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1.1 函数1.2 极限的概念1.3 极限的运算1.4 函数的连续性第 1章 函数极限与连续结束前页 结束后页当自变量 x取数值 时，与 对应的因变量 y的值称为函数 在点 处的函数值,记为 或,当 x 取遍 D内的各个数值时,对应的变量 y 取值的全体组成0xD?0|xxy ?0x0x 0()fx定义 1 设 x与 y是两个变量，若当变量 x在非空数集 D内任取一个数值时，变量 x 按照某种对应法则 f 总有一个确定的数值 y 与之对应，则称变量 y为变量 x 的 函数，记作称 D为该函数的定义域,记为 Df,称 x为自变量，称 y为因变量,xD?1.1.1 函数的概念数集称做这个函数的值域,记为 Zf 。1.1 函 数()y f x?()y f x?前页 结束后页1.1.2 函数的表示法例 1 已知某商品的总成本函数为,2( ) 1 0 04QC C Q? ? ?例 2 某工厂全年 1―6月原材料进货数量如下表，这里表达的是时间和原材料进货数量之间的关系．T(月 ) 1 2 3 4 5 6Q(吨 ) 11 10 12 11 12 12(1)公式法 用数学公式表示自变量和因变量之间的对应关系，是函数的公式表示法,如例 1是用公式法表示函数,(2)表格法 自变量 x与因变量 y的一些对应值用表格列出前页 结束后页(3) 图示法 用函数 y=f(x)的图形给出自变量 x与 因变量 y之间的关系,例 3 需求函数与供给函数,,如图,P表示商品价格,Q表示需求量,供给量,E点为需求和供给平衡点．()?Q f P ()?QP?SSEQPOQ=φ(P)Q=f(P)说明三种表示法各有所长，缺一不可，如三角函数，三角函数表，三角函数图像，都是表示三角函数，可以相互补充。前页 结束后页例 4 求函数 的定义域(1)函数的定义域和对应法则是函数的两个主要要素 。注,(2)如果两个函数具有相同的定义域和对应法则，则它们是相同的函数．(4)在研究由公式表达的函数时，我们约定：函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量的一切实数值所组成的数集,(3)在实际问题中，函数的定义域是由实际意义确定的,13xyx???解 当分母 时,此函数式都有意义30x ??因此函数的定义域为 (,3) ( 3,)?? ? ? ??前页 结束后页例 5 求函数 的定义域, 21 6 ln( sin )y x x? ? ?4 4,2 ( 2 1 ),0 1 2xn x n n即,,, ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??所以函数的定义域为 与,[ 4,) ( 0,) ????解 要使函数 y 有定义，必须使21 6 0,sin 0,xx 成 立? ??? ??4 0,xx与 ??? ? ? ? ? ?这两个不等式的公共解为前页 结束后页解 当 时,函数值设有函数,问它们是否为同一个函数,2 1( ) 1,( ) 1xf x x g x x ?? ? ? ?例 6( ) ( ),f x g x?(,),?? ??由于 与 的定义域不同,所以它们不是同一个函数,()fx ()gx1x ??但是 的定义域()fx而 在点 无定义其定义域为()gx 1x ??(,1 ) ( 1,),? ? ? ? ? ?与前页 结束后页在实际问题中,有时会遇到一个函数在定义域的不同范围内，用不同的解析式表示的情形，这样的函数称为分段函数．例如符号函数100010,s g n,,xy x xx???? ? ??????是一个分段函数，它的定义域为 (,)?? ??分段函数是用几个公式合起来表示一个函数，而不是表示几个函数,前页 结束后页2,0 1,() 2,1 2,xxy f x xx? ???? ? ???f (x)的定义域是 [0,2]，2221 1 1,( 1 ) 1 1 ;2 2 4ff? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?因 此1,1 [ 0,1 ]2 ?由 于,例 73 3 3( 1,2] 2 3.2 2 2f??? ? ? ?????而, 因 此当 时,01[,]x ? 2()f x x? 当 时,12(,]x ? ( ) 2f x x?前页 结束后页定义 设 y是 u的函数,y = f (u)，,而 u是 x的函数，并且 的值域包含 f (u)的定义域，即,则 y 通过 u 的联系也是 x的函数，称此函数是由 y =f(u) 及 复合而成的复合函数，记作()u x x D???，Uu?()x U x D? ??，)(x?)(xu ??1.1.3 复合函数并称 x 为自变量，称 u 为中间变量,[ ( ) ],y f x??例 8 分析函数 是由哪 几个函数复合而成,1c o s 2 xy ??解,是由函数 uyy x c o s2c o s 1 ?? ? ? ? ? ? ? ? ?21vu v x? ? ?和复合而成,并易知其定义域为 (,)?? ??前页 结束后页例 9 求由函数 组成的复合函数并求其定义域,13 ??? xuuy,解 由于 的定义域为 与 u=3xC1的值域有公共部分，[0,)??(,)?? ??yu?由于 必须,从而,yu? 0u? 3 1 0x ??故复合函数的定义域是,1[,)3 ??,13 ?? xy所以由它们可以组成复合函数1( ) [ ( ) ],[ [ ( ) ] ],1f x f f x f f f xx? ?, 求例 10 设1[ ( ) ]1 ( )f f x fx? ? 解11 1,0,xx? ? ?1111 x???