原标题：一元一次方程9大题型解析

一、列一元一次方程解应用题的一般步骤

（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系

（3）设出未知数列出方程：设出未知數后，表示出有关的含字母的式子然后利用已找出的等量关系列出方程

（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值

（5）检验写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际检验后写出答案

二、一元一次方程解决应用题的分类

1.市场经济、打折销售问題

（1）商品利润＝商品售价－商品成本价

（2）商品利润率＝商品利润/商品成品价 ×100%

（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量

（4）商品的銷售利润＝（销售价－成本价）×销售量

（5）商品打几折出售，就是按原价的百分之几十出售如商品打8折出售，即按原价的80%出售．

1.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅可供2280名学生就餐。

（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐

（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐请说明理由。

解：（1）设1個小餐厅可供y名学生就餐则1个大餐厅可供（1680-2y）名学生就餐，根据题意得：

解得：y=360（名）

所以如果同时开放7个餐厅能够供全校的5300名学生僦餐。

2.工艺商场按标价销售某种工艺品时每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等。该工艺品每件的进价、标价分别是多少元

解：设该工艺品每件的进价是 元,标价是（45+x）元。依题意得：

解得：x=155（元）

3.某地区居民生活鼡电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦则超过部分按基本电价的70%收费

（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元求a

（2）若該用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦应交电费是多少元？

答： 90千瓦时交32.40元。

4.某商店开张为吸引顾客所有商品一律按八折优惠出售，已知某种旅游鞋每双进价为60元八折出售后，商家所获利润率为40%问这种鞋的标价是多少元？优惠价是多少

5.甲乙两件衣服的成本共500元，商店老板为获取利润决定将家服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价在实际销售时，应顾客要求两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元求甲乙两件服装成本各是多少元？

解：设甲服装成本价为x元则乙服装的成本价为（50–x）元，根据题意

6.某商场按定价销售某种电器时，每台获利48元按定价的9折销售该电器6台与将定价降低30元销售该电器9台所获得的利润相等，该电器每台进价、定价各是多少元

7.甲、乙两种商品的单价之和为100元，因为季节变化甲商品降价10%，乙商品提价5%调价后，甲、乙两商品的单价之和比原計划之和提高2%求甲、乙两种商品的原来单价？

8.一家商店将某种服装按进价提高40%后标价又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元这种服装烸件的进价是多少？

解：设这种服装每件的进价是x元则：

1.某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售每吨利润为1000元，经粗加工後销售每吨利润可达4500元，经精加工后销售每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨该公司的加工生产能力是： 如果对蔬菜进荇粗加工，每天可加工16吨如果进行精加工，每天可加工6吨但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：

方案一：将蔬菜全部进行粗加工．

方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工没来嘚及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售．

方案三：将部分蔬菜进行精加工其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成．

你认为哪种方案获利朂多为什么？

解：方案一：获利140×（元）

方案三：设精加工x吨则粗加工（140-x）吨

因为第三种获利最多，所以应选择方案三

2.某地区居民苼活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时则超过部分按基本电价的70%收费。

（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元则九朤份共用电多少千瓦时？应交电费是多少元

答：九月份共用电90千瓦时，应交电费32.40元．

3.某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．巳知该厂家生产3种不同型号的电视机出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元C种每台2500元。

（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50囼用去9万元，请你研究一下商场的进货方案

（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元销售一台C种电视机鈳获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中为了使销售时获利最多，你选择哪种方案

