　　 　　　　　
　　D.112.74
　　『正确答案』D
『答案解析』F＝A×（F/A，6%，5）＝20×5.6371＝112.74（万元）
　　3.普通年金现值的计算：已知年金，求现值。（重要）
　　被称为年金现值系数，记作（P/A，i，n）。
　　【例题】某投资项目于2000年初动工，设当年投产，从投产之日起每年可得收益40 000元。按年利率6%计算，计算预期10年收益的现值。
　　【解答】P＝40000×（P/A，6%，10）
　　＝294404（元）
　　【例题】钱小姐最近准备买房，看了好几家开发商的售房方案，其中一个方案是A开发商出售一套100平方米的住房，要求首期支付10万元，然后分6年每年年末支付3万元。钱小姐很想知道每年付3万元相当于现在多少钱，好让她与现在2 000元/平方米的市场价格进行比较。（贷款利率为6%）　　
　　【解答】P＝3×（P/A，6%，6）＝3×4.9173＝14.7519（万元）
　　钱小姐付给A开发商的资金现值为：10＋14.7519＝24.7519（万元）
　　如果直接按每平方米2000元购买，钱小姐只需要付出20万元，可见分期付款对她不合算。
　　4.年偿债基金和年资本回收额的计算（注意和普通年金终值、现值的关系）
　　（1）偿债基金的计算：已知终值求年金。
　　偿债基金，是指为了在约定的未来一定时点清偿某笔债务或积聚一定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金，也就是为使年金终值达到既定金额的年金数额。从计算的角度来看，就是在普通年金终值中解出A，这个A就是偿债基金。计算公式如下：
　　式中，称为“偿债基金系数”，记作（A/F，i，n）。
　　★偿债基金系数和年金终值系数是互为倒数的关系。
　　【例题】某企业有一笔4年后到期的借款，到期值为1000万元。若存款年复利率为10%，则为偿还该项借款应建立的偿债基金为多少？
　　『答案解析』1000＝A×（F/A，10%，4）
　　A＝0＝215.4
　　（2）资本回收额的计算：已知现值求年金。
　　上式中，称为资本回收系数，记作（A/P,i，n）。
　　★资本回收系数与年金现值系数是互为倒数的关系。
　　【例题】为实施某项计划，需要取得外商贷款1000万美元，经双方协商，贷款利率为8%，按复利计息，贷款分5年于每年年末等额偿还。外商告知，他们已经算好，每年年末应归还本金200万元，支付利息80万美元。要求，核算外商的计算是否正确。
　　『答案解析』按照约定条件，每年应还本息数额：
　　A＝1000/（P/A，8%，5）＝250（万元）
　　【总结】：（1）偿债基金和普通年金终值互为逆运算；
　　偿债基金系数和普通年金终值系数互为倒数。
　　（2）资本回收额与普通年金现值互为逆运算；
　　资本回收系数与普通年金现值互为倒数。
　　【提示】即付年金和递延年金的有关计算，一般分为以下三步进行：
　　1.先确定终值点或现值点；
　　2.将即付年金或递延年金转换为普通年金，计算终值或现值；
　　3.调整时点差异。
　　（四）即付年金的终值与现值
　　1.即付年金终值的计算
　　方法一：先调整时间差，然后求普通年金终值。
　　F＝A（F/A，i，n）（1＋i）
　　方法二：先求普通年金终值，然后调整时间差；
　　F＝A[（F/A，i，n＋1）－1]
　　【例题】为给儿子上大学准备资金，王先生连续6年于每年年初存入银行3 000元。若银行存款利率为5%，则王先生在第6年末能一次取出本利和多少钱?
　　[答疑编号]
　　『答案解析』F＝A[（F/A，i，n＋1）-1]
　　＝3000×[（F/A，5%，7）-1]
　　＝3000×（8.1420-1）
　　＝21426（元）
　　2.即付年金现值的计算
　　方法一：先调整时间差，然后求普通年金现值。
　　P＝A（P/A，i，n）（1＋i）
　　方法二：先求普通年金现值，然后调整时间差；
　　P＝A[（P/A，i，n－1）＋1]
　　【例题】张先生采用分期付款方式购入商品房一套，每年年初付款15 000元，分l0年付清。若银行利率为6%，该项分期付款相当于一次现金支付的购买价是多少?
