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& 2017年数学（文）一轮复习模拟题组练：第11章概率 2（人教A版）
2017年数学（文）一轮复习模拟题组练：第11章概率 2（人教A版）
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资料概述与简介
160 古典概型的概率
1.(2015黑龙江哈尔滨第三中学二模,文13,古典概型的概率,填空题)已知一数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字,则连续输出的三个数字之和能被3整除的概率是　　　　　.
解析:连续输出的三个数字有8种结果,即(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1),(2,2,2),其中三个数字之和能够被3整除的有(1,1,1)和(2,2,2),故所求概率为.
2.(2015宁夏银川一中二模,文13,古典概型的概率,填空题)从3名男生和2名女生中选出2名参加某项活动,则选出的2名学生中至少有1名女生的概率为　　　　　.
解析:设三名男生为A1,A2,A3,两名女生为B1,B2,则从中选出2名学生所包含的基本事件为(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共10种,其中符合条件的有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共7种,故所求概率为.
3.(本小题满分12分)(2015贵州八校二联,文18,古典概型的概率,解答题)为了促进学生的全面发展,贵州省某中学重视学生社团文化建设,现用分层抽样的方法从“海济社”“话剧社”“动漫社”“彩虹文艺社”四个社团中抽取若干人组成社团管理小组,有关数据见下表(单位:人):
社团 相关人数 抽取人数
海济社 140 a
话剧社 b 1
动漫社 105 3
彩虹文艺社 70 c
(1)求a,b,c的值;
(2)若从“海济社”“彩虹文艺社”社团已抽取的人中任意抽取2人担任管理小组组长,求这2人来自不同社团的概率.
解:(1)由表可知,
解得a=4,b=35,c=2. (4分)
(2)设“海济社”4人分别为A1,A2,A3,A4,“彩虹文艺社”2人分别为B1,B2.
从中任选2人的所有基本事件为A1A2,A1A3,A1A4,A1B1,A1B2,A2A3,A2A4,A2B1,A2B2,A3A4,A3B1,A3B2,A4B1,A4B2,B1B2,共15个,以上基本事件都是等可能事件, (8分)
其中2人来自不同社团的基本事件为A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,A4B1,A4B2,共8个, (10分)
所以2人来自不同社团的概率P=. (12分)
4.(2015甘肃第二次诊断考试,文7,古典概型的概率,选择题)某公司为了对一种新产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:
单价x(元) 4 5 6 7 8 9
销量y(件) 90 84 83 80 75 68
由表中数据,求得线性回归方程为=-4x+a.若在这些样本点中任取一点,则它在回归直线右上方的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析:利用线性回归方程经过中心点的性质求解a的值,结合古典概型的概率公式求解.
由表中数据可得=80,则80=-4×+a,解得a=106,所以线性回归方程为=-4x+106,则样本点中在回归直线右上方的点有(6,83),(7,80),(8,75),则所求概率为,故选C.
6.(本小题满分12分)(2015辽宁东北育才学校五模,文19,古典概型的概率,解答题)“光盘行动”已经发起两年,为了调查人们的节约意识,某班几位同学组成研究性学习小组,从某社区[25,55]岁的人群中随机抽取n人进行了一次调查,得到如下统计表:
组数 分组 频数 频率 光盘组占本组的比例
第一组 [25,30) 50 0.05 30%
第二组 [30,35) 100 0.1 30%
第三组 [35,40) 150 0.15 40%
第四组 [40,45) 200 0.2 50%
第五组 [45,50) a b 65%
第六组 [50,55) 200 0.2 60%
(1)求a,b的值,并估计本社区[25,55]岁的人群中“光盘族”人数所占的比例;
(2)从年龄段在[35,45)的“光盘族”中采用分层抽样法抽取8人参加节约粮食宣传活动,并从这8人中选取2人作为领队,求选取的2名领队分别来自[35,40)和[40,45)两个年龄段的概率.
解:(1)第一组的人数为50,第一组的频率为0.05,
所以n==1 000.
第五组的频率b=1-(0.2+0.2+0.15+0.1+0.05)=0.3,第五组的人数a=1 000×0.3=300人.
样本中光盘族人数为50×30%+100×30%+150×40%+200×50%+300×65%+200×60%=520.
