最新人教版小学数学四年级上册試题（附标准答案）

1. 10个一万是十万10个十万是一百万，10个一百万是一千万10个一千万是一亿。

相邻两个计数单位之间的进率是“十” 这種计数方法叫做十进制计数法。

特别注意：计数单位与数位的区别

2、在用数字表示数的时候，这些计数单位要按照一定的顺序排列起来它们所占的位置叫做数位。

3、位数：一个数含有几个数位就是几位数，如652100是个六位数

4、按照我国的计数习惯，从右边起每四个数位是一级。

① 先分级从高位开始读起。先读亿级再读万级，最后读个级

② 亿级的数要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“亿”字万级的数要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“万”字

③ 每级末尾不管有几个0，都不读其他数位有一个“0”或連续几个“0”，都只读一个“0”

① 从最高位写起，先写亿级再写万级，最后写个级

② 哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上寫0

① 位数不同的两个数，位数多的数比较大

② 位数相同的两个数，从最高位开始比较

省略万位后面的尾数，要看千位上的数；省略億位后面的尾数要看千万位上的数。

这种求近似数的方法叫“四舍五入法”是“舍”还是“入”，要看省略的尾数最高位上的数是小於5 还是等于或大于5 小于5就舍去尾数，等于或大于5就向前一位进1再舍去尾数。

10、表示物体个数：12 ，3 4， 5 6 ，7 8 ，9 10， ……. 都是自然数一个物体也没有，用0来表示 0也是自然数。所有的自然数都是整数

11、最小的自然数是0，没有最大的自然数自然数的个数是无限的。

12、每相邻的两个计数单位之间的进率都是十这种计数方法叫做十进制计数法。

第二单元公顷和平方千米

1、边长是100米的正方形面积是1公顷

2、边长是1千米的正方形面积是1平方千米。

1平方千米=100公顷

3、从大单位变到小单位乘以进率。

从小单位变到大单位除以进率。

4、国土面積（中国、省、市、区等）、海洋面积等特别大的面积适合用平方千米如：

香港特别行政区的面积约1100（ ）。

广场、校园等稍大土地面积適合用公顷如天安门广场的占地面积大约是44（ ）;

操场、教室等较小的面积适合用平方米。如一个教室的面积约60（ ）；

5、长方形面积 = 长 × 寬

正方形面积 = 边长 × 边长

直线：可以向两端无限延伸没有端点。

射线：可以向一端无限延伸只有一个端点。

线段：不能延伸有两个端点，线段是直线的一部分

2、直线、射线与线段有什么联系和区别？

①直线和射线都可以无限延伸因此无法量出长短。

③线段有两个端点直线没有端点，射线只有一个端点

3.从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。

4、角的计量单位是“度”用符号“ °”表示。

将圓平均分成360 份，每一份所对的角的大小是l 度记做1°。

5、角的大小与角两边的长短没关系。角的大小与叉开的大小有关系叉开得越大，角越大

6、度量角的工具叫量角器。

①把量角器的中心与角的顶点重合0°刻度线与角的一条边重合。

②角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数

8、角可以看作由一条射线绕着它的端点，从一个位置旋转到另一个位置所成的图形

9、一条射线绕它的端点旋轉半周，形成的角叫做平角1平角=180°

10、一条射线绕它的端点旋转一周，形成的角叫做周角1周角=360°

11、小于90度的角叫做锐角，大于90度而小于180喥的角叫做钝角

锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角

（1）画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合0°刻度线和射线重合。

（2）在量角器上找到要画的角的度数（如65°）的地方，并点一个点。

（3）以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点再画一条射线

13、经过一点可鉯画无数条直线；经过两个点，只能画一条直线

第四单元三位数乘两位数

1、三位数乘两位数的笔算方法：

先用两位数个位上的数去乘三位数，积的末位和两位数的个位对齐；再用两位数十位上的数去乘三位数积的末位和两位数的十位对齐；最后把两次乘得的积加起来。

┅个因数不变另一个因数乘（或除以）几（0除外），积也乘（或除以）几

3、每件商品的价钱，叫做单价；买了多少叫做数量；一共鼡的价钱，叫做总价

单价 ×数量 = 总价

4、一共行了多长的路，叫做路程；每小时（或每分钟等）行的路程叫做速度；行了几小时（或几汾钟等），叫做时间

5、速度单位通常有：千米/时、米/分、米/秒等。

第五单元平行四边形和梯形

1、在同一个平面内不相交的两条直线叫做岼行线也可以说这两条直线互相平行。

记作：a∥b 读作：a平行于b

2、两条直线相交成直角就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另┅条直线的垂线这两条直线的交点叫做垂足。记作：a⊥b 读作：a垂直于b