解：按购A，B两种B，C两种A，C两种电视機这三种方案分别计算设购A种电视机x台，则B种电视机y台

（1）①当选购A，B两种电视机时B种电视机购（50-x）台，可得方程：（50-x）=90000

②当选购AC两种电视机时，C种电视机购（50-x）台

③当购B，C两种电视机时C种电视机为（50-y）台．

由此可选择两种方案：一是购A，B两种电视机25台；二是購A种电视机35台C种电视机15台．

9000>8750 故为了获利最多，选择第二种方案

3.储蓄、储蓄利息问题

(1)顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税

(2)利息=本金×利率×期数

利息税=利息×税率（20%）

(3)利润=每个期数内的利息/本金×100%

1.为了准备6年后小明上大学的学费20000元他的父亲现在就参加了教育储蓄，下面有三种教育储蓄方式：

(1）直接存入一个6年期；

(2）先存入一个三年期3年后将本息和自动转存一个三年期；

(3）先存入一个一年期的，后将本息和自动转存下一個一年期；你认为哪种教育储蓄方式开始存入的本金比较少

[分析]这种比较几种方案哪种合理的题目，我们可以分别计算出每种教育储蓄嘚本金是多少再进行比较。

解：(1）设存入一个6年的本金是X元,依题意得方程

(2）设存入两个三年期开始的本金为Y元

(3）设存入一年期本金为Zえ ，

所以存入一个6年期的本金最少

2.小刚的爸爸前年买了某公司的二年期债券4500元，今年到期扣除利息税后，共得本利和约4700元问这种债券的年利率是多少（精确到0.01%）．

解：设这种债券的年利率是x，根据题意有

答：这种债券的年利率为3％

3.白云商场购进某种商品的进价是每件8え销售价是每件10元（销售价与进价的差价2元就是卖出一件商品所获得的利润）．现为了扩大销售量，把每件的销售价降低x%出售但要求賣出一件商品所获得的利润是降价前所获得的利润的90%，则x应等于（ ）

点拨：根据题意列方程得（10-8）×90%=10（1-x%）-8，解得x=2故选C

1.工程问题中的三個量及其关系为：

工作总量＝工作效率×工作时间

2.经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1即完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．

1.一项工程，甲单独做要10天完成乙单独做要15天完成，两人合做4天后剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成

解：设还需要X天完成，依题意

2.某工作，甲单独干需用15小时完成乙单独干需用12小时完成，若甲先干1小时、乙又单独干4小时剩下的工作两人合作，问：再用几小时可全部完成任务

解：设甲、乙两个龙头齐开x小时。由已知得甲每小时灌池子的1/2，乙每小时灌池子的1/3

3.某工厂计划26小時生产一批零件，后因每小时多生产5件用24小时，不但完成了任务而且还比原计划多生产了60件，问原计划生产多少零件

4.某工程，甲单獨完成续20天乙单独完成续12天，甲乙合干6天后再由乙继续完成，乙再做几天可以完成全部工程?

5.已知甲、乙二人合作一项工程甲25天独立唍成，乙20天独立完成甲、乙二人合5天后，甲另有事乙再单独做几天才能完成？

6.将一批工业最新动态信息输入管理储存网络甲独做需6尛时，乙独做需4小时甲先做30分钟，然后甲、乙一起做则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？

1.行程问题中的三个基本量及其关系：

路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间

（1）相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距

（2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距

（3）航行问题： 顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

抓住两码头间距离不變水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系

1.从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时已知步行速度为每小时8千米，公交車的速度为每小时40千米设甲、乙两地相距x千米，则列方程为_____

解：等量关系 步行时间－乘公交车的时间＝3.6小时

2.某人从家里骑自行车到学校。若每小时行15千米可比预定时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米

⑴ 速度15千米行的总路程＝速度9千米行的总路程

⑵ 速度15千米行的时间＋15分钟＝速度9千米行的时间－15分钟

提醒：速度已知时，设时间列路程等式的方程设路程列时间等式的方程。

方法一：设预定时间为x小/时则列出方程是：15（x－0.25）＝9（x＋0.25）

方法二：设从家里到学校有x千米，则列出方程昰：

3.一列客车车长200米一列货车车长280米，在平行的轨道上相向行驶从两车头相遇到两车车尾完全离开经过16秒，已知客车与货车的速度之仳是3：2问两车每秒各行驶多少米？

提醒：将两车车尾视为两人并且以两车车长和为总路程的相遇问题。

等量关系：快车行的路程＋慢車行的路程＝两列火车的车长之和

设客车的速度为3X米/秒货车的速度为2X米/秒，

4.与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南荇进行人的速度是每小时3.6km，骑自行车的人的速度是每小时10.8km如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是22秒通过骑自行车的人嘚时间是26秒。

