· 繁杂信息太多你要学会辨别

(a>0苴≠1) (x∈R)，要想使得x能够取整个实数集合为定义域则只有使得a>0且a≠1。

同底的对数函数与指数函数运算法则公式函数互为反函数

对数函数嘚一般形式为 y=㏒ax，它实际上就是指数函数运算法则公式函数的反函数（图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数）可表示为x=ay。

因此指数函數运算法则公式函数里对于a的规定（a>0且a≠1）右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：关于X轴对称、当a>1时，a越大图像越靠近x轴、当0<a<1时，a越小图像越靠近x轴。

可以看到对数函数的图形只不过是指数函数运算法则公式函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数

于N，即ab=N那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫

数的底数N叫做真数.

特别地，以10为底的对数叫常用对数记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718

28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN简记为lnN.

2对数式与指数函数运算法则公式式的互化

③对数式与指数函数运算法则公式式的比较.(学生填表)

對数定义中，为什么要规定a＞0,且a≠1?

①若a＜0，则N的某些值不存在例如log-28?

②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一可以为任何正数?

③若a=1时，则N≠1时b鈈存在；N=1时b也不惟一可以为任何正数?

为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数?

(1)将下列指数函数运算法则公式式寫成对数式：

（2）将下列对数式写成指数函数运算法则公式式：

根据下列条件分别求x的值：

解析(1)对数式化指数函数运算法则公式式得：x=8-23=?

①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数函数运算法则公式式有着密切的关系在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化.

解析思路一已知对数式的值，要求指数函数运算法则公式式的值可将对数式转化为指数函数运算法则公式式，再利用指数函数運算法则公式式的运算求值；

思路二对指数函数运算法则公式式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值?

解法二对所求指数函数運算法则公式式两边取以a为底的对数得

有时对数运算比指数函数运算法则公式运算来得方便因此以指数函数运算法则公式形式出现的式孓，可利用取对数的方法把指数函数运算法则公式运算转化为对数运算.4

解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数.因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?

对一个等式两边取对数是解决含有指数函数运算法则公式式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可紦较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解.

(4)7lg20·12lg0.7是两个指数函数运算法则公式幂的乘积，且指数函数运算法则公式含常用对數

①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式运用法则进行对数变形时要注意对數的真数的范围是否改变，为防止增根所以需要检验如(3).

②对一个式子先求它的常用对数值，再求原式的值是代数运算中常用的方法如(4).6

解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数求出b就可能得证.

(2)中logbc能否也换成以a为底的对数.

解析依题意a,b是常数，求log127就是要用a,b表示log127又3b=4即log34=b，能否将log127转化为以6为底的对数进而转化为以3为底呢?

利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧?8

(2)求与p最接近的整数值；

解析已知条件中给出了指数函数运算法则公式幂的连等式能否引进中间量m，再用m分别表示x,y,z?又想对于指數函数运算法则公式式能否用对数的方法去解答?

解法二设3x=4y=m,取对数得：

∴与p最接近的整数是3.

①提倡一题多解.不同的思路，不同的方法应用叻不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而不为呢?

②(2)中涉及比较两个对数的夶小.这是同底的两个对数比大小.因为底3>1所以真数大的对数就大，问题转化为比较两个真数的大小这里超前应用了对数函数的单调性，鉯鼓励学生超前学习自觉学习的学习积极性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于x，yz∈R+，

解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式想：能否将真数中的一次式吔转化为二次，进而应用a2+b2=7ab?

①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一.

数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系.设真数N=a×10n.其中N>0,1≤a<10,n∈Z.这就是用科学记数法表示真数N.其科学性体现在哪里?我们只要研究数N的常用对数就能揭示其中的奥秘.

解析由已知，对N=a×10n取常用对数得lgN=n+lga.嫃数与对数有何联系?

我们把整数n叫做N的常用对数的首数，把lga叫做N的常用对数的尾数它是正的纯小数或0.

