&>&&>&利率风险度量久期和凸度
利率风险度量久期和凸度 投稿：贾俰俱
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2010年初中学业水平考试 初二地理试题 注意事项： 1．答题前请考生务必在答题卡及试卷的规定位置将自己的姓名、考试号、考试科目、座号等内容填写（涂）准确。 2．本试题共50分，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题，16分；第Ⅱ卷为非选择题，34分…
前言 机械制造技术基础是机械设计制造及其自动化（或机械工程及自动化）专业的一门重要的专业基础课。 机械设计是机械工程的重要组成部分，是决定机械性能的最主要因素。由于各产业对机械的性能要求不同而有许多专业性的机械设计。 在机械制造厂的生产过程中,用来安…
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1,000Moody's RatingAaAaAa期限5 yrs.
10 yrs. 15 yrs.YTM9%10%11%价格1,Let yields decrease by 10% (8.1%, 9%, and 9.9% respectively).新价格:%Price change:1,0363.6%1,0006.6%9318.8%o债券期限越长，利率风险越大$250$200Price$150$100$50$00%2%4%6%8%Rate10%12%14%10 Year20 Year5 Year16%A？B?C?o李同学向张同学借了1000元钱，没有说明什么时候还。张同学除了担心李能否还钱（本金安全）外，还担心什么？o李同学承诺三个月内还钱。有三种方式让张同学选：A、三个月后一次性还1000元；B、第一个月末还200，第二个月末还300，第三个月末还剩下的500；C、每个月末平均还1000/3元。从资金安全的角度看，张同学会选哪种？o久期(duration) ：将所有影响债券利率风险的因素全考虑进去，形成一个经过修正的投资标准期限，用以衡量债券价格的利率风险程度。该标准期限越短，债券对利率的敏感度越低，风险越低；该标准期限越高，债券对利率的敏感度越高，风险亦越大。oo由麦考利(F.R.Macaulay, 1938) 提出，使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。计算公式：D=∑(1+y)t=1Tctt×tPTct/(1+y)PV(ct)=∑[×t]=∑[×t]
(6)PPt=1t=1Tt其中，D是麦考利久期，是债券当前的市场价格，ct是债券未来第t次支付的现金流(利息或本金)，T是债券在存续期内支付现金流的次数，t是第t次现金流支付的时间，y是债券的到期收益率，PV(ct) 代表债券第t期现金流用债券到期收益率贴现的现值。o决定久期的大小三个因素：各期现金流、到期收益率及其到期时间o计算公式：Dp=∑WiDii=1k其中，Dp表示债券组合的麦考利久期，Wi表示债券i的市场价值占该债券组合市场价值的比重，Di表示债券i的麦考利久期，k表示债券组合中债券的个数。o假设现在是0时刻，假设连续复利，债券持有者在ti时刻收到的支付为ci(1≤i≤n)，则债券价格P和连续复利到期收y′的关系为：益率nnP=∑ciei=1n-y′ti?P=-?y′i-y′tiD=∑tceiii1-y′tinPcie=∑ti[]Pi=1?P=P?P=-PD?y′DD=1+y*?PD?yQ
=-P1+yo只有零息债券的麦考利久期等于它们的到期时间。o附息债券的麦考利久期小于或等于它们的到期时间。只有仅剩最后一期就要期满的附息债券的麦考利久期等于它们的到期时间，并等于1 。[1+y]o永续债券的麦考利久期等于，其中y是计算现值采用的贴现率。o在到期时间相同的条件下，息票率越高，久期越短。o在息票率不变的条件下，到期时间越长，久期一般也越长。o在其他条件不变的情况下，债券的到期收益率越低，久期越长。oooo假设价格收益率曲线是线性的假设利率期限结构是平坦的假设未来现金流不随利率变化而变化假设收益率曲线平行移动Priceo定义：凸度(Convexity) 是指债券价格变动率与收益率变动关系曲线的曲度。o如果说马考勒久期等于债券价格对收益率一阶导数的绝对值除以债券价格，我们可以把债券的凸度(C) 类似地定义为债券价格对收益率二阶导数除以价格。