所以光盘族所占比例为=52%. (4分)
(2)[35,40)年龄段“光盘族”人数为150×40%=60人,[40,45)年龄段“光盘族”人数为200×50%=100人,故两年龄段人数比值为35,采用分层抽样法从中抽取8人,则[35,40)年龄段有3人,[40,45)年龄段有5人. (6分)
设[35,40)年龄段的3人为a,b,c,[40,45)年龄段的5人为1,2,3,4,5,则选取2人作为领队的有(a,b),(a,c),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,5),(b,c),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,5),(c,1),(c,2),(c,3),(c,4),(c,5),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共有28种.
其中来自[35,40)与[40,45)不同年龄段的有(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,5),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,5),(c,1),(c,2),(c,3),(c,4),(c,5),共有15种.
所以选取的2名领队分别来自[35,40)与[40,45)两个年龄段的概率为. (12分)
7.(2015甘肃兰州诊断,文4,古典概型的概率,选择题)从数字1,2,3中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于30的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析:依题意,从数字1,2,3中任取两个不同的数字构成两位数共有6个,其中大于30的两位数共有2个,因此所求的概率等于,故选B.
8.(本小题满分12分)(2015贵州贵阳监测考试(一),文18,古典概型的概率,解答题)某校研究性学习小组,为了分析2014年某国的宏观经济形势,查阅了有关材料,得到了2013年和月CPI同比(即当年某月与前一年同月相比)的增长数据(见下表),但,5月数据(分别为x,y,z)没有查到,有的同学清楚地记得2014年的5个CPI数据成等差数列.
该国2013年和月份的CPI数据(单位:百分点,1个百分点=1%)
年份 一月 二月 三月 四月 五月
2.4 2.8 3.1 3.9
(1)求x,y,z的值和月该国CPI数据的方差;
(2)一般认为,某月CPI数据达到或超过3个百分点就已经通货膨胀,而达到或超过5个百分点为严重通货膨胀,现随机从2013年5个月和2014年5个月的数据中各抽取一个数据,求抽得数据的月份相同且2013年通货膨胀2014年严重通货膨胀的概率.
解:(1)公差d=5-4.9=0.1,
x=5.1,y=5.2,z=5.3.
月CPI数据的平均值为
(4.9+5.0+5.1+5.2+5.3)=5.1,
s2=[(4.9-5.1)2+(5.0-5.1)2+(5.1-5.1)2+(5.2-5.1)2+(5.3-5.1)2]=0.02. (6分)
(2)基本事件有
(2.7,4.9),(2.7,5.0),(2.7,5.1),(2.7,5.2),(2.7,5.3),
(2.4,4.9),(2.4,5.0),(2.4,5.1),(2.4,5.2),(2.4,5.3),
(2.8,4.9),(2.8,5.0),(2.8,5.1),(2.8,5.2),(2.8,5.3),
(3.1,4.9),(3.1,5.0),(3.1,5.1),(3.1,5.2),(3.1,5.3),
(3.9,4.9),(3.9,5.0),(3.9,5.1),(3.9,5.2),(3.9,5.3),共25个.
其中数据在相同月份且2013年通货膨胀2014年严重通货膨胀的事件有(3.1,5.2),(3.9,5.3),共2个,
故所求概率为P=. (12分)
9.(本小题满分12分)(2015广西柳州3月模拟,文18,古典概型的概率,解答题)某市为了了解市民对本市文明建设的满意程度,通过问卷调查了学生、在职人员、退休人员共250人,结果如下表:
学生 在职人员 退休人员
满意 x y 78
不满意 5 z 12
若在所调查人员中随机抽取1人,恰好抽到学生的概率为0.32.
(1)求x的值;
(2)若y≥70,z≥2,求市民对市政管理满意度不小于0.9的概率.
