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初一数学上册期中考试试卷及答案
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2015年初二上册数学期中试卷（附答案和解释）
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
2015年初二上册数学期中试卷（附答案和解释）
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文 章来 源莲山 课件 w ww.5Y k J.cO m 学年江苏省镇江市扬中市八年级（上）期中数学试卷
一、（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列学习用具中，不是轴对称图形的是(&&&& )A． &B． &C． &D．
2．下列各组数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是(&&&& )A．6，8，10&B．5，12，13&C．9，40，41&D．7，9，12
3．如果等腰三角形两边长是6和3，那么它的周长是(&&&& )A．9&B．12&C．15或12&D．15
4．如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列哪个条件不能判定△ABM≌△CDN(&&&& )&A．∠M=∠N&B．AB=CD&C．AM∥CN&D．AM=CN
5．电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是(&&&& )&A．21：10&B．10：21&C．10：51&D．12：01
6．如图，DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，如果BC=9cm，AB=11cm，则△EBC的周长为(&&&& )&A．9cm&B．11cm&C．20cm&D．31cm
7．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为(&&&& )A．7&B．11&C．7或11&D．7或10
8．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OA对称，点P2与点P关于OB对称，则△P1OP2是(&&&& )A．含30°角的直角三角形&B．顶角是30°的等腰三角形C．等边三角形&D．等腰直角三角形
二、题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）9．等腰三角形一个内角的大小为50°，则其顶角的大小为__________．
10．如图，已知B、E、F、C在同一直线上，BF=CE，AF=DE，则添加条件__________，可以判断△ABF≌△DCE．&
11．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则图中等腰三角形有__________个．&
12．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若AC=4，BC=3，则CD=__________．&
13．如图，由四个直角边分别为5和4的全等直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中阴影部分面积为__________．&
14．若直角三角形中，一斜边比一直角边大2，且另一直角边长为6，则斜边为__________．
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，且CD=5，则点D到AB的距离为__________．&
16．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在点C′、D′处，若∠AFE=65°，则∠C′EF=__________度．&
17．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为__________cm．&
18．如图，把Rt△ABC（∠C=90°）折叠，使A、B两点重合，得到折痕ED，再沿BE折叠，C点恰好与D点重合，则∠A等于__________度．&
19．如图，∠ACB=90°，E、F为AB上的点，AE=AC，BC=BF，则∠ECF=__________．&
20．如图，△ABC中，AB=17，BC=10，CA=21，AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB上的动点，则BD+DE的最小值是__________．&
三、解答题（本 大题共有7小题，共52分．把解答过程写在相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明，作图 时用铅笔）21．如图，已知直线l及其同侧两点A、B．（1）在直线l上求一点P，使到A、B两点距离之和最短；（2）在直线l上求一点O，使OA=OB．（请找出所有符合条件的点，并简要说明作法，保留作图痕迹）&
22．如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；求证：BC=DC．&
23．如图所示，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30cm2，DC=12cm，AB=3cm，BC=4cm，求△ABC的面积．&
24．等边△ABC和等边△ADE如图放置，且B、C、E三点在一条直线上，连接CD．求证：∠ACD=60°．&
25．如图，直线a、b相交于点A，C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a，DE⊥b，点M、N是EC、DB的中点．求证：MN⊥BD．&
26．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）若AB=17，AD=9，求AE的长．&
27．如图，四边形ABCD，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，AB=4，BC=9．（1）求CD的长为__________．（2）点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BC向点C运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，则当t为何值时，△PDC为等腰三角形？&