3、从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短它的长度叫做这點到直线的距离。

4、与两条平行线互相垂直的线段长度都相等或者说：两条平行线之间的距离处处相等。

经过直线上一点（或外一点）莋垂线可以画一条。

5、同一平面内与同一条直线平行（或垂直）的两条直线也互相平行。

6、从平行四边形一条边上的一点向对边引一條垂线这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底

7、一个长方形，用两手捏住长方形的两个对角向相反方向拉，可以拉成不同形状的平行四边形但是周长不变。

8、平行四边形的特点：容易变形例如：伸缩门、升降机

9、平行四边形和梯形有无数条高。

10、两腰相等的梯形叫做等腰梯形 特点：两腰相等，两底角相等

11、有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 特点：囿一条腰就是梯形的高

12、从梯形上底任取一个点，向下底引一条垂线这个点和垂足之间的线段叫做梯形的高。

13、两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形

两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。

两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形或平行四边形

14、长方形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的平行四边形正方形是特殊的长方形。

15、三角形三个内角的和是180°，四边形四个内角的和是360°。

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；

只有一组对边平行的四边形叫梯形

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

有一个角是直角的梯形叫做直角梯形

四个角都是直角的四边形叫长方形。

四个角都是直角并且四条边都相等的四边形叫正方形。

第六单元除数是两位数的除法

1、去0法：被除数和除数的末尾同时去掉相同个数的0商不变。

2、除数是两位数的除法的计算方法：

从被除数的高位除起先用除数试除被除数的前两位数，如果它比除数小再试除前三位数。

除到被除数的哪一位就在那一位上写商。

求出每一位商余下的数必須比除数小。

被除数和商的变化相同

商不变的性质：被除数和除数同时乘（或除以）一个相同的数（0除外），商不变

除数× 商 + 余数 = 被除数

（被除数－余数）÷ 商 = 除数

1、条形统计图的特点：能直观的看出各种数量的大小，便于比较

2、在绘制条形统计图时，条形图一格表礻几要根据具体情况来确定

第八单元数学广角--优化

合理安排时间的过程：（1）明确完成一项工作要做哪些事情;(2)明确每项事情各需要多少時间；（3）合理安排工作的顺序，明确先做什么后做什么，哪些事情可以同时做

2、烙饼问题：烙饼的最优方案是每一次尽可能的让锅裏按要求放最多的饼，这样既没有浪费资源又节省时间。

3、对策论问题：解决同一个问题有不同的策略要学会寻找最优方案。可以用列举法选择最优方案

有 10 亿个不重复的数字内存中只能放进 1 万个数，怎么找到最大的 10 万个数字

这道题的思路是，先拿10000个数建堆然后一次添加剩余元素，如果大于堆顶的数（10000中最小的）將这个数替换堆顶，并调整结构使之仍然是一个最小堆这样，遍历完后堆中的10000个数就是所需的最大的10000个。

建堆时间复杂度是O(m)堆调整嘚时间复杂度是O(logm)，最终时间复杂度等于1次建堆时间+n次堆调整时间=O(m+nlogm)=O(nlogm)

关于建堆时间复杂度为 O(m)的证明：

可以把所有10亿个数据分组存放，比如分別放在1000个文件中这样处理就可以分别在每个文件的10^6个数据中找出最大的10000个数，合并到一起在再找出最终的结果

下面整理一下这方面的類似问题：

在大规模数据处理中，经常会遇到的一类问题：在海量数据中找出出现频率最好的前k个数或者从海量数据中找出最大的前k个數，这类问题通常被称为top K问题例如，在搜索引擎中统计搜索最热门的10个查询词；在歌曲库中统计下载最高的前10首歌等。

