关于澳大利亚中小学
澳大利亚的中小学教育包括了学前、预备班(或幼儿园)、小学、初中和高中教育。学生在校接受教育的时间为13 年(不包括学前教育)。16 周岁以内的青少年儿童都必须接受中小学教育。
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小学教育持续 7 到 8 年，即预备班至 6 年级或 7 年级，预备班为小学 1 年级之前的学校教育，也被称作幼儿园或过渡学习阶段等，通常作为小学教育的一部分。小学课程关注发展学生的英语和阅读能力，数字和数学能力，以及对社会的认知，并教授学生卫生知识，培养创新能力。同时，体育和社交技能的锻炼也涵盖其中。
初中教育持续3到4年，即7或8年级到10年级。初中的第一年或前两年是所有学生均参加的通识教育。随后几年，学生的学习由核心课程和自己的选修课程组成。核心课程通常包括英语、数学、科学、社会与环境、英语之外的第二外语、科技与应用、创新艺术、个人发展、健康与体育教育。一些课程从易到难，有不同的级别可供选择。
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澳大利亚高中教育了解更多
高中教育涵盖11和12两个年级。高中教育包括多种课程，为学生今后学习、就业和长大成人打好基础。12年级毕业文凭称作 12 年级高中毕业证书（Senior Secondary Certificate of Education），是澳大利亚全国性学历资格框架（Australian Qualifications Framework, 简称 AQF）内认定的学历。
关于澳大利亚中小学
什么是澳大利亚中小学入学考试？
澳大利亚中小学入学考试（Australian Education Assessment Services，简称AEAS）是由澳大利亚教育评估服务机构推出的一项针对国际学生申请进入澳大利亚精英中小学学习的语言及综合能力测试，AEAS考试已经被众多澳大利亚知名的私立和公立学校广泛认可并采纳为入学语言测试。
澳大利亚中小学入学考试
通往澳大利亚精英中学的最佳途径
Eric LAU Eric LAU
澳大利亚新南威尔士大学翻译学硕士，澳大利亚移民与边境保卫部认证翻译官，澳大利亚留学与移民服务中心管理合伙人；曾任职某知名跨国投资银行法务部总监；旅澳生活、工作五年，帮助1000多位中国学生和家长成功留学、移民澳大利亚。
Jake CHEN Jake CHEN
美国哥伦比亚大学教育学硕士学位，五年一线出国语言与学术考试领域教研与教学经验；曾多次赴澳大利亚国立大学、澳大利亚留学与移民服务中心交流、访问；精通澳大利亚基础教育与澳大利亚高考、AEAS、NAPLAN考试，主编《澳大利亚中小学留学预备课程系列教材 – 口语》、《澳大利亚中小学留学预备课程系列教材 – 听力》。
Amanda LI Amanda LI
南京师范大学英语学士学位、英语语言文学硕士学位，五年一线出国语言与学术考试领域教研与教学经验，教授科目包括英语写作、阅读、听力，主编《澳大利亚中小学留学预备课程系列教材 – 阅读》、《澳大利亚中小学留学预备课程系列教材 – 写作》。
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法律顾问：美麦德（北京）律师事务所
增值电信业务经营许可证：苏ICP备号-2 南京课窝教育版权所有&&12月考完CFA一级，什么时候开始复习CFA二级最合适？
12月考完CFA一级，什么时候开始复习CFA二级最合适？
12月考完CFA一级，什么时候开始复习CFA二级最合适？
& & & &线上预约：
& & & &&12月刚考过CFA一级，成绩还没出，不知道要不要复习CFA二级？
& & & &&考完CFA一级，备考明年6月CFA二级，什么时候开始复习最合适？
& & & &&我想等CFA一级成绩出来后再复习CFA二级，可以吗？
12月CFA一级的考试成绩预计45天之后可以查，依照往年惯例，都是1月的最后一周。如果看到CFA一级通过了再复习二级，往往时间是不够的。因为马上就进入春节放假，差不多2月都没时间看书复习。只剩下3月4月5月一共三个月份，而CFA二级的难度却比CFA一级有很大提升，官方教材也是三个级别中最厚的。查到CFA一级通过才开始复习二级的考生，往往都是复习时间非常仓促的，即使能通过CFA二级考试，也是特别辛苦，身心疲惫。
& & & & 所以建议在12月考完CFA一级后稍适休息就开始复习CFA二级内容较为合理！
& & & &&FRM一级通过了，还要考FRM二级吗？
& & & & 只考过了FRM一级，并不能说对就业完全没用。因为FRM证书毕竟具有很高的含金量，所以就算是一级FRM也是有它相应的作用。但很多的FRM考生的考试目的都是希望有高薪，有好的职业前程，所以建议继续努力考完FRM二级，期待更好的薪水和更高的职位。一方面，考FRM绝对是提升自己能力的好途径。另一方面，这种争取上进的心态也会被公司看到，得到更多施展拳脚的机会。
& & & & 相比上一年，2018年CFA和FRM考纲有哪些变化，新增了哪些内容？
& & & &&量化金融和FinTech呢？
& & & & 根据CFA协会最新公布的2018年CFA二级考纲，考纲发生变化的科目为4门，分别为经济学、公司金融、固定收益与衍生品。
& & & &&经济学变化集中在Reading 13 Currency Exchange Rates：Determination and Forecasting。删除3个考点，新增2个点&&
& & & &&考完CFA后再考FRM，会不会感觉更得心应手？
& & & & 确实可以省力不少，但不可轻视，还需认真对待。CFA和FRM之间有重叠知识内容，考完其中一个的一级，参加另一个考试的一级会比较轻松的。但不建议停滞，应该趁热打铁，建议考完CFA 1级可以考FRM 1级。
& & & & 如果你CFA已经考到二级甚至三级，那么FRM这碟小菜你不久就可收获囊中。因为FRM
1级的主要内容就是CFA一级、二级的衍生品、固定收益的结合，加上部分Portfolio的内容。只要大神们快速构建FRM知识框架，结合专业备考资料，加上题库海量模拟题练习，半年内稳稳拿下FRM证书。
& & & & 如果您12月刚考过CFA一级，可以再准备CFA二级。利用2018年下半年的空档，把FRM拿下。
& & & &&金程教育作为国内CFA、FRM等多项金融证书培训的企业领导品牌，近十余年已向社会输送了近十万名金融人才，为28家机构，累计约24000多人提供过内训服务受到广大客户的一致好评。金程教育辅以行业知名师资，独创经典&3+2&教学模式，为广大CFA/FRM 考生量身定制高端人才培训课程，实力助力考生通过考试，投资金融未来。
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，英文全称Analyst of Quantitative Finance，简称AQF，是基于Python语言的专业量化投资证书，该证书由中国社科院下设的中国市场学会金融服务工作委员会建立的全国财经金融专业人才培养工程(简称PFT)主办并颁发，是代表量化金融领域的专业水平培训考试项目。
宽客Quant决定性要素是主持和操纵金融工程的人，这些人就是金融工程师。1991年国际金融工程师学会(International Association of Financial Engineers)的成立，既代表着金融工程学的正式问世，也代表着金融工程师这一特殊的群体已为社会所公认。由于金融工程要广泛涉及公司财务、证券投资、外汇交易、金融衍生品交易等许多领域，要求金融工程师必须具备与其所承担的金融工程职责相符的理论、知识和技能。
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请问楼主，如何报考啊？
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FRM的学习曲线有点像台湾省东海岸的水深线：几乎没有坡度缓冲，一分钟前水深才没到脚
CFA百题是考友一次性通过考试的重要武器，在2017年6月份考试中，金程推出的《金程教育
很多人在考完了一级考试后对于CFA才有一个初步的了解，但是对于二级考试的难度却并不
CFA考试难度系数大的一个原因就是其需要经过三次等级考试，只有考过前一级考试才可以
2001年一个阳光明媚的上午，一项投资计划落在雷曼兄弟（Lehman Brothers）当时的行政
　工作身着大牌的紧身连衣裙，踩着细跟高跟鞋，游走在身价数亿的客户中间；出差坐头等
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2009年全国名校高三模拟试题分类汇编圆锥曲线三、解答题(第一部分)1、(山东省临沂高新区实验中学学年高三12月月考)已知椭圆C过点是椭圆的左焦点，P、Q是椭圆C上的两个动点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；（3）设点A关于原点O的对称点是B，求|PB|的最小值及相应点P的坐标。
解：（1）设椭圆的方程为，由已知，得，解得
所以椭圆的标准方程为 …………3分
（2）证明：设。由椭圆的标准方程为，可知
同理………4分
∴…………5分
①当时，由，得
设线段的中点为，由&&& …………6分
得线段的中垂线方程为…………7分
∴，该直线恒过一定点…………8分
②当时，或
线段的中垂线是轴，也过点，
∴线段的中垂线过点…………10分
（3）由，得。
…………12分
∴时，点的坐标为…………14分
2、(陕西省西安铁一中2009届高三12月月考)如图，在直角坐标系中，已知椭圆的离心率e＝，左右两个焦分别为．过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交M、N两点，且|MN|=1 ．
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 设椭圆的左顶点为A,下顶点为B，动点P满足，（）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆上.