学年江苏省镇江市扬中市八年级（上）期中数学试卷
一、（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列学习用具中，不是轴对称图形的是(&&&& )A． &B． &C． &D． 【考点】轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，两边能够重合的图形是轴对称图形，对各选项判断即可．【解答】解：A、是轴对称图形，不合题意，故本选项错误；B、是轴对称图形，不合题意，故本选项错误；C、不是轴对称图形，符合题意，故本选项正确；D、是轴对称图形，不合题意，故本选项错误 ；故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的知识，属于基础题，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴．
2．下列各组数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是(&&&& )A．6，8，10&B．5，12，13&C．9，40，41&D．7，9，12【考点】勾股数． 【分析】根据勾股定理的逆定理对四个答案进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵62+82=102=100，∴能构成直角三角形；B、52+122=132=169，∴能构成直角三角形；C、92+402=412=1681，∴能构成直角三角形；D、∵72+92≠122，∴不能构成直角三角形．故选D．【点评】本题考查的是用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即若三角形的三边符合a2+b2=c2，则此三角形是直角三角形．
3．如果等腰三角形两边长是6和3，那么它的周长是(&&&& )A．9&B．12&C．15或12&D．15【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系． 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6和3，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当腰为3时，3+3=6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．当腰为6时，63＜6＜6+3，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为6+6+3=15．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
4．如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列哪个条件不能判定△ABM≌△CDN(&&&& )&A．∠M=∠N&B．AB=CD&C．AM∥CN&D．AM=CN【考点】全等三角形的判定． 【分析】利用三角形全等的条件分别进行分析即可．【解答】解：A、加上∠M=∠N可利用ASA定理证明△ABM≌△CDN，故此选项不合题意；B、加上AB=CD可利用SAS定理证明△ABM≌△CDN，故此选项不合题意；C、加上AM∥CN可证明∠A=∠NCB，可利用ASA定理证明△ABM≌△CDN，故此选项不合题意；D、加上AM=CN不能证明△ABM≌△CDN，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是(&&&& )&A．21：10&B．10：21&C．10：51&D．12：01【考点】镜面对称． 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．【解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与10：51成轴对称，所以此时实际时刻为10：51．故选C．【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
6．如图，DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，如果BC=9cm，AB=11cm，则△EBC的周长为(&&&& )&A．9cm&B．11cm&C．20cm&D．31cm【考点】线段垂直平分线的性质． 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，故可得出AB=AE+BE=CE+BE，由此即可得出结论．【解答】解：∵DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，BC=9cm，AB=11cm，∴AE=CE，∴AB=AE+BE=CE+BE=11cm，∴△EBC的周长=BC+（CE+BE）=BC+AB=9+11=20cm．故选C．【点评】本题考查的是线段2垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
7．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为(&&&& )A．7&B．11&C．7或11&D．7或10【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系． 【专题】分类讨论．【分析】题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．【解答】解：设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，得① 或② 解方程组①得： ，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形；解方程组②得： ，根据三角形三边关系定理此时能组成三角形，即等腰三角形的底边长是11或7；故选C．&【点评】本题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为15，12中包含着中线BD的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况；注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理．故解决本题最好先画出图形再作答．
