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中北9概率作业(全部) - 答案.doc 17页
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第一章1、一工人生产了四件产品，以表示他生产的第i件产品是正品，试用事件的运算关系表示下列事件：(1)没有一件产品是次品；(2)至少有一件产品是次品；(3)恰有一件产品是次品；(4)至少有两件产品不是次品。(5)最多有一件次品。解：（1）,(2),(3),（4）(5)2、设A、B为两个事件且P(A)=0.6，P(B)=0.7.问(1)在什么条件下P(AB)取最大值，最大值是多少？(2)在什么条件下P(AB)取最小值，最小值是多少？解：
当时，当时，，所以（1）当时，最大，且，（2）当时，最小，且3、设A1、A2为两个事件，证明(1)P(A1A2)=1-P()-P()+P()(2)1-P()-P()(P(A1A2)(P(A1(A2)(P(A1)+P(A2)证明：（1）
(2)4、设A、B为两个事件，P(B)=0.5，P(A-B)=0.3。求P().解：5、A、B为两个事件且P(A)=1/2，P(B)=1/2，证明P(AB)=P().。证明：6、盒中有20个产品中，其中5个次品，15个正品。现任取5个，求取到的5个产品中(1)恰好有2个次品的概率；(2)至少有2个次品的概率。解：设,（1）， （2）。7、从5双不同的鞋中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只能配成一双的概率。解：设法1：法2：8、将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率。解：记为杯子中球的最大个数为i的事件，则 ，，10个球中有8只红球，2只白球。现将这10个球平均分成两组，求(1)每组恰有一只白球；(2)两只白球在同一组的概率。解：设A：每组恰有一只白球9、已知求解:10、设A，B是两个事件，，求解：.11、设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球。今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？解：设事件A=“从甲袋放入乙袋的是白球”，事件B=“从乙袋中取出两白球”。已知P(B)=P()P()+P()=12、袋中装有5枚正品硬币、3枚次品硬币(次品硬币两面均印有国徽)。从袋中任取一枚硬币，将它投掷3次，已知每次均出现国徽，问这枚硬币是正品硬币的概率是多少？解：设事件A=“所取硬币为正品”，事件B=“所取硬币掷3次均出现国徽”。所求概率为P(A|B)=P(A)=，P(B|A)=(1/2)3，P()=，P()=1。所以P(A|B)=。第二章作业射手对目标独立射击5发,单发命中概率为0.6,求(1)恰好命中两发的概率;(2)至多命中3发的概率;(3)至少命中一发的概率.解：设X—射击5发的命中发数,则，所求概率为：(1)(2)(3)从某大学到火车站途中有六个路口，假设在各路口遇到红灯的事件相互独立，且概率都是，（1）以X表示途中遇到的红灯次数，求X的分布律，（2）以Y表示汽车行驶途中在停止前所通过的路口数，求Y的分布律。（3）求从该大学到火车站途中至少遇到一次红灯的概率。.解：（1）（2），，…,(3)3.设随机变量X的概率密度为，（1）确定常数C，并求X的分布函数；解：（1）由密度函数的归一性，则故X分布函数当时，当时，当时，当时，故4.已知Ｘ的概率密度为,求：(1)求常数Ａ;(2)(3)求F(x)解：(1)由，即。（2）（3）当时，当时，当时，
故5.已知X的概率密度为求Y=X2+1的分布函数和概率密度.解：当时，当时当时，，6.设随机变量X服从(0,1)上的均匀分布，求（1）的概率密度。（2）的概率密度。解：，（1）关于严单，反函数，（2）关于严单，反函数，第三章作业1、设X与Y的联合密度函数为(1)求参数A，（2）求,(3)求分布函数在两点的值.解：（1）由归一性：，得：. （2）. （3）2、设随机向量（X,Y）具有密度函数，,求c,(2)求,(3)解：（1）由归一性：,得：. （2） (3)3、设随机变量（X,Y）具有下列概率密度，(2)(3)求其中的未知参数c,并求关于X和关于Y的边缘概率密度。判断X与Y的独立性解:（1）
4、随机变量X与Y的联合概率密度为,分别求(1)(2)(3)的概率密度.解：（1）当时（2）当时（3）当时5、设随机变量X与Y独立，且X服从(0,1)上的均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，试求：Z=X+Y的概率密度.解：（1）当时，当时，当时，第四章作业设二维随机变量的概率密度函数为求解：2、设随机变量具有密度函数：求解：3、设二元随机变量有密度函数：求相关系数解：，，，4、（１）设独立服从（０，１）均匀分布，求：（２）已知随机变量的方差分别为25和36，相关系数为0.4，求：与的方差及协方差。解：（1）（2）第五章作业某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20％，以X表示在随意抽
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中国科技大学概率论与数理统计习题集
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目录；符号表；第一章事件的概率；第二章随机变量及其分布；第三章随机变量的数字特征；第四章参数估计；第五章假设检验；；符号表；IA(x)；B(n,p)；P(λ)；U(a,b)；N(μ,σ2)；Exp(λ)集合A的示性函数,IA(x)=1,当；f(x)=λe?λxI(0&x&∞)；第一章；1.写出下列随机试验的样本空间:事件的概率
第一章事件的概率
第二章随机变量及其分布
第三章随机变量的数字特征
第四章参数估计
第五章假设检验
Exp(λ)集合A的示性函数,IA(x)=1,当x∈A;IA(x)=0,当x∈/A二项分布,0&p&1参数为λ的泊松分布区间(a,b)(?∞&a&b&∞)上的均匀分布,概率密度函数f(x)=1I(a&x&b)均值为μ,方差为σ2的正态分布指数分布,均值为1/λ.概率密度函数为
f(x)=λe?λxI(0&x&∞)
1.写出下列随机试验的样本空间:事件的概率
(1)随机抽查10户居民,记录家中有计算机的户数.
(2)统计某本书中印刷错误的字数.
(3)同时掷n枚硬币,观察国徽向上的个数.
(4)以原点为圆心的单位圆内随机抽取一点.
2.设有A,B,C三个事件,试用集合运算表示下列事件.
(1)只有B发生.(2)A,B发生,但C不发生.
(4)至少两个事件发生.
(6)至多一个事件发生.(3)至少一个事件发生.(5)仅有两个事件发生.
(7)至多两个事件发生.
3.设X为随机变量,其样本空间[0,2],记事件A={1/2&x≤1},B={1/4&x≤3/2},写出下列各事件(1)(2)∪B(3)(4).
4.证明:若A,B为两事件,则
(1)A+B=A+(B?A),右边两事件互斥.
(2)A+B=(A?B)+(B?A)+AB,右边三事件互斥.
5.试把任意n个事件A1,???,An之和表示为n个互斥事件之和.
6.根据英国某地区居民调查的材料知:父子都是黑眼睛(AB)的人数占调查人数的比例
ˉ)的比例为7.9%,父亲是浅色眼睛而儿为5%,父亲是黑眼睛但儿子为浅色眼睛(AB
ˉ)的比例为8.9%,父子都是浅色眼睛(AˉBˉ)的比例为79.2%.试问这子为黑眼睛(AB
一调查材料是否有误?
7.一种彩票游戏规则如下:每张彩票可以从1-33中不重复的任选7个数字,开奖时由摇奖机在1-33中开出7个基本号和1个特别号(均不重复).彩票号码如果与基本
号全部对上(不计次序),为一等奖;对上6个基本号和特别号,为二等奖;对上6个基本号,为三等奖;对上5个基本号和特别号,为四等奖.试分别求一、二、三、四等奖的获奖概率.
8.考虑上题彩票游戏的一个变种:开奖方式不变,每张彩票只填两个不重复的号码,如果这两个号码出现在基本号中即为中奖.问此时中奖的概率是多少?如果每张彩票可以填三个不同的号码,中奖的概率又是多少?