前页 结束后页).,0()0,( ???? 和的定义域为为负整数时，当 ?? x).,0[),0()0,(,),(,2135725332????????????的定义域为；和的定义域为；为的定义域，如分数时，情况比较复杂当xxxxxμ 为(1)幂函数 yx??幂函数 的定义域随 的不同而不同,?x?1.基本初等函数).,( ????的定义域为为正整数时，当 ?? x( 是常数 )?当 为无理数时,规定 的定义域为? (0,)??x?前页 结束后页指数函数 的定义域为,当 a&1时，它严格单调增加；当 0&a&1时，它严格单调减少,对于任何的 a,的值域都是,函数的图形都过 (0,1)点,),( ????xa ),0( ??xa( ) l o g ( 0,1,)ay x a a a3对 数 函 数 是 常 数? ? ?对数函数 是指数函数 的反函数，它的定义域为,当 a&1时，它严格单调增加；当 0&a&1时，它严格单调减少,对于任何限定的 a,的值域都是,函数的图形都过 (1,0)点,xa),0( ??),( ????loga xxy alo g?(2)指数函数 是常数）( 0,1,xy a a a a? ? ?前页 结束后页在高等数学中，常用到以 e为底的指数函数 和以e为底的对数函数 (记作 ln x),ln x称为自然对数,这里 e =2.718 2818 ……, 是一个无理数,loge xxe(4)三角函数常用的三角函数有：正弦函数 y=余弦函数 y=y=sin x与 y=cos x 的定义域均为,它们都是以 为周期的函数，都是有界函数,(,)?? ??π2前页 结束后页数，并且在开区间 内都是无界函数,正切函数 y=( 0,1,2,),2x n n??? ? ? ? ? ? ? ?定 义 域 为 除 去 以 外 的 全 体 实 数余切函数 y=.),2,1,0( 以外的全体实数定义域为除去 ??????? nnx ?tan x与 cot x是以 为周期的周期函数，并且在其定义域内是无界函数,sin x,tan x及 cot x是奇函数,cos x是偶函数,π此外还有正割函数 y=secx,余割函数 y=cscx,其中,它们都是以 为周期的函xxxx s i n1c s c,c o s1s e c ??)2π,0(π2前页 结束后页(5)反三角函数三角函数 y=sin x,y=cos x,y=tan x和 y=cot x的反函数都是多值函数，我们按下列区间取其一个单值分支，称为主值分支，分别记作；定义域为 ]1,1[],2π,2π[,a r c s i n ???? yxy反正弦函数；定义域为 ]1,1[],π,0[,a r c c o s ??? yxy反余弦函数；定义域为 ),(),2π,2π(,a r c t a n ??????? yxy反正切函数).,(),π,0(,c o ta r c ?????? 定义域为yxy反余切函数前页 结束后页2 初等函数定义 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算或经过有限次复合运算所构成，并可用一个式子表示的函数，称 为初等函数,初等函数都可以用一个公式表式22253246( 1 ) c o sln1xy a x b x c yxxxyxx?? ? ? ???????例 如 函 数,,等 都 是 初 等 函 数 ；2,0,,0xxxyx?????而 e≥大部分分段函数不是初等函数是非初等函数前页 结束后页定义 3 设函数 y=f(x)是定义在 Df上的一个函数，其值域为Zf,对任意 y∈ Zf,如果有唯一确定的满足 y=f(x)的 x ∈ Df与之对应，则得到一个定义在 Zf上以 y为自变量的函数，我们称它为函数 y =f (x)的反函数，记作 1 ()x f y??1.1.5 反函数与隐函数1 反函数习惯上，常用 x来表示自变量,y 表示因变量，所以我们可以将反函数改写成 1 ( ) y f x??在直角坐标系中的 图形与 y=f(x)的图形是1 ()y f x??关于直线 y = x 对称的,前页 结束后页例 11 设函数 y=2xC3，求它的反函数并画出图形,12 3 ( 3 ),2解 出 得y x x x y? ? ? ?解于是得反函数 1 ( 3 )2yx?? 23yx??1 ( 3 )2yx??yx?前页 结束后页变量之间的函数关系, 是由某个二元方程 给出的, 这样的函数称为隐函数,例有些隐函数可以改写成显函数的形式, 而有些隐函数不能改写成显函数的形式, 把隐函数改写成显函数叫做(,) 0F x y ?22 5 0,s i n ( 2 ) 6xyx y x y x y e ?? ? ? ? ? ?隐函数的显化2 隐函数前页 结束后页1 奇偶性设函数 y =f (x) 的定义域 D是关于原点对称的，即当 时,有,xD? xD??则称 f (x)为偶函数，偶函数的图形关于 y 轴对称；( ) ( ),f x f x??如果对于任意的,均有Dx?则称函数 f (x)为奇函数,奇函数的图形关于坐标原点对称,如果对任意的,均有xD? ( ) ( ),f x f x? ? ?1.1.6 函数的基本性质前页 结束后页例 12 讨论下列函数的奇偶性,2( 1 ) ( ) ;f x x? ;)()2(3xxf ?.)(),()()(( 2 )333是奇函数xxfxfxxxf??????????,)(),()()()1(222是偶函数xxfxfxxxf????????解.)()3( 32 xxxf ??,)(,)(,)()3(323232xxxfxxxfxxxf?????????而?),()( ),()(,0 xfxfxfxfx ?????? 且时当,)( 32 函数既不是偶函数也不是奇所以 xxxf ??