解：(Ⅰ)∵轴，∴,由椭圆的定义得：&&& （2分）
∵，∴，&&&&&&&&&&&&&&&&&
又得&&& ∴& &&&
∴，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴所求椭圆C的方程为．&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（7分）
(Ⅱ)由（Ⅰ）知点A(－2,0)，点B为（0，－1），设点P的坐标为
由－4得－，
∴点P的轨迹方程为.&&&&&&&&&&&&&&
设点B关于P的轨迹的对称点为，则由轴对称的性质可得：
，解得：，&&&&&
∵点在椭圆上，∴
整理得解得或
∴点P的轨迹方程为或，&&&&&&&&&&&&&&&&&&
经检验和都符合题设，
∴满足条件的点P的轨迹方程为或．&&&& &&&&&&&&&&&&（15分）
3、(上海市张堰中学高2009届第一学期期中考试)椭圆：的两个焦点为、，点在椭圆上，且，且，.
（1）求椭圆的方程.
（2）若直线过圆的圆心，交椭圆于、两点，且、关于点对称，求直线的方程.
4、(天津市汉沽一中学年度高三第四次月考试题)在直角坐标平面内，已知点， 是平面内一动点，直线、斜率之积为.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；
(Ⅱ)过点作直线与轨迹交于两点，线段的中点为,求直线的斜率的取值范围.
解: (Ⅰ)设点的坐标为，依题意，有
&.&&&&&&&&&&&&&&&
………………… 3分化简并整理，得
∴动点的轨迹的方程是.&&&&&&&&&&
………………… 5分
&(Ⅱ)解法一：依题意，直线过点且斜率不为零，故可设其方程为, ………6分由方程组
&& 消去，并整理得
&& ，……………………………………………………… 8分
,&&&&&&&&&&
…………………………………………… 10分
(1)当时，；&&&&&&&&&&
…………………………………………… 11分
且 .&&&&&&&&&&&&&&&
………………………………………… 13分
综合(1)、(2)可知直线的斜率的取值范围是：.……………… 14分
解法二：依题意，直线过点且斜率不为零.
(1)& 当直线与轴垂直时，点的坐标为，此时，；&& …………6分
(2)& 当直线的斜率存在且不为零时，设直线方程为,&& …………7分由方程组
&& 消去，并整理得
&& ，……………………………………………………… 8分
,&&&&&&&&&&&&&
………………… 10分
且 .&&&&&&&&&&&&&&&
………………………………………… 13分
综合(1)、(2)可知直线的斜率的取值范围是：.……………… 14分
5、(厦门市第二外国语学校学年高三数学第四次月考)在直角坐标系xOy中，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且｜MF2｜=．（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A，B两点，若，求直线l的方程．
解：（Ⅰ）由：知．
设，在上，因为，所以，得，．
在上，且椭圆的半焦距，于是
消去并整理得& ， 解得（不合题意，舍去）．
故椭圆的方程为．
（Ⅱ）由知四边形是平行四边形，其中心为坐标原点，
因为，所以与的斜率相同，
故的斜率．设的方程为．
由& 消去并化简得& ．
设，，，．
因为，所以．
所以．此时，
故所求直线的方程为，或．
6、(重庆市大足中学2009年高考数学模拟试题)已知双曲线，P是其右支上任一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，Q是P F1上的点，N是F2Q上的一点。且有&&& 求Q点的轨迹方程。
7、(2009届福建省福鼎一中高三理科数学强化训练综合卷一)已知在平面直角坐标系中，向量，且
&.（1）设的取值范围；
（2）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且取最小值时，求椭圆的方程.
解：（1）由，
&&& 得…………………………………………………………………3分
&&& &∴夹角的取值范围是（）………………………………………………………………6分
&&& & …………………………………………………………………………………………8分
………………10分
∴当且仅当
…………………………………………12分
故所求椭圆方程为.……………………………………………………14分
8、(江苏省常州市高三第一学期期中统一测试数学试题)椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e = ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1－, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且． （1）求椭圆方程；
（2）若，求m的取值范围．解：（1）设C：＋＝1（a＞b＞0），设c＞0，c2＝a2－b2，由条件知a－c＝，＝，∴a＝1，b＝c＝，故C的方程为：y2＋＝1　&&&&&&&&&&&&&&&&&
（2）由＝λ，∴λ＋1＝4，λ＝3　或O点与P点重合=&&&&&&&&&&&&&
7′当O点与P点重合=时，m=0当λ＝3时，直线l与y轴相交，则斜率存在。设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2） 得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）＞0 （*）x1＋x2＝， x1x2＝　&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
11′∵＝3 ∴－x1＝3x2
∴消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0　&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&13′m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝，因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝＞0，∴－1＜m＜－ 或 ＜m＜1容易验证k2＞2m2－2成立，所以（*）成立即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）∪｛0｝&&&&&&&&&&&&&&&&
9、(广东省北江中学2009届高三上学期12月月考)已知一动圆M,恒过点F，且总与直线相切,（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）探究在曲线C上,是否存在异于原点的两点,当时,直线AB恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.
解: (1) 因为动圆M,过点F且与直线相切,所以圆心M到F的距离等于到直线的距离.所以,点M的轨迹是以F为焦点, 为准线的抛物线,且,,
所以所求的轨迹方程为－－－－－－－－－5分
(2) 假设存在A,B在上,
所以,直线AB的方程:,即
即AB的方程为:,即
即:，令,得，
所以,无论为何值,直线AB过定点(4,0)
10、(广东省佛山市三水中学2009届高三上学期期中考试)如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)，平行于OM的直线l在轴上的截距为，l交椭圆于A、B两个不同点.（1）求椭圆的方程；（2）求m的取值范围；
（3）求证直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形.
解：（1）设椭圆方程为－－－－－－1分
&&& 则－－－－－－－－－－－－－－－－－－3分
&&& ∴椭圆方程－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－4分
（2）∵直线l平行于OM，且在轴上的截距为m
∴l的方程为：－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－5分
由∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，
&&& ∴m的取值范围是－－－－－－－－－－－－－－－－－－－8分&& （3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1＋k2=0即可－－9分
&&& －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－10分
&&& －－－－－－－－－－－－－－－－－－－13分&&& ∴k1＋k2=0&&& 故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.－－－－－－－－－－－－－－ 14分
11、(四川省成都市2009届高三入学摸底测试)已知椭圆的两个焦点、，直线是它的一条准线，、分别是椭圆的上、下两个顶点．（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设以原点为顶点，为焦点的抛物线为，若过点的直线与相交于不同、的两点、，求线段的中点的轨迹方程．
，令，消去参数，得到为所求轨迹方程．解：（Ⅰ）设椭圆方程为==1(a＞b＞0)由题意，得c＝1，＝4&
Þ& a＝2，从而b2＝3
∴椭圆的方程；（Ⅱ）设抛物线C的方程为x2＝2py(p＞0)由＝2& Þ& p＝4∴抛物线方程为x2＝8y设线段MN的中点Q(x,y)，直线l的方程为y＝kx＋1
由得，（这里△≥0恒成立），设M(x1,y1),N(x2,y2)
由韦达定理，得，，
所以中点坐标为Q，∴x＝4k,y＝4k2＋1消去k得Q点轨迹方程为：x2＝4(y－1)
12、(湖北省武汉市教科院2009届高三第一次调考)如图，设F是椭圆的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知
（1）求椭圆C的标准方程；&&
（2）若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A、B求证：∠AFM=∠BFN；&&
（3）（理科）求三角形ABF面积的最大值。
&………………………………（文6分，理4分）（2）（2）当AB的斜率为0时，显然满足题意
当AB的斜率不为0时，设，AB方程为代入椭圆方程整理得
综上可知：恒有.………………………………（文13分，理9分）
（3）（理科）
当且仅当（此时适合△＞0的条件）取得等号.