解:(1)依题意可得=0.32, (3分)
解得x=75. (5分)
(2)学生人数为80,退体人员人数为90,
在职人员人数为250-80-90=80, (7分)
由y≥70,z≥2,且y+z=80,
则基本事件(y,z)为(70,10),(71,9),(72,8),(73,7),(74,6),(75,5),(76,4),(77,3),(78,2),共有9组. (9分)
由≥0.9,得y≥72,
满足条件的基本事件共有7组, (11分)
故所求的概率P=. (12分)
10.(本小题满分12分)(2015河北石家庄一模,文18,古典概型的概率,解答题)某商店计划每天购进某商品若干件,商店每销售一件该商品可获利润50元.若供大于求,剩余商品全部退回,但每件商品亏损10元;若供不应求,则从外部调剂,此时每件调剂商品可获利润30元.
(1)若商店一天购进该商品10件,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:件,nN)的函数解析式;
(2)商店记录了50天该商品的日需求量n(单位:件),整理得下表:
日需求量 8 9 10 11 12
频数 9 11 15 10 5
若商店一天购进10件该商品,以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润在[400,550]内的概率.
解:(1)当日需求量n≥10时,利润为y=50×10+(n-10)×30=30n+200. (2分)
当日需求量n<10时,利润为y=50×n-(10-n)×10=60n-100. (4分)
所以y关于日需求量n的函数关系式为
(2)50天内有9天获得的利润为380元,有11天获得的利润为440元,有15天获得的利润为500元,有10天获得的利润为530元,有5天获得的利润为560元. (8分)
若利润在[400,550]内时,日需求量为9件、10件、11件该商品,其对应的频数分别为11天、15天、10天, (10分)
则利润在[400,550]内的概率为P=. (12分)
11.(2015河北唐山一模,文15,古典概型的概率,填空题)一枚质地均匀的正方体玩具,四个面标有数字1,其余两个面标有数字2,抛掷两次,所得向上数字相同的概率是　　　　　.
解析:易知该概率模型符合古典概型,分别求出总的基本事件个数与事件“所得向上数字相同”所包含的基本事件个数,然后利用古典概型的计算公式计算.设“所得向上数字相同”为事件A,因为正方体四个面有数字1,其余两个面有数字2,则抛掷两次后总的基本事件个数有6×6=36种情形,记四个标有数字1的面分别为1a,1b,1c,1d,两个标有数字2的面分别为2a,2b,则数字不同的情形有(1a,2a),(2a,1a),(1a,2b),(2b,1a),(1b,2a),(2a,1b),(1b,2b),(2b,1b),(1c,2a),(2a,1c),(1c,2b),(2b,1c),(1d,2a),(2a,1d),(1d,2b),(2b,1d),共有16种情形,则所得向上数字相同的基本事件有36-16=20种情形,故P(A)=.
12.(2015山西3月质量监测,文3,古典概型的概率,选择题)一枚质地均匀的正方体骰子,六个面上分别刻着1点至6点.甲、乙二人各掷骰子一次,则甲掷得的向上的点数比乙大的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析:甲、乙各掷一次骰子,共有36种等可能的结果,其中甲掷得的点数大于乙掷得的点数有1+2+3+4+5=15种结果,所以甲掷得的点数大于乙掷得的点数的概率为,故选C.
13.(2015江西九校联合考试,文13,古典概型的概率,填空题)从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个,则取出的这两数字之和为偶数的概率为　　　　　.
解析:依题意,从1,2,3,4中任取两个数共有6种不同的取法,其中取出的两个数字之和为偶数(即相应的奇偶性相同)的取法共有2种,因此所求的概率等于.
15.(2015甘肃兰州实战,文14,古典概型的概率,填空题)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为　　　　　.
解析:所求的概率等于.
16.(2015宁夏银川质量检测,文4,古典概型的概率,选择题)从集合A={-1,1,2}中随机选取一个数记为k,从集合B={-2,1,2}中随机选取一个数记为b,则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析:利用古典概型的概率公式求解.(k,b)的所有结果有9个,其中(-1,1)和(-1,2)表示的直线不经过第三象限,所求概率为,故选A.
17.(2015江西赣州摸底考试,文3,古典概型的概率,选择题)一个小组的3个学生在分发数学作业时,每个学生拿的都不是自己作业的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析:设3个学生分别为A,B,C,他们各自的作业分别对应a,b,c,总的分法有(Aa,Bb,Cc),(Aa,Bc,Cb),(Ab,Ba,Cc),(Ab,Bc,Ca),(Ac,Ba,Cb),(Ac,Bb,Ca),共6种,其中每个学生拿的都不是自己作业的有2种,故所求概率为,故选B.