即：1?PC=2P?y2当收益率下降时，价格的实际上升率高于用久期计算出来的近似值，而且凸度越大，实际上升率越高；当收益率上升时，价格的实际下跌比率却小于用久期计算出来的近似值，且凸度越大，价格的实际下跌比率越小。这说明：o(1) 当收益率变动幅度较大时，用久期近似计算的价格变动率就不准确，需要考虑凸度调整；o(2) 在其他条件相同时，人们应该偏好凸度大的债券。凸性定义?P?P?0,?02?i?i22?P1?P2dP=×?i+×2×?i+误差项?i2{?i{-1*价格久期价格凸性函数dP?P11?2P1误差项2=××?i+×2××?i+p?ip2?ipP13143-1*修正久期凸性系数o考虑了凸度的收益率变动和价格变动关系：dP12*=-Ddy+C(dy)P2o当收益率变动幅度不太大时，收益率变动幅度与价格变动率之间的关系就可以近似表示为：?P12*=-D?y+C(?y)P2o若其他条件相同，通常到期期限越长，久期越长，凸度越大。o给定收益率和到期期限，息票率越低，债券的凸度越大。如相同期限o和收益率的零息票债券的凸度大于附息票的凸度。o给定到期收益率和修正久期，息票率越大，凸度越大。o久期增加时，债券的凸度以增速度增长。o与久期一样，凸性也具有可加性。即一个资产组合的凸度等于组合中单个资产的凸度的加权平均和。oFisher和Wei(1971)提出o核心思想是用未来收益的估计值进行现金流折现o有效避免了收益率曲线平坦的假定，但仍然假设收益率曲线平行移动o1993年，Frank Fabozzi提出了有效久期的思想。o所谓有效久期是指在利率水平发生特定变化的情况下债券价格变动的百分比。它直接运用不同收益率变化为基础的债券价格进行计算，这些价格反映了隐含期权价值的变动。o有效久期：利率下降x个基点时债券价格；利率上升x个基点时债券价格；初始收益率加上x个基点；初始收益率减去x个基点；债券初始价格；ooooo构建理论上的零息国库券即期收益率曲线选定表示利率期限结构的数学模型运用蒙特卡罗模拟法模拟m条利率路径选定提前偿付模型并计算每一条利率路径上的现金流计算期权调整利差o将OAS代入下面两式，将利率分别上移和下移一个固定的基本点，计算债券新价格。其公式为:o代入公式可得有效久期：其中：详见：Vasicek(1997)、Cox,Ingersoll and Ross(1985)、Heath,Jarrow and Mortorn(1992)等oo从20世纪80年代开始，一些研究人员提出了基于方向向量的多元久期理论，如Priman and Shores (1988)提出的多项式参数久期模型，Reitano(la，1991b，1992)提出的方向久期模型(Directional Duration)和偏久期模型(Partial Duration)，Ho(1992)提出的关键利率久期(Key-rate Duration)，Nawalkha and chambers(1997)提出的M一veoctr模型等。核心思想：将收益率曲线分为若干片段，在有限数量的水平上描述利率变动。其中：
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『报考八问』
2016年《证券投资基础》讲义：债券的久期和凸度
来源：　 10:45:49　【】　
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　　查看汇总：
　　利率变化是影响债券价格的主要因素之一，久期和凸度是衡量债券价格随利率变化特性的两个重要指标。
　　(一)久期
　　到期期限是度量债券寿命的传统指标，但它仅仅考虑了到期日本金的偿还，并不是衡量债券寿命的充分性指标，因此有必要引入一个新指标来度量债券寿命中的现金流模式(数量和时间)。1938年，麦考利(Macaulay)为评估债券的平均还款期限，引入久期的概念。
　　图8―5“O8云投债”(122994)价格的波动
　　资料来源：Wind数据库。
　　麦考利久期(duration)，又称为存续期，指的是债券的平均到期时间，它是从现值 角度度量了债券现金流的加权平均年限，即债券投资者收回其全部本金和利息的平均时间。
　　资料来源：Shape w.Alexander G.Bailey J.Investment.5th edition.Prentice―Hall International。Inc.。。
　　上面介绍的是单个债券久期的计算，对于债券组合的久期计算，可以用组合中所有 债券的久期的加权平均来计算，权重即为各个债券在组合中的比重。 对于在到期日所有本息一笔付清的零息债券，麦考利久期等于期限。 经过数学椎导.债券价格变化与收益率的关系可以表示加下.