三角形ABF面积的最大值是3………………………………（理13分）
13、(湖南省长郡中学2009届高三第二次月考)已知圆方程为：.
（Ⅰ）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程;
（Ⅱ）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.
解（Ⅰ）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为&& 满足题意&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
②若直线不垂直于轴，设其方程为，即&&&&&
设圆心到此直线的距离为，则，得&& &&&&&&
∴，，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
故所求直线方程为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
综上所述，所求直线为或&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
（Ⅱ）设点的坐标为（），点坐标为
则点坐标是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴& 即，&&&&&&&&&&&&&
又∵，∴&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&∴点的轨迹方程是，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
轨迹是一个焦点在轴上的椭圆，除去短轴端点。&&&&&&&&&
14、(湖北黄陂一中2009届高三数学综合检测试题)若为双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线左支上，点在右准线上，且满足：.&& (1)求此双曲线的离心率；
&& (2)若此双曲线过点，且其虚轴端点分别为(在轴正半轴上)，点在双曲线上，且当时，求直线的方程.
解：(I)由，知四边形PF，OM为平行四边形，……………………(1分)
&&& 又&&& ∴OP为∠F1OM的角平分线.…………………………………………………………(3分)&&& 则□PF1OM为菱形.
&&& …………………………………………………………(4分)
&&& 即…………………………………………(6分)
&&& (II)由e＝2有：，………………………………(7分)
&&& ∴双曲线方程可设为，又点N(2，)在双曲线上，
&&& & ∴双曲线方程为………………(9分)&&& 从而B1(0，3)，B2(0，－3).
&&& 共线.………………………………………………(10分)
&&& 设AB的方程为：y＝kx－3且设
&&& 由………………………………(11分)
&&& 又：，
&&& ………………………………………………………………(13分)
15、(江苏运河中学2009年高三第一次质量检测)设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P、Q，且. ⑴求椭圆C的离心率；
⑵若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：相切，求椭圆C的方程.
⑴解：设Q（x0，0），由F（－c，0）
A（0，b）知
& －－－－& 3分
设，得& －－－－－－－－5分
因为点P在椭圆上，所以
整理得2b2=3ac，即2(a2－c2)=3ac，,故椭圆的离心率e=－－－8分
⑵由⑴知， 于是F（－a，0） Q，
△AQF的外接圆圆心为（a，0），半径r=|FQ|=a 所以，
解得a=2，∴c=1，b=，所求椭圆方程为－－－－－－－－15
16、(安徽省潜山县三环中学2009届高三上学期第三次联考)设椭圆方程为=1，求点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.
解：设P（x，y）是所求轨迹上的任一点，①当斜率存在时，直线l的方程为y=kx＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立并消元得：（4＋k2）x2＋2kx－3=0， x1＋x2=－y1＋y2=，由& 得：（x，y）=（x1＋x2，y1＋y2），即：消去k得：4x2＋y2－y=0当斜率不存在时，AB的中点为坐标原点，也适合方程
所以动点P的轨迹方程为：4x2＋y2&－y= 0．
17、(安徽省潜山县三环中学2009届高三上学期第三次联考)已知椭圆C:=1()的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于、两点，坐标原点到直线的距离为，
求△面积的最大值.
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意
∴ ，∴& 所求椭圆方程为．
（Ⅱ）设，．
（1）当轴时，．
（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为．
由已知，得．
把代入椭圆方程，整理得，
当且仅当，即时等号成立．当时，，
综上所述．
当最大时，面积取最大值．
18、(广东省广州市学年高三第一学期中段学业质量监测)已知长方形ABCD, AB=2, BC=1. 以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.(Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点P(0,2)的直线交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.&&&&&&&
解：(Ⅰ)由题意可得点A,B,C的坐标分别为.……1分
设椭圆的标准方程是.……2分
椭圆的标准方程是……6分
(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.……7分
设M,N两点的坐标分别为
消去整理得,
若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以,……10分&
即……11分&& 得……12分
所以直线的方程为,或.……13分
所以存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点. ……14分
19、(江西省崇仁一中2009届高三第四次月考)已知向量，经过定点且方向向量为的直线与经过定点且方向向量为的直线交于点M，其中R，常数a＞0.（1）求点M的轨迹方程；
（2）若，过点的直线与点M的轨迹交于C、D两点，求的取值范围.
故，消去参数，整理得点Ｍ的轨迹方程为
（除去点）…………5分
（2）由得点M轨迹方程为（除去点），
若设直线CD的方程为，，，则由消去y得，显然，于是，
若直线轴，则，于是，
综上可知.…………………………12分
20、(辽宁省大连市第二十四中学2009届高三高考模拟)如图，已知直线的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线上的射影依次为点D，K，E.
&& （1）若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；
&& （2）对于（1）中的椭圆C，若直线L交y轴于点M，且，当m变化时，求的值；&& （3）连接AE，BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由.
&&& ………………2分
&&& …………………………………………4分
&&& ……………………………………6分
&&& 先探索，当m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK中点N，且
&&& 猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点……………………8分
&&& 证明：设&&& 当m变化时首先AE过定点N
&&& A、N、E三点共线&&& 同理可得B、N、D三点共线
&&& ∴AE与BD相交于定点……………………12分
21、(2009年广东省广州市高三年级调研测试)设椭圆的离心率为=,点是椭圆上的一点,且点到椭圆两焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆的方程；
（2）椭圆上一动点关于直线的对称点为,求的取值范围.
解:(1)依题意知,&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
…… 2分&&&&&&&&&&&
∴.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴所求椭圆的方程为.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&…… 6分
（2）∵ 点关于直线的对称点为，
∴ &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&……8分
解得：，.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
∴.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&……12分
∵ 点在椭圆:上,
∴的取值范围为.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&……14分
22、(广东省华南师范附属中学2009届高三上学期第三次综合测试)设动点到定点的距离比它到轴的距离大．记点的轨迹为曲线
（1）求点的轨迹方程；
（2）设圆过，且圆心在的轨迹上，是圆在轴上截得的弦，当运动时弦长是否为定值?请说明理由．
解：（1）依题意，到距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&& （2分）
& 曲线方程是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （4分）
（2）设圆心，因为圆过
故设圆的方程&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （7分）
设圆与轴的两交点为，则& （10分）
在抛物线上， & &（13分）
所以，当运动时，弦长为定值2&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& && （14分）
23、(广西桂林十八中06级高三第二次月考)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于，两点（不是左，右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
(1) …………………………………………………………………………………4分
&(2)设，由得
，………………………………………………6分
以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，…………………………………………
，……………………………………………………………………………………8分
且满足……………………………………….……….…….9分
，直线过定点与已知矛盾；…………… ………….……..…….10分
，直线过定点…………………… …………………….……….11分
综上可知，直线过定点，定点坐标为…………………………………………..12分
24、(黑龙江省双鸭山一中学年上学期期中考试)已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆相切，过点P(－4,0)作斜率为的直线l，使得l和G交于A、B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足（1）求双曲线G的渐近线方程（2）求双曲线G的方程（3）椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴，如果S中垂直于l的平行弦的中点轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程。
解：(1)设双曲线G的渐近线方程为y=kx，则由渐近线与圆相切可得，所以，故渐近线方程为
(2)由（1）可设双曲线G的方程为，把直线l的方程代入双曲线并整理得则&&&&
,P、A、B、C共线且在线段AB上
将（1）式带入得m=8故双曲线G的方程为
(3)由提议可设椭圆方程为设弦的端点分别为，，MN的中点为，则，作差得故垂直于l的平行弦中点的轨迹为直线截在内的部分。又由题意，这个轨迹恰好是的渐近线截在内的部分
25、(广东省湛江师范学院附中2009年高考模拟试题)设点动圆P经过点F且和直线相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线W.(Ⅰ)求曲线W的方程；
(Ⅱ)过点F作互相垂直的直线，分别交曲线W于A，B和C，D.求四边形ABCD面积的最小值.