前页 结束后页设函数 y=f (x),如果存在正常数 T,使得对于定义域内的任何 x均有 f (x + T)=f (x) 成立，则称函数 y=f (x)为显然，若 T是周期函数 f(x)的周期，则 kT也是 f (x)的周期 (k=1,2,3 )，通常我们说的周期函数的周期就是指最小正周期,???2 周期性周期函数,T为 f (x)的周期,例如，函数 y=sin x及 y=cos x都是以 为周期的周期函数；π2函数 y=tan x及 y=cot x都是以 为周期的周期函数,π前页 结束后页解 设所求的周期为 T，由于( ) sin [ ( ) ]sin [ ( ) ]f t T A t TA t T? ? ? ?? ? ???? ? ?( ) ( )f t T f t??要 使s i n [ ( ) ] s i n ( ),A t T A t? ? ? ?即 成 立 ? ? ? ? ?例 13 求函数 的周期，其中 为常数( ) s i n ( )f t A t?? ??,,A并注意到 的周期为,只需sint 2?2 0,1,2,Tn? ? ? ????,? ? ?使上式成立的最小正数为 2 ( 1 )Tn??取??所以函数 的周期为( ) s i n [ ( )f t A t?? ??2,??前页 结束后页3 单调性设函数 y = f (x) 在区间 I上有定义 (即 Ｉ 是函数 y =f (x)的定义域或者是定义域的一部分 ).如果对于任意的，当 时，均有则称函数 y =f (x)在区间 Ｉ 上单调增加 (或单调减少 ).12,x x I? 12xx?1 2 1 2( ) ( ) ( ( ) ( ) ),f x f x f x f x? ?或单调增加 (或单调减少 )的函数又称为单调递增(单调递减 )函数,统称为单调函数,使函数保持单调性的自变量的取值区间称为该函数的单调区间,前页 结束后页函数 内是单调减少的，在区间 上是单调增加的,而在区间内则不是单调函数,单调增加的函数的图形是沿 x轴正向上升的；单调减少的函数的图形是沿 x轴正向下降的；例如，函数 内是单调增加的,3( ) (,)f x x? ?? ??在2( ) (,0 ]f x x? ??在(,)?? ??[0,)??前页 结束后页4 有界性设函数 y =f (x)的定义域为 D，数集,如果存在正数 M，使得对于任意的,都有不等式成立，则称 f (x)在 X上有界，如果这样的 M不存在，就称函数 f (x)在 X上无界,如果 M为 f (x)的一个界，易知比 M大的任何一个正数都是 f (x)的界,| ( ) |f x M?xX?XD?如果 f (x)在 x上无界，那么对于任意一个给定的正数 M,X中总有相应的点,使,Mx | ( ) |Mf x M?前页 结束后页当函数 y=f (x)在区间 [a,b]上有界时，函数 y =f (x)的图形恰好位于直线 y =M 和 y = CＭ 之间,这里取 Ｍ = 1.函数 y = sin x 的图形位于直线 y =1与 y = C1之间,例如，函数 f (x)=sin x在 内是有界的,这是因为对于任意的,都有 成立，),( ????),( ?????x1|sin| ?x前页 结束后页应该注意，函数的有界性，不仅仅要注意函数的特点，还要注意自变量的变化范围 Ｘ,例如，函数 在区间 (1,2)内是有界的,1()fx x?1| ( ) | | | 1fxx??都 有成 立,)2,1(?x事实上，若取 Ｍ =1，则对于任何而 在区间 (0,1)内是无界的,1()fx x?前页 结束后页1.1.7 函数关系的建立例 14 某运输公司规定货物的吨千米运价为：在千米以内，每千米 k元；超过千米，超过部分每千米 元,求运价 P 和运送里程 s 之间的函数关系．45k解 根据题意可列出函数关系如下()0 1 0 0 041 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 05k s sP k k s s???? ? ? ? ? ? ? ???≤这里运价 P和运送里程 s 之间的函数关系是用分段函数表示的,前页 结束后页总成本函数? ? ? ?12C C Q C C Q? ? ?? ? ? ? ? ?21C Q C QCC C Q Q Q Q? ? ? ?平均成本函数1 总成本函数某商品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入 (劳力, 原料, 设备等 )的价格或费用总额, 它由固定成本与可变成本组成,平均成本是生产一定数量的产品, 平均每单位产品的成本,在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下，产品的总成本与平均成本都是产量的函数．1.1.8 常见的经济函数前页 结束后页2 总收益函数总收益是生产者出售一定量产品所得到的全部收入, 是销售量的函数,设 p为商品价格, 为 Q销售量, 为总收益, 则有总收益函数 ? ?R R Q P Q??平均收益函数 ? ? ? ?RQR R Q PQ? ? ?3 总利润函数设某商品的成本函数为 C，销售收益函数 R为，则销售某商品个单位时的总利润函数为? ? ? ? ? ?L L Q R Q C Q? ? ?前页 结束后页例 15 已知某产品的总成本函数为求当生产 100个该种产品时的总成本和平均成本．2( ) 0, 2 2 2 0C ? ? ?Q Q Q2( 1 0 0 ) 0, 2 1 0 0 2 1 0 0 2 0 2 2 2 0C ? ? ? ? ? ?平均成本为( 1 0 0 ) 2 2 2 0( 1 0 0 ) 2 2, 21 0 0 1 0 0CC ? ? ?4 需求函数与供给函数解 由题意，产量为 100时的总成本函数为前页 结束后页1 数列的概念定义 1 自变量为正整数的函数 ()nu f n? 1,2n ?