18.(2015山西太原模拟(一),文4,古典概型的概率,选择题)某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个小球(小球除编号外完全相同),甲先从袋中摸出一个球,记下编号后放回,乙再从袋中摸出一个球,记下编号,则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析:利用古典概型的概率公式求解.甲、乙两人摸球的结果共有6×6=36种,其中两人所摸的球的编号不同的结果有6×5=30种,所求概率为,故选C.
162 古典概型与统计的综合
1.(本小题满分12分)(2015江西重点中学盟校联考,文18,古典概型与统计的综合,解答题)某校在一次期末数学测试中,为统计学生的考试情况,从学校的2 000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩,被测学生成绩全部介于60分到140分之间(满分150分),将统计结果按如下方式分成八组:第一组[60,70),第二组[70,80),……,第八组[130,140],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.
(1)求第七组的频率,并完成频率分布直方图;
(2)估计该校的2 000名学生这次考试成绩的平均分(可用中值代替各组数据平均值);
(3)若从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机抽取2名,求他们的分差小于10分的概率.
解:(1)由频率分布直方图知第七组的频率
f7=1-(0.004+0.012+0.016+0.03+0.02+0.006+0.004)×10=0.08.
直方图如图. (3分)
(2)估计该校的2 000名学生这次考试的平均成绩为65×0.04+75×0.12+85×0.16+95×0.3+105×0.2+115×0.06+125×0.08+135×0.04=97(分). (7分)
(3)第六组有学生3人,分别记作A1,A2,A3,第一组有学生2人,分别记作B1,B2,则从中任取2人的所有基本事件为(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(B1,B2),共10个.
分差小于10分表示所选2人来自同组,其基本事件有4个(A1,A2),(A2,A3),(A1,A3),(B1,B2),所以从中任意抽取2人,分差小于10分的概率P=. (12分)
2.(本小题满分12分)(2015江西南昌二模,文18,古典概型与统计的综合,解答题)如图是某市11月1日至15日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.该市某校准备举行为期3天(连续3天)的运动会,在11月1日至11月13日任意选定一天开幕.
(1)求运动会期间未遇到空气重度污染的概率;
(2)求运动会期间至少两天空气质量优良的概率.
解:(1)该校运动会开幕日共有13种选择,其中遇到空气重度污染的选择有:5日,6日,7日,11日,12日,13日, (3分)
所以运动会期间未遇到空气重度污染的概率是P1=1-. (6分)
(2)该校运动会开幕日共有13种选择,其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有:1日,2日,3日,8日,9日,10日,12日, (9分)
所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是P2=. (12分)
3.(本小题满分12分)(2015江西八校联考,文18,古典概型与统计的综合,解答题)2014年“双节”期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段:[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90]后得到如图的频率分布直方图.
(1)求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值;
(2)若从车速在[60,70)的车辆中任抽取2辆,求车速在[65,70)的车辆恰有一辆的概率.
解:(1)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于77.5. (2分)
设中位数的估计值为x,
则0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×(x-75)=0.5,解得x=77.5,
即中位数的估计值为77.5. (5分)
(2)从图中可知,车速在[60,65)的车辆数为m1=0.01×5×40=2(辆), (6分)
车速在[65,70)的车辆数为m2=0.02×5×40=4(辆). (7分)
车速在[60,65)的车辆设为a,b,车速在[65,70)的车辆设为c,d,e,f,则所有基本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),共15种. (10分)
其中车速在[65,70)的车辆恰有一辆的事件有(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),共8种, (11分)
所以车速在[65,70)的车辆恰有一辆的概率为P=. (12分)
4.(2015河南郑州第三次质量检测,文18,古典概型与统计的综合,解答题)某中学举行了一次“地理信息知识竞赛”,全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为100分)作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题:
频率分布表
组别 分组 频数 频率
第一组 [50,60) 8 0.16
第二组 [60,70) a
第三组 [70,80) 20 0.40
第四组 [80,90)
第五组 [90,100) 2 b
(1)写出a,b,x,y的值;
(2)在选取的样本中,从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学到广场参加志愿宣传活动.