解：(Ⅰ)过点P作PN垂直于直线于点N,依题意得&&&& ……
所以动点P的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线&&&&&&&&
即曲线W的方程是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
…………5分
设直线l1的方程为&& &&&&&&…… 6分
由l1⊥l2得l&&&2的方程为&&&&&
将&&&&&&&&&&&&&&&&&&
…………9分
同理可得&&& ……… 11分
∴四边形ABCD的面积
当且仅当故四边形ACBD面积的最小值是72&&&&& ……13分
26、(广东省湛江市实验中学2009届高三第四次月考)已知A、B、C是椭圆上的三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆m的中心，且。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且.求实数t的取值范围。
∴∠OCA=90°，& 即& …………2分
将C点坐标代入得& 解得& c2=8，b2=4
∴椭圆m：& …………5分（Ⅱ）由条件D（0，－2）& ∵M（0，t）1°当k=0时，显然－2＜t＜2& …………6分
2°当k≠0时，设
&& …………8分
由△＞0& 可得& &&&①………………9分
∴&& …………11分
∴&& ②∴t＞1& 将①代入②得&& 1＜t＜4∴t的范围是（1，4）………………13分综上t∈（－2，4）& ………………14分
27、已知圆O：，点O为坐标原点,一条直线：与圆O相切并与椭圆交于不同的两点A、B
（1）设,求的表达式；
（2）若，求直线的方程；
（3）若，求三角形OAB面积的取值范围.
解 （1）与圆相切,则,即,所以.………………………………3分
（2）设则由，消去
…………5分
则由, 所以
所以&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&……………………7分
所以.&&&&&&&&&&&&&&
……………………8分
（3）由（2）知：
……10分由弦长公式得
解得……12分
28、(福建省莆田第四中学2009届第二次月考)已知点P与定点F的距离和它到定直线l: 的距离之比是1 : 2.(1)求点P的轨迹C方程;(2)过点F的直线交曲线C于A, B两点, A, B在l上的射影分别为M, N. 求证AN与BM的公共点在x轴上.
解：(1) 如图(1) 设P点的坐标为,
则由题设得:,
&& ∴点P的轨迹C的方程是.
(2) ①当AB轴时, A、B的坐标分别为, ,
AN与BM的交点为在x轴上.
②当AB不垂直于x轴时,设直线AB的方程为,
代入椭圆,得
设, , 则, ,
且 ∵直线AN方程是,
&直线BM方程是.
联列, 得, 消去y, 得: .
把代入直线AN的方程
&∴AN与BM交于点是x轴上一定点.
(2) 解法二: 如图(2) 当AB不垂直于x轴时,设AF＝n, 则AM＝2n, 设BF＝m, 则BN＝2m,在△ABN和△BAM中, FH∥AM, FH1∥BN,∴△ABN∽△AFH和△BAM∽△BFH1
同理可推, ∴
∴,∴H与H1重合，∴AN与BM交点是x轴上一定点.
29、(四川省万源市第三中学高2009级测试)已知A．B是椭圆上两点，O是坐标原点，定点，向量．在向量方向上的投影分别是m．n ，且7mn ，动点P满足（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过点E的直线l与C交于两个不同的点M．N，求的取值范围。
解（Ⅰ）设 ．．
∴，，，&&&&&& ―――――――2分
∵向量．在向量方向上的投影分别是m．n,且，∴m=，n=
由于7mn ，所以，即 ．
∴点P的轨迹C的方程是。&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
―――――――6分
（Ⅱ）∵点P的轨迹C的方程是，∴轴时，l与C没有交点，―――――――7分
∵可设l：,再设,∴．&&&&& ―8分
由得，∴，解得，
且有，．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ―――――――11分
∴的取值范围是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ―――――――14分
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30、(天津市汉沽一中学年度第五次月考)设A，B分别是直线和上的两个动点，并且，动点P满足．记动点P的轨迹为C．（I） 求轨迹C的方程；
（II）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且，求实数的取值范围．
解：（I）设P（x，y），因为A、B分别为直线和上的点，故可设
　　　，．
　　　∵，
　　　∴∴………………………4分
　　　又，
　　　∴．……………………………………5分
　　　∴．
　　即曲线C的方程为．………………………………………6分
（II） 设N（s，t），M（x，y），则由，可得（x，y－16）= (s，t－16)．
&&&& 故，．……………………………………8分&&&& ∵M、N在曲线C上，
&&&& ∴……………………………………9分
&&&& 消去s得&
由题意知，且，
&&&& 解得&& ．………………………………………………………11分
&&&& 解得& （）．
故实数的取值范围是（）．………………………………13分
31、(湖北省武汉市第四十九中学2009届高三年级十月月考)已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。（1）求椭圆的标准方程；
（2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求的值。
解：（1）∵点是线段的中点 ∴是△的中位线
又∴&&&&&&&&&&&&&&
∴ ∴椭圆的标准方程为=1…6分
（2）∵点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点∴AC＋BC＝2a＝，AB＝2c＝2&&&&& －在△ABC中，由正弦定理，&&& ……10分
∴＝&&&&&&&&&&&&&&&
………12分
32、(四川省成都七中2009届高三零诊模拟考试)已知抛物线y=x2上的两点A、B满足=l,l＞0,其中点P坐标为(0,1),=＋,O为坐标原点.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
(I)&&&&&&&&
求四边形OAMB的面积的最小值;&&&&&&&&&&&&&&&&&&
(II)&&&&&&&&
求点M的轨迹方程.
解:(Ⅰ)由=l知A、P、B三点在同一条直线上,设该直线方程为y=kx＋1,A(x1,x12),B(x2,x22).
由得x2－kx－1=0,\x1＋x2=k,x1x2=－1,\?=x1x2＋x12x22=－1＋(－1)2=0,\^.又OAMB是平行四边形,\四边形OAMB是矩形,
\S=||?||=?=－x1x2
\当k=0时,S取得最小值是2.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
(Ⅱ)设M(x,y),\,消去x1和x2得x2=y－2,\点M的轨迹是y=x2＋2&&&&&
33、(四川省成都市学年度上学期高三年级期末综合测试)已知椭圆的一个顶点为A（0，－1），焦点在x轴上.若右焦点到直线 的距离为3.（1）求椭圆的方程;
（2）设椭圆与直线相交于不同的两点M、N.当时，求m的取值范围.
解（1）依题意可设椭圆方程为 &，则右焦点F（）由题设
&& 解得&& 故所求椭圆的方程为
（2）设P为弦MN的中点，由& 得
由于直线与椭圆有两个交点，即 &&&&&&①
&&& 又，则
把②代入①得 &解得 &&&&&&由②得&
& .故所求m的取范围是（）
34、(四川省泸县六中高09级二诊模拟数学试题)已知抛物线y=x2上的两点A、B满足=l,l＞0,其中点P坐标为(0,1),=＋,O为坐标原点.(1)求四边形OAMB的面积的最小值;(2)求点M的轨迹方程.
解:(Ⅰ)由=l知A、P、B三点在同一条直线上,设该直线方程为y=kx＋1,A(x1,x12),B(x2,x22).
得x2－kx－1=0,\x1＋x2=k,x1x2=－1,\?=x1x2＋x12x22=－1＋(－1)2=0,\^.又OAMB是平行四边形,\四边形OAMB是矩形,
\S=||?||=?=－x1x2
\当k=0时,S取得最小值是2.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
(Ⅱ)设M(x,y),\,消去x1和x2得x2=y－2,\点M的轨迹是y=x2＋2&&&&& 12分
35、(安徽省巢湖市2009届高三第一次教学质量检测)已知，动点满足.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点作直线与曲线交于两点，若，求直线的方程；
（Ⅲ）设为曲线在第一象限内的一点，曲线在处的切线与轴分别交于点，求面积的最小值.