9.一间宿舍内住有6位同学,其中至少有2个日在同一个月份的概率.
10.现投掷三枚均匀骰子,试求恰好有两枚出现相同点数的概率.
11.盒子中放有10个分别标有号码1,2,???,10的小球,从中随机抽取3个球.试对有放
回和无放回两种抽取方式分别求
(1)三个球的号码都不大于7的概率.
(2)球上的最大号码为7的概率.
12.?设有n个人随机地坐到礼堂第一排的N个座位上,试求下列事件的概率:
(1)任何人都没有邻座.
(2)每人恰有一个邻座.
(3)关于中央对称的两个座位至少有一个空着.
13.考虑一元二次方程x2+Bx+C=0,其中B,C分别是将一枚均匀骰子连掷两次先后
出现的点数.求该方程有实根的概率和有重根的概率.
14.?抛掷一枚均匀硬币2n+1次,试求正面出现的次数多于反面的概率.
15.甲投掷n+1枚均匀硬币,乙投掷n枚均匀硬币.试求甲的正面比乙的正面多这一事
16.?设两个赌徒的赌技相同,每赌一局都可分出胜负.现在两人各出500元赌资,事先约
定谁先赢得一定的局数就获得全部赌本.但赌博在中途被打断了,此时第一个赌徒还需赢得m局才能获胜,第二个赌徒还需赢得n局才能获胜,问此时应如何划分赌本才比较合理.
17.父亲为了鼓励儿子打网球,宣称如果儿子能够赢得与父亲和教练的三场比赛中的连续
两场,就可获得一笔奖金.儿子可以选择比赛的顺序为:父亲C教练C父亲,或者教练C父亲C教练.已知教练比父亲打得好.为了增加获得奖金的机会,儿子应该选择哪个顺序?
18.甲乙两选手进行乒乓球单打比赛,已知在每局中甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4.
比赛可采用三局两胜制或五局三胜制,问哪一种比赛制度对甲更有利?
19.一栋20层楼中的一架电梯在底层(第一层)上来8位乘客.电梯在每一层都停,设每
位乘客在每层离开是等可能的,求没有两位乘客在同一层离开的概率.
20.某路公共汽车共有11个停车站,由始发站开车时车上共有8名乘客.假设每人在各站
(始发站除外)下车的概率相同.试求下列各事件的概率:
(1)8人在不同的车站下车.
(2)8人在同一车站下车.
(3)8人中恰有3人在终点站下车.
21.在一种双骰子博弈中,玩家投两枚骰子,如果其和是7或11,则玩家赢;如果其和是2,
3或者12,玩家输;若是其他结果时就继续玩,直到玩家输或者赢为止.计算玩家赢的概率.
22.掷三枚硬币,已知其中有一枚出现了正面,求至少出现一枚反面的概率.
23.掷三颗骰子,已知所得三个数都不相同,求含有1点的概率.
24.投掷两枚骰子,问至少有一个是6的概率是多少?若这两个面不一样,求至少有一个
是6的概率.
25.在某个社区,60%的家庭拥有汽车,30%的家庭拥有房产,而20%的家庭既有汽车又
有房产,随机选取一个家庭,求此家庭或有汽车或有房产但不是两者都有的概率.
26.甲和乙两人同时独立地射击同一目标.假设甲射中目标的概率是0.7,乙射中目标的概
率是0.4.已知恰有一个子弹射中目标,求它是甲射中的概率.
27.对于三个事件A,B,C,若
P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)
ˉ条件独立,且成立,则称A与B关于C条件独立.若已知A与B关于C与C
ˉ)=0.2,P(B|Cˉ)=0.1,试求P(A),P(C)=0.5,P(A|C)=P(B|C)=0.9,P(A|C
P(B),P(AB)并证明A与B不独立.
28.证明P(A|B)=P(A|)成立的充分必要条件是P(AB)=P(A)P(B).试对此结论给
出直观的解释.
29.如果B的发生使得A更可能发生,那么A的发生是否使得B更可能发生?
330.求下列各系统能正常工作的概率,其中框图中的；的都是同一种元件,只是装配在不同的位置上,A,B；(1)AB；CC(2)(3)A1；B1；C1A2B2C2；A(4)；D1B；CD2；(5)?；A1；A2B1B2；31.有4个一年级男生,6个一年级女生,6个二年；一个学生时性别与班级独立,在这个班还需要出现多少；32.设敌机俯冲时被步枪击落的概率是0.008
30.求下列各系统能正常工作的概率,其中框图中的字母代表元件,字母相同但下标不同
的都是同一种元件,只是装配在不同的位置上,A,B,C,D类元件能正常工作的概率分别为pA,pB,pC,pD.
CC(2)(3)A1
31.有4个一年级男生,6个一年级女生,6个二年级男生共上一门课,为了使在随机选取
一个学生时性别与班级独立,在这个班还需要出现多少个二年级女生?
32.设敌机俯冲时被步枪击落的概率是0.008,求当25只步枪同时开火时,击落敌机的概
33.对同一目标进行三次独立射击,第一、二、三次射击的命中率分别为0.5,0.6和0.8,
(1)在这三次射击中,恰好有一次射中的概率.
(2)在这三次射击中,至少射中一次的概率.
34.设事件A1,???,An相互独立,记P(Ai)=pi&0,i=1,2,???n,假设
(1)这些事件至少有一件不发生的概率.
(2)这些事件均不发生的概率.
(3)这些事件恰好发生一件的概率.
35.假设某厂家生产的每台仪器以概率0.7可以直接出厂,以概率0.3需进一步调试.经调
试后的仪器以概率0.8可以出厂,以概率0.2被定为不合格品不能出厂.假设该厂生产了n(n&2)台仪器(各台生产过程相互独立).试求下列事件的概率:
(1)全部能出厂.
(2)恰有两件不能出厂.
(3)至少有两件不能出厂.
36.要验收一批乐器,共100件,从中随机地抽取3件进行测试(设3件乐器的测试相互独
立),如果3件中任意一件音色不纯,就拒绝接收这批乐器.设一件音色不纯的乐器经测试查出的概率为0.95,而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01.如果这100件乐器中有4件是音色不纯的.问这批乐器被接收的概率是多少?
37.有甲、乙两只口袋,甲袋中有5只白球2只黑球,乙袋中有4只白球5只黑球.先从甲
袋中任取两球放入乙袋,然后再从乙袋中任取一球,求此球是白球的概率.
38.某工厂的第一、二、三号车间生产同一种产品,产量各占总产量的1/2,1/3,1/6,次品
率分别为1%,1%和2%.现从该厂产品中随机抽取一件产品
(1)求该产品是次品的概率.
(2)若发现该产品是次品,求它是一号车间生产的概率.
39.考卷中的某选择题有四个答案,其中只有一个是正确的.某考生可能知道哪个是正确
的,也可能是乱猜一个.假设此考生知道正确答案的概率为p,而且在不知答案的情况时是随机地选择一个答案.如果已知他答对了这道题,问他确实知道正确答案的概率是多少?
40.设有来自三个地区的考生报名表共50份,三个地区分别有10,15和25份,其中女生
的报名表分别为3份,7份和5份,现随机地选一个地区,从该地区的报名表中先后抽出2份.
5??ni=1pi=1.求
(1)求先抽到的1份是女生报名表的概率.
(2)已知后抽到的1份是男生报名表,求先抽到的1份是女生报名表的概率.
41.装有m(m&3)个白球和n个黑球的罐子中失去一球,但不知是什么颜色的球.为
猜测它是什么颜色,随机地从罐中摸出两个球,结果都得到的是白球,试求失去的球是白球的概率.
42.假设患乙肝的人通过检查能被诊断出来的概率为0.98,而正常人经检查被误诊为有乙
肝的概率为0.05,设某城市乙肝患病率为0.05.现从该城市居民中随机抽出一人进行检查,如果其被诊断为乙肝患者,求该人确实患有乙肝的概率.