8．已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OA对称，点P2与点P关于OB对称，则△P1OP2是(&&&& )A．含30°角的直角三角形&B．顶角是30°的等腰三角形C．等边三角形&D．等腰直角三角形【考点】轴对称的性质． 【专题】证明题．【分析】根据轴对称的性质，结合等边三角形的判定求解．【解答】解：∵P为∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点分别为P1、P2，∴OP=OP1=OP2且∠P1OP2=2∠AOB=60°，∴故△P1OP2是等边三角形．故选C．&【点评】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
二、题（本大题共12小题，每小题2分，共24 分）9．等腰三角形一个内角的大小为50°，则其顶角的大小为50°或80°．【考点】等腰三角形的性质． 【分析】可知有两种情况（顶角是50°和底角是50°时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．【解答】解：如图所示，△ABC中，AB=AC．有两种情况：①顶角∠A=50°；②当底角是50°时，∵AB=AC，∴∠B=∠C=50°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°50°50°=80°，∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．故答案为：50°和80°．&【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对有的问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．
10．如图，已知B、E、F、C在同一直线上，BF=CE，AF=DE，则添加条件AB=DC（或∠AFB=∠DEC），可以判断△ABF≌△DCE．&【考点】全等三角形的判定． 【专题】开放型．【分析】已知两组边对应相等，可再加第三组边相等或已知两组边的夹角相等都可以．【解答】解：由条件可再添加AB=DC，在△ABF和△DCE中，&，∴△ABF≌△DCE（SSS），也可添加∠AFB=∠DEC，在△ABF和△DCE中，&，∴△ABF≌△DCE（SAS），故答案为：AB=DC（或∠AFB=∠DEC）．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解题的关键．
11．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则图中等腰三角形有3个．&【考点】等腰三角形的判定；三角形内角和定理；角平分线的性质． 【分析】由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏．【解答】解：∵∠C=72°，∠DBC=36°，∠A=36°，∴∠ABD=180°72°36°36°=36°=∠A，∴AD=BD，△ADB是等腰三角形，∵根据三角形内角和定理知∠BDC=180°72°36°=72°=∠C，∴BD=BC，△BDC是等腰三角形，∵∠C=∠ABC=72°，∴AB=AC，△ABC是等腰三角形．故图中共3个等腰三角形．故答案为：3．【点评】本题考查了等腰三角形的 性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．
12．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若AC=4，BC=3，则CD= ．&【考点】勾股定理． 【专题】．【分析】根据勾股定理求得AB的长，再根据三角形的面积公式求得CD即可．【 解答】解：∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∵S△ABC= ×3×4= ×5×CD，∴CD= ．故答案为： ．【点评】此题考查了直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用．
13．如图，由四个直角边分别为5和4的全等直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中阴影部分面积为1．&【考点】正方形的性质． 【分析】求出阴影部分的正方形的边长，即可得到面积．【解答】解：∵四个全等的直角三角形的直角边分别是5和4，∴阴影部分的正方形的边长为54=1，∴阴影部分面积为1×1=1．故答案为：1．【点评】本题考查了“赵爽弦图”，正方形的面积，熟悉“赵爽弦图”中小正方形的边长等于四个全等的直角三角形中两直角边的差是解题的关键．
14．若直角三角形中，一斜边比一直角边大2，且另一直角边长为6，则斜边为10．【考点】勾股定理． 【专题】探究型．【分析】设一条直角边为a，则斜边为a+2，再根据勾股定理求出a的值即可．【解答】解：设一条直角边为a，则斜边为a+2，∵另一直角边长为6，∴（a+2）2=a2+62，解得a=8，∴a+2=8+2=10．故答案为：10．【点评】本题考查的是勾股定理，根据题意设出直角三角形的斜边及直角边的长是解答此题的关键．
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，且CD=5，则点D到AB的距离为5．&【考点】角平分线的性质． 【分析】直接根据角平分线的性质定理即可得出结论．【解答】解：过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，∴CD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），∵CD=5，∴DE=5．故答案为：5．&【点评】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．
16 ．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在点C′、D′处，若∠AFE=65°，则∠C′EF=65度．&【考点】翻折变换（折叠问题）． 【专题】；压轴题．【分析】利用矩形ABCD可知，AD∥BC，所以∠FEC=∠AFE=65°，又因为沿EF折叠，根据折叠的性质可知∠C的度数．【解答】解：∵AD∥BC∴∠FEC=∠AFE=65°又∵沿EF折叠∴∠C′EF=∠FEC=65°．【点评】本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②平行线的性质求解．