解：（Ⅰ）动点的轨迹的方程为&& ；&& ………………………………3分
（Ⅱ）解法1& 当直线的斜率不存在时，,，不合题意；
当直线的斜率存在时,设过的直线：，代入曲线的方程得
，&&&&&&& 解得
故所求的直线的方程为；…………………………………9分
解法2& 当直线为轴时， ， 不合题意；
当直线不为轴时，设过的直线：，代入曲线的方程得
故所求的直线的方程为；…………………………………9分
（Ⅲ）设由得
处曲线的切线方程为&
令得 ；&& 令得 .
故面积的最小值为2.…………………………………………14分
36、(苍山诚信中学?理科)如图所示，已知圆为圆上一动点，点P在AM上，
点N在CM上，且满足的轨迹为曲线E.&&& （I）求曲线E的方程；&&& （II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），
且满足，求的取值范围.
(解)（1）∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.…………………………2分
又∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.
且椭圆长轴长为焦距2c=2.&& ……………5分
∴曲线E的方程为………………6分（2）当直线GH斜率存在时，
设直线GH方程为
设……………………8分
……………………10分
又当直线GH斜率不存在，方程为
……………………………………12分
37、(苍山县?理科)已知定点A（－2，0），动点B是圆（F为圆心）上一点，线段AB的垂直平分线交BF于P.&&
（1）求动点P的轨迹方程；
&& （2）是否存在过点E（0，－4）的直线l交P点的轨迹于点R，T，且满足 （O为原点），若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由.(解)22解：（1）由题意：∵|PA|=|PB|且|PB|＋|PF|=r=8∴|PA|＋|PF|=8＞|AF|∴P点轨迹为以A、F为焦点的椭圆…………………………3分
………………………5分
（2）假设存在满足题意的直线l，其斜率存在，设为k，设
38、(济宁?理科)设椭圆的左、右焦点分别为、，A是椭圆C上的一点，且，坐标原点O到直线的距离为．（1）求椭圆C的方程；
（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点，较y轴于点M，若，求直线l的方程．
(解)（1）由题设知
由于，则有，所以点A的坐标为，
故所在直线方程为， ………………………………3分
所以坐标原点O到直线的距离为，
又，所以，解得，
所求椭圆的方程为．……………………………………………5分
（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，则有，
设，由于，
∴，解得&&&&
…………………8分
又Q在椭圆C上，得，
解得， …………………………………………………………………………10分
故直线l的方程为或，
即或．&& ……………………………………………12分
39、(临沂一中?理科)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点的切线方程为为常数）.&& （I）求抛物线方程；
&& （II）斜率为的直线PA与抛物线的另一交点为A，斜率为的直线PB与抛物线的另一交点为B（A、B两点不同），且满足，求证线段PM的中点在y轴上；
&& （III）在（II）的条件下，当时，若P的坐标为（1，－1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.
(解)（I）由题意可设抛物线的方程为,
&&& ∵过点的切线方程为,
&&& ……………………………………………………………2分
&&& ∴抛物线的方程为…………………………………………………3分
&& （II）直线PA的方程为,
&&& & 同理,可得. …………………………………………………………5分
&&& & …………………………6分
&&& &&&& ∴线段PM的中点在y轴上.………………………………………………………7分
&& （III）由
&&& ………………………………………8分&&& ∵∠PAB为钝角，且P, A, B不共线,
&&& …………………………………………………………10分
&&& 又∵点A的纵坐标& &&& ∴当时，；
&&& ∴∠PAB为钝角时点A的坐标的取值范围为……………12分
40、(临沂高新区?理科)如图，已知椭圆C：，经过椭圆C的右焦点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆G于A、B两点，M为线段AB的中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点．
&&& （1）是否存在k，使对任意m＞0，总有成立？若存在，求出所有k的值；
&&& （2）若，求实数k的取值范围．
(解)（1）椭圆C：&& 1分直线AB：y＝k（x－m）,&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 2分
，（10k2＋6）x2－20k2mx＋10k2m2－15m2＝0．& 3分
设A（x1,y1）、B（x2,y2）,则x1＋x2＝，x1x2＝&&& 4分
则xm＝&&&&&&&&&&&&& 5分
若存在k,使为ON的中点，∴．
即N点坐标为．&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
由N点在椭圆上，则&&&&&& 7分
即5k4－2k2－3＝0．∴k2＝1或k2＝－（舍）．
故存在k＝±1使&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 8分
（2）＝x1x2＋k2（x1－m）（x2－m）＝（1＋k2）x1x2－k2m（x1＋x2）＋k2m2
＝（1＋k2）?&&&&&&& 10分
由得&&&&&& 12分
即k2－15≤－20k2－12,k2≤且k≠0．&&&&&&&&&&&&&&& 14分&&
三、解答题(第二部分)41、(烟台?理科)已知动点A、B分别在x轴、y轴上，且满足|AB|=2，点P在线段AB上，且
&&& 设点P的轨迹方程为c。&& （1）求点P的轨迹方程C；&& （2）若t=2，点M、N是C上关于原点对称的两个动点（M、N不在坐标轴上），点Q
坐标为求△QMN的面积S的最大值。
(解)（1）设
&& （2）t=2时， …………5分
42、(枣庄市?理科)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1，―3）、N（5，1），若动点C满足交于A、B两点。
&& （I）求证：；
&& （II）在x轴上是否存在一点，使得过点P的直线l交抛物线于D、E两点，并以线段DE为直径的圆都过原点。若存在，请求出m的值及圆心M的轨迹方程；若不存在，请说明理由。
(解)（I）解：由知点C的轨迹是过M，N两点的直线，故点C的轨迹方程是：
&& （II）解：假设存在于D、E两点，并以线段DE为直径的圆都过原点。设&&& 由题意，直线l的斜率不为零，
&&& 所以，可设直线l的方程为
&&& 代入 …………7分
&&& &&& 此时，以DE为直径的圆都过原点。
…………10分
&&& 设弦DE的中点为
43、(聊城一中?理科)已知椭圆的一个顶点为A（0，1），焦点在x轴上．若右焦点到直线 的距离为3．（3）求椭圆的方程，
（4）设椭圆与直线相交于不同的两点M、N．当时，求m的取值范围．
(解)（1）依题意可设椭圆方程为 &，则右焦点F（）由题设
&& 解得&& 故所求椭圆的方程为
（2）设P为弦MN的中点，由& 得
由于直线与椭圆有两个交点，即 &&&&&&①
&&& 又，则
把②代入①得 &解得 &&&&&&由②得&
故所求m的取范围是（）．
44、(江苏省梁寨中学08－09学年高三年级调研考试)已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．
（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程；
（Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值．
解：（Ⅰ）由题意得直线的方程为．
因为四边形为菱形，所以．
于是可设直线的方程为．
因为在椭圆上，
所以，解得．
设两点坐标分别为，
则，，，．
所以的中点坐标为．
由四边形为菱形可知，点在直线上，
所以，解得．
所以直线的方程为，即．
（Ⅱ）因为四边形为菱形，且，
所以菱形的面积．
由（Ⅰ）可得，
45、(广东省汕头市潮南区08－09学年度第一学期期末高三级质检)椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2，相应于焦点F（c,0）（c&0）的准线（准线方程x＝,其中a为长半轴，c为半焦距）与x轴交于点A，，过点A的直线与椭圆相交于点P、Q。（1）&&&&&& 求椭圆方程；（2）&&&&&& 求椭圆的离心率；
（3）&&&&&& 若，求直线PQ的方程。
解：（1）由已知得，解得：……………………2分
所求椭圆方程为………………………………………………4分
（2）因，得……………………………………7分
（3）因点即A（3，0），设直线PQ方程为………………8分
则由方程组，消去y得：
设点则……………………10分
又，代入上式得
解得：，所求直线PQ方程为……………………14分
46、(重庆奉节长龙中学2009年高考数学预测卷二)P是以为焦点的双曲线C：（a＞0，b＞0）上的一点，已知=0，．
（1）试求双曲线的离心率；