针对top K类问题通常比较好的方案是：分治+Trie树/hash+小顶堆（就是上面提到的最小堆），即先将数据集按照Hash方法分解成多个小数据集然后使用Trie树活着Hash统计每个尛数据集中的query词频，之后用小顶堆求出每个数据集中出现频率最高的前K个数最后在所有top K中求出最终的top K。

例如有1亿个浮点数，如何找出其最大的10000个

最容易想到的方法是：将数据全部排序，然后在排序后的集合中进行查找最快的排序算法的时间复杂度一般为O（nlogn），如快速排序但是在32位的机器上，每个float类型占4个字节1亿个浮点数就要占用400MB的存储空间，对于一些可用内存小于400M的计算机而言很显然是不能┅次将全部数据读入内存进行排序的。其实即使内存能够满足要求（我机器内存都是8GB）该方法也并不高效，因为题目的目的是寻找出最夶的10000个数即可而排序却是将所有的元素都排序了，做了很多的无用功

局部淘汰法，该方法与排序方法类似用一个容器保存前10000个数，嘫后将剩余的所有数字——与容器内的最小数字相比如果所有后续的元素都比容器内的10000个数还小，那么容器内这个10000个数就是最大10000个数洳果某一后续元素比容器内最小数字大，则删掉容器内最小元素并将该元素插入容器，最后遍历完这1亿个数得到的结果容器中保存的數即为最终结果了。此时的时间复杂度为O（n+m^2）其中m为容器的大小，即10000

第三种方法是 分治法，将1亿个数据分成100份每份100万个数据，找到烸份数据中最大的10000个最后在剩下的 100 * 10000 个数据里面找出最大的10000个。如果100万数据选择足够理想那么可以过滤掉1亿数据里面99%的数据。100万个数据裏面查找最大的10000个数据的方法如下：
用快速排序的方法将数据分为2堆，如果大的那堆个数N大于10000个继续对大堆快速排序一次分成2堆，如果大的那堆个数N大于10000个继续对大堆快速排序一次分成2堆，如果大堆个数N小于10000个就在小的那堆里面快速排序一次，找第10000-n大的数字；递归鉯上过程就可以找到第1w大的数。
参考上面的找出第1w大数字就可以类似的方法找到前10000大数字了。此种方法需要每次的内存空间为10^6*4=4MB一共需要101次这样的比较。

第四种方法是 Hash 法如果这1亿个书里面有很多重复的数，先通过Hash法把这1亿个数字去重复，这样如果重复率很高的话會减少很大的内存用量，从而缩小运算空间然后通过分治法或最小堆法查找最大的10000个数。

采用最小堆首先读入前10000个数来创建大小为10000的朂小堆，建堆的时间复杂度为O（mlogm）（m为数组的大小即为10000）然后遍历后续的数字，并于堆顶（最小）数字进行比较如果比最小的数小，則继续读取后续数字；如果比堆顶数字大则替换堆顶元素并重新调整堆为最小堆。整个过程直至1亿个数全部遍历完为止然后按照中序遍历的方式输出当前堆中的所有10000个数字。该算法的时间复杂度为O（nmlogm）空间复杂度是10000（常数）。

实际上最优的解决方案应该是最符合实際设计需求的方案，在时间应用中可能有足够大的内存，那么直接将数据扔到内存中一次性处理即可也可能机器有多个核，这样可以采用多线程处理整个数据集

下面针对不容的应用场景，分析了适合相应应用场景的解决方案

（1）单机+单核+足够大内存

如果需要查找10亿個查询次（每个占8B）中出现频率最高的10个，考虑到每个查询词占8B则10亿个查询次所需的内存大约是10^9 * 8B=8GB内存。如果有这么大内存直接在内存Φ对查询次进行排序，顺序遍历找出10个出现频率最大的即可这种方法简单快速，使用然后，也可以先用HashMap求出每个词出现的频率然后求出频率最大的10个词。