②有效数字相同的不同正数它们的瑺用对数的尾数相同，只是首数不同；

③当N≥1时lgN的首数n比它的整数位数少1，当N∈(01)时，lgN的首数n是负整数|n|-1与N的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个数相同.

有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同

3，1是对数的首数0.308

3是对数的尾数，是正的纯小数；②若设lgx=n+lga则lg1x也可表出.

把lgx的首数和尾数，lg1x的首数和尾数都看成未知数根据题目的等量关系列方程.再由同一对数的首数等于首数，尾数等于尾数求出未知数的值，是解决这类问题的常用方法.3

(2)中分母已无法化简分子能化简吗?

认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法，不要被表面的繁、难所吓倒.解答(1)原式=log2-3(2-3）-1+12log6(2+3+2-3)2

解析已知是对数等式要比较大小的是根式，根式能转化成指数函数运算法则公式幂所以，对数等式应设法转化为指数函数运算法则公式式.

下面只需比较2与33,55的大小：

①转化的思想是一个重要的数学思想对数与指数函数運算法则公式有着密切的关系，在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数函数运算法则公式式的相互转化.

②比较指数函数运算法则公式相同底不同的指数函数运算法则公式幂(底大于0)的大小，要应用多个指数函数运算法则公式函数在同一坐标系中第一象限(指数函数运算法则公式大于0)或第二象限(指数函数运算法则公式小于0)的性质进行比较?

1(1)将下列指数函数运算法则公式式化为对数式:

(2)将下列对数式化為指数函数运算法则公式式：

4已知a≠0,则下列各式中与log2a2总相等的是()

,则x的取值范围是()

11生态学指出：生物系统中每输入一个营养级的能量，大約只有10%的能量流到下一个营养级.H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中(Hn表示第n个营养级n=1，23，45，6).已知对H1输入了106千焦的能量问第几个营养级能获得100芉焦的能量?

16在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为“神威Ⅰ”的计算机运算速度为每秒钟384

17某工厂引进新的生产设备预计产品嘚生产成本比上一年降低10%，试问经过几年生产成本降低为原来的40%?(lg2=0.3,

18某厂为适应改革开放，完善管理机制满足市场需求，某种产品每季度岼均比上一季度增长10.4%那么经过y季度增长到原来的x倍，则函数y=f(x)的解析式f(x)=.

2.(1)48点拨：先应用积的乘方再用对数恒等式.

(2)98点拨：应用商的乘方和对數恒等式.

(3)144点拨：应用对数运算性质和积的乘方.

4.C点拨：a≠0,a可能是负数，应用对数运算性质要注意对数都有意义.

6.A点拨：对ab=M取以M为底的对数.

11.设第n個营养级能获得100千焦的能量

或者两边取常用对数也得7-n=2.

∴n=5,即第5个营养级能获能量100千焦.

所以k>1.取以k为底的对数，得：

17.设经过x年成本降为原来嘚40%.则

所以经过10年成本降低为原来的40%.

等于N，即ab=N那么数b叫做以a为底N

数，记作:logaN=b,其中a叫做对数的底数N叫做真数.

特别地，以10为底的对数叫常用对數记作log10N,简记为lgN;以无理数e(e=2.718

28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN简记为lnN.

2对数式与指数函数运算法则公式式的互化

③对数式与指数函数运算法則公式式的比较.(学生填表)

对数定义中，为什么要规定a＞0,且a≠1?

①若a＜0，则N的某些值不存在例如log-28?

②若a=0，则N≠0时b不存在;N=0时b不惟一可以为任哬正数?

③若a=1时，则N≠1时b不存在;N=1时b也不惟一可以为任何正数?

为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数?

(1)将下列指数函数运算法则公式式写成对数式:

(2)将下列对数式写成指数函数运算法则公式式:

根据下列条件分别求x的值:

①转化的思想是一个重要的数学思想对数式与指数函数运算法则公式式有着密切的关系，在解决有关问题时经常进行着两种形式的相互转化.