（2）过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P1、P2两点，当，= 0，求双曲线的方程．
解（1）∵，，∴，．&
&&& ∵=0，∴(4a)2+(2a)2=(2c)2，∴．……………………4分
& （2）由（1）知，双曲线的方程可设为，渐近线方程为．…5分&&& 设P1(x1，2x1)，P2(x2，-2x2)，P(x，y)．
&&& ∵，∴． ∵，∴………8分
&&& ∵点P在双曲线上，∴．
&&& 化简得，．∴．∴ ．∴双曲线的方程为…12分评析：本题考查向量与双曲线的有关内容．近几年来向量与其他知识互相渗透成为一种时尚，基于此特命此题．本题考查学生运用圆锥曲线定义灵活解题的能力、向量知识、运算能力．
47、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知常数m & 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m, 0)，经过点A(m, 0)，以λa+b为方向向量的直线与经过点B(- m, 0)，以λb- 4a为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R．(1) 求点P的轨迹E；　
(2) 若，F(4, 0)，问是否存在实数k使得以Q(k, 0)为圆心，|QF|为半径的圆与轨迹E交于M、N两点，并且|MF| + |NF| =．若存在求出k的值；若不存在，试说明理由．
解　(1) ∵λa+b = ( m,λ)，∴ 直线AP方程为；…………………………①
又λb - 4a =(λm, - 4), ∴ 直线NP方程为；…………………………②
由①、②消去λ得 ，即 ．故当m = 2时，轨迹E是以(0, 0)为圆心，以2为半径的圆：x2 + y2 = 4；
当m & 2时，轨迹E是以原点为中心，以为焦点的椭圆：
当0 & m &2时，轨迹E是以中心为原点，焦点为的椭圆．(2)　假设存在实数k满足要求，此时有圆Q：(x-
k)2 + y2 = (4- k)2
椭圆E：；其右焦点为F(4 , 0 )，且．由圆Q与椭圆E的方程联立得2y2- 5kx + 20k- 30 = 0,
设M(x1, y1),
N(x2, y2),& 则有， ………………………………………………③△=25k2- 4×2(20k- 30)，
又 |MF| =, |NF| =, 而；
由此可得　，……………………………………………………………………④
由③、④得k = 1，且此时△＞0．故存在实数k = 1满足要求．
48、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)双曲线的实半轴与虚半轴长的积为，它的两焦点分别为F1、F2，直线过F2且与直线F1F2的夹角为，且，与线段F1F2的垂直平分线的交点为P，线段PF2与双曲线的交点为Q，且，建立适当的坐标系，求双曲线的方程.
解& 以F1F2的中点为原点，F1、F2所在直线为x轴建立坐标系，则所求双曲线方程为（a&0，b&0），设F2（c，0），不妨设的方程为，它与y轴交点，由定比分点坐标公式，得Q点的坐标为，由点Q在双曲线上可得，又，
∴，，∴双曲线方程为.
49、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，. 过点M作MM1⊥y轴于M1，过N作NN1⊥x轴于点N1，. 记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）.&& （1）求曲线C的方程；&& （2）证明不存在直线l，使得|BP|=|BQ|；
&& （3）过点P作y轴的平行线与曲线C的另一交点为S，若，证明
（1）设点T的坐标为，点M的坐标为，则M1的坐标为（0，），
&& ，于是点N的坐标为，N1的坐标
&& 为，所以
&& 由&& 即所求的方程表示的曲线C是椭圆. ……………………3分&& （2）点A（5，0）在曲线C即椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C
&& 无交点，所以直线l斜率存在，并设为k. 直线l的方程为
&& 由方程组
&& 当时，设交点PQ的中点为，
&& 而不可能成立，所以不存在直线l，使得|BP|=|BQ|.…………7分
&& （3）由题意有，则有方程组
&& & 由（1）得& （5）
&& 将（2），（5）代入（3）有
&& 整理并将（4）代入得，
&& 因为B（1，0），S，故，所以
50、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知离心率为的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点F1、F2在轴上，双曲线C的右支上一点A使且的面积为1。（1）&&&&&&
求双曲线C的标准方程；
（2）&&&&&&
若直线与双曲线C相交于E、F两点（E、F不是左右顶点），且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。
解： （1）由题意设双曲线的标准方程为，由已知得：解得
∵且的面积为1
∴双曲线C的标准方程为。
（2）设，联立得
显然否则直线与双曲线C只有一个交点。
又∵以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D(2,0)
化简整理得
∴ ，且均满足
当时，直线的方程为，直线过定点（2，0），与已知矛盾！
当时，直线的方程为，直线过定点（，0）
∴直线定点，定点坐标为（，0）。
51、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)求与双曲线有公共渐进线，且经过点的双曲线的方程。
求与双曲线有公共渐进线，且经过点的双曲线的方程。
解：设双曲线的方程为
在双曲线上
所以双曲线方程为
52、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知分别是双曲线的左右焦点，是双曲线上的一点，且=120，求的面积
已知分别是双曲线的左右焦点，是双曲线上的一点，且=120，求的面积
解：双曲线可化为
由题意可得
53、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)证明：双曲线上任意一点到两条渐进线的距离的乘积是一个定值证明：双曲线上任意一点到两条渐进线的距离的乘积是一个定值
解：设双曲线的方程为 &所以渐近线方程为
到的距离& 到的距离
又在双曲线上 所以 即
54、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知半圆的直径为，点在半圆上，双曲线以为焦点，且过点。若，求双曲线的方程。
已知半圆的直径为，点在半圆上，双曲线以为焦点，且过点。若，求双曲线的方程。
解：在半圆上
在圆上 &即 &
所以双曲线方程为
55、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知圆：x2+y2=c2(c＞0),把圆上的各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得一椭圆。⑴求椭圆方程,并证明椭圆离心率是与c无关的常数；
⑵设圆与x轴交点为P，过点P的直线l与圆的另一交点为Q，直线l与椭圆的两交点为M、N，且满足，求直线l的倾斜角。
解：⑴设R(x,y)是圆：x2＋y2=c2上任一点，则S（x,y）在所求椭圆上的点，设S(u,v),有u=x,v=y即x=,y=v代入圆的方程得：故所求的椭圆方程为：椭圆的长半轴的长为c，半焦距为c,故离心率e=与c无关。
⑵设直线l的方程为：x=－c＋tcos
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
y=tsin&&&&&
(t为参数，为倾斜角)&& ①& 把①代入圆的方程得：（－c＋tcos）cos2＋(tsin)2=c2整理得：t2－2ccost2=0&&
设②的两根为t1、t2,解得：t1=0,t2=2ccos&
把①代入椭圆方程得：（－c＋tcos）2+2(tsin)2=2c2&& 整理得：
(1+sin2)t2－2ccost－c2=0&& ③&& 设方程③的两根为t3、t4,由韦达定理：
t3＋t4=,t3t4=－，，
又故有：即
cos2(1+sin2)2=1整理得：又?0，）
sin=0=0或sin2=故得：
综合得：=0或或。
56、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知点（x,y）在椭圆C：（a＞b＞0）上运动
⑴求点的轨迹C′方程；
⑵若把轨迹C′的方程表达式记为：y=f(x)，且在内y=f(x)有最大值，试求椭圆C的离心率的取值范围。
解：⑴椭圆C：的参数方程为：为参数），又设点
是轨迹C′上任意一点，则轨迹C′的参数方程为：
（为参数）消去参数得：把换成x,y，所求轨迹C′的方程为：&&&&&
⑵把方程①表达为函数解析式：，下证函数在
上是增函数，在上是减函数。设x1＞x2＞0，
作差=&& ②
当＞＞＞0时，则有0＜＜于是得到：0＜＜1故由②式知：
当＞＞时，则有＞于是得到：＞1故由②式知：
故得到函数在上是增函数，在上是减函数。因此在（上有最大值，当且仅当时取到最大值。
要使函数在内取到最大值，则只要＜＜设椭圆半焦距为c，于是有＜＞＜e＜1
即符合题意的离心率的取值范围是。
57、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知过椭圆右焦点且斜率为1的直线交椭圆于、两点，为弦的中点；又函数的图像的一条对称轴的方程是。
（1）&&&&&& 求椭圆的离心率与;
（2）&&&&&& 对于任意一点,试证:总存在角使等式: 成立.