17．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为3cm．&【考点】翻折变换（折叠问题）；轴对称的性质． 【分析】由题意得AE=A′E，AD=A′D，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长．【解答】解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，所以AD=A′D，AE=A′E．则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E，=BC+BD+CE+AD+AE，=BC+AB+AC，=3cm．故答案为：3．【点评】折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．
18．如图，把Rt△ABC（∠C=90°）折叠，使A、B两点重合，得到折痕ED，再沿BE折叠，C点恰好与D点重合，则∠A等于30度．&【考点】翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义． 【分析】由折叠的性质知，AD=BD=BC，可求得sinA= ，所以可得∠A=30°．【解答】解：根据折叠的性质得AD=BD=BC．∴sinA=BC：AB= ，∴∠A=30°．【点评】本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②正弦的概念．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
19．如图，∠ACB=90°，E、F为AB上的点，AE=AC，BC=BF，则∠ECF=45°．&【考点 】等腰三角形的性质． 【分析】根据等腰三角形的性质得：∠AEC=∠ACE= ，∠BFC=∠BCF= ，从而利用F∠EC=∠BCF+∠ACE∠ACB= + 90°=45°求解．【解答】解：∵AE=AC，BC=BF，∴∠AEC=∠ACE= ，∠BFC=∠BCF= ，∴∠ECF=∠BCF+∠ACE∠ACB= + 90°=45°，故答案为：45°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质中的等边对等角，难度较小，解题的关键是发现要求的角和直角之间的关系．
20．如图，△ABC中，AB=17，BC=10，CA=21，AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB上的动点，则BD+DE的最小值是8．& 【考点】轴对称-最短路线问题． 【分析】过B点作BF⊥AC于点F，BF与AM交于D点，根据三角形两边之和小于第三边，可知BD+DE的最小值是线段BF的长，根据勾股定理列出方程组即可求解．【解答】解：过B点作BF⊥AC于点F，BF与AM交于D点．设AF=x，则CF=21x，依题意有&，解得 ， （负值舍去）．故BD+DE的最小值是8．故答案为：8．&【点评】考查了轴对称最短路线问题，勾股定理和解方程组，理解BD+DE的最小值是AC边的高的长是解题的难点．
三、解答题（本大题共有7小题，共52分．把解答过程写在相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明，作图时用铅笔）21．如图，已知直线l及其同侧两点A、B．（1）在直线l上求一点P，使到A、B两点距离之和最短；（2）在直线l上求一点O，使OA=OB．（请找出所有符合条件的点，并简要说明作法，保留作图痕迹）&【考点】轴对称-最短路线问题． 【分析】（1）根据两点之间线段最短，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则P为所求点；（2）根据线段垂直平分线的性质连接AB，在作出线段AB的垂直平分线即可；【解答】解：（1）作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，点P即为所求的点；&（2）连接AB，作AB的中垂线，交l于点O，点O即为所求的点．&【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，线段的垂直平分线，主要考查学生的理解能力和动手操作能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．
22．如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；求证：BC=DC．&【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．【分析】先求出∠ACB=∠ECD，再利用“角边角”证明△ABC和△EDC全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：∵∠BCE=∠DCA，∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE，即∠ACB=∠ECD，在△ABC和△EDC中， ，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴BC=DC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，求出相等的角∠ACB=∠ECD是解题的关键，也是本题的难点．
23．如图所示，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30cm2，DC=12cm，AB=3cm，BC=4cm，求△ABC的面积．&【考点】勾股定理． 【分析】利用三角形的面积求出AC的长度，在△ABC中根据勾股定理逆定理可以得出是直角三角形．面积等于两直角边乘积的一半．【解答】解：在Rt△ACD中，S△ACD= AC•CD=30，∵DC=12cm，∴AC=5cm，∵AB2+BC2=25，AC2=52=25，∴AB2+BC2=AC2，∴S△ABC= AB．BC= ×3×4=6cm2．【点评】根据面积求出一直角边的长度，再利用勾股定理逆定理判断出直角三角形，面积就可以求出了．