求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率;
求所抽取的2名同学来自同一组的概率.
解:(1)由题意可知抽取的学生人数为=50,
则第四组人数为50×0.08=4,
所以a=16,x==0.032,b=0.04,y=0.004. (4分)
(2)由题意可知,第4组共有4人,第5组共有2人,从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学,共15种情况.
设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E,共9种情况符合要求.
所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是P(E)=.
答:随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率为. (8分)
设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F,共7种情况.所以P(F)=.
答:随机抽取的2名同学来自同一组的概率是. (12分)
5.(本小题满分12分)(2015河南六市一联,文18,古典概型与统计的综合,解答题)某校有150名学生参加了中学生环保知识竞赛,为了解成绩情况,现从中随机抽取50名学生的成绩进行统计(所有学生成绩均不低于60分).请你根据尚未完成的频率分布表,解答下列问题:
分组 频数 频率
第1组 [60,70) M 0.26
第2组 [70,80) 15 p
第3组 [80,90) 20 0.40
第4组 [90,100] N q
(1)写出M,N,p,q(直接写出结果即可),并补全频率分布直方图;
(2)若成绩在90分以上的学生获得一等奖,试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数;
(3)现从第(2)问中所得到的一等奖学生中随机选择2名学生接受采访,已知一等奖获得者中只有2名女生,求恰有1名女生接受采访的概率.
解:(1)M=13,N=2,p=0.30,q=0.04, (2分)
(2)获一等奖的概率为0.04,获一等奖的人数估计为150×0.04=6(人). (7分)
(3)记获一等奖的6人为A1,A2,B,C,D,E,其中A1,A2为获一等奖的女生,从所有一等奖的同学中随机抽取2名同学共有15种情况如下:
(A1,A2),(A1,B),(A1,C),(A1,D),(A1,E),(A2,B),(A2,C),(A2,D),(A2,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E), (9分)
女生的人数恰好为1人共有8种情况如下:(A1,B),(A1,C),(A1,D),(A1,E),(A2,B),(A2,C),(A2,D),(A2,E),
所以恰有1名女生接受采访的概率P=. (12分)
6.(本小题满分12分)(2015宁夏银川二中一模,文18,古典概型与统计的综合,解答题)从某企业生产的某种产品中抽取20件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量得到如图1所示的频率分布直方图,从左到右各组的频数依次记为A1,A2,A3,A4,A5.
(1)求图1中a的值;
(2)图2是统计图1中各组频数的一个算法流程图,求输出的结果S;
(3)从质量指标值分布在[80,90),[110,120)的产品中随机抽取2件产品,求所抽取两件产品的质量指标值之差大于10的概率.
解:(1)依题意得(2a+0.02+0.03+0.04)×10=1, (2分)
解得a=0.005. (3分)
(2)由频率分布直方图得A1=0.005×10×20=1,
A2=0.040×10×20=8,A3=0.030×10×20=6,
A4=0.020×10×20=4,A5=0.005×10×20=1. (6分)
输出的S=A2+A3+A4=18. (8分)
(3)记质量指标值在[110,120)的4件产品为x1,x2,x3,x4,质量指标值在[80,90)的1件产品为y1,则从5件产品中任取2件产品的结果为(x1,x2),(x1,x3),(x1,x4),(x1,y1),(x2,x3),(x2,x4),(x2,y1),(x3,x4),(x3,y1),(x4,y1),共10种. (10分)
记“两件产品的质量指标值之差大于10”为事件A,
则事件A中包含的基本事件为(x1,y1),(x2,y1),(x3,y1),(x4,y1),共4种,
P(A)=. (12分)
7.(本小题满分12分)(2015黑龙江哈尔滨第三中学二模,文18,古典概型与统计的综合,解答题)春节期间,某60人微信群群主发随机红包(即每个人抢到的红包中的钱数是随机的,且每人只能抢一个),60个红包被一抢而空.数据统计,60个红包中钱数(单位:元)分配如下频率分布直方图所示(其分组区间为[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5)).
(1)试估计该群中某成员抢到钱数不小于3元的概率;
(2)若该群中成员甲、乙二人都抢到4.5元红包,现系统将从抢到4元及以上红包的人中随机抽取2人给群中每个人拜年,求甲、乙二人至少有一人被选中的概率.