43.盒中有三枚硬币,一枚是双正面的硬币,另外两枚是正反面硬币(其中一枚是均匀的
硬币,一枚是正面出现概率为75%的不均匀硬币).当从这三枚硬币中随机选取一枚抛掷时,它出现正面.问它是双正面硬币的概率是多少?
44.假定某种病菌在群体中的带菌率为10%.在检测时,带菌者和不带菌者被检测出阳性
的概率分别为0.95和0.01.
(a)现有某人被测出呈阳性反应,该人确为带菌者的概率是多少?
(b)?该人又独立地做了一次检测,检测结果依然是阳性,问在两次检测均呈阳性的情况下,该人确为带菌者的概率是多少?
计算机模拟题
45.从区间[0,1]中任取两个数,由理论计算知此两数的积小于1的概率为1+1ln2,
试利用此结论与概率的统计定义,通过计算机模拟对ln2进行估计,比较模拟次数n=000,100000时与实际值的误差,从这个比较中你是否可以在误差与模拟次数之间建立一个关系?
46.(Bu?on试验)平面上划有间隔为d的等距离平行线,向平面上任意投一个长度为
l(l&d)的针,由理论计算知针与平行线相交的概率为
计定义,通过计算机模拟对π进行估计.2l,试利用此结论与概率的统
第二章随机变量及其分布
1.一个罐子装有m个白球和n个黑球,无放回地抽取r个球(r≤m+n),记抽到的白球的个数为X,试求X的概率分布.
2.一台设备由三大部件构成,假设各部件的状态相互独立,在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为0.10,0.20,0.30.令X表示同时需要调整的部件数.试求X的分布律和至少有一个部件需要调整的概率.
3.袋子中有a个白球,b个黑球.现不放回地每次从袋子中取出一球,直到取出黑球为止,设此时已经取出了ξ个白球,求ξ的概率分布.
4.将一颗骰子连掷两次,以ξ表示掷出的最小数,求ξ的概率分布.
5.一射手的命中率为p,现其不断地向一目标射击,假设各次射击相互独立.
(1)以ξ表示第一次命中目标所需的次数,求ξ的概率分布.
(2)以ξr表示第r次命中目标所需的次数,求ξr的概率分布.
(3)设共射击了n次,且第n次射击是命中的,以η表示这n次射击中命中的次数,求η的概率分布.
6.同时掷两枚均匀骰子直到至少出现一个6点为止,求所掷次数ξ的概率分布.
7.某旅馆服务部统计旅客住宿的天数X及其概率分布如下:X
试计算X的分布函数,P(X≤3),P(X&1),P(1&X≤4)和P(X=2).
8.试确定下列p(x)能否成为概率分布
1(1)p(x)=,x=0,1,2,3.3
x?5(2)p(x)=,x=0,5,10,15.10
1(3)p(x)=,x=1,2,???.x(x+1)??x+1??
(4)p(x)=f(u)du,x=0,1,???,其中
x0∞f(u)du=1.
9.设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数.为使F(x)=aF1(x)+bF2(x)+c是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中可取
243(A)a=,b=?,c=.(B)a=1,b=1,c=?1.555
13221(C)a=?,b=,c=0.(D)a=,b=,c=.22333
10.假定X服从参数为n和p的二项分布,即X～B(n,p).在下述情形证明当k取值从
0到n时,P(X=k)先是单调递增,然后单调递减,且最大值点k满足:
(1)在(n+1)p是整数的情形,k等于(n+1)p?1或者(n+1)p.
(2)在(n+1)p是非整数的情形,k满足(n+1)p?1&k&(n+1)p.
511.设X～B(2,p),Y～B(3,p),若P(X≥1)=.试求P(Y≥1).9
12.设昆虫产卵个数服从参数为λ的泊松分布,而每个卵孵化成幼虫的概率为p,试求一
个昆虫产生m个后代的概率.
13.假定X服从参数λ的泊松分布,证明当i增加时,P(X=i)先是单调递增,然后单调
递减,当i取不超过λ的最大整数时得到其最大值.
14.有一繁忙的车站,每天有大量的汽车通过,设在一天的某段时间内汽车事故发生率为
0.001.若某天的该段时间内有1000辆汽车通过,问发生事故的次数不少于2的概率是多少?
15.航空公司知道预定航班的人有5%的人最终不来搭乘航班,因此他们的政策是对于一
个能容纳50个顾客的航班预售52张票,问每个出现的旅客都有位置的概率是多少?16.?设ξ为取非负整数值的随机变量,试证明它服从几何分布的充分必要条件是,对任
意非负整数m和n有
P(ξ=m+n|ξ≥n)=P(ξ=m).
817.试确定下列各式中的常数c,使这些函数成为概；(1)f(x)=ce?|x|,?∞&x&l；??；(2)f(x)=；c|x?a|,0,??；(3)；f(x)=；0,??；(4)f(x)=；cx2e?x0,；18.设随机变量X的密度函数为；??；f(x)=；c(4x?2x2),0,；(1)求常数c.；(2)求P(1/2&X&3/2).；19
17.试确定下列各式中的常数c,使这些函数成为概率密度函数:
(1)f(x)=ce?|x|,?∞&x&∞.
c|x?a|,0,??
18.设随机变量X的密度函数为
c(4x?2x2),0,
(1)求常数c.
(2)求P(1/2&X&3/2).
19.设随机变量X只在(0,1)中取值,其累积分布函数F(x)满足:对任意0&a&b&1,
F(b)?F(a)仅与b?a有关.试证明X服从(0,1)上的均匀分布.20.设随机变量ξ服从参数为1的指数分布,求方程
4x2+4ξx+ξ+2=0
有实根的概率.
21.(1)设随机变量ξ～N(0,1),试求P(ξ&2),P(|ξ|≤2).
(2)设随机变量ξ～N(μ,σ2),试求P(|ξ?μ|≤σ),P(|ξ?μ|≤2σ).
(3)设随机变量ξ～N(3,4),试求P(2&ξ≤5),P(ξ&3),并确定常数c使得P(|ξ?c|&c)=0.01.
22.设随机变量ξ～N(60,9),试求分点x1,x2,x3,使得ξ落在(?∞,x1),(x1,x2),(x2,x3),
(x3,∞)内的概率之比为3:2:2:3.
0&x&2其他.
b≤x≤d其他.
,|x|&1其他.
,x&0,α&0x≤0.
设ξ为取正值的连续型随机变量,试证明它服从指数分布的充分必要条件是:对任
P(ξ≤t+x|ξ&t)=P(ξ≤x).
意t&0和x&0,有
若分布函数F(x)的密度函数f(x)满足微分方程:
(x?a)f(x)df=dxb0+b1x+b2x2
则称F(x)为Pearson型分布.证明正态分布及Γ分布均为Pearson型分布.25.设随机变量ξ的概率分布律为
试求随机变量η=ξ2的概率分布律.
26.设圆的直径服从区间(0,1)上的均匀分布,求圆的面积的密度函数.27.设随机变量X服从(0,1)上的均匀分布.
(1)求Y=eX的概率密度.
(2)求Y=?2lnX的概率密度函数.28.设随机变量X的概率密度函数为
,0&x&ππf(x)=
求Y=sinX的概率密度函数.
29.设随机变量ξ服从参数为2的指数分布,试求η=1?e?2ξ的概率密度函数.30.设随机变量ξ～N(μ,σ2),试求η=eξ的概率密度函数.
31.在电炉上安装了4个温控器,其显示温度的误差是随机变量.在使用过程中,只要有
两个温控器显示的温度不低于临界温度t0,电炉就断电.以E表示事件“电炉断电”,而T(1)≤T(2)≤T(3)≤T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值,则事件E等于(选择其一)(A){T(1)≥t0}.(C){T(3)≥t0}.