解:1)函数.又,故为第一象限角,且.
函数图像的一条对称轴方程式是: 得又c为半点焦距，
由知椭圆C的方程可化为
&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&（1）
又焦点F的坐标为（），AB所在的直线方程为
&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&（2）&
（2）代入（1）展开整理得
&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&（3）
设A（），B（），弦AB的中点N（），则是方程（3）的两个不等的实数根，由韦达定理得
&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&（4）
即为所求。
2）与是平面内的两个不共线的向量，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数使得等式成立。设由1）中各点的坐标可得：
又点在椭圆上，代入（1）式得
化为：&&&&&&& （5）&& 由（2）和（4）式得
&& 又两点在椭圆上，故1有入（5）式化简得：
&&&&&&&&&&&&&&&
由得到又是唯一确定的实数，且，故存在角，使成立，则有
若，则存在角使等式成立；若由与于是用代换，同样证得存在角使等式：成立.
综合上述，对于任意一点，总存在角使等式：成立.
58、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知圆k过定点A(a,0)(a＞0),圆心k在抛物线C：y2=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦.(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？解：(1)设圆心k(x0,y0),且y02=2ax0,
圆k的半径R=|AK|=
∴|MN|=2=2a(定值)∴弦MN的长不随圆心k的运动而变化.(2)设M(0,y1)、N(0,y2)在圆k：(x－x0)2+(y－y0)2=x02+a2中，令x=0，得y2－2y0y+y02－a2=0∴y1y2=y02－a2∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项.∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a.又|MN|=|y1－y2|=2a∴|y1|+|y2|=|y1－y2|
∴y1y2≤0，因此y02－a2≤0,即2ax0－a2≤0.
∴0≤x0≤.
圆心k到抛物线准线距离d=x0+≤a,而圆k半径R=≥a.且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交.
59、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)如图，已知椭圆=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=||AB|－|CD||(1)求f(m)的解析式；(2)求f(m)的最值.
解：(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a2=m,b2=m－1,c2=a2－b2=1∴椭圆的焦点为F1(－1,0),F2(1,0).
故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=±,即x=±m.∴A(－m,－m+1),D(m,m+1)
考虑方程组,消去y得：(m－1)x2+m(x+1)2=m(m－1)整理得：(2m－1)x2+2mx+2m－m2=0Δ=4m2－4(2m－1)(2m－m2)=8m(m－1)2
∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，xB+xC=.又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上
∴|AB|=|xB－xA|==(xB－xA)?,|CD|=(xD－xC)
∴||AB|－|CD||=|xB－xA+xD－xC|=|(xB+xC)－(xA+xD)|又∵xA=－m,xD=m,∴xA+xD=0
∴||AB|－|CD||=|xB+xC|?=||?= (2≤m≤5)
故f(m)=，m∈［2,5］.
(2)由f(m)=，可知f(m)=
又2－≤2－≤2－
∴f(m)∈［］
故f(m)的最大值为，此时m=2;f(m)的最小值为，此时m=5.
60、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，右准线为一条渐近线的方程是过双曲线C的右焦点F2的一条弦交双曲线右支于P、Q两点，R是弦PQ的中点.&& （1）求双曲线C的方程；
&& （2）若在l的左侧能作出直线m:x=a，使点R在直线m上的射影S满足，当点P在曲线C上运动时，求a的取值范围.
解：（1）设双曲线C的方程为，
则它的右准线方程为
已知得=1，则=1，所以所求双曲线C的方程是
（2）因为点R在直线m上的射影S满足所以PS⊥QS，即△PSQ是直角三角形.
所以点R到直线m:x=的距离为|RS|=
即……………………①
又所以|PQ|=|PF2|+|F2Q|=2（xP－xQ－1）=4&XR－2……………………②
将②代入①，得又P、Q是过右焦点F2的一条弦，且P、Q均在双曲线C的右支上，R是弦PQ的中点.
故所求a的取值范围是a≤－1.
61、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)设分别是椭圆的左，右焦点。
（Ⅰ）若是第一象限内该椭圆上的一点，且，
求点的坐标。
（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中O为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。
解：（Ⅰ）易知。
，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
联立，解得，
（Ⅱ）显然
62、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)抛物线C的方程为，作斜率为的两条直线，分别交抛物线C于A两点（P、A、B三点互不相同），且满足&& （1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
&& （2）设直线AB上一点M满足证明：线段PM的中点在y轴上；
&& （3）当时，若点P的坐标为（1，―1），求∠PAB为钝角时，点A的纵坐标的取值范围.
（1）由抛物线C的方程得，
焦点坐标为
（2）设直线PA的方程为
将②式代入①式，得，
将⑤式代入④式，得，
由已知得，&&& ⑥
设点M的坐标为
将③式和⑥式代入上式，得所以线段PM的中点在y轴上
（3）因为点P（1，－1）在抛物线
将代入⑥式得因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为
63、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)如图，已知点F（1，0），直线为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，若&& （1）求动点P的轨迹C的方程；&& （2）过点M（－1，0）作直线m交轨迹C于A，B两点。（Ⅰ）记直线FA，FB的斜率分别为k1,k2，求k1+k2的值；
（Ⅱ）若线段AB上点R满足求证： RF⊥MF。
解：（1）设点
（2）（Ⅰ）由题意直线m斜率存在且不为0，
设直线与抛物线方程联立
（Ⅱ）设动点R
64、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知椭圆C的中心为坐标原点，F1、F2分别为它的左、右焦点，直
线x=4为它的一条准线，又知椭圆C上存在点M使&& （1）求椭圆C的方程；
&& （2）若PQ为过椭圆焦点F2的弦，且内切圆面积最大时实数的值.
解：（1）据题意，设椭圆C的方程为 ，
∵直线x=4&&& 为椭圆C的准线，&
又，& ∴M为椭圆C短轴上的顶点，
∴，△F1MF2为等边三角形
且，∴椭圆C的方程为 （2）显然直线PQ不与x轴重合，当PQ与x轴垂直，即直线PQ分斜率不存在时，
∴当直线PQ斜率存在时，设它的斜率为k，
则直线PQ的方程为，代入椭圆C的方程，消去x的并整理得：
设4k2+3=t，则t&3，此时
综上，直线PQ与x轴垂直时，△PF1Q的面积最大，且最大面积为3. 设△PF1Q内切圆半径为r，则
∴时，△PF1Q内切圆面积最大，此时不存在，直线PQ与x轴垂直，∴
65、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知椭圆，通径长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.&& （1）求椭圆的方程；
&& （2）过点Q（－1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=－4于点E，点Q分 所成比为λ，点E分所成比为μ，求证λ+μ为定值，并计算出该定值.
解（1）由条件得，所以方程
&& （2）易知直线l斜率存在，令
66、(2009届高考数学快速提升成绩题型训练)已知⊙M：轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，（1）如果，求直线MQ的方程；&& （2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.