　　修正久期衡量的是市场利率变动时，债券价格变动的百分比。
　　(二)凸性
　　利用久期来估计债券价格的波动性实际是用价格收益率曲线的切线作为价格收益率 曲线的近似。只有在收益率变动较小时，此种方法才适用。若利率变化较大，我们需要 引入更精确的度量方式――凸性(convexity 0凸性是债券价格与到期收益率之间的关 系用弯曲程度的表达方式。
　　由于债券价格与收益率呈反比关系。但这种反比关系是非线性的，即债券收益率下 降所引起的债券价格上升的幅度不等于收益率同比上升所引起的债券价格下降的幅度， 该现象就是凸性引起的。在图8-6中，债券的持有期限收益率和债券价格分别用y和P 表示。当债券的持有收益率增加或减少同样的比率，分别表示为y和y一，债券价格则 呈现不同幅度的变化特征。从图8-6可以看出，当债券收益率从Y增加到广，债券价格 相应地减少到P一;相反，当债券收益率从y减少到Y一，债券价格相应地增加到P+。但是， 债券价格与收益率反向变动的过程中，债券价格的上升幅度大于债券价格下降的幅度。
　　价格收益率曲线表示的是债券价格变动与到
　　期收益率之间的关系，该曲线是凸向原点的。曲线 上任意一点的斜率表示久期，收益率越低，斜率越 大，即久期越大。斜率变化的速率就是凸度。凸度 是衡量价格收益率曲线弯曲程度的指标。价格收益 率曲线越弯曲，凸度越大。之所以引入凸度指标， 是因为价格收益率曲线越弯曲，用久期来衡量债券 价格变动的偏差就越大。
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□ 王志强 徐 浩 刘 璐
　　摘 要:众所周知,简单久期―凸度免疫策略中隐含两个假设:水平收益率曲线及其平行变动。针对这两个假设与实际情况不符的问题,本文借鉴Carcano和Foresi(1997)的思想,建立了一个基于协方差调整的一般久期―凸度免疫模型,并用两资产对冲组合和三资产对冲组合进行了具体分析。进一步,我们采用上海证券交易所上市的国债交易数据对一般模型的免疫效果进行了检验,结果显示基于协方差调整的久期―凸度免疫策略比简单久期―凸度免疫策略具有相对较强的免疫能力。
　　关键词:久期―凸度免疫;利率期限结构;波动率
　　中图分类号:F830.4文献标识码:A
　　文章编号:08)02-0046-09
　　一、引 言
　　对冲利率风险的一种重要手段是采用久期―凸度免疫策略。简单的久期―凸度免疫策略是通过构建一个与某项资产A具有相同的久期和凸度的对冲组合H,并买入资产A、卖空与A同等数量的对冲组合H来实现的。可以证明,在满足一定条件的情况下,具有相同久期和凸度的对冲组合能够抵消由于利率发生变化而引起资产A出现的损益,从而使持有免疫组合(即包括同等数量的多头部位A和空头部位H的组合,记为P)的投资者实现对利率变动的免疫。
　　简单久期―凸度免疫策略实现其免疫能力的最关键的两个前提假设是:第一,收益率曲线是水平的。第二,收益率曲线平行变动。如果收益率曲线不是平行变动的,那么在利率发生变化时,即使资产A与对冲组合H具有相同的久期和凸度,资产A的价值变化率也无法与包含具有不同期限资产的对冲组合H的价值变化率保持相同。换句话说,在收益率曲线非平行变动的情况下,简单久期―凸度免疫策略不能实现其预期的免疫效果。