将其函数值按自变量 n由小到大排成一列数1 2 3,,,,nu u u u称为数列，将其简记为 ? ?nu称为数列的通项或一般项nu1.2.1 数列的极限1.2 极限的概念前页 结束后页1{ } { }1 1 1,,,.,3nunn?? ? ? ? ? ?1,2,即(1)11{ } { ( 1 ) }1,1,1,,( 1 ),.nnnu ????? ? ? ? ? ? ? ?,即(3){ } { 2 1 }1,3,5,,2 1,.nunn??? ? ? ? ? ? ?数 列, 即 奇 整 数 构 成 的 数 列(4)2 3 1,,,,12nn?(2) 1{ } { }nnun?? 即数列数列数列前页 结束后页2.数列的极限数列（ 1）当 n无限增大时,无限趋近于 0，即数列（ 1）以 0为它的变化趋向；nun1?数列（ 2）当 n无限增大时,un = 无限趋近于常数 1,即数列（ 2）以 1为它的变化趋向 ；1nn?数列（ 3），当 n无限增大时,其奇数项为 1，偶数项为 -1，随着 n 的增大，它的通项在 -1,+1之间变动，所以当 n 无限增大时，没有确定的变化趋向；1)1( ??? nnu数列（ 4）当 n 无限增大时,un也无限增大,前页 结束后页定义 2 如果当 n无限地增大时，通项 un无限地趋向于某个确定的常数 a，则说当 n趋于无穷大时,un以 a为 极限，记成但是，像数列 等1l i m 0,2( 1 )l i m ( 1 ) 1.nnnn n????????l i m ( ),nnn u a u a n?? ? ? ? ? 或当 n越来越大时，它们各自是否有确定的变化趋势？如果有，极限是什么？11,nn?????????????????102,nn??????1s innn??????直观上可以看出前页 结束后页单调增加或单调减少的数列统称为单调数列,成立,则称数列 是单调减少的,1 2 1nnx x x x ? ≥ ≥ ≥ ≥ ≥若有3.单调数列与有界数列数列 (2) (4)是单调增加的，数列 (1)单调减少的,对于数列,若有1 2 1nnx x x x ? ≤ ≤ ≤ ≤ ≤成立,则称数列 是单调增加的 ;{}nx{}nx{}nx前页 结束后页对于数列,若存在正数 M，使得对于一切的 n都有}{ nxnxM?成立，则称数列 是有界的，否则称 是无界的,}{ nx }{ nx容易验证数列 (1)(2)(3)是有界的；而数列 (4)是无界的,无界数列一定是发散的,注意 数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件,例如，数列 是有界的，而 却是发散数列,{}nu1{ } { ( 1 ) }nnu ???定理 1 单调有界数列必有极限,前页 结束后页1,当 x→∞ 时,函数 f (x)的极限函数 () 1xfx x? ?当 x→+∞ 时,函数 f (x) 无限趋近于常数 1，此时我们称 1为 当 x→+∞ 时函数 f (x)的极限,定义 3 如果当自变量 x无限增大时, 函数 f (x)无限趋近于某个确定的常数 A,则称常数 A为函数 f (x)当 x→+∞ 时的极限, 记为Axfx ???? )(lim( ) ( )f x A x? ? ? ?或1.2.2 函数的极限-11前页 结束后页当 x→ -∞时,函数 f (x) 无限趋近于常数 1，此时我们称 1为当 x→ -∞时函数 f (x)的极限,定义 4 如果当 无限增大时，函数 f (x)无限趋近于某个确定的常数 A，则称常数 A为函数 f (x)当 x→+∞时的极限，记为||xl i m ( )x f x A?? ?Axf ?)( (x→∞)或11lim ????? xxxl im 11xxx? ?? ??Axfx ??? )(lim Axfxf xx ?? ??????? )(lim)(lim定理 2的充要条件是前页 结束后页2 当 x→ x0时,函数 f (x)的极限11)( 2???xxxf当 x→ 1时,的值无限趋近于常数 2，此时我们称当 x趋近于 1时，函数11)( 2???xxxf11)( 2???xxxf极限为 2定义 5 设函数 f(x)在 的某邻域内有定义（ x0可以除外）,如果当自变量 x 趋近于 x0 时,函数 f(x)的函数值无限趋近于某个确定的常数 A,则称 A为函数 f(x) 当 x→ x0时的极限，0l i m ( )xx f x A? ? ()f x A? 0()xx?或21112???xxy考查函数记为前页 结束后页2 在定义 5中,x 是以任意方式趋近于 的，但在有些问题中，往往只需要考虑点 x 从 的一侧趋近于时，函数 f (x)的变化趋向．注, 1,在 时的极限是否存在,与 在点 处有无定义以及在点 处的函数值无关,0x0xx?()fx ()fx0x如果当 从 的左侧 趋近于 (记为 ） 时,以 A为极限, 则称 A为函数 当 时的左极限,记为()fx0x0li m ( )xx f x A?? ?x()fx)( 0xx ? 0xx??0xx?Axf ?)( )( 0?? xx或如果当 从 的右侧 趋近于 （ 记为 ） 时,以 A为极限, 则称 A为函数 当 时的右极或 ( )x()fxAxf ?)(? ?0x & x0x()fx0xx ?0xAxfxx ??? )(lim0?? 0xx?? 0xx限，记为0x0x0x前页 结束后页函数的极限与左、右极限有如下关系：定理 30l i m ( )xx f x A? ? ?00l i m ( ) l i m ( )x x x xf x f x A???? ??