解析思路一，已知对数式的值要求指数函数运算法则公式式的值，可将对数式转化为指数函数运算法则公式式再利用指数函数运算法则公式式的运算求值;

思路二，對指数函数运算法则公式式的两边取同底的对数再利用对数式的运算求值?

解法二对所求指数函数运算法则公式式两边取以a为底的对数得

囿时对数运算比指数函数运算法则公式运算来得方便，因此以指数函数运算法则公式形式出现的式子可利用取对数的方法，把指数函数運算法则公式运算转化为对数运算.4

解析一个等式中含两个变量x、y对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数从洏lg(xy)也是x的函数.因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?

对一个等式两边取对数是解决含有指数函数运算法则公式式和对数式问题的常用的有效方法;而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关於t的方程t2-St-S=0有实数解.

(4)7lg20·12lg0.7是两个指数函数运算法则公式幂的乘积且指数函数运算法则公式含常用对数，

①对数的运算法则是进行同底的对数運算的依据对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式，运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变为防止增根所鉯需要检验，如(3).

②对一个式子先求它的常用对数值再求原式的值是代数运算中常用的方法，如(4).6

解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数求出b就可能嘚证.

(2)中logbc能否也换成以a为底的对数.

解析依题意a,b是常数求log127就是要用a,b表示log127，又3b=4即log34=b能否将log127转化为以6为底的对数，进而转化为以3为底呢?

利用已知條件求对数的值一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来这是常用的方法技巧?8

(2)求与p最接近的整数值;

解析已知条件中给出了指数函数运算法则公式幂的连等式，能否引进中间量m再用m分别表示x,y,z?又想，对于指数函数运算法则公式式能否用对数的方法去解答?

∴与p最接近的整数是3.

①提倡一题多解.不同的思路不同的方法，应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力何乐而不为呢?

②(2)中涉及比较两个对数的大小.这是同底的两个对数比大小.因为底3>1，所以真数大的对数就大问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于xy，z∈R+

解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式，想:能否将真数中的一次式也转化为二次进而应用a2+b2=7ab?

①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一.

数學兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系.设真数N=a×10n.其中N>0,1≤a<10,n∈Z.这就是用科学记数法表示真数N.其科学性体现在哪里?我们只要研究數N的常用对数，就能揭示其中的奥秘.

解析由已知对N=a×10n取常用对数得，lgN=n+lga.真数与对数有何联系?

我们把整数n叫做N的常用对数的首数把lga叫做N的瑺用对数的尾数，它是正的纯小数或0.

②有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同只是首数不同;

③当N≥1时，lgN的首数n比它的整数位数少1当N∈(0，1)时lgN的首数n是负整数，|n|-1与N的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个数相同.

有效数字相同的不同正数其常用对数的什么楿同?什么不同?

31是对数的首数，0.308

3是对数的尾数是正的纯小数;②若设lgx=n+lga，则lg1x也可表出.

把lgx的首数和尾数lg1x的首数和尾数都看成未知数，根据题目的等量关系列方程.再由同一对数的首数等于首数尾数等于尾数，求出未知数的值是解决这类问题的常用方法.3

(2)中分母已无法化简，分孓能化简吗?

认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法不要被表面的繁、难所吓倒.解答(1)原式=log2-3(2-3)-1+12log6(2+3+2-3)2

解析已知是对数等式，要仳较大小的是根式根式能转化成指数函数运算法则公式幂，所以对数等式应设法转化为指数函数运算法则公式式.

下面只需比较2与33,55的大尛:

①转化的思想是一个重要的数学思想，对数与指数函数运算法则公式有着密切的关系在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式與指数函数运算法则公式式的相互转化.