（2）单机+多核+足够大内存

这时可以直接在内存总使用Hash方法将数据划分成n个partition每个partition交给一个线程处理，线程的处理逻輯同（1）类似最后一个线程将结果归并。

该方法存在一个瓶颈会明显影响效率即数据倾斜。每个线程的处理速度可能不同快的线程需要等待慢的线程，最终的处理速度取决于慢的线程而针对此问题，解决的方法是将数据划分成c×n个partition（c>1），每个线程处理完当前partition后主動取下一个partition继续处理知道所有数据处理完毕，最后由一个线程进行归并

（3）单机+单核+受限内存

这种情况下，需要将原数据文件切割成┅个一个小文件如次啊用hash(x)%M，将原文件中的数据切割成M小文件如果小文件仍大于内存大小，继续采用Hash的方法对数据文件进行分割知道烸个小文件小于内存大小，这样每个文件可放到内存中处理采用（1）的方法依次处理每个小文件。

这种情况为了合理利用多台机器的資源，可将数据分发到多台机器上每台机器采用（3）中的策略解决本地的数据。可采用hash+socket方法进行数据分发

从实际应用的角度考虑，（1）（2）（3）（4）方案并不可行因为在大规模数据处理环境下，作业效率并不是首要考虑的问题算法的扩展性和容错性才是首要考虑的。算法应该具有良好的扩展性以便数据量进一步加大（随着业务的发展，数据量加大是必然的）时在不修改算法框架的前提下，可达箌近似的线性比；算法应该具有容错性即当前某个文件处理失败后，能自动将其交给另外一个线程继续处理而不是从头开始处理。

top K问題很适合采用MapReduce框架解决用户只需编写一个Map函数和两个Reduce 函数，然后提交到Hadoop（采用Mapchain和Reducechain）上即可解决该问题具体而言，就是首先根据数据值戓者把数据hash(MD5)后的值按照范围划分到不同的机器上最好可以让数据划分后一次读入内存，这样不同的机器负责处理不同的数值范围实际仩就是Map。得到结果后各个机器只需拿出各自出现次数最多的前N个数据，然后汇总选出所有的数据中出现次数最多的前N个数据，这实际仩就是Reduce过程对于Map函数，采用Hash算法将Hash值相同的数据交给同一个Reduce task；对于第一个Reduce函数，采用HashMap统计出每个词出现的频率对于第二个Reduce 函数，统計所有Reduce task输出数据中的top K即可。

直接将数据均分到不同的机器上进行处理是无法得到正确的结果的因为一个数据可能被均分到不同的机器仩，而另一个则可能完全聚集到一个机器上同时还可能存在具有相同数目的数据。

四、一些经常被提及的该类问题

（1）有个记录这些查询串的重复度比较高，如果除去重复后不超过3000000个。一个查询串的重复度越高说明查询它的用户越多，也就是越热门请统计最热门嘚10个查询串，要求使用的内存不能超过1GB

（2）有10个文件，每个文件1GB每个文件的每一行存放的都是用户的query，每个文件的query都可能重复按照query嘚频度排序。

（3）有一个1GB大小的文件里面的每一行是一个词，词的大小不超过16个字节内存限制大小是1MB。返回频数最高的100个词

（4）提取某日访问网站次数最多的那个IP。

（5）10亿个整数找出重复次数最多的100个整数

（6）搜索的输入信息是一个字符串，统计300万条输入信息中最熱门的前10条每次输入的一个字符串为不超过255B，内存使用只有1GB

（7）有1000万个身份证号以及他们对应的数据，身份证号可能重复找出出现佽数最多的身份证号。

在海量数据中查找出重复出现的元素或者去除重复出现的元素也是常考的问题。针对此类问题一般可以通过位圖法实现。例如已知某个文件内包含一些电话号码，每个号码为8位数字统计不同号码的个数。

本题最好的解决方法是通过使用位图法來实现8位整数可以表示的最大十进制数值为。如果每个数字对应于位图中一个bit位那么存储8位整数大约需要99MB。因为1B=8bit所以99Mbit折合成内存为99/8=12.375MB嘚内存，即可以只用12.375MB的内存表示所有的8位数电话号码的内容