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2014年高一数学课堂基础规范教案：3.1《单调性与最大(小)值》2（新人教A版必修1）
2014年高一数学课堂基础规范教案：3.1《单调性与最大(小)值》2（新人教A版必修1）
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函数的最值
思路1.某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10 000 m2的矩形新厂址,新厂址的长为x m，则宽为m，所建围墙ym，假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y最短?
学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数y=2(x+),x>0的最小值.引出本节课题：在生产和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的.那么什么是函数的最值呢?这就是我们今天学习的课题.用函数知识解决实际问题，将实际问题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数解决问题.
思路2.画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
①f(x)=-x+3；②f(x)=-x+3,x∈［-1,2］；
③f(x)=x2+2x+1;④f(x)=x2+2x+1,x∈［-2,2］.
学生回答后，教师引出课题：函数的最值.推进新课
①如图13-1-11所示，是函数y=-x2-2x、y=-2x+1,x∈［-1,+∞)、y=f(x)的图象.观察这三个图象的共同特征.
②函数图象上任意点P(x,y)的坐标与函数有什么关系？
③你是怎样理解函数图象最高点的?
④问题1中，在函数y=f(x)的图象上任取一点A(x,y)，如图13-1-12所示，设点C的坐标为(x0,y0)，谁能用数学符号解释：函数y=f(x)的图象有最高点C？
⑤在数学中，形如问题1中函数y=f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.谁能给出函数最大值的定义？
⑥函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0)，这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？
⑦函数最大值的几何意义是什么？
⑧函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)有最大值吗？为什么？
⑨点(-1,3)是不是函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的最高点？
⑩由这个问题你发现了什么值得注意的地方？讨论结果:
①函数y=-x2-2x图象有最高点A，函数y=-2x+1,x∈［-1,+∞)图象有最高点B，函数y=f(x)图象有最高点C.也就是说,这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.
②函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义:横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.
③图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.
④由于点C是函数y=f(x)图象的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意x，都有y≤y0，即f(x)≤f(x0)，也就是对函数y=f(x)的定义域内任意x，均有f(x)≤f(x0)成立.
⑤一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M.
那么，称M是函数y=f(x)的最大值.
⑥f(x)≤M反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于实数M；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M.
⑦函数图象上最高点的纵坐标.
⑧函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)没有最大值，因为函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的图象没有最高点.
⑨不是，因为该函数的定义域中没有－1.
⑩讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点.
①类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.
②类比问题9，你认为讨论函数最小值应注意什么？
活动：让学生思考函数最大值的定义，利用定义来类比定义.最高点类比最低点，符号不等号“≤”类比不等号“≥”.函数的最大值和最小值统称为函数的最值.
讨论结果：①函数最小值的定义是:
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M.
那么，称M是函数y=f(x)的最小值.
函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标.
②讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点.
例1求函数y=在区间［2，6］上的最大值和最小值.
活动：先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，才提示：图象最高点的纵坐标就是函数的最大值，图象最低点的纵坐标就是函数的最小值.根据函数的图象观察其单调性，再利用函数单调性的定义证明，最后利用函数的单调性求得最大值和最小值.利用变换法画出函数y=的图象，只取在区间［2，6］上的部分.观察可得函数的图象是上升的.
解：设2≤x1<x2≤6,则有
f(x1)-f(x2)===
∵2≤x10,(x1-1)(x2-1)>0.
∴f(x1)>f(x2),即函数y=在区间［2，6］上是减函数.
所以，当x=2时，函数y=在区间［2，6］上取得最大值f(2)=2；
当x=6时，函数y=在区间［2，6］上取得最小值f(6)= .
1.求函数y=x2-2x(x∈［-3,2］)的最大值和最小值.
答案：最大值是f(-3)=15，最小值是f(1)=-1.
2.函数f(x)=x4+2x2-1的最小值是.
分析：（换元法）转化为求二次函数的最小值.
设x2=t，y=t2+2t-1(t≥0)，
又当t≥0时，函数y=t2+2t-1是增函数，
则当t=0时，函数y=t2+2t-1(t≥0)取最小值－1.
所以函数f(x)=x4+2x2-1的最小值是－1.
答案：-13.画出函数y=－x2＋2|x|＋3的图象，指出函数的单调区间和最大值.
分析：函数的图象关于y轴对称，先画出y轴右侧的图象，再对称到y轴左侧合起来得函数的图象；借助图象，根据单调性的几何意义写出单调区间.
解：函数图象如图13-1-13所示.
由图象得，函数的图象在区间（－∞，－1）和［0，1］上是上升的，在［－1，0］和（1，＋∞）上是下降的，最高点是(±1,4)，
故函数在（－∞，－1），［0，1］上是增函数；函数在［－1，0］，（1，＋∞）上是减函数，最大值是4.