　　收益率曲线平行变动意味着不同期限的收益率变化的波动率是完全相同的,而且各种期限的收益率变化之间完全正相关。然而,经验证据表明,收益率曲线的变动通常是非平行的[1]。也就是说,实践中长短期收益率变化的波动率是不相同的,长期收益率变化与短期收益率变化是不完全正相关的。来自美国国债市场中的交易数据表明,短期利率变化的波动率高于长期利率变化的波动率。而且,1年期即期利率变化与15年期即期利率变化之间的相关系数是0.68,5年期即期利率变化与19年期即期利率变化之间的相关系数是0.78。[2]我们的研究发现,来自上海证券交易所上市的国债交易数据显示,1年期即期利率变化、5年期即期利率变化、20年期即期利率变化的波动率分别是0.49%、0.34%和1.25%。而且,1年期即期利率变化与15年期即期利率变化之间的相关系数是0.54,5年期即期利率变化与20年期即期利率变化之间的相关系数是-0.01(参见本文第四部分中表1的经验结果)。
　　显然,在这种情况下,采用简单久期―凸度免疫策略很难获得理想的免疫效果。有鉴于此,研究收益率曲线非平行变动情况下的久期―凸度免疫策略是非常必要的。基于对长短期收益率变化的波动率存在差异以及长短期收益率变化之间的不完全正相关的认识,本文借鉴Carcano和Foresi(1997)的思想,将建立了一个基于不同期限收益率变化的协方差进行调整的一般久期―凸度免疫模型,用以改进简单久期―凸度免疫技术,提高久期―凸度免疫策略的免疫能力。
　　本文其余内容结构安排如下:第二部分是相关文献综述,包括国内和国外在久期―凸度免疫策略方面的研究进展情况;在第三部分中建立一个基于协方差调整的一般久期―凸度免疫模型,用于收益率曲线非平行变动情形下对冲利率风险,并用两资产对冲组合和三资产对冲组合进行特例分析;在第四部分中我们采用上海证券交易所上市的国债交易数据对一般模型的免疫性能进行检验;第五部分对本文的研究结果做出简单总结,并探讨经验结果给我们带来的启示。
　　二、相关文献综述
　　如前所述,通常情况下,收益率曲线既非水平,其变化也不是平行移动。简单久期免疫策略的两个假设前提得不到满足,致使简单久期免疫策略不能保证对利率变化实现免疫。有鉴于此,对简单久期免疫策略的改进基本上都是从这两个假设入手。概括起来,对简单久期免疫策略的改进主要有两条思路:一是用一个适用范围更广的扩展久期概念取代Macaulay久期(是简单久期免疫策略中使用的久期),我们将之称为单一指标方法或单因素方法;二是用描述收益率曲线变动的多个参数或因素取代简单久期,我们将之称为多指标方法或多因素方法。
　　沿着第一条思路,Fisher和Weil(1971)提出了用于非水平收益率曲线在平行变动情形下的Fisher-Weil久期[3];La Grandville(2001)提出了用于非水平收益率曲线在非平行变动情形下的方向久期(directional duration)[4]。基于Macaulay久期被解释为具有相同价格敏感度的零息债券的到期期限,Zheng,Thomas和Allen(2003)提出了近似久期(approximate duration)。[5]与Macaulay久期类似,这三种久期都是一个衡量价格敏感度的标量指标。所不同的是,这三种久期是更一般情形下的综合性指标,是更符合实际情况的扩展久期。
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