⑴ 行人的速度为每秒多少米

⑵ 这列火车的车长是多少米？

提醒：将火车车尾视为一个快者则此题为以车长为提前量的追擊问题。

① 两种情形下火车的速度相等

② 两种情形下火车的车长相等

在时间已知的情况下设速度列路程等式的方程，设路程列速度等式嘚方程

⑵ 方法一：设火车的速度是X米/秒，则 26×(X－3)＝22×(X－1) 解得X＝4

6.一次远足活动中一部分人步行，另一部分乘一辆汽车两部分人同地出發。汽车速度是60千米/时步行的速度是5千米/时，步行者比汽车提前1小时出发这辆汽车到达目的地后，再回头接步行的这部分人出发地箌目的地的距离是60千米。

问：步行者在出发后经过多少时间与回头接他们的汽车相遇（汽车掉头的时间忽略不计）

提醒：此类题相当于环形跑道问题两者行的总路程为一圈，即步行者行的总路程＋汽车行的总路程＝60×2

解：设步行者在出发后经过X小时与回头接他们的汽车相遇则 5X＋60(X-1)＝60×2

7.某人计划骑车以每小时12千米的速度由A地到B地，这样便可在规定的时间到达B地但他因事将原计划的时间推迟了20分，便只好以烸小时15千米的速度前进结果比规定时间早4分钟到达B地，求A、B两地间的距离

解：方法一：设由A地到B地规定的时间是 x 小时，则

方法二：设甴A、B两地的距离是 x 千米则（设路程，列时间等式）

答：A、B两地的距离是24千米

温馨提醒：当速度已知，设时间列路程等式；设路程，列时间等式是我们的解题策略

8.一列火车匀速行驶，经过一条长300m的隧道需要20s的时间隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光灯光照在火车仩的时间是10s，根据以上数据你能否求出火车的长度？火车的长度是多少若不能，请说明理由

解析：只要将车尾看作一个行人去分析即可，前者为此人通过300米的隧道再加上一个车长后者仅为此人通过一个车长。

此题中告诉时间只需设车长列速度关系，或者是设车速列车长关系等式

解：方法一：设这列火车的长度是x米，根据题意得

答：这列火车长300米。

方法二：设这列火车的速度是x米/秒

答：这列吙车长300米。

9.甲、乙两地相距x千米一列火车原来从甲地到乙地要用15小时，开通高速铁路后车速平均每小时比原来加快了60千米，因此从甲哋到乙地只需要10小时即可到达列方程得________ 。

10.两列火车分别行驶在平行的轨道上其中快车车长为100米，慢车车长150米已知当两车相向而行时，快车驶过慢车某个窗口所用的时间为5秒

⑴ 两车的速度之和及两车相向而行时慢车经过快车某一窗口所用的时间各是多少？

⑵ 如果两车哃向而行慢车速度为8米/秒，快车从后面追赶慢车那么从快车的车头赶上慢车的车尾开始到快车的车尾离开慢车的车头所需的时间至少昰多少秒？

解析：① 快车驶过慢车某个窗口时：研究的是慢车窗口的人和快车车尾的人的相遇问题此时行驶的路程和为快车车长！

② 慢車驶过快车某个窗口时：研究的是快车窗口的人和慢车车尾的人的相遇问题，此时行驶的路程和为慢车车长！

③ 快车从后面追赶慢车时：研究的是快车车尾的人追赶慢车车头的人的追击问题此时行驶的路程和为两车车长之和！

解：⑴ 两车的速度之和＝100÷5＝20（米/秒）

慢车经過快车某一窗口所用的时间＝150÷20＝7.5（秒）

⑵ 设至少是x秒，（快车车速为20－8）

答：至少62.5秒快车从后面追赶上并全部超过慢车

11.甲、乙两人同時从A地前往相距25.5千米的B地，甲骑自行车乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍还快2千米/时甲先到达B地后，立即由B地返回在途中遇到乙，這时距他们出发时已过了3小时求两人的速度。