　　[答疑编号]
　　【解答】P＝A·[（P/A，i，n-1）＋1]
　　＝15000×[（P/A，6%，9）＋1]
　　＝15000×（6.8017＋1）＝（元）
　　【总结】关于即付年金的现值与终值计算，都可以以普通年金的计算为基础进行，也就是在普通年金现值或终值的基础上，再乘以（1＋i）。
　　（五）递延年金和永续年金
　　1.递延年金
　　递延年金，是指第一次等额收付发生在第二期或第二期以后的年金。
　　【注意】递延期的确定，其参考的依据是普通年金形式，上图中，递延期为m年，当期一定没有年金发生。
　　2.递延年金终值计算
　　计算递延年金终值和计算普通年金终值基本一样，只是注意扣除递延期即可。
　　F＝A（F/A，i，n）
　　3.递延年金现值的计算
　　方法一：先求已有的普通年金现值，然后折现求零点价值；
　　计算公式如下：
　　P＝A（P/A，i，n）×（P/F，i，m）
　　方法二：假定普通年金模式，求现值后相减；
　　计算公式如下：
　　PO＝A×[（P/A,i,m＋n）－（P/A,i,m）]
　　方法三：先求已有的年金终值，然后折现求零点价值。
　　P＝A×（F/A，i，n）×（P/F，i，m＋n）
　　【例题】某公司拟购置一处房产，房主提出三种付款方案：
　　（1）从现在起，每年年初支付20万，连续支付10次，共200万元；
　　（2）从第5年开始，每年末支付25万元，连续支付10次，共250万元；
　　（3）从第5年开始，每年初支付24万元，连续支付10次，共240万元。
　　假设该公司的资金成本率（即最低报酬率）为10%，你认为该公司应选择哪个方案？
　　『答案解析』方案（1）
　　P0＝20×（P/A，10%，10） ×（1＋10%）
　　＝135.18（万元）
　　方案（2）（注意递延期为4年）
　　P＝25×[（F/A，10%，10） ×（P/F，10%，4）
　　＝104.93（万元）
　　方案（3）（注意递延期为3年）　　 　　
　　P＝24×（P/A，10%，10）×（P/F，10%，3）
　　＝110.78
　　该公司应该选择第二方案。
　　4.永续年金
　　永续年金，是指无限期等额收付的年金。永续年金因为没有终止期，所以只有现值没有终值。
　　永续年金的现值，可以通过普通年金的计算公式导出。在普通年金的现值公式中，令n趋于无穷大，即可得出永续年金现值：P＝A/i
　　【例题】某项永久性奖学金，每年计划颁发50000元奖金。若年复利率为8%，该奖学金的本金应为多少元。
　　本金＝50000/8%＝625000
使用内插法计算融资租赁中的利率
一．内插法基本原理：
1.求出系数对应的数值；
2.查表得出待求系数值最近的“一大一小”两个数值；
3.列式计算，务必注意比例关系的对应；
4.解出结果。
二．例题：
现在向银行存入20000元，问年利率i为多少时，才能保证在以后9年中每年可以取出4000元。
根据普通年金现值公式：
　　20000＝4000×（P/A，i，9）
　　（P/A，i，9）＝5
　　查表并用内插法求解。查表找出期数为9，年金现值系数最接近5的一大一小两个系数。
　　（P/A，12%，9）＝5.3282；（P/A,14%，9）＝4.9464
　　　　 利率 　　　　　　　　　　　　　　年金现值系数
　　　　　14%　　　　　　　　　　　　　　　　 4.9464
　　　　　i 　　　　　　　　　　　　　　　　　5
　　　　　12%　　　　　　　　　　　　　　　　 5.3282
　　（14%-12%）/（14%-i）=（4.2）/（4.9464-5）
　　i＝13.72%
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