(B){T(2)≥t0}.(D){T(4)≥t0}.
32.设P(X≥0,Y≥0)=,P(X≥0)=P(Y≥0)=.求Pmax(X,Y)≥0.
8233.在一个袋中装有n个球,其中有n1个红球和n2个白球,且n1+n2≤n,现从中任意
取出r个球(r≤min{n1,n2}),设取出的红球数为X,取出的白球数为Y,试求(X,Y)的联合分布及其边际分布.
34.设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)的联合分布及关于X
和关于Y的边缘分布中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处.
```YX`y1y2
P{X=xi}=pi?
P{Y=yj}=p?j
35.设随机向量(X,Y,Z)的概率密度函数为
(1?sinxsinysinz),0≤x,y,z≤2π8πf(x,y,z)=
证明X,Y,Z两两独立但不相互独立.36.设随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为
ke?(3x+4y),0,
(1)求常数k.
(2)求(X,Y)的联合分布函数F(x,y).(3)求P(0&X≤1,0&Y≤2).37.设随机变量X,Y的联合概率密度函数为:
0&x&1,0&y&1其他.
x&0,y&0其他.
试求:(1)X与Y的边缘概率密度函数.(2)X=0.4时Y的条件概率密度函数.
(3)P(ξ&η),P(ξ=η),及P(0&ξ&0.5,0.25&η&1).
38.设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为
x2≤y≤1其他.
求条件概率P(Y≥0.75|X=0.5).
39.设随机变量X服从(1,2)上的均匀分布,在X=x的条件下,随机变量Y的条件分
布是参数为x的指数分布,证明:XY服从参数为1的指数分布.
40.从一副扑克牌(共52张)中任取13张牌,以ξ记其中的黑桃张数,η记其中的红桃张
(1)(ξ,η)的联合概率分布函数.
(2)已知取出的牌中只有1张黑桃,求此时η的条件概率分布.
41.设某班车起点站上客人数X服从参数为λ(λ&0)的泊松分布,每位乘客在中途下车
的概率为p(0&p&1),且中途下车与否相互独立.以Y表示中途下车的人数,求(1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m个人下车的概率.(2)二维随机变量(X,Y)的概率分布.
42.设随机变量Y服从参数为λ=1的指数分布,定义随机变量Xk,k=1,2如下
求X1与X2的联合概率分布函数.43.设ξ,η各有概率分布律
0.250.50.250.50.5
已知P(ξη=0)=1.试求:(1)(ξ,η)的联合概率函数.(2)(ξ+η,ξ?η)的联合概率函数.(3)Z=max(ξ,η)的概率分布函数.
44.设二元离散型随机变量(X,Y)的联合分布为:
0.150.050.200.110.070.220.070.040.09
(1)求ξ=max(X,Y)的概率分布.(2)求η=min(X,Y)的概率分布.(3)求(ξ,η)的联合概率分布.
45.设随机变量ξ和η的联合分布是正方形G={(x,y):1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀
分布,试求随机变量ζ=|ξ?η|的概率密度f(z).46.设X与Y的联合密度函数为
e?(x+y),0,
x&0,y&0其他.
试求U=(X+Y)/2和V=Y?X概率密度函数.47.设(X,Y)的概率密度函数为
+y)e?(x+y),x&0,y&0
(1)X与Y是否独立?
(2)求Z=X+Y的概率密度函数.48.
设随机变量X的概率密度函数为f(x)=3(x?1)2I(1,2)(x),其中
I(1,2)(x)=
1&x&2其他.
随机变量Y的概率函数是
P(Y=?1)=1/6,P(Y=0)=1/3,P(Y=1)=1/2,
13并且X与Y独立.设Z=X+Y,问Z是否为连续随机；49.设随机变量X与Y相互独立,试在以下情况下求；(1)X～U(0,1),Y～U(0,1).(2)；50.设随机变量X与Y相互独立,都服从(θ?1/；的分布与θ无关.51.；设随机变量X1,???,Xn相互独立,且Xi～E；试证明；(1)X(1)～Exp(λ1+???+λn).(；52.设随机变量X与Y相互独
并且X与Y独立.设Z=X+Y,问Z是否为连续随机变量?若是,请给出概率密度函数;若否,请说明理由.
49.设随机变量X与Y相互独立,试在以下情况下求Z=X+Y的密度函数:
(1)X～U(0,1),Y～U(0,1).(2)X～U(0,1),Y～Exp(1).
50.设随机变量X与Y相互独立,都服从(θ?1/2,θ+1/2)上的均匀分布,试证X?Y
的分布与θ无关.51.
设随机变量X1,???,Xn相互独立,且Xi～Exp(λi),记X(1)=min(X1,???,Xn).
(1)X(1)～Exp(λ1+???+λn).(2)P(Xi=X(1))=λi/(λ1+???+λn).
52.设随机变量X与Y相互独立,且均服从参数为1的指数分布,
(1)求U=X+Y与V=X/(X+Y)的联合概率密度函数.(2)以上的U和V独立吗?
53.假设随机变量X和Y的联合概率密度函数为
c(2x+y),0,
求(1)常数c.
(2)X和Y的边缘密度函数.(3)P(3&X&4,Y&2).(4)P(X+Y&4).(5)X和Y是否独立?
54.设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本,令T=a(X1?2X2)2+
b(3X3?4X4)2.试求a,b使统计量T服从χ2分布.55.设X1,X2,???,X9为独立同分布的正态随机变量,记
Y1=(X1+???+X6),
Y2=(X7+X8+X9),
S=(Xi?Y2)2.
2&x&6,0&y&5其他.
56.设X1,X2,???,X15是独立同分布的随机变量,服从正态分布N(0,22).试求
2+???+X2X110
Y=+???+X)2(X1115
的概率分布.
第三章随机变量的数字特征
1.下面列出了三个随机变量ξ1,ξ2,ξ3的概率分布
1/41/41/81/81/21/2
试分别求ξ1,ξ2,ξ3的数学期望.
2.设离散型随机变量X的概率函数为
????k21PX=(?1)k=,
k2问X是否有数学期望?
3.用天平称某种物品的重量(砝码仅容许放在一个秤盘中),物品的重量为1克、2克、???、10克的概率是等可能的.现有三组砝码(单位:克):(A)1,2,2,5,10.(B)1,2,3,4,10.(C)1,1,2,5,10.称时只可以使用一组砝码.试计算使用哪一组砝码时所需的平均砝码数最少.4.
k=1,2,???,
设ξ为只取非负整数值的随机变量,证明:
5.分别求服从下列概率密度函数之随机变量的数学期望:
,?∞&x&∞,其中参数a&0,?∞&b&∞.(1)f(x)=exp?
2aa??x,0&x≤1;???
(2)f(x)=2?x,1&x&2;
????0,其他.
cos2x,π(3)f(x)=
π;2π|x|≥.
6.有N个人,每个人都将自己的帽子放入同一个箱子中,经充分混合后,每人再随机从中选取一顶.求选中自己帽子的人数的期望.
7.一共有300个白球和100个黑球,现在将这400个球随机分到200个盒子中,每个盒子放两个球.记X为恰有一个黑球与白球的盒子数目,求EX.8.设ξ服从参数为λ的指数分布,试计算其中位数m以及E|ξ?m|.9.
设ξ有概率密度函数f(x),令h(a)=E|ξ?a|.证明当a等于ξ的中位数m时,h(a)
达到最小(注:这是中位数的一个重要性质).
10.某路公共汽车在相距100公里的甲乙两城之间行驶.如果公共汽车出故障地点到甲城
的距离服从(0,100)上的均匀分布,现在甲城,乙城和甲乙两城间路线的中点各有一个修车站.有人建议将这三个修车站分别改设在距离甲城25公里,50公里及75公里处将更有效,你赞成这一建议吗?为什么?