注, 定理 3常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在例 2 判断函数 ? 1 c o s,0() s in,0xxfx xx???≤在 点处是否有极限,0x ?00li m ( ) li m ( 1 c o s ) 0xxf x x???? ? ? ?解,00li m ( ) li m s in 0xxf x x???? ??00li m ( ) li m ( ) 0xxf x f x???? ??因为0li m ( ) 0x fx? ?所以前页 结束后页定理 4(唯一性定理 ) 如果函数在某一变化过程中有极限，则其极限是唯一的．2 函数极限的性质定理 5(有界性定理 ) 若函数 f (x)当 x→ x0时极限存在,则必存在 x0的某一邻域, 使得函数 f (x)在该邻域内有界,定理 6(两边夹定理 ) 如果对于 x0的某邻域内的一切 x( 可以除外 ),有, 且00lim ( ) lim ( )x x x xh x g x A?? ??0l i m ( )xx f x A? ?则0x ( ) ( ) ( )h x f x g x≤ ≤前页 结束后页1.无穷小量定义 7 若变量 Y在某过程下以零为极限，则称变量 Y在此过程下为无穷小量，简称无穷小,1.2.3 无穷小量与无穷大量303lim 00xxxx???，是例 3sinsinxxxx???0l i m 00，是例 4时的无穷小量,时的无穷小量,因为所以因为所以前页 结束后页例如函数 时的无穷小，但当时不是无穷小。当 时,的极限不为零，所以当时，函数 不是无穷小，而当 时是无穷小量。1 ( )f x xx? ? ?是应该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极限的变量，而不是绝对值很小的数。因此应明确指出其变化过程。1x?sinx2??x2??xsinx 0x ? sinx前页 结束后页定理 7 在自变量的同一变化过程中(1) 有限个无穷小的代数和仍为无穷小,(4) 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小,(3)常量与无穷小的乘积仍为无穷小,(2) 有限个无穷小的乘积仍为无穷小,2,无穷小的性质前页 结束后页s in,xx x? 01lim求例 5limx x x x? ??0 00,即 是解| s i n |,s i nxx?11 1 而 即注意 这个极限不能用极限的四则运算法则求得，因为 不存在,xx1sinlim0?.01s inlim0?? xxx所以时的无穷小量,为有界变量,前页 结束后页3,无穷大量).( )( )(lim 00xxxfxfxx ?????? 或定义 8 在自变量 x的某一变化过程中,若函数值的绝对值 无限增大，则称 f(x)为此变化过程中的无穷大量，简称无穷大,记作)(xf记 f (x)是无穷大，只是为了书写的方便，同时也表明了当 时 f (x)虽然无极限，但还是有明确趋向的,无穷大量是一个绝对值可无限增大的变量，不是绝对值很大很大的固定数,0xx ?注意,函数 f (x)当 时为无穷大，则极限是不存在的,利用记号0xx ? )(lim0xfxx???? )(lim0xfxx前页 结束后页4 无穷小与无穷大的关系简言之无穷小与无穷大的关系为：在自变量的同一变化过程中，无穷大的倒数是无穷小,无穷小 (不等于 0)的倒数是无穷大,定理 9 在自变量的同一变化过程中，若 f (x)为无穷大,则 为无穷小 ;反之,若 f (x)为无穷小且 f (x)不等于 0,则为无穷大,)(1xf)(1xf??? xx1lim001lim ??? xx例如：前页 结束后页.xxx???2211lim1求.xxx?? ???2211 l i m1由 定 理 知以后，遇到类似例 6的题目，可直接写出结果,例 6,xxx?? ??2211 l i m 01由 于解() xfx x ?? ? 11例 7 考察当 时, 为无穷大量；() xfxx???111?x当 时,为无穷小量；()xf x x???1111?x前页 结束后页定理 1 设,则( f x g x A B? ? ?2 ) l i m [ ( ) ( ) ] ;( 3 ) 0B ?若,,f x Ag x B?()lim()1.3.1 极限的运算法则下面的定理，仅就函数极限的情形给出，所得的结论对数列极限也成立,1.3 极限的运算( 1 ) ( ( ) ( ) )f x g x A B? ? ?liml i m l i mf x A g x B??( ),( )其中自变量 x的趋势可以是 等各种情形,0,x x x? ? ?前页 结束后页定理 1中的 (1)和 (2)可以推广到有限个函数的代数和及乘积的极限情况,结论 (2)还有如下常用的推论,推论 1 设 limf(x)存在，则对于常数 c，有lim [ ( ) ] lim ( ),c f x c f x?推论 2 设 limf(x)存在，则对于正整数 k，有lim[ ( ) ] [ lim ( ) ],kkf x f x?321li m ( 2 3 2 ),x xx? ??求 极 限例 1321321 1 1li m ( 2 ) li m ( 3 ) lili m ( 2 3 m2 2) x x xx xxx x??? ???? ? ?解. ??????前页 结束后页一般地，设有多项式 (有理整函数 )( ),nn nnf x a x a x a x a? ?? ? ? ? ? ? ? ?10 1 1lim ( ) lim ( )nn nnx x x xf x a x a x a x a? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?0010 1 1则有lim lim limnn nnx x x x x xa x a x a x a? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?0 0 010 1 1( ),nnnna x a x a x afx??? ? ? ? ? ? ? ??10 0 1 0 1 00li m ( ) ( )xx f x f x? ?0 0即前页 结束后页lim,xxxx????22421求 极 限例 2lim,xxxx?? ? ? ???? ? ?2224 2 2 4 62 1 2 2 1 5解),()( )( 000 xFxQxP ?? ??0000lim ( )()lim ( ) lim( ) lim ( )xxx x x xxxPxPxFxQ x Q x??????lim ( ) ( )xx F x F x? ?0 0有时当都是多项式与其中,0)(,)()( 0 ?xQxQxP()( ),()PxFxQx?设有理分式函数前页 结束后页式 (1)与式 (2)说明对于有理函数求关于 的极限时，如果有理函数在点 有定义，其极限值就是在 点处的函数值，以后可以当做公式使用,0xx ?0x0xli m ( ),x x??? ? ? ? 1 12lim,xxx????2111求例 3( ) ( )lim limxxx x xxx? ? ? ?? ? ????21 11 1 111解前页 结束后页lim ( ),x xx? ??? 31 1311求.lim 221??? ???? ??? xxxx?)1)(1()2)(1(lim21 ??????? xxxxxx?例 4lim ( ) limxxxxx x x??? ? ???? ? ?233111 3 1 31 1 1解lim,xxxx?????22212求例 5 li m li m,xxxx xxxx? ? ? ???????? ?2 222112212221解前页 结束后页.21lim 32????? xxxx求.021111lim21lim32332????????????xxxxxxxxx例 6，然后再求极限，得分母同时除以分子,3x解一般地,对于有理分式有,????????????????????????mnmnbamnbxbxbaxaxamnmmmmnnnnx当当当0lim011011??其中 n,m为正整数前页 结束后页1.3.2 两个重要极限重要极限 1 sinlim,xxx? ?0 1其中的两个等号只在 x=0时成立,π| |,| s in | | | | t a n |,2x x x x? ? ?证设圆心角 过点 A作圆的切线与 OB的延长线交于点 C，又作,OABD ?,xA O B ??则 sin x =BD,tan x=AC，BO DACx当 时首先证明不等式前页 结束后页| s in | | | | t a n |,x x x??当 时有即当 时,O A B O A B O A CS S S??扇 形DDs i n t a n,x x x?? 即s in ( ) t a n( ),x x x? ? ? ? ?s i n t a n,x x x? ? ? ? ? 即s in t a n,x x x??1 1 12 2 2BO DACxx??0 2,p而当 时有,从而x? ? ? 02p x? ? ?0 2p即当 时有||x?? 0 2p | s i n | | | | t a n |,x x x??这就证明了不等式,x?0| s i n | | | | t a n |x x x??前页 结束后页| sin |x用 除 不 等 式的 各 端, 得 t a n| | | |,sin sinxxxx?? 1,sin c o sx xx?? 1 1即sinc o s 1, xxx??从而有| s i n | | | | t a n |,x x x??c o s s in ( ),xxxx? ? ? ? ? ?222 1 2 1 2 122注 意 sin.xx x? ? ?21 12于 是 有lim( ),lim,xxx??? ? ?2001 1 1 12因由夹逼准则，即得 1s inlim0?? xxx前页 结束后页.1t a nlim0?? xxx求例 7)c o s1s i n(limt a nlim00 xxxxxxx????解,1c o s1lims i nlim 00 ??? ?? xx x xx1coslim0此题中用到 xx ??20c o s,xxx??求 1lim220)2(2s in2lim21xxx ??.21121 2 ???例 8220202s i n2limc o s1limxxxxxx ????解xxx 55s inlim50??,515 ???.5s inlim0 xxx ?求例 9xxxxxx 55s i n5lim5s i nlim00 ???解前页 结束后页.e)1(lim0110???????zzzzxxz,从而有时，则当在上式中，令这是重要极限 2常用的另一种形式,.() xx ex?? ??1l i m 1重要极限 2ttxx tx63 )11(lim)21(lim ???????( ),xx x?? ? 32l i m 1求.)11(lim 66et tt??????? ????例 10解 令,则当 时,,因此xt ? 2,x ?? t ??前页 结束后页.1)11(lim1exxx?????.)1(lim xx xx???求例 11xxxxxxx)11(1lim)1(lim??? ????解例 12 设有本金 1000元，若用连续复利计算，年利率为 8%，问 5年末可得本利和为多少？解 设复利一年计算一次，则一年末本利和为),08.01(000 1 ?