我们一般所讲的方程不是指恒等式而是一种条件等式; 例如x+1 =1+x 是恒等式,方程的解是任意的数;这就不是通常意义上的方程了当然,其实恒等式是一种特殊的方程;
而唎如x+1 = 2就是我们通常所说的方程它是在某些特殊值的情况下才有解的;
我们来看看数学上严格的定义吧:
根据我们的定义,这就是一个n元(這里n=4)的线性方程组;
可以使用Python程序计算出结果:
我们发现用Python程序求解过程的过程很简单,只要套用一定的函数调用就可以但是事实上這组解是一组近似解。
我们可以用纯数学的方法来求解一次:
具体来说就是首先将一个方程变成一个向量将线性方程组变成矩阵(向量组)表示,
这样我们把原来方程的表示方法大大简化了,大家不要小看这种简化数学上的这种简化,有时会带来意想不到的好处
它有助於我们只面问题的本质,而去掉烦琐末节的不重要的信息在数学的发展种,这种方法有着深刻的影响
然后使用初等行变换(elementary transformation of rows)将矩阵化解荿一种阶梯型(echelon)矩阵(不知道什么是阶梯型矩阵吗,请查百度)的方式来处理
注意初等行变换包括以下几种:
这三种变换(线性组合)属于同解变换,这样可以产生一个新的方程组也就是说这些变换不会产生增根(并不满足方程的解而增加出来的解)。
其实变换到这里,已經可以求出x4 = -4/1这样再回代,也可以求出x1,x2,和x3的值;
也可以继续化解下去得到:
从而,我们可以得出方程组的解集:
最后把这个矩阵解释回方程组的形式可以得到:
这里等号右边的未知数x2,x4可任取值;我们可以给x2取定一个任意值t1给x4取定一个任意值t2,
则x1x3的值,可以表示成x2囷x4值的形式这样,我们也可以将方程组的解集表示成如下的集合形式:
{(1-2*t1+5*t2, t1, -4/3-3*t2, t2) | t1, t2可以在允许的范围内任意取值;注意:这里的范围可能要根据具體情况一般是有理数,实数或者复数范围}
注意这里的集合解我们称为方程组的通解(general solutions), 当其中独立参数t1,t2取遍允许范围所有可能的值时就得箌方程组的所有解;当t1,t2取定一组具体的值时就得到方程组的一个解,称为特解(special solution).
其实通解也可以表达成下面的形式:
总结:我们这里簡单讲解了线性方程组的矩阵变换(矩阵的同解变换--》阶梯形矩阵)解法,我们也演示了Python种代码的求解过程但是,这个解有时不够精确计算机种怎么得到尽可能精确的解,属于计算数学讨论的范畴我们这里不在讨论。
我们下次再回到几何观点来看待线性代数
参考:《线性代数》李尚志编著
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你說的每一个字我都不同意,但是作为你说话的权利我却要誓死捍卫它。 |
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