11.已知分子的运动速度V服从马克斯威尔分布,其概率密度为
?2x2??4xexp(?),x&0aaf(x)=??0,x≤0,
其中a&0是常数,试求分子的平均速度和平均动能(分子的质量为m).
12.假设国际市场每年对我国某种出口产品的需求量X(单位:吨)服从区间()
上的均匀分布.设每售出商品1吨,可为国家挣得外汇3万元,但是若销售不出而囤积在仓库中,则每吨需花保养费1万元.问要组织多少货源,才能使国家受益最大?13.某工厂生产的钢珠直径D(单位:厘米)服从[9.9,10.1]上的均匀分布,试求钢珠的表
面积S和钢珠重量W的数学期望(设钢的比重为7.8g/cm3).14.
设随机变量ξ具有概率密度函数:
求E[min(|ξ|,1)].
15.试求第1题中随机变量ξ1,ξ2,ξ3的方差.
16.试求第5题中各随机变量的方差.
17.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0&p&1),各产品合格与否相互独立,
当出现一个不合格产品时即停机检修.设第一次停机时已生产了X个产品.求X的数学期望和方差.
18.一商店经销某种商品,每周进货的数量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独
立的随机变量,且都服从区间[10,20]上的均匀分布.商店每售出一件商品可得利润1000元.若需求量超过进货量,商店可从其他商店调剂供应,这时每件商品获利润为500元.试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.19.设二元离散型随机变量(X,Y)的联合分布为:
00.010.0200.01
20.120.010.10.02
30.020.0500.01
400.020.30.03
50.010.020.050.1
(1)求X,Y的数学期望与方差.
(2)求X+Y,X?Y,XY的数学期望与方差.(3)求X与Y之间的协方差与相关系数.(4)求E(X2|Y=1).
20.设随机变量ξ与η独立,对任何给定的非负整数k≤m,在下列各情形下分别求
P(ξ=k|ξ+η=m)及E(ξ|ξ+η=m).(1)ξ与η服从泊松分布,参数分别为λ与μ.(2)ξ与η都服从二项分布B(n,p).(3)ξ与η都服从参数为p的几何分布.21.
设随机变量ξ与η独立,且服从相同的分布.试在以下各情形求E(ξ|ξ+η=z).
(1)ξ为离散型随机变量.(2)ξ为连续型随机变量.
18试在α=0.05水平下检验假设H0:红球的个数为；30.为检验一颗骰子是否均匀,将它独立的抛掷12；18,24,16,20,24.试在显著性水平0.；31.有甲、乙、丙三个工厂生产同一种产品.产品分；低).为考察各工厂产品质量是否一致,从这三个工厂；58；40；11乙3526123；试在显著性水平0.05下检验假设:各工厂产品质量；32.检
试在α=0.05水平下检验假设H0:红球的个数为5.
30.为检验一颗骰子是否均匀,将它独立的抛掷120次,得到出现各面的次数分别为18,
18,24,16,20,24.试在显著性水平0.05下判断这颗骰子是否均匀.
31.有甲、乙、丙三个工厂生产同一种产品.产品分1,2,3三个等级(分别代表高、中、
低).为考察各工厂产品质量是否一致,从这三个工厂中分别随机抽出产品若干件,每件鉴定其质量等级,结果如下:工厂PP等级PP甲
11乙3526123
试在显著性水平0.05下检验假设:各工厂产品质量一致.若不一致,试问哪个厂产品质量较优?哪个厂的产品质量较劣?并请说明理由.
32.检查了一本书的100页,记录各页中印刷错误的个数,其结果为
错误个数fi
0含fi个错误的页数
试在显著性水平0.05下检验假设H0:每页上的印刷错误个数服从泊松分布.
33.下表给出了从某大学一年级学生中随机抽取的200个学生的某次数学考试成绩:分数
学生数[20,30](30,40](40,50](50,60](60,70](70,80](80,90](90,100]06试在显著性水平0.05下检验假设成绩是否服从正态总体N(60,152).
3422.设二元离散型随机变量(ξ,η)的联；合分布如右表,试验证ξ与η不相关,且ξ与η也不独；PPPPξ?11/81/81/8；01/801/8；11/81/81/8；?101；23.在长为a的线段上任取两点A和B,试求线段A；??；f(x,y)=；1,0,；|y|≤x,0≤x≤1其他.；求:(1)fX(x),fY(y);(2)EX,E；25.设两个随机变量X
22.设二元离散型随机变量(ξ,η)的联
合分布如右表,试验证ξ与η不相关,且ξ与η也不独立.
PPPPξ?11/81/81/8
11/81/81/8
23.在长为a的线段上任取两点A和B,试求线段AB长度的数学期望.24.设二元随机变量(X,Y)的概率密度函数为
|y|≤x,0≤x≤1其他.
求:(1)fX(x),fY(y);(2)EX,EY,Var(X),Var(Y);(3)Cov(X,Y).
25.设两个随机变量X、Y相互独立,且都服从均值为0,方差为0.5的正态分布,求随机
变量|X?Y|的方差.
26.掷两颗均匀骰子,以ξ表示第一颗骰子掷出的点数,η表示两颗骰子所掷出的点数中
(1)求ξ,η的数学期望与方差.(2)求Cov(ξ,η).
27.设随机变量ξ,η相互独立,具有共同分布N(μ,σ2).设α,β为两个常数.
(1)求Cov(αξ+βη,αξ?βη).
(2)当α,β取何值时,αξ+βη与αξ?βη相互独立.
28.投资组合是将总资本按一定比例分配于各种投资,以分散和降低风险,所谓风险通常
以方差来度量.现假设某两种投资的回报率X,Y都是随机变量,投资的风险(即方差)为Var(X)=Var(Y)=σ2.假设ρXY=?0.5,即两种投资呈负相关.记投资组合中两种投资的比例分别为π和1?π,则投资组合的回报率为Z=πX+(1?π)Y.(1)试证明该投资组合Z的风险小于将所有资本投资于其中一个的风险.(2)求使得投资组合风险最小的分配比例π.
2,Var(Y)=σ2.证明当a2=σ2/σ229.设(X,Y)服从二维正态分布,且有Var(X)=σ1212
时随机变量W=X?aY与V=X+aY相互独立.30.设二元随机向量(ξ,η)的概率密度为
[?1(x,y)+?2(x,y)]219
2,σ2,ρ)与N(μ,μ,σ2,σ2,?ρ)其中?1(x,y)、?2(x,y)分别是二元正态N(μ1,μ2,σ112122
的概率密度函数,其中0&ρ&1(1)试分别计算ξ,η的边缘分布.(2)试计算ξ,η之间的相关系数.(3)试确定ξ,η之间是否独立?
31.设随机变量(ξ,η)服从区域A={(x,y):|x|+|y|≤1}中的均匀分布.
(1)求Cov(ξ,η).(2)ξ与η是否独立?
32.设随机变量(X,Y)的概率密度函数为
(1+xy),4f(x,y)=
求证X与Y不独立但X2与Y2相互独立.
33.假设二维随机变量(X,Y)服从矩形G={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1}上的均匀分
0,若X≤Y1,若X&Y
(1)求U和V的联合分布.(2)求U和V的相关系数.
34.设A,B是两个随机事件,且P(A)=1/4,P(B|A)=1/3,P(A|B)=1/2,令
1,若A发生0,若A不发生,
1,若B发生0,若B不发生,??V=
0,若X≤2Y1,若X&2Y.
|x|&1,|y|&1其他,
试求(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布,(2)X与Y的相关系数.
35.设随机变量X1,X2,???,X2n相互独立(n≥2),皆服从正态分布N(μ,σ2),其中
(Xi+Xn+i?22
其中=Xi.试求Y的数学期望E(Y).