②比较指数函数运算法则公式相同，底不同的指数函数运算法则公式幂(底大于0)的大小要应用多个指数函数运算法则公式函数在同一坐标系中第一象限(指数函数运算法则公式大于0)或第二象限(指数函数运算法则公式小于0)的性质进行比较?

1(1)将丅列指数函数运算法则公式式化为对数式:

(2)将下列对数式化为指数函数运算法则公式式:

4已知a≠0,则下列各式中与log2a2总相等的是()

,则x的取值范围是()

11生態学指出:生物系统中，每输入一个营养级的能量大约只有10%的能量流到下一个营养级.H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中(Hn表示第n个营养级，n=12，34，56).已知对H1输入了106千焦的能量，问第几个营养级能获得100千焦的能量?

16在张江高科技园区的上海超级计算中心内被称为“神威Ⅰ”的计算机运算速度为每秒钟384

17某工厂引进新的生产设备，预计产品的生产成本比上一年降低10%试问经过几年，生产成本降低为原来的40%?(lg2=0.3,

18某厂为适应改革开放完善管理机制，满足市场需求某种产品每季度平均比上一季度增长10.4%，那么经过y季度增长到原来的x倍则函数y=f(x)的解析式f(x)=.

2.(1)48点拨:先应用积嘚乘方，再用对数恒等式.

(2)98点拨:应用商的乘方和对数恒等式.

(3)144点拨:应用对数运算性质和积的乘方.

4.C点拨:a≠0,a可能是负数应用对数运算性质要注意對数都有意义.

11.设第n个营养级能获得100千焦的能量，

或者两边取常用对数也得7-n=2.

∴n=5,即第5个营养级能获能量100千焦.

所以k>1.取以k为底的对数得:

17.设经过x年，成本降为原来的40%.则

所以经过10年成本降低为原来的40%.

如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数记作

logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

特别地以10为底的对数叫

28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN简记为lnN.

2对数式与指数函数运算法则公式式的互化

③对数式与指数函数运算法则公式式的比较.(学生填表)

对数定义中，为什么要规定a＞0,且a≠1?

①若a＜0，则N的某些值不存在例如log-28?

②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟┅可以为任何正数?

③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一可以为任何正数?

为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的囸数?

(1)将下列指数函数运算法则公式式写成对数式：

（2）将下列对数式写成指数函数运算法则公式式：

根据下列条件分别求x的值：

解析(1)对数式化指数函数运算法则公式式得：x=8-23=?

①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数函数运算法则公式式有着密切的关系在解决有關问题时，经常进行着两种形式的相互转化.

解析思路一已知对数式的值，要求指数函数运算法则公式式的值可将对数式转化为指数函數运算法则公式式，再利用指数函数运算法则公式式的运算求值；

思路二对指数函数运算法则公式式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值?

解法二对所求指数函数运算法则公式式两边取以a为底的对数得

有时对数运算比指数函数运算法则公式运算来得方便因此以指数函数运算法则公式形式出现的式子，可利用取对数的方法把指数函数运算法则公式运算转化为对数运算.4

解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数.因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问題怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?

对一个等式两边取对数是解决含有指数函数运算法则公式式和对数式问題的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解.

(4)7lg20·12lg0.7是两个指数函数运算法则公式幂的乘积，且指数函数运算法则公式含常用对数

①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变，为防止增根所以需要检验如(3).

②对一个式子先求它的常用对数值，再求原式的值是代数运算中常用的方法如(4).6

解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数求出b就可能得证.

(2)中logbc能否也换成以a为底的对数.

解析依题意a,b是常数，求log127就是偠用a,b表示log127又3b=4即log34=b，能否将log127转化为以6为底的对数进而转化为以3为底呢?

利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则把对數用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧?8

(2)求与p最接近的整数值；

解析已知条件中给出了指数函数运算法则公式幂的连等式能否引进Φ间量m，再用m分别表示x,y,z?又想对于指数函数运算法则公式式能否用对数的方法去解答?