点评：本题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法.求函数的最值时，先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单调性写出最值，这种方法适用于做解答题.
单调法求函数最值：先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：①如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递增，在区间［b,c)上单调递减，则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；②如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递减，在区间［b,c)上单调递增，则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).例2“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？
活动：可以指定一位学生到黑板上书写，教师在下面巡视，并及时帮助做错的学生改错.并对学生的板书及时评价.将实际问题最终转化为求函数的最值，画出函数的图象，利用函数的图象求出最大值.“烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻”就是当t取什么值时函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18取得最大值；“这时距地面的高度是多少（精确到1 m）”就是函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的最大值；转化为求函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的最大值及此时自变量t的值.
解：画出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象，如图13-1-14所示，
显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆炸的最佳时刻，纵坐标就是这时距离地面的高度.
由二次函数的知识，对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18，我们有：
当t==1.5时，函数有最大值,
即烟花冲出去后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29m.
点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论.
注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.
1.2006山东菏泽二模，文10把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是(
解析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4-x) cm，两个三角形的面积和为S，则S=x2+(4-x)2=(x-2)2+2≥2.
当x=2时，S取最小值2m2.故选D.
答案：D2.某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚取利润最大，并求出最大利润.
分析：设未知数，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出回答.利润＝（售价－进价）×销售量.
解：设商品售价定为x元时，利润为y元，则
y=(x-8)［60-(x-10)·10］
=-10［(x-12)2-16］=-10(x-12)2+160(10＜x＜16).
当且仅当x=12时，y有最大值160元，
即售价定为12元时可获最大利润160元.思路2
例1已知函数f(x)=x+,x>0，
（1）证明当0<x0的最小值.
活动：学生思考判断函数单调性的方法，以及函数最小值的含义.（1）利用定义法证明函数的单调性；（2）应用函数的单调性得函数的最小值.
（1）解：任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则
f（x1）－f（x2）=（x1＋）－（x2+）=（x1－x2）+=，
∵x1＜x2，∴x1－x20.
当0＜x1＜x2＜1时，x1x2-1<0，
∴f（x1）－f（x2）＞0.
∴f（x1）＞f（x2），即当0<x0，
∴f（x1）－f（x2）＜0.
∴f（x1）＜f（x2）,即当x≥1时，函数f(x)是增函数.
（2）解法一：由（1）得当x=1时，函数f(x)=x+,x>0取最小值.
又f(1)=2，则函数f(x)=x+,x>0取最小值是2.
解法二：借助于计算机软件画出函数f(x)=x+,x>0的图象，如图13-1-15所示，
由图象知，当x=1时，函数f(x)=x+,x>0取最小值f(1)=2.
点评：本题主要考查函数的单调性和最值.定义法证明函数的单调性的步骤是“去比赛”；三个步骤缺一不可.
利用函数的单调性求函数的最值的步骤：①先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：①如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递增，在区间［b,c)上单调递减，则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；②如果函数y=f(x)在区间(a,b］上单调递减，在区间［b,c)上单调递增，则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).这种求函数最值的方法称为单调法.
图象法求函数的最值的步骤：画出函数的图象，依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值.
1.求函数y=（x≥0）的最大值.
解析:可证明函数y=（x≥0）是减函数，
∴函数y=（x≥0）的最大值是f(0)=3.2.求函数y=|x+1|+|x-1|的最大值和最小值.
解法一：（图象法）y＝|x+1|+|x-1|=其图象如图13-1-16所示.
由图象得，函数的最小值是2，无最大值.
解法二：（数形结合）函数的解析式y=|x+1|+|x-1|的几何意义是：y是数轴上任意一点P到±1的对应点A、B的距离的和，即y=|PA|+|PB|,如图13-1-17所示，
观察数轴,可得|PA|+|PB|≥|AB|=2，即函数有最小值2，无最大值.3.2007天利高考第一次全国大联考（江苏卷），11设0<x<1,则函数y=+的最小值是.
分析：y=,当0<x400时，f(x)=x是减函数;
又f(x)<×4003时，函数y=28-m是减函数，所以当m=3时，函数y=28-m取最大值21（万元）.
问题：求函数y=的最大值.
探究：(方法一)利用计算机软件画出函数的图象，如图13-1-18所示，
故图象最高点是(,).
则函数y=的最大值是.
(方法二)函数的定义域是R，
可以证明当x<时，函数y=是增函数；
当x≥时，函数y=是减函数.
则当x=时，函数y=取最大值,
即函数y=的最大值是.
(方法三)函数的定义域是R，
由y=,得yx2+yx+y-1=0.