解:(1)由题知,a=0.25,设该群中某成员抢到钱数不小于3元为事件A,则P(A)=0.25+0.1=0.35. (4分)
(2)由直方图知,抢到4元及以上红包的共6人,
设除甲、乙外其他四人为A,B,C,D,
则抽取两人可能有的情况为甲乙,甲A,甲B,甲C,甲D,乙A,乙B,乙C,乙D,AB,AC,AD,BC,BD,CD,共15种, (8分)
其中甲、乙至少有一人被选中的情况有9种,所以此事件概率P=. (12分)
8.(本小题满分12分)(2015宁夏银川一中二模,文18,古典概型与统计的综合,解答题)某工厂有工人500名,记35岁以上(含35岁)的为A类工人,不足35岁的为B类工人,为调查该厂工人的个人文化素质状况,现用分层抽样的方法从A,B两类工人中分别抽取了40人、60人进行测试.
(1)求该工厂A,B两类工人各有多少人?
(2)经过测试,得到以下三个数据图表:
图1:75分以上A,B两类工人成绩的茎叶图(茎、叶分别是十位和个位上的数字).
图2:100名参加测试工人成绩的频率分布直方图
表1:100名参加测试工人成绩频率分布表
组号 分组 频数 频率
1 [55,60) 5 0.05
2 [60,65) 20 0.20
4 [70,75) 35 0.35
合计 100 1.00
先填写频率分布表(表1)中的六个空格,然后将频率分布直方图(图2)补充完整;
该厂拟定从参加考试的79分以上(含79分)的B类工人中随机抽取2人参加高级技工培训班,求抽到的2人分数都在80分以上的概率.
解:(1)由题知A类工人有500×=200(人), (2分)
则B类工人有500-200=300(人). (3分)
组号 分组 频数 频率
1 [55,60) 5 0.05
2 [60,65) 20 0.20
3 [65,70) 25 0.25
4 [70,75) 35 0.35
5 [75,80) 10 0.10
6 [80,85) 5 0.05
合计 100 1.00
79分以上的B类工人共4人,记80分以上的三人分别为甲,乙,丙,79分的工人为a.
从中抽取2人,有(甲,乙),(甲,丙),(甲,a),(乙,丙),(乙,a),(丙,a),共6种抽法,抽到2人均在80分以上有(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙),共3种抽法, (11分)
则抽到2人分数均在80分以上的概率为. (12分)
9.(本小题满分12分)(2015东北三校一联,文18,古典概型与统计的综合,解答题)空气污染,又称为大气污染,是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中,呈现出足够的浓度,达到足够的时间,并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象.全世界也越来越关注环境保护问题.当空气污染指数(单位:μg/m3)为0~50时,空气质量级别为一级,空气质量状况属于优;当空气污染指数为50~100时,空气质量级别为二级,空气质量状况属于良;当空气污染指数为100~150时,空气质量级别为三级,空气质量状况属于轻度污染;当空气污染指数为150~200时,空气质量级别为四级,空气质量状况属于中度污染;当空气污染指数为200~300时,空气质量级别为五级,空气质量状况属于重度污染;当空气污染指数为300以上时,空气质量级别为六级,空气质量状况属于严重污染.2015年1月某日某省x个监测点数据统计如下:
空气污染指数
(单位:μg/m3) [0,50] (50,100] (100,150] (150,200]
监测点个数 15 40 y 10
(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求x,y的值,并完成频率分布直方图;
(2)若A市共有5个监测点,其中有3个监测点为轻度污染,2个监测点为良.从中任意选取2个监测点,事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少?
解:(1)0.003×50=,∴x=100.
∵15+40+y+10=100,∴y=35. (2分)
则=0.008,=0.007,=0.002,
补全频率分布直方图如图所示.