设ξ1,ξ2,???,ξn为正的、独立同分布的随机变量,证明当1≤k≤n时
????ξ1+???+ξkkE=.
ξ1+???+ξnn
37.设随机变量X、Y的期望分别为?2和2,方差分别为1和4,相关系数为?0.5,试根
据切比雪夫不等式估计P{|X+Y|≥6}.
38.某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中被盗索赔户占20%,以X表示随机抽查
100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值.
39.某电子计算机主机有100个终端,每个终端有15%的可能处于闲置状态,若各终端被
使用与否是相互独立的,试求至少有15个终端空闲的概率.
40.某餐厅每天接待400名顾客,设每位顾客的消费额(元)服从(300,1500)上的均匀分
布,且顾客的消费额是相互独立的.试求(1)该餐厅每天的平均营业额.
(2)该餐厅每天的营业额在平均营业额±400元内的概率.
41.(1)一个复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成.在整个运行期间每个部
件损坏的概率为0.10.为了使整个系统起作用,至少必须有85个部件正常工作,求整个系统起作用的概率.
(2)一个复杂的系统由n个相互独立起作用的部件所组成,且必须至少有80%的部件工作才能使整个系统正常工作.每个部件的可靠性为0.90.问n至少为多大才能使系统的可靠性不低于0.95?
42.一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假定每箱平均重50千克,标准
差为5千克.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理计算每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977?
43.设各零件的重量都是随机变量,它们相互独立,且服从相同的分布,其数学期望为
0.5kg,标准差为0.1kg,问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少?
44.某种计算机在进行加法时,要对每个加数进行取整.设每次取整的误差相互独立且服
从(?0.5,0.5)上的均匀分布.
(1)若现要进行1500次加法运算,求误差总和的绝对值超过15的概率.
(2)若要保证误差总和的绝对值不超过10的概率不小于0.90,至多只能进行多少次加法运算?
45.进行1000次独立重复试验,每次试验中事件A发生的概率为0.25.试问能以95%的
把握保证1000次试验中事件A发生的频率与概率相差不超过多少?此时A发生的次数在什么范围内?
46.设某生产线上组装每件产品的时间服从指数分布,平均需要10分钟,且各产品的组装
时间是相互独立的.
(1)试求组装100件产品需要15小时至20小时的概率.
(2)保证有95%的可能性,问16小时内最多可以组装多少件产品.
47.一家有500间客房的旅馆的每间客房装有一台2kw(千瓦)的空调.若开房率为80%,
需要多少kw的电力才能有99%的可能性保证有足够的电力使用空调机.
48.为调查某城市人口中的吸烟率p,独立调查了n个人,其中n0个人抽烟.现用频率
n0/n来估计p.问至少需要调查多少人,才能以95%的把握保证误差不超过0.01?(提示:p(1?p)≤1/4)
第四章参数估计
1.随机地取8只活塞环,测得它们的直径为(以mm计)
74.001,74.005,74.003,74.000,73.908,74.006,74.002.
试求总体均值μ和方差σ2的矩估计值,并求样本方差S2.2.设总体X的概率分布如右表,其中p&0为未知参数.现从此总体中抽出一样本量为n的简单随机样本,其中1出现了n1次,2出现了n2次,3出现了n3次.试求p1,p2的矩估计.
3.设X1,???,Xn是总体X的一个简单随机样本,试求在X具有下列概率分布时参数θ的矩估计.
(1)p(x;θ)=,x=0,1,2,???,θ?1,其中θ(正整数)是未知参数.
(2)p(x;θ,n)=θ(1?θ)n?x,x=0,1,???,n.
x(3)p(x;θ)=(x?1)θ2(1?θ)x?2,x=2,3,???;0&θ&1.1θx
(4)p(x;θ)=?,x=1,2???.
ln(1?θ)xθx?θ
(5)p(x;θ)=e,x=0,1,2,???.
4.设X1,???,Xn是总体X的一个简单随机样本,试求在X具有下列概率密度时参数θ??2
(θ?x),θ(1)f(x;θ)=
(θ+1)xθ,
(2)f(x;θ)=
0的矩估计.
0&x&θ其他.
0&x&1,θ&0其他.
31?p1?p2??√；(3)f(x;θ)=；0??；(4)f(x;θ)=；θ?1；0&x&1,θ&0其他.；x&c(c&0已知),θ&1其；θcθx?(θ+1)0；5.总体X的概率密度函数为；??4x2?x2；eθ,x≥0θf(x)=；0其他.；设X1,X2,???,Xn是取自总体X的简单随机；?.(1)求θ的矩估计量θ?的方差.(2)
(3)f(x;θ)=
(4)f(x;θ)=
0&x&1,θ&0其他.
x&c(c&0已知),θ&1其他.
θcθx?(θ+1)0
5.总体X的概率密度函数为
eθ,x≥0θf(x)=
设X1,X2,???,Xn是取自总体X的简单随机样本.
?.(1)求θ的矩估计量θ?的方差.(2)求θ
6.(1)设X1,X2,???,Xn是来自总体X的一个样本,且X服从参数为λ的泊松分布.求P(X=0)的极大似然估计.
(2)下表统计了某铁路局122个扳道员五年内由于操作失误引起的严重事故情况,其中r表示一扳道员某五年内引起严重事故的次数,s表示扳道员人数.假设扳道员由于操作失误在五年内所引起的严重事故的次数服从泊松分布.求一个扳道员在五年内未引起严重事故的概率p的极大似然估计.
7.试求第3题各情形下参数的极大似然估计.8.试求第4题各情形下参数的极大似然估计.
9.人体中某个基因的形态有三种,分别是AA,Aa,aa,每个人的基因型只可能为这三种形态之一.设总体中该基因的基因型概率分布律如下表,其中θ&0为未知参数.现从总体中随机抽取n个人,其中n1个人具有基因型AA,n2个人为Aa,n3个人为aa.试求θ的极大似然估计.
基因型AA概率
2θ(1?θ)(1?θ)224
10.设总体的概率密度函数如下,试求未知参数的极大似然估计:
1?|x|/θe,?∞&x&∞,θ&0.2θ?
?1,θ?1/2&x&θ+1/2
(2)f(x;θ)=
?0,其它.(1)f(x;θ)=
(3)f(x;θ1,θ2)=
,θ1&x&θ2
11.设X1,???,Xn是抽自正态总体N(μ,σ2)的简单随机样本,其中?∞&μ&+∞,σ2&
0为未知参数.求θ=P(X≥2)的极大似然估计.
12.设总体的数学期望为μ,X1,???,Xn是来自总体X的样本.假设a1,???,an是任意
常数,且na=0.验证aX/i=1ii=1iii=1ai是μ的无偏估计量.13.设X1,???,Xn是来自总体X的一个样本,EX=μ,Var(X)=σ2.
(1)确定常数c使得ci=1(Xi+1?Xi)2为σ2的无偏估计.
(2)记,S2分别是样本均值和样本方差.确定常数c使?cS2是μ2的无偏估计.14.设从均值为μ,方差为σ2的总体中,分别抽取容量为n1,n2的两个独立样本.设
1,2分别是两样本的均值.试证明对于任意常数a,Y=1+(1?a)2是μ的无偏估计,并确定常数a使Y的方差达到最小.
15.设有k台仪器,第i台仪器测量的标准差为σi,i=1,???,k.用这些仪器独立地
对某一物理量θ各测一次,分别得到X1,X2,???,Xk.设仪器都没有系统误差,即
?是?=??kaiXi估计θ时,θEXi=θ,i=1,???,k.问a1,???,ak应取何值方能使θ
?)最小?无偏的,并且Var(θ
16.设X1,???,Xn是抽自均匀分布U(θ,cθ))的简单随机样本,其中c&1为常数,θ&0
为未知参数.
(1)试求θ的极大似然估计.