若复利一年计算 n次，则 x年末本利和为.)08.01(0 00 1 nxn?x年末本利和为所以 1 0 0 0 ( 1 0, 0 8) x?前页 结束后页1.3.3 无穷小的比较两个无穷小的和、差、积都是无穷小，那么，两个无穷小的商是否仍是无穷小呢？请看下面的例子,,,2,s i n,,,32 都是无穷小时当 xxxxxx ??.,s i n,2;0 322均不是无穷小是无穷小时即 xxx xxxxxx ?,1s i nlim,22lim,0lim0020?????? xxxxxxxxx,lim 320不存在xxx ?这些情形表明，同为无穷小，但它们趋于 0的速度有快有慢，为了比较不同的无穷小趋于 0的速度，我们引入无穷小量阶的概念,前页 结束后页此时也称 是比 低阶的无穷小,??(3)如果,则称 是比 阶的无穷小,记作lim ? 0ba b a(2)如果,则称 与 是等价无穷小,记作lim ? 1ba b a ~.ba.o? ()ba(1)如果 是常数 ),则称 是同阶无穷小,lim ( 0cc???? 与??定义 设 时为无穷小 (且 ).()x???()x?,?? 0 ()x x x? ? ?在 或0??前页 结束后页所以当 时,与 x是等价无穷小,即所以当 时,是比 x高阶的无穷小,即1,s i nlim0s i nlim00???? xxxxx，且?例 13.x ~ x x ?s i n ( 0 )0limxxx? ?1 - c o s 0,又 因c o s ( ) ( ),x o x x? ? ?1 02122s i n21limc o s1lim2020????????????????? xxxxxx例 14 因为同理可知,当 时,x?0 ta n ~,xx所以当 时,是同阶无穷小,x?0cos x?1x?0sinxx?0 c o s xx? 21 与前页 结束后页关于等价无穷小在求极限中的应用，有如下定理,)l i m ( lim ???????? ???????由假设，有证????????????? limlimlim.lim ?? ???存在，则有，，无穷小，且时都是或在及，，设???????????????????lim~~)( 0 xxx定理 2'lim lim,'?bbaa前页 结束后页根据此定理，在求两个无穷小之比的极限时，若此极限不好求，可用分子、分母各自的等价无穷小来代替，如果选择适当，可简化运算,用定理 2求极限，需要预先知道一些等价无穷小,一些常用的等价无穷小如下,si n ~,t an ~,~,l n ( ) ~,c os ~,xxx x x x xxx x x????20e 11 12当 时前页 结束后页.2s in 3t a nlim0 xxx ?求例 15，所以，时，当 xxxxx 2~2s i n3~3t a n0?解.2323lim2s i n 3t a n lim00???? xxxxxx.2t a nlim 230 xxxxx ???求例 16，所以，时，当 )2(~2~t an0 23 xxxxxxx ????解.212lim2t a n lim0230???????? xxxxxxxx前页 结束后页.s i nt a nl i m 30 xxxx??求2t an ~ 1 c os ~ 2xx x x?，,3030)c o s1( t a nlim t a nlimxxxxxxxx??????s i n.212lim320???? xxxx例 17时，当 0 ),c o s(1 t a n s i n t a n ???? xxxxx解前页 结束后页注意：相乘 (除 )的无穷小都可用各自的等价无穷小代换，但是相加 (减 )的无穷小的项不能作等价代换，例如.t a n sinxxx x x xxx???? ??3300l i m l i m 0是完全错误的前页 结束后页x1.4.1 函数连续性的概念xxxxxx ??????? 00相应的函数的改变量（增量）,函数的 终值 与初值 之差称为自变量的改变量，记为)()()()( 0000 xfxxfxfxfyyy ?????????1.改变量（增量）：1.4 函数的连续性yx0x xx ??0)(xfy ?)( 0xfx?y?0当自变量由初值 变化到终值时，终值与初值之差称为自变量的改变量，记为0x0xx ?)(xf )( 0xf )()( 0xfxf ?前页 结束后页定义 1,设函数 在点 的某邻域内有定义，当自变量在点 处有增量 时，相应的函数有增量,如果当自变量的增量 趋于零时，函数的增量 也趋于零，即则称函数 在点 处连续，点 称为函数的连续点0x)( xfy ?)()( 00 xfxxfy ?????)( xfy ?li m li m [ ( ) ( ) ]xx y f x x f x?? ? ? ?0000DD DD0x0x0x2.连续x?x?y?若记,则,且当 时，xxx ??? 0 )()( 0xfxfy ??? 0xx ?故定义 1又可叙述为前页 结束后页注：)()(lim0lim 000xfxfy xxx ???? ???定义 2,设函数 y = f (x)在点 的某邻域内有定义，若有,则称函数 在点 处连续, lim ( ) ( )xx f x f x? ?0 00（ 1）定义 1与定义 2是等价的,即由左右极限定义可定义左右连续定义（ 2）由定义 2可知若函数 在点 处连续，则函数 在点 处的极限一定存在，反之不一定连续x0)(xf)(xf x0（ 3）当函数 在点 处连续时，求 时，只需求出 即可)(xf 0x lim ( )xx fx? 0)( 0xf()y f x?前页 结束后页定义 3：若函数 满足,则称 函数 在点处左连续。