(2)设A市空气质量状况属于轻度污染的3个监测点为1,2,3,空气质量状况属于良的2个监测点为4,5,从中任取2个的基本事件分别为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种, (8分)
其中事件A“其中至少有一个为良”包含的基本事件为(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共7种, (10分)
所以事件A“其中至少有一个为良”发生的概率P(A)=. (12分)
10.(本小题满分12分)(2015甘肃兰州诊断,文19,古典概型与统计的综合,解答题)兰州市为增强市民的环保意识,面向全市征召宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组:第1组[20,25),第2组[25,30),第3组[30,35),第4组[35,40),第5组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示.
(1)若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动,应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者?
(2)在(1)的条件下,决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验,求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.
解:(1)第3组的人数为0.3×100=30,
第4组的人数为0.2×100=20,
第5组的人数为0.1×100=10.
因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为
第3组:×6=3,
第4组:×6=2,
第5组:×6=1,
即应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. (6分)
(2)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1,则从6名志愿者中抽取2名志愿者有(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种.
其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有9种, (10分)
所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为. (12分)
11.(本小题满分12分)(2015贵州适应性考试,文,古典概型与统计的综合,解答题)从某校的800名男生中随机抽取50人测量身高,被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间.将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160),第二组[160,165),…,第八组[190,195],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为4.
(1)求第七组的频率并估计该校男生中身高在180 cm以上(含180 cm)的人数;
(2)从第六组和第八组的男生中随机抽取2名,求他们的身高之差大于5 cm的概率.
解:(1)第六组的频率为=0.08, (1分)
所以第七组的频率为1-0.08-5×(0.008×2+0.016+0.04×2+0.06)=0.06. (3分)
由直方图得后三组频率为0.06+0.08+0.008×5=0.18,所以800名男生中身高在180 cm以上的人数为0.18×800=144人. (6分)
(2)第六组[180,185)的人数为4,设为a,b,c,d;第八组[190,195]的人数为2,设为A,B, (8分)
则从第六组和第八组的男生中随机抽取两名男生有ab,ac,ad,bc,bd,cd,aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB,AB,共15种情况. (10分)
记“他们的身高之差大于5 cm”为事件M,所以该事件包含的基本事件为aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB,共8种情况.
故P(M)=. (12分)
163 与角度、长度有关的几何概型
1.(2015吉林长春质量监测(二),文3,与角度、长度有关的几何概型,选择题)在区间[0,π]上随机取一个实数x,使得sin x的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析:在区间 [0,π]上,当x时,sin x,由几何概型知,符合条件的概率为,故选C.
2.(2015广西柳州3月模拟,文7,与角度、长度有关的几何概型,选择题)在上随机取一个数x,使得0<tan x<1成立的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析:依题意,由得0<x<.
因此所求的概率等于,故选C.
3.(2015贵州适应性考试,文5,与角度、长度有关的几何概型,选择题)设点A是半径为1的圆周上的定点,P是圆周上的动点,则弦PA<的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析:弦PA<等价于弦PA所对的圆心角小于90°,故所求概率为,故选C.
4.(2015东北三校一联,文5,与角度、长度有关的几何概型,选择题)实数m为[0,6]上的随机数,则关于x的方程x2-mx+4=0有实根的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析:若方程x2-mx+4=0有实数根,则Δ=m2-16≥0,解得m≤-4或m≥4,故所求概率P=,故选B.
5.(2015辽宁东北育才学校五模,文13,与角度、长度有关的几何概型,填空题)公共汽车在8:00到8:20内随机地到达某站,某人8:15到达该站,则他能等到公共汽车的概率为　　　　　.
解析:由几何概型知识可知所求概率P=.
6.(2015江西八校联考,文13,与角度、长度有关的几何概型,填空题)已知实数a[-2,5],则a{x∈R|x2-2x-3≤0}的概率为　　　　　.
解析:利用几何概型的概率公式求解.
a{x∈R|x2-2x-3≤0}=[-1,3],
故所求概率为.
7.(2015东北三省四市一联,文13,与角度、长度有关的几何概型,填空题)在[-3,5]上随机取一个数a,则使函数f(x)=x2+2ax+4无零点的概率是　　　　　.
解析:若函数f(x)=x2+2ax+4无零点,则Δ=4a2-16<0,解得-2<a<2.
由几何概型可知,所求概率P=.