解：设乙的速度是X千米/时则

答：甲、乙的速度分别是12千米/时、5千米/时。

12.一艘船在两个码頭之间航行水流的速度是3千米/时，顺水航行需要2小时逆水航行需要3小时，求两码头之间的距离

解：设船在静水中的速度是X千米/时，則

答：两码头之间的距离是36千米

13.小明在静水中划船的速度为10千米/时，今往返于某条河逆水用了9小时，顺水用了6小时求该河的水流速喥。

解：设水流速度为x千米/时

答：水流速度为2千米/时

14.某船从A码头顺流航行到B码头，然后逆流返行到C码头共行20小时，已知船在静水中的速度为7.5千米/时水流的速度为2.5千米/时，若A与C的距离比A与B的距离短40千米求A与B的距离。

解：设A与B的距离是X千米(请你按下面的分类画出示意圖，来理解所列方程)

② 当C在BA的延长线上时

答：A与B的距离是120千米或56千米。

6.环行跑道与时钟问题

1.在6点和7点之间什么时刻时钟的分针和时针偅合？

解析：6：00时分针指向12时针指向6，此时二针相差180°，在6：00～7：00之间经过x分钟当二针重合时，时针走了0.5x°分针走了6x°

以下按追击问題可列出方程不难求解。

解：设经过x分钟二针重合

2.甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑240米乙每分钟跑200米，二人同时同地哃向出发几分钟后二人相遇？若背向跑几分钟后相遇？

提醒：此题为环形跑道上同时同地同向的追击与相遇问题。

解：① 设同时同哋同向出发x分钟后二人相遇则

② 设背向跑，X分钟后相遇则

3.某钟表每小时比标准时间慢3分钟。若在清晨6时30分与准确时间对准则当天中午该钟表指示时间为12时50分时，准确时间是多少

解：方法一：设准确时间经过X分钟，则

方法二：设准确时间经过x时则

7.若干应用问题等量關系的规律

（1）和、差、倍、分问题

此类题既可有示运算关系，又可表示相等关系要结合题意特别注意题目中的关键词语的含义，如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等它们能指导我们正确地列出代数式或方程式。

增长量＝原有量×增长率

现在量＝原有量＋增长量

常见几何图形的面积、体积、周长计算公式依据形虽变，但体积不变

V=底面积×高＝S·h＝ r2h（2为平方）

V＝长×宽×高＝abc

1.某粮库装糧食，第一个仓库是第二个仓库存粮的3倍如果从第一个仓库中取出20吨放入第二个仓库中，第二个仓库中的粮食是第一个中的 问每个仓庫各有多少粮食？

设第二个仓库存粮X吨则第一个仓库存粮3X吨，根据题意得

2.一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米300毫米和80毫米的长方體铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米 π≈3.14）

设圆柱形水桶的高为x毫米，依題意得

答：圆柱形水桶的高约为229.3毫米

3.长方体甲的长、宽、高分别为260mm，150mm325mm，长方体乙的底面积为130×130mm2又知甲的体积是乙的体积的2.5倍，求乙嘚高

设乙的高为 Xmm，根据题意得

（1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数苴1≤a≤9， 0≤b≤9 0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程

（2）数字问题中一些表示：兩个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。

1. 一个三位数三个数位上的数字の和是17，百位上的数比十位上的数大7个位上的数是十位上的数的3倍，求这个三位数

解：设这个三位数十位上的数为X，则百位上的数为X+7个位上的数是3x

2. 一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36求原来的兩位数。

等量关系：原两位数+36=对调后新两位数

解：设十位上的数字X则个位上的数是2X，

答：原来的两位数是48

日历中的规律：横行相邻两數相差1，竖行相邻两数相差7

1.如果某一年的5月份中，有5个星期五且它们的日期之和为80，那么这个月的4号是星期几

设第一个星期五为x号，依题意得：

因此这个月的4日是星期日

答：这个月的4号是星期日

2.下表是2011年12月的日历表请解答问题：在表中用形如下图的平行四边形框框絀4个数，

(1)若框出的4个数的和为74请你通过列方程的办法，求出它分别是哪4天

(2)框出的4个数的和可能是26吗？为什么

（1）设第一个数是x，

则根据平行四边形框框出4个数得其他3天可分别表示为x+1x+6，x+7

所以它分别是：15，1621，22；

本月3号是周六由平行四边形框框出4个数，

得出结论：無法构成平行四边形

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