24．等边△ABC和等边△ADE如图放置，且B、C、E三点在一条直 线上，连接CD．求证：∠ACD=60°．&【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【专题】证明题．【分析】易证△ABE≌△ACD，即可得出∠B=∠ACD．【解答】证明：∵等边△ABC和等边△ADE，∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，∴△ABE≌△ACD，∴∠B=∠ACD，∵∠B=60°，∴∠ACD=60°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，是基础题，但也要细心．
25．如图，直线a、b相交于点A，C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a，DE⊥b，点M、N是EC、DB的中点．求证：MN⊥BD．&【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质． 【专题】证明题．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM= EC，BM= EC，从而得到DM=BM，再根据等腰三角形三线合一的性质证明．【解答】证明 ：∵BC⊥a，DE⊥b，点M是EC的中点，∴DM= EC，BM= EC，∴DM=BM，∵点N是BD的中点，∴MN ⊥BD．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
26．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）若AB=17，AD=9，求AE的长．&【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质． 【分析】（1）求出CE=CF，∠F=∠CEB=90°，根据HL证出两三角形全等即可．（2）求出DF=BE，证Rt△AFC≌ Rt△AEC，推出AF=AE，设DF=BE=x，得出方程17x=9+x，求出x，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=C F，∠F=∠CEB=90°，在Rt△BCE与Rt△DCF中， ，∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）；
（2）解：∵Rt△BCE≌Rt△DCF，∴DF=BE，∵∠F=∠CEA=90°，∴在Rt△AFC和Rt△AEC中&∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），∴AF=AE，设DF=BE=x∵AB=17，AD=9，∴17x=9+x解得：x=4∴AE=174=13．【点评】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．直角三角形全等的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
27．如图，四边形ABCD，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，AB=4，BC=9．（1）求CD的长为5．（2）点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BC向点C运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，则当t为何值时，△PDC为等腰三角形？&【考点】勾股定理；等腰三角形的判定． 【专题】动点型．【分析】（1）过点D作DE⊥BC，垂足为E，先判断出四边形ABED是矩形，在Rt△DCE中根据勾股定理即可得出CD的长；（2）过点D作DE⊥BC，垂足为E，由题意得PC=9t，PE=6t．再分CD=CP，CD=PD，PD=PC三种情况进行讨论．【解答】解：（1）过点D作DE⊥BC，垂足为E，∵AD∥BC，∠B=90°，∴四边 形ABED是矩形，∴BE=AD=6，DE=AB=4，∴CE=BCBE=96=3，在Rt△DCE中，CD= = =5．故答案为：5；&&&&
（2）过点D作DE⊥BC，垂足为E，由题意得PC=9t，PE=6t．当CD=CP时，5=9t，解得t=4；当CD=PD时，E为PC中点，∴6t=3，∴t=3；当PD=PC时，PD2=PC2，∴（6t）2+42=（9t）2，解得t= ．故t的值为t=3或4或 ．&【点评】本题考查的是勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．文 章来 源莲山 课件 w ww.5Y k J.cO m
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＞＞＞一次期中考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩等有关信..
一次期中考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩等有关信息如下表所示：（单位：分）
&（1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差；（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是：标准分=（个人成绩一平均成绩）÷成绩标准差．从标准分看，标准分大的考试成绩更好．请问A同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？友情提示：一组数据的标准差计算公式是S=1n[(x1-.x)2+(x2-.x)2+…+(xn-.x)2]，其中.x为n个数据x1，x2，…xnr的平均数．
题型：解答题难度：中档来源：江西
（1）数学考试成绩的平均分.x数学=15（71+72+69+68+70）=70，英语考试成绩的标准差S英语=15[(88-85)2+(82-85)2+(94-85)2+(85-85)2+(76-85)2]=6，
&6（2）设A同学数学考试成绩标准分为P数学，英语考试成绩标准分为P英语，则P数学=（71-70）÷2=22；P英语=（88-85）÷6=12；∵P数学＞P英语，∴从标准分来看，A同学数学比英语考得更好．