解:（1）由，可得由射影定理，得& &在Rt△MOQ中，
&&& 故，&&& 所以直线AB方程是
& （2）连接MB，MQ，设由点M，P，Q在一直线上，得
由射影定理得
即 把（*）及（**）消去a，
并注意到，可得
67、(浙江省嘉兴市)2008年北京奥运会中国跳水梦之队取得了辉煌的成绩。据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动轨迹（如图所示）是一经过坐标原点的抛物线（图中标出数字为已知条件），且在跳某个规定动作时，正常情况下运动员在空中的最
高点距水面米，入水处距池边4米，同时运动员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。（1）求抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹为（1）中的抛物线，且运动员在空中
调整好入水姿势时距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由；（3）某运动员按（1）中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？
解：（1）由已知可设抛物线方程为&&&&&&& 又抛物线过（0，0）和（2，-10）&&& （2分）
代入解得，
所以解析式为：&&& （5分）
（2）当运动员在空中距池边的水平距离为米时，即时，
&&&&&&& （7分）
所以此时运动员距水面距离为，故此次跳水会出现失误 （10分）
（3）要使得某次跳水成功，必须
&&& 解不等式得
&&& 所以运动员此时距池边的水平距离最大为米。&&& （15分）
68、(浙江省嘉兴市)
&&& 如图，F是椭圆(a&b&0)的一个焦点，A,B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为．点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M恰好与直线l1：相切．&&
（Ⅰ）求椭圆的方程：
&& （Ⅱ）过点A的直线l2与圆M交于PQ两点，且，求直线l2的方程．&&&
(1)F(-c，0)，B(0,)，∵kBF=，kBC=-，C(3c，0)
且圆M的方程为(x-c)2+y2=4c2，圆M与直线l1：x+u+3=0相切，
∴ ，解得c=1，
∴所求的椭圆方程为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
6分(2) 点A的坐标为(-2，0)，圆M的方程为(x-1)2+y2=4，&
过点A斜率不存在的直线与圆不相交，设直线l2的方程为y=k(x+2)，
∵，又，∴cos&MP，MQ&=
∴∠PMQ=120°，圆心M到直线l2的距离d=，所以，∴k=
所求直线的方程为x×2+2=0．&&&&&&&&&&&&
69、(浙江省嘉兴市)设点P(x，y)(x≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M(，0)的距离比点P到y轴的距离大．（Ⅰ）求点P的轨迹方程：
（Ⅱ）若直线l与点P的轨迹相交于A、B两点，且，点O到直线l的距离为，求直线l的方程．解：（I）用直接法或定义法求得点P轨迹方程为y2=2x&&&&&&&&&&&&&&&
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，由题设可知直线l的方程是x=，此时，A(，)，
B(，-)，不符合& 当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+b(k≠0，b≠0)，
& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&9分
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2=
∵∴y1y2=-4，&&&&&&& ∴b+2k=0&&& ①&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
又点O到直线l距离为得&&&&
②&&&&&&&&&&&&
13分由①②解得k=1,b=-2或k=-1,b=2，所以直线l的方程为y=x-2或y=-x+2&&&&&&&&&&&
70、（金丽衢十二校高三第一次联考数学试卷（理科））
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．
（1）求椭圆的方程：
（2）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，当内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标；
（3）若直线与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上．
解析：（1）设椭圆方程为
将、、代入椭圆E的方程，得
∴椭圆的方程 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （4分）
（2），设边上的高为
&&& &&& 当点在椭圆的上顶点时，最大为，所以的最大值为．
&&& &&& 设的内切圆的半径为，因为的周长为定值6．所以，
&& &&&& 所以的最大值为．所以内切圆圆心的坐标为&&&&&&&& && （10分）
（3）法一：将直线代入椭圆的方程并整理．
设直线与椭圆的交点，
由根系数的关系，得．
直线的方程为：，它与直线的交点坐标为
同理可求得直线与直线的交点坐标为．
下面证明、两点重合，即证明、两点的纵坐标相等：
因此结论成立．
综上可知．直线与直线的交点住直线上．&&&&&&&&& （16分）
法二：直线的方程为：
由直线的方程为：，即
由直线与直线的方程消去，得
∴直线与直线的交点在直线上．
71、（宁波市2008学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)）
如图，椭圆长轴端点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点,
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由.
解：（1）如图建系，设椭圆方程为,则
故椭圆方程为 …………6分
&（2）假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，则
设，∵，故， ……8分
于是设直线为 ，由得
…………………………………10分
& 由韦达定理得
解得或（舍）& 经检验符合条件………15分
72、（宁波）如图，椭圆长轴端点为,为椭圆中心，为椭圆的右焦点,
且，.(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由.
解：（1）设椭圆方程为
∴&&& 故椭圆方程为&& …………6分
&（2）假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，则
设，∵，故 &&……………8分
于是设直线为 ，由得
…………10分
& 由韦达定理得
解得或（舍）& 经检验符合条件
则直线的方程为:………15分
73、如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点. 直线交椭圆于两不同的点.
………………5分
………………10分
………………15分………………12分
74、设，点在轴上，点在 轴上，且
（1）当点在轴上运动时，求点的轨迹的方程；
（2）设是曲线上的点，且成等差数列，当的垂直平分线与轴交于点时，求点坐标.
解：（1）设，则由得为中点，所以
&&&&&&& 又得，，
所以（）.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
………………6分
（2）由（1）知为曲线的焦点，由抛物线定义知，抛物线上任一点到 的距离等于其到准线的距离，即，
根据成等差数列，得，&&&&& ………………10分
直线的斜率为，
所以中垂线方程为，&&&&&&&&&&&&&
………………12分
又中点在直线上，代入上式得，即，
所以点.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
………………15分
75、(2008学年第一学期十校高三期末联考）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足
条件：△ABC的周长为2＋2.记动点C的轨迹为曲线W.&&& (Ⅰ) 求W的方程；(Ⅱ) 经过点（0, ）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；
&&& (Ⅲ)已知点M（，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量&&
&&&& 与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解： (Ⅰ) 设C（x,
∴ ,∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点.
∴ .& ∴ .
∴ W: &&.&&& …………………………………………… 5分
(Ⅱ) 设直线l的方程为，代入椭圆方程，得.
&整理，得.&&&&&&&&
①………………………… 7分&因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
∴ 满足条件的k的取值范围为 ………… 10分
（Ⅲ）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则＝（x1+x2，y1+y2),
&由①得.&&&&&&&&&&&&&&&&
&又&&&&&&&&&&&&&&&
因为，， 所以.……………………… 12分
所以与共线等价于.
将②③代入上式，解得.
所以不存在常数k，使得向量与共线. ……………………15分
76、(2008学年第一学期十校高三期末联考）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为2＋2.记动点C的轨迹为曲线W.(Ⅰ)求W的方程；(Ⅱ)经过点（0, ）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；
（Ⅲ）已知点M（，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量 与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.解(Ⅰ) 设C（x, y）,
∴ ,∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点.
∴ .& ∴ .
∴ W: &&. …………………………………………… 5分
(Ⅱ) 设直线l的方程为，代入椭圆方程，得.
&整理，得.&&&&&&& &①………………………… 7分&因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
∴ 满足条件的k的取值范围为 ………… 10分
（Ⅲ）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则＝（x1+x2，y1+y2),
&由①得.&&&&&&&&&&&&&&&&
&又&&&&&&&&&&&&&&&
因为，， 所以.……………………… 12分
所以与共线等价于.
将②③代入上式，解得.
所以不存在常数k，使得向量与共线. ……………………15分
77、（浙江省09年高考省教研室第一次抽样测试数学试题（理））已知抛物线C上横坐标为的一点，与其焦点的距离为4.（1）求的值；（2）设动直线与抛物线C相交于A、B两点，问在直线上是否存在与的取值无关的定点M，使得被直线平分？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
解析：（1）由已知得
（2）令，设存在点满足条件，由已知得，即有；整理得；由得，即有，，因此存在点M（）满足题意.
78、（宁波市2008学年度第一学期高三期末数(文理)）如图，椭圆长轴端点为,为椭圆中心，为椭圆的右焦点,
且，.(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由.
解：（1）设椭圆方程为&&&&&&&&&&&&&&
∴&&& 故椭圆方程为&& …………6分
&（2）假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，则
设，∵，故 &&……………8分
于是设直线为 ，由得
…………10分
& 由韦达定理得
解得或（舍）& 经检验符合条件
则直线的方程为:………15分
79、(安徽省六安中学2009届高三第六次月考)在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP′，P′为垂足.& &（1）求线段PP′中点M的轨迹C的方程；
&& （2）过点Q(－2,0)作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点，且以为方向向量的直线上一动点，满足（O为坐标原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
解：（1）设M(x，y)是所求曲线上的任意一点，P（x1，y1）是方程x2 +y2
=4的圆上的任意一点，则
&&& 则有：得，
&&& 轨迹C的方程为 && （1）当直线l的斜率不存在时，与椭圆无交点.
&&& 所以设直线l的方程为y = k(x+2)，与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，N点所在直线方程为
&&& 即 …&&&
&&& 即，∴四边形OANB为平行四边形
&&& 假设存在矩形OANB，则，即，
&&& 于是有&&& 得 …
即点N在直线上.
&∴存在直线l使四边形OANB为矩形，直线l的方程为
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