(2)试求θ的矩估计,并验证其是否具有无偏性.
17.设X1,???,Xn为从下述几何分布中抽出的简单随机样本,
P(X=k)=p(1?p)k?1,k=0,1,2,???,0&p&1,
分别求出p?1和p?2的无偏估计.
18.假设如第2题,并假定p2=2p1=2p.记p的矩估计为p?,现定义
,p?2=,p?3=(1?).n2n3n
试验证它们的无偏性并确定何者的方差最小.
19.一袋中有N个均匀硬币,其中θ个是普通的硬币,其余N?θ个两面都是正面.
现从袋中随机摸出一个把它连掷两次,记下结果,但是不看它属于哪种硬币,又把它放回袋中,如此重复n次.如果掷出0,1,2次正面的次数分别是n0,n1,n2次(n0+n1+n2=n),试分别用矩估计法和极大似然法这两种方法估计袋中普通硬币数θ.20.
设X1,???,Xn是从总体X中抽出的简单随机样本,已知X服从概率密度函数
其中σ&0为一已知常数,而θ是未知参数
?1和极大似然估计θ?2.(1)试求θ的矩估计θ
?1,θ?2的无偏性.如果不是无偏的话,你是否可以将其修正得到θ的无偏估计(2)验证θθ1,θ2?(3)比较
何者为优(即方差较小)．
21.设某种清漆的9个样品的干燥时间(以小时计)分别为
设干燥时间服从正态分布N(μ,σ2),试在下列两种条件下分别求μ的95%置信区间:(1)σ2=0.62,
(2)σ2未知.
22.从自动包糖机中随机抽12包糖,测得样本平均值为10.092,样本标准差S=0.2575.
设每包糖重服从正态分布,在下列两种情况下求总体均值μ的95%置信区间:(1)总体方差σ2=0.04.
(2)总体方差σ2未知.
23.某商店每天的投资利润率是一随机变量,它服从正态分布.现随机给出了五天的利润
率:?0.2,0.1,0.8,0.6,0.9,试在下列假设下求平均利润率的95%置信区间:(1)利润率的方差为0.1.
(2)利润率的方差未知.
24.假设0.50,1.25,0.80,2.00是来自总体X的简单随机样本值.已知Y=lnX服从正
态分布N(μ,1).
(1)求X的数学期望EX(记EX为b).(2)求μ的置信度为95%的置信区间.
(3)利用上述结果求b的置信度为95%的置信区间.
25.设某种电子管的使用寿命服从正态分布,从中随机抽取15个进行检验,得平均寿命为
1950小时,样本标准差为300小时.试以95%的可靠性估计整批电子管平均使用寿命的置信区间.
26.随机地取某种炮弹9发做试验,求得炮口速度的样本标准差=11(m/s),设炮口速度
服从正态分布N(μ,σ2),求炮口速度均方差σ的95%置信区间.
27.一批零件的长度X～N(μ,σ2),从这批零件中随机地抽取10件,测得长度值分别为
(单位:mm):49.5,50.4,49.7,51.1,49.4,49.7,50.8,49.9,50.3,50.0.在下列条件下求这批零件长度总体方差σ2的95%置信区间.(1)μ=50mm.
(2)μ未知.
28.假设用机器包装精盐的重量服从正态分布.现从生产线上随机地抽取10袋,测得其重
量为(单位:克):501.5,500.7,492.0,504.7,483.0,512.8,504.0,490.3,486.0,520.0.试在下列条件下求总体方差的0.95的置信区间.(1)μ=500g.
(2)μ未知.
29.现有两种品牌的油漆,随机地从甲品牌抽出10个样品,从乙品牌抽出9个样品,测得
其干燥时间(单位:小时)为:
甲品牌:5.7,乙品牌:6.0,
2),N(μ,σ2).试在下列假设下求设这两种品牌油漆的干燥时间分别服从N(μ1,σ122
μ1?μ2的95%置信区间.(1)σ1=0.65h,σ2=0.6h.
2=σ2未知.(2)σ12
30.研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率.设两者都服从正态分布,并且已知燃烧率的
标准差均近似地为0.05cm/s,取样本容量为n1=n2=20.得燃烧率的样本均值分别为1=18cm/s,2=24cm/s,设两样本独立.求燃烧率总体均值差μ1?μ2的置信水平为95%的置信区间.
31.现有两批导线,随机地从A批导线中抽取4根,从B批导线中抽取5根,测得其电阻
(单位:欧姆)为:
0.143,0.142,0.143,0.137
B批导线:0.140,0.142,0.136,0.
2),N(μ,σ2)且相互独立.试在下列假设下求设这两批导线的电阻分别服从N(μ1,σ122
μ1?μ2的95%置信区间.
2=8×10?6,σ2=6×10?6.(1)σ12
2=σ2未知.(2)σ12
32.设两化验员甲、乙各自独立地用相同的方法对某种聚合物的含氯量各做10次测量,
2),分别求得测量值的样本方差为0.5.设测量值总体分别服从N(μ1,σ12).试求方差比σ2/σ2的95%置信区间.N(μ2,σ212
33.在一批货物中,随机抽取100件出来检查,发现其中有10件次品,试求这批货物次品
率的95%置信区间.
34.某学校计划组织一次大型的郊游活动,为此要了解学生对该活动的支持程度.随机地
对100名学生进行了调查,其中有78名支持者.若记该校学生中支持这项活动的人数比例为p,并设该校学生数足够多.(1)求p的置信水平为95%的置信区间.
(2)若只关心p的下限(即至少有多少百分比的学生支持这项活动),求出此置信下限(α=0.05).35.
设X1,???,Xn是抽自总体X的简单随机样本,X具有概率密度函数
e?(x?θ),0,
x≥θ;x&θ.
证明:可取X(1)?θ作为求θ区间估计的枢轴变量,其中X(1)=min(X1,???,Xn).并据此求出θ的1?α置信下限.36.
设X1,???,Xn是抽自总体X的简单随机样本,X具有概率密度函数
0&x&θ;其他.
试求θ的1?α置信下限(提示:利用max(X1,???,Xn)/θ作为枢轴变量).
28第五章假设检验；1.样本X1,???,Xn为抽自总体N(μ,1)；H0:μ=2；若检验的拒绝域为W={≥2.6}(1)当n=20；(2)如果要使得检验犯第二类错误的概率β≤0.0；H0:；θ≥3；←→；H1:θ&3,；←→；H1:μ=3,；拒绝域取为W={X(n)=max{X1,???,；(2)为使检验水平达到0.05,样本量n至少应取；3.设样本X1
第五章假设检验
1.样本X1,???,Xn为抽自总体N(μ,1)的样本,考虑如下假设检验问题
若检验的拒绝域为W={≥2.6}(1)当n=20时求检验犯两类错误的概率.
(2)如果要使得检验犯第二类错误的概率β≤0.01,n最小应取多少?(3)证明:当n→+∞时,α→0,β→0.其中α为犯第一类错误的概率.2.设总体为均匀分布U(0,θ),X1,???,Xn是一组样本.考虑检验问题
拒绝域取为W={X(n)=max{X1,???,Xn}≤2.5},(1)求此检验的功效函数和检验水平.
(2)为使检验水平达到0.05,样本量n至少应取多大?
3.设样本X1,???,Xn抽自参数为λ的泊松分布总体,对检验问题
取检验的拒绝域为{(X1,???,Xn):
Xi≤1或≥10}
(1)求此检验在λ=0.25,0.5,1处的功效函数值,并求出该检验的水平.(2)求犯第一类错误的概率及在λ=0.25,0.75处犯第二类错误的概率.
4.根据长期资料分析,钢筋强度服从正态分布.今测得六炉钢生产出钢的强度分别为
能否认为其强度的均值为52.0(α=0.05)?