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据魔方格专家权威分析，试题“一次期中考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩等有关信..”主要考查你对&&平均数，方差&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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平均数方差
平均数：是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标。解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数。在统计工作中，平均数(均值)和标准差是描述数据资料集中趋势和离散程度的两个最重要的测度值。平均数的分类:（1）算术平均数：一般地，如果有n个数 ，那么 ，叫做这n个数的算术平均数。 （2）加权平均数：一组数据点的权分别为，那么称为这n个数的加权平均数。 （3）样本平均数：样本中所有个体的平均数。 （4）总体平均数：总体中所有个体的平均数，统计学中常用样本的平均数估计总体的平均数。 平均数、中位数和众数关系:联系:&&&&&&&& 平均数、中位数和众数都是来刻画数据平均水平的统计量，它们各有特点。对于平均数大家比较熟悉，中位数刻画了一组数据的中等水平，众数刻画了一组数据中出现次数最多的情况。&&&&&&& 平均数非常明显的优点之一是，它能够利用所有数据的特征，而且比较好算。另外，在数学上，平均数是使误差平方和达到最小的统计量，也就是说利用平均数代表数据，可以使二次损失最小。因此，平均数在数学中是一个常用的统计量。但是平均数也有不足之处，正是因为它利用了所有数据的信息，平均数容易受极端数据的影响。&&&&&&&& 例如，在一个单位里，如果经理和副经理工资特别高，就会使得这个单位所有成员工资的平均水平也表现得很高，但事实上，除去经理和副经理之外，剩余所有人的平均工资并不是很高。这时，中位数和众数可能是刻画这个单位所有人员工资平均水平更合理的统计量。&&&&&&& 中位数和众数这两个统计量的特点都是能够避免极端数据，但缺点是没有完全利用数据所反映出来的信息。&&&&&&&&由于各个统计量有各自的特征，所以需要我们根据实际问题来选择合适的统计量。&&&&&&&&当然，出现极端数据不一定用中位数，一般，统计上有一个方法，就要认为这个数据不是来源于这个总体的，因而把这个数据去掉。比如大家熟悉的跳水比赛评分，为什么要去掉一个最高分、一个最低分呢，就认为这两个分不是来源于这个总体，不能代表裁判的鉴赏力。于是去掉以后再求剩下数据的平均数。需要指出的是，我们处理的数据，大部分是对称的数据，数据符合或者近似符合正态分布。这时候，均值(平均数)、中位数和众数是一样的。
区别:&&&&&&& 只有在数据分布偏态(不对称)的情况下，才会出现均值、中位数和众数的区别。所以说，如果是正态的话，用哪个统计量都行。如果偏态的情况特别严重的话，可以用中位数。&&&&&&&& 除了需要刻画平均水平的统计量，统计中还有刻画数据波动情况的统计量。比如，平均数同样是5，它所代表的数据可能是1、3、5、7、9，可能是4、4.5、5、5.5、6。也就是说5所代表的不同组数据的波动情况是不一样的。怎样刻画数据的波动情况呢?很自然的想法就是用最大值减最小值，即求一组数据的极差。数学中还有方差、标准差等许多用来刻画数据特征的统计量。当然这些都是教师感兴趣、值得了解的内容，不是小学数学的教学要求。平均数的求法： （1）公式法： ； （2）加权平均数公式：&。 方差:是各个数据与平均数之差的平方和的平均数。在概率论和数理统计中，方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。在许多实际问题中，研究随机变量和均值之间的偏离程度有着很重要的意义。设有n个数据各数据x1，x2，…，xn各数据与它们的平均数的差的平方分别是，，…，，我们用它的平均数，即用来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记作。方差特点:（1）设c是常数，则D(c)=0。（2）设X是随机变量，c是常数，则有D(cX)=(c2)D(X)。（3）设 X 与 Y 是两个随机变量，则D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}特别的，当X，Y是两个相互独立的随机变量，上式中右边第三项为0（常见协方差），则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况。（4）D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c，即P{X=c}=1，其中E(X)=c。（5）D（aX+bY）=a^2DX+b^2DY+2abE{[X-E(X)][Y-E(Y)]}。意义：在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。标准差：方差的算术平均根，即，并把它叫做这组数据的标准差，它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量。公式:方差是实际值与期望值之差平方的期望值，而标准差是方差算术平方根。 在实际计算中，我们用以下公式计算方差。方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数,即s^2=(1/n)[(x1-x_)^2+(x2-x_)^2+...+(xn-x_)^2]，其中，x_表示样本的平均数，n表示样本的数量，^，xn表示个体，而s^2就表示方差。而当用(1/n)[(x1-x_)^2+(x2-x_)^2+...+(xn-x_)^2]作为样本X的方差的估计时，发现其数学期望并不是X的方差，而是X方差的(n-1)/n倍，[1/(n-1)][(x1-x_)^2+(x2-x_)^2+...+(xn-x_)^2]的数学期望才是X的方差，用它作为X的方差的估计具有“无偏性”，所以我们总是用[1/(n-1)]∑(xi-X~)^2来估计X的方差，并且把它叫做“样本方差”。方差，通俗点讲，就是和中心偏离的程度！用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差。记作S&sup2.在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。方差分析主要用途：①均数差别的显著性检验;②分离各有关因素并估计其对总变异的作用;③分析因素间的交互作用;④方差齐性检验。
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