∵x∈R，∴关于x的方程yx2+yx+y-1=0必有实数根，
当y=0时，关于x的方程yx2+yx+y-1=0无实数根，即y=0不属于函数的值域.
当y≠0时，则关于x的方程yx2+yx+y-1=0是一元二次方程，
则有Δ=(-y)2-4×y(y-1)≥0.∴0<y≤.
∴函数y=的最大值是.
点评：方法三称为判别式法，形如函数y=(d≠0)，当函数的定义域是R（此时e2-4df0时，函数y=kx的最大值为f(b)＝kb，最小值为f(a)＝ka；当k0）上存在最值，当k>0时，函数y=的最大值为f(a)＝，最小值为f(b)＝；当k0时，函数y=kx+b的最大值为f(n)=kn+b，最小值为f(m)＝km+b；当k0时，函数y=ax2+bx+c在定义域R上有最小值f()=，无最大值；
当a<0时，函数y=ax2+bx+c在定义域R上有最大值f()=，无最小值.
二次函数在闭区间上的最值问题是高考考查的重点和热点内容之一.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)在闭区间［p，q］上的最值可能出现以下三种情况：
(1)若＜p，则f(x)在区间［p，q］上是增函数，则f(x)min=f(p)，f(x)max=f(q).
(2)若p≤≤q，则f(x)min=f(),此时f(x)的最大值视对称轴与区间端点的远近而定：
①当p≤＜时，则f(x)max=f(q);
②当＝时，则f(x)max=f(p)＝f(q);
③当＜＜q时，则f(x)max=f(p).
(3)若≥q，则f(x)在区间［p，q］上是减函数，则f(x)min=f(q)，f(x)max=f(p).
由此可见,当∈［p,q］时,二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)在闭区间［p，q］上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f()；当［p,q］时,二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)在闭区间［p，q］上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f(p)和f(q)中的最小值.
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（2016o山东三模）某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为&&&&万元．甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）128
来源：2016o山东三模 | 【考点】简单线性规划．
某企业生产甲、乙两种产品，所需原料为同种原料，但加工后的成品不同，所以生产每吨产品所需原料的数量和生产过程中投入的生产成本也不相同，如下表所示：
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生产成本（万元）
2销售甲、乙两种产品的利润m（万元）与销售量n（吨）之间的函数关系如图所示．（1）若该企业上半年生产甲、乙两种产品共用原料180吨，投入生产成本340万元，则该企业上半年利润有多少万元？（2）若该企业下半年计划生产甲、乙两种产品共120吨，但现有原料至多200吨，生产成本至多390万元，求该企业下半年至多可获利润多少万元？并写出相应生产方案．
某企业生产甲、乙两种产品，其中2012年甲产品生产50万件，乙产品生产40万件，该厂今后十年内，甲产品生产数量每年平均比上叫年增长10%，乙产品生产数量每年比上一年增加6万件，从2012年起的十年内，甲产品生产件数构成数列{an}，乙产品生产件数构成数列{bn}．（1）分别写出数列{an}，{bn}的通项公式；（2）判断该厂2021年生产乙产品的数量是否超过甲产品生产数量．（（1.1）9≈2.358）
（2016o山东三模）某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为&&&&万元．甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）128
某民营企业生产甲、乙两种产品，根据以往经验和市场调查，甲产品的利润与投入资金成正比，乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，已知甲、乙产品分别投入资金4万元时，所获得利润（万元）情况如下：投入资金甲产品利润乙产品利润412.5该企业计划投入资金10万元生产甲、乙两种产品，那么可获得的最大利润（万元）是（　　）
A、B、C、D、
某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（　　）&&甲乙&&原料限额&A（吨）&3&212&B（吨）&12&8
A、12万元B、16万元C、17万元D、18万元
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“（2016o山东三模）某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为万元．甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）128”的学库宝（/）教师分析与解答如下所示：
【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为xy吨利润为z元然后根据题目条件建立约束条件得到目标函数画出约束条件所表示的区域然后利用平移法求出z的最大值．
【解答】：设每天生产甲乙两种产品分别为xy吨利润为z元则 3x+2y≤12x+2y≤8x≥0y≥0目标函数为&nbspz=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=-34x+z4平移直线y=-34x+z4由图象可知当直线经过点B时截距最大此时z最大解方程组 3x+2y=12x+2y=8解得 x=2y=3即B的坐标为x=2y=3∴zmax=3x+4y=6+12=18．即每天生产甲乙两种产品分别为23吨能够产生最大的利润最大的利润是18万元故答案为：18．
【考点】简单线性规划．
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知识点讲解
经过分析，习题“（2016o山东三模）某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两”主要考察你对
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
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