同理可以定义右连续3、左右连续)()(lim 00xfxfxx ???4、区间连续定义 4：若函数 在（ a,b）内每一点都连续,则称函数 在（ a,b）内连续。)()()()()( 00 limlimlim000xfxfxfxfxfxxxxxx?????? ???由定理 3可知：函数 在点 处连续既左连续又右连续即)(xf)(xf)(xf)(xf)(xf0x前页 结束后页证明 y = sin x在 内连续例 12)2c o s (2 0 ??? xx证），（ ????对任意 ),(0 ?????x有2s i n)2c o s (2s i n)s i n (000xxxxxxy??????????因为所以 0lim0 ???? yx故 在 内连续),( ????xy s in?定义 5 若函数 y = f(x)在（ a,b）内每一点都连续，且在左端点 a 处右连续，在右端点 b处左连续，则称 函数y = f (x)在 [a,b]上连续。前页 结束后页1.4.2 函数的间断点及其分类连续在 0)( xxf处有意义。在 0)()1( xxf则一定满足以下条件存在)(l i m)2(0xfxx ?)()(lim)3( 00xfxfxx ??如果 f(x)在点不能满足以上任何一个条件，则点是函数 的间断点。)(xf1.可去间断点：)()(lim 00xfAxfxx ???如果函数在点 的极限存在，但不等于,即0x )( 0xf则称 为 的可去间断点。0x )(xf0x前页 结束后页?????? ??)1(3)1()( 112xxxf xx例 2??????)1(2)1()()(xxxfx?解 )1(2lim)(lim11112 fxfxxxx ??? ????所以 x =1为可去间断点重新定义新的函数：则 x=1成为函数的连续点前页 结束后页)(lim)(lim00xfxf xxxx ?? ?? ?2.跳跃间断点：例 3?????????)21(1)10()(xxxxxf所以 x =1为跳跃间断点11lim 1 lim ( 1 ) 1xxxx????? ? ? ?左右极限存在不相等前页 结束后页当 时，函数值不断地在两点之间跳动，左右极限均不存在3.无穷间断点0xx ?f(x)在点 的左、右极限至少有一个是无穷大，则称 为 f(x)的无穷间断点0x0x例 4 x=0为 无穷间断点1y x?4.振荡间断点例 5 1( ) s infx x?x=0是其振荡间断点前页 结束后页间断点的类型,第一类间断点,我们把左右极限都存在的间断点称为第一类间断点,第二类间断点,除第一类以外的间断点,即左右极限至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点,前页 结束后页例 6)1()( 22???xxxxxf解 函数在 x= -1,x = 0,x = 1处没有定义所以 x= -1,x = 0,x = 1是函数的间断点221lim ( 1 )xxxxx??? ???所以 x = -1是函数的无穷间断点22221( 1 )( 1 )0 0 01( 1 )( 1 )0 0 0li m ( ) li m li m 1li m ( ) li m li m 1xxxxxx x xxxxxxx x xfxfx? ? ?? ? ?????? ? ????? ? ?? ? ? ?? ? ?所以 x= 0是函数的跳跃间断点(Ⅰ )(Ⅱ )前页 结束后页22 11( 1 ) 2( 1 )1 1 1l i m ( ) l i m l i mxx xxxx x xfx? ??? ? ?? ? ?所以 x= 1是函数的可去间断点20 ( 1 )2 1 ( 1 2 )1 ( 2 )xy x xxx? ??? ? ? ??? ???解 分界点为 x =1,x =2,00lim)(lim 11 ?? ?? ?? xx xf（ i）当 x=1时所以 x= 1 是函数的跳跃间断点11li m ( ) li m ( 2 1 ) 3xxf x x???? ? ? ?(Ⅲ )例 7前页 结束后页5)1(lim)(lim5)12(lim)(lim22222??????????????xxfxxfxxxx（ ii）讨论 x=2而 f(2)=5所以 x= 2是函数的连续的点因此,分段函数的分界点是可能间断点前页 结束后页设函数 y = f(u)在点 处连续,u= f (x)在点 处连续,且,则复合函数 在点 处连续,1.4.3 初等函数的连续性定理 1单调连续函数的反函数在其对应区间上也是单调连续函数。设 f(x),g(x)均在点 处连续,则也在处连续0x0()( ) ( ),,( ( ) 0 )()fxf x g x g xgx??)()( xgxf ?因此,基本初等函数在其定义域内连续,定理 2定理 3)]([)]([lim 00xfxfxx ?? ??0x00()ux??0u 0x[ ( ) ]y f x??即：因此,一切初等函数在其定义区间内连续,前页 结束后页1.4.4 闭区间上连续函数的性质定理 4（最值定理）闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。注,ab1x 2xxy0)(xfy ?对于在开区间或在闭区间上有间断点的函数，结论不一定成立。前页 结束后页定理 5 （ 介值定理 ）cf ?)(?)(xfy ?yxo a ? b设函数 f(x)在 [a,b]上连续,且, 为介于 f (a)与 f (b)之间的任一实数,则至少存在一点,使得)()( bfaf ? c),( ba??.0)( ??f推论：如果函数 f(x)在 [a,b]上连续,且则至少存在一点,使得0)()( ?bfaf),( ba??
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