5.要求一种元件的平均使用寿命不得低于1000小时,生产者从一批这种元件中随机抽取25件,测得其寿命的平均值为950小时.已知该种元件的寿命服从标准差为σ=100小时的正态分布.试在显著性水平α=0.05下检验这批元件是否合格.6.某工厂生产10欧姆的电阻,根据以往所生产电阻的实际情况,可以认为其电阻值服从正态分布,标准差为0.1.现随机抽取10个电阻,测得阻值为9.9,10.1,10.2,9.7,9.9,9.9,10,10.5,10.1,10.2.问从这些样本我们能否认为该厂生产的电阻的平均值为10欧姆(α=0.05)?
7.用传统工艺加工的某种中每瓶维生素C的含量平均为19毫克,现采用一种新的加工工艺,试图减少在加工过程中对维生素C的破坏,抽查了16瓶罐头,测得维生素C的含量(单位:毫克)为:
23,20.5,21,20,22.5,19,20,23,20.5,18.8,20,19.5,22,18,23,22.已知水果罐头中维生素C的含量服从正态分布.在方差未知的情况下,问新工艺下维生素的含量是否比旧工艺有所提高(α=0.01)?
8.随机抽取某班25名学生的数学考试成绩,得平均分数为82分,样本标准差为8,已知全年级的数学成绩服从正态分布且平均分数为87分,试问在显著性水平α=0.05下,能否认为该班的数学平均成绩为87分?
9.某机器制造出来的肥皂厚度为5cm.今欲了解机器性能是否良好,随机抽取10块肥皂为样本,测得平均厚度为5.3cm,标准差为0.3cm,试分别在0.05,0.01的显著性水平下检验机器是否工作良好.
10.为了考察A,B两种制鞋材料的耐磨性,用它们制作了10双鞋,其中每双鞋的两只鞋
分别用A和B两种材料制作(左、右脚两只鞋随机地采用A或B).10个男孩试穿这10双鞋之后的磨损情况如下表所示(数字代表磨损程度),问是否可以认为这两种材料的耐磨性无显著性差异(α=0.05)?
11.一个以减肥为主要目的的健美俱乐部声称,参加其训练班至少可以使肥胖者平均减少
体重8kg以上.为检验该宣传是否可信,调查人员随机调查了9名参加者,得到他们
训练前后的体重数据如下(单位:kg):
训练前训练后
104.594..690.992.099.
91.782.683.881.392.2101.0
现假设训练前后人的体重均服从正态分布.问在0.05的显著性水平下,是否可以认为该俱乐部的宣传是可信的?
12.在上题中,如果训练前后的数据是对两组人测得的,并假设训练前后的人的体重服从
方差相同的正态分布,问在0.05的显著性水平下,是否可以认为该俱乐部的宣传是可信的?
13.装配一个部件可以采用不同的方法,现在关心的是哪一种方法的效率更高.现在从两
种不同的装配方法中各抽取12件产品,记录各自的装配时间(单位:分钟)如下:
甲方法乙方法
假设两总体为正态总体,且方差相等.问这两种方法的装配时间有无显著不同(α=0.05)?
14.某车间生产铜丝,生产一向比较稳定.今从产品中随机抽取10根检查其折断力,得数
据如下(单位:kg):
288.8,294.7,300.2,286.6,290.3,280.1,296.4,295.4,290.2,289.2.假设铜丝的折断力服从正态分布,问是否可以相信该车间生产的铜丝的折断力的方差是16(α=0.05)?
15.某考试要求成绩的标准差为12.现从考试成绩单中任意抽取15份,计算样本的标准
差为16,设考试成绩服从正态分布,问此次考试的标准差是否符合要求(α=0.05)?16.为了了解甲、乙二企业职工工资水平,分别从二企业各随机抽取若干名职工调查,得
如下数据(单位:元):
甲企业:750,0,00乙企业:0,00,
设二企业职工工资分别服从正态分布,而总体独立且均值方差均未知.试根据以上数据判断:两企业职工工资的方差是否相等?甲企业职工平均工资是否低于乙企业职工平均工资(α=0.05)?
17.设纱厂生产的某种细纱支数服从正态分布,方差为1.44.现从一批产品中随机抽取16
缕进行支数测量得样本方差为4.41,试问细纱的均匀度有无显著变化(α=0.05)?18.假设某台精盐包装机生产的袋装盐的净重服从正态分布,按要求每袋盐的标准重量为
500g,标准差不得超过10g,某天开工后,从装好的盐中随机抽取10袋,测得其净重(单位:g)为
510,495,478,487,501,493,528,504,503,504.
问这时机器的工作是否正常(α=0.05)?
19.现有两台天平,为比较它们的精度,将一物体分别在两台天平上各称量9次,得数据
如下(单位:g):
甲天平乙天平
19.19.20.19.19.20.
2),N(μ,σ2),在显著性水平0.05下检验下设两台天平的称量结果分别服从N(μ1,σ122
H0:σ1=σ2
H1:σ1&σ2.
20.从甲、乙两处煤矿各随机抽取矿石5个和4个,分析其含灰率(%)得到如下结果
24.320.823.721.317.418.216.920.216.7
假设各煤矿含灰率都服从正态分布且方差相等,问甲乙两矿的含灰率有无显著差异(α=0.05)?
21.设总体X～N(μ1,0.04),Y～N(μ2,0.09).现从X中抽取样本观察值2.10,2.35,
2.39,2.41,2.44,2.56.从Y中抽取样本观察值2.03,2.28,2.58,2.71.试检验μ1和μ2是否有显著差异(α=0.05)?
22.现有两批电子器件,从中随机抽取若干件进行检验,测得样本的电阻如下(单位:?)为
假设这两批电子器件的电阻均服从正态分布,试在显著性水平0.05下比较一下这两批电子器件的电阻有无差异.
23.独立地用两种工艺生产同一种产品,现随机抽取若干产品测得产品的某性能指标如
工艺A工艺B
假设这两种工艺生产的产品该指标均服从正态分布,由此结果是否能判断这两种工艺对产品该性能指标的影响有无显著差异(α=0.05)?
24.一药厂生产一种新的止痛片,厂方希望抽取样品检验服用新药片后至开始起作用的时
间间隔较原有止痛片至少缩短一半,因此厂方提出需要假设
H0:μ1≤2μ2
H1:μ1&2μ2,
此处μ1,μ2分别是服用原有止痛片和服用新止痛片后至起作用的时间间隔的总体的
2,σ2.现分别在两总体中取一样均值.设两总体均为正态分布且方差分别为已知值σ12
本X1,???,Xn和Y1,???,Ym,设两个样本独立,试给出上述假设的拒绝域,取显著性水平为α.
25.某种大量生产的袋装食品,按规定不得少于250g.今从一批该食品中任意抽取50袋,
发现有6袋低于250g.若规定不符合标准的比例超过5%就不得出厂,问该批产品是否可以出厂(α=0.05)?
26.2000年的全国人口普查表明某城市的65岁以上老年人所占的比例为13.55%,现在为
了调查人口的变动情况,随机抽取400名居民,发现其中有57人年龄在65岁以上.试问该市现在老年人所占的比例较2000年普查时是否有变化(α=0.05)?
27.为检验吸烟与慢性气管炎有无关系,随机调查了339人,其中205名吸烟者中有43人
患慢性气管炎,在134名不吸烟者中有13人患慢性气管炎.问在显著性水平0.05下数据是否支持“吸烟者中患慢性气管炎的比例较高”这个结论?
28.为确定某种肥料的效果,取1000株植物做试验.在没有施肥的100株植物中,有53
株长势良好,在已施肥的900株中,则有783株长势良好.问施肥的效果是否显著(α=0.01)?
29.袋中装有8个球,其中红球数未知.在其中任取3个,记录红球的个数X,然后放回,
再任取3个,记录红球的个数,然后放回.如此重复进行了112次.得到结果如下:
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