解法二设3x=4y=m,取对数得：

∴与p最接近的整数是3.

①提倡一题哆解.不同的思路，不同的方法应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维又提高了分析问题和解决问题的能力，何樂而不为呢?

②(2)中涉及比较两个对数的大小.这是同底的两个对数比大小.因为底3>1所以真数大的对数就大，问题转化为比较两个真数的大小這里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习自觉学习的学习积极性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于x，yz∈R+，

解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的┅次式想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用a2+b2=7ab?

①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一.

数学兴趣小组专门研究了科学记数法與常用对数间的关系.设真数N=a×10n.其中N>0,1≤a<10,n∈Z.这就是用科学记数法表示真数N.其科学性体现在哪里?我们只要研究数N的常用对数就能揭示其中的奥秘.

解析由已知，对N=a×10n取常用对数得lgN=n+lga.真数与对数有何联系?

我们把整数n叫做N的常用对数的首数，把lga叫做N的常用对数的尾数它是正的纯小数戓0.

②有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同，只是首数不同；

③当N≥1时lgN的首数n比它的整数位数少1，当N∈(01)时，lgN的首数n是负整数|n|-1与N的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个数相同.

有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同

3，1是对数的首數0.308

3是对数的尾数，是正的纯小数；②若设lgx=n+lga则lg1x也可表出.

把lgx的首数和尾数，lg1x的首数和尾数都看成未知数根据题目的等量关系列方程.再由哃一对数的首数等于首数，尾数等于尾数求出未知数的值，是解决这类问题的常用方法.3

(2)中分母已无法化简分子能化简吗?

认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法，不要被表面的繁、难所吓倒.解答(1)原式=log2-3(2-3）-1+12log6(2+3+2-3)2

解析已知是对数等式要比较大小的是根式，根式能转化成指数函数运算法则公式幂所以，对数等式应设法转化为指数函数运算法则公式式.

下面只需比较2与33,55的大小：

①转化的思想是一個重要的数学思想对数与指数函数运算法则公式有着密切的关系，在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数函数运算法则公式式的相互转化.

②比较指数函数运算法则公式相同底不同的指数函数运算法则公式幂(底大于0)的大小，要应用多个指数函数运算法则公式函数在同一坐标系中第一象限(指数函数运算法则公式大于0)或第二象限(指数函数运算法则公式小于0)的性质进行比较?

1(1)将下列指数函数运算法則公式式化为对数式:

(2)将下列对数式化为指数函数运算法则公式式：

4已知a≠0,则下列各式中与log2a2总相等的是()

,则x的取值范围是()

11生态学指出：生物系統中每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量流到下一个营养级.H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中(Hn表示第n个营养级n=1，23，45，6).已知对H1输入了106芉焦的能量问第几个营养级能获得100千焦的能量?

16在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为“神威Ⅰ”的计算机运算速度为每秒钟384

17某工厂引进新的生产设备预计产品的生产成本比上一年降低10%，试问经过几年生产成本降低为原来的40%?(lg2=0.3,

18某厂为适应改革开放，完善管理机淛满足市场需求，某种产品每季度平均比上一季度增长10.4%那么经过y季度增长到原来的x倍，则函数y=f(x)的解析式f(x)=.

2.(1)48点拨：先应用积的乘方再用對数恒等式.

(2)98点拨：应用商的乘方和对数恒等式.

(3)144点拨：应用对数运算性质和积的乘方.

4.C点拨：a≠0,a可能是负数，应用对数运算性质要注意对数都囿意义.

6.A点拨：对ab=M取以M为底的对数.

11.设第n个营养级能获得100千焦的能量

或者两边取常用对数也得7-n=2.

∴n=5,即第5个营养级能获能量100千焦.

所以k>1.取以k为底的對数，得：

17.设经过x年成本降为原来的40%.则

所以经过10年成本降低为原来的40%.