8.(2015河北石家庄一模,文9,与角度、长度有关的几何概型,选择题)已知O,A,B三地在同一水平面内,A地在O地正东方向2 km处,B地在O地正北方向2 km处,某测绘队员在A,B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点,用测绘仪进行测绘.O地为一磁场,距离其不超过 km的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰,使测量结果不准确,则该测绘队员能够得到准确数据的概率是 (　　)
解析:以O为原点建立平面直角坐标系,如图,测绘受磁场干扰的范围是以原点为圆心,半径为的圆及其内部,其方程为x2+y2=3,测绘点C所在的轨迹方程为x+y=2(0≤x≤2),因此测绘员获得数据不准确的概率为线段AB在圆内的长度与线段AB的长度的比值.
因为线段AB的长度为2,而O到线段AB的距离为d=,圆O截线段AB所得的弦的长度为2=2,所以测绘员获得准确数据的概率为1-,故选A.
9.(2015河南适应性模拟练习,文13,与角度、长度有关的几何概型,填空题)平面上有两条相距2a的平行线,把一枚半径为r(r<a)的硬币任意掷在两线之间,则硬币不与任何一条直线相碰的概率是　　　　　.
解析:要使硬币与两条平行线不相交,则圆心到两直线的距离都要大于半径r,所以与任何一条都不相交的概率为.
164 与面积、体积有关的几何概型
1.(2015山西二测,文9,与面积、体积有关的几何概型,选择题)若把长度为8的铁丝围成一个矩形框,则这个矩形框的面积大于3的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析:设矩形的一边长为x,则矩形框的面积S=x=-x2+4x(0<x90°的概率为(　　)
解析:如图,正方形的边长为4,图中白色区域是以AB为直径的半圆,当M落在半圆内时,AMB>90°,所以使AMB>90°的概率P=,故选A.
8.(2015贵州八校二联,文15,与面积、体积有关的几何概型,填空题)在区间[0,1]内随机取两个实数分别为a,b,则使函数y=x3+ax2-(b2-1)x+2存在极值点的概率为　　　　　.
解析:因为y'=x2+2ax+1-b2,要使函数存在极值,则必须满足Δ=(2a)2-4(1-b2)>0,即a2+b2>1.
在平面直角坐标系中作出a,b满足的范围,如图所示,即为曲面ABC所表示的面积,所以所求概率为=1-.
9.(2015贵州贵阳监测考试(一),文16,与面积、体积有关的几何概型,填空题)欧阳修《卖油翁》中写道:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿”.可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为4 cm的圆面,中间有边长为1 cm的正方形孔,若随机向铜钱上滴一滴油(油滴不出边界),则油滴整体(油滴是直径为0.2 cm的球)正好落入孔中的概率是　　　　　(不作近似计算).
解析:利用几何概型的概率公式求解.
考虑油滴的中心,若油滴不出铜钱边界,油滴的中心可以在半径为1.9 cm的圆面上,面积为π×1.92=3.61π.
其中油滴整体落入孔中,油滴中心在边长为0.8 cm的正方形区域,面积为0.64,故所求的概率为.
10.(2015辽宁重点中学协作体模拟,文15,与面积、体积有关的几何概型,填空题)将一个质点随机投放在关于x,y的不等式组所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是　　　　　.
解析:依题意,题中的三角形(其三个顶点的坐标分别为A(1,4),B(5,1),C(1,1),三边长分别是3,4,5)区域的面积是×3×4=6,分别以点A,B,C为圆心、1为半径的圆形区域与△ABC区域的公共区域的面积等于π×12=π,因此所求的概率等于1-÷6=1-.
11.(2015黑龙江哈尔滨第六中学二模,文10,与面积、体积有关的几何概型,选择题)在[1,5]和[2,4]分别取一个数,记为a,b,则方程=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析:由题意知Ω1={(a,b)|1≤a≤5,2≤b≤4},=4×2=8.
由,得,所以a<b<a,如图所示,阴影部分的面积为×4×2-×1=,所以所求概率为,故选B.
12.(2015宁夏银川二中一模,文8,与面积、体积有关的几何概型,选择题)已知集合表示的平面区域为Ω,若在区域Ω内任取一点P(x,y),则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析:作出二元一次不等式组所表示的平面区域如图中的阴影部分所示,观察可知,所求概率P=,故选D.
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