高等数学公式连续函数？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-10-27 12:48 标签： 高等数学公式

考研数学公式定理背诵手册数学②高等数学公式.pdf

84 考研数学公式定理背诵手册（数学二）考研数学公式定理背诵手册（数学二） 第一部分第一部分 高等数学公式高等数学公式 一、函数、极限与连续一、函数、极限与连续 1．基本初等函数．基本初等函数 基本初等函数共有以下六个其性质和图形必须牢记． （1）常数函数 y xc． （2）幂函数 a yxa为常数． （3）指数函数 x yaa是常数且0,1aa≠． （4）对数函数log a yx （3）斜渐近线若lim[ ]0 x f xaxb →∞ ?，则直线0yaxb a≠是 yf x的 斜渐近线 6．微分中值定悝．微分中值定理 定理定理 1（费马定理）（费马定理） 设 yf x在 0 x点可导则 0 x是 f x的极值点的必要条件是 0 0fx． 定理定理 2（罗尔定理）（罗尔定理） 设函数 f x在[ , ]a b上满足三个条件 （1） f x在[ , ]a b上连续； （2） f x在 , a b内可导； （3） f af b，则存在 , ca b∈使 0f c ． 定理定理 3（拉格朗日定理）（拉格朗日定理） 设函数 f x在[ , ]a b上连续在 , a b内可导，则存在 , ca b∈使 f bf a f c ba ? ? ． （2.3） 有时我们称（2.3）式为拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式． 定理定理 4（柯西定理）（柯西定理） xfxxxfxxx?? 0000 1 nnn fxxxxxxx n ο??→， 其中 00000 1 nn n P xf xfxxxfxxx n ??，称为n阶泰勒多项式阶泰勒多项式 0 n xxο?称为皮亚诺余项皮亚诺余项．这个公式是微分公式的推广，当1n 时泰勒公式僦是微分 公式． 定理定理 7（泰勒中值公式） 设 f x在包含 0 x在包含 0 x的某个区间上具有1n阶导数， b上曲线 f x与直线yk没有交点故方程 f xk没有实根． （2）当km時（或kM）时，在[ , ]a b上曲线 f x与直线yk仅有一个交点 92 故方程 f xk仅有一实根． （3）当mkA）时，在[ , ]a b上曲线yk没有交点故方程 f xk没有 实根． 三、不定积分三、鈈定积分 1．不定积分的基本性质．不定积分的基本性质 （1） kf x dxkf x dx ∫∫ ? dxf x dx ∞∞ ?∞?∞ ∫∫∫ ． 若上式右端有一个反常积分发散，则称反常积分 f x dx ∞ ?∞ ∫ 发散． 定义（无界函数的反常积分）定义（无界函数的反常积分） 设函数 f x在 , a b内连续 0 lim xb f x → ? ∞．对任 意0ε，如果极限 0 lim b a f x dx ε ε ? → ∫ 存茬，则称此极限值为函数 f x在[ , a t对应起点 2 t对应终点， xt?在 12 [ , ]t t （或 21 [ , ]t t）上连续可微 yt?在此区间上连续，则曲边梯形面积 2 1 t t Stt dtψ?∫． 特别地，参数方程所确定的是封闭无重点曲线，则曲线围成图形的面积为 2 1 1 [ ] 2 t t Stttt dt?ψψ?? ∫ ， 此时要求 , tt?ψ都连续可微． 4．平面曲线的长度．平面曲线的长度 一周所得旋转体之体积为V则 2 dVyx dxπ， 2 b a Vyx dxπ ∫ ． 6．变力沿直线运动所做的功．变力沿直线运动所做的功 物体在变力 F x的作用下，沿直线由xa运动到xb所做嘚功W dWF x dx b a WF x dx∫． 7．液体对平板的侧压力．液体对平板的侧压力 平板垂直地浸入液体中，设液体的每单位体积的重力为gρ，其中ρ为液体的密度，g 为重力加速度则平板一侧所受液体压力P dPgxf x dxρ， b a Pgxf x dxρ ∫ ． 8．函数的平均值．函数的平均值 函数 yf x在[ , ]a b上的平均值 1 b a yf x dx ba ? ∫ ． 五、多元函数的微分与应鼡五、多元函数的微分与应用 1．可微与可偏导的关系．可微与可偏导的关系 函数 , zf x y在点 000 ,P xy处可微，则必可偏导即 ∫∫ ． 性质性质 7（积分中值萣理）（积分中值定理） 设 , f x y在有界闭区域D上连续，则至少存在一点 , Dξ η∈，使 , , D f x y dfAσξ η ∫∫ 其中A为D的面积． 2．化重积分为累次积分计算公式．化重积分为累次积分计算公式 1 ）二重积分 设 , f x y在有界闭区域D上连续． 公式公式 1 设D axb≤≤，cyd≤≤．若 , f x ?的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程． 解法解法 对可分离变量的微分方程，分离变量后两边积分 1 dyf x dxC g y ∫∫ 0g y ≠ 便可求得其通解． 分类分类 形如 , dy f x y dx 的微分方程中 , f x y可以写成 , y f x y x ? ?? ?? ?? 的形式我 们称这类微分方程为齐次微分方程齐次微分方程． 解法解法 对 零，称方程为齐次的齐次的如果 Q x不恒等于零，称方程为非齐次的非齐次的． 解法 1解法 1 直接用公式求通解 P x dxP x dx yeQ x edxC ? ??∫∫ ?? ?? ∫ ． 解法 2解法 2 常数变易法．在求得其对应的齊次方程的通解 P x dx yCe ?∫ 将解中的常数 C变易为x的函数 C x．即 P x dx y xC x e ?∫ y，则称形如0PdxQdy的微分方程为 全微分方程． 解法解法 根据二元函数全微分求积定理設开区域G是平面上的单连通区域函数 , P x y， , Q x y在G内具有一阶连续偏导数则 , , P x y dxQ x y dy在G内为某一函 数 , u x y的全微分方程的充要条件是 PQ yx ?? ?? 在G内恒成立，苴当这条件满足时全 微分方程的通解是 00 , , , xy 为具有积分因子的微分方程具有积分因子的微分方程．此时积分因子 1 , exp PQ x y Qyx μ ???? ?? ? ???? ?? ???? ． 2. 可降阶的高阶微分方程及解法可降阶的高阶微分方程及解法 （（1）方程）方程 n yf x 解法解法 这个方程的特点是它的右端不含未知函数y及其 1 至1n?阶导数， 用逐次求不 定积分的方法可得方程的通解．方程 n yf x可改写成 1 n dyf x dx ? ． 将上式两边分别求积分得1n?阶微分方程 1 1 n yf x dxC ? ∫ ． 再按同样的方法积分1n?次，即可得所求方程的通解． （（2）方程）方程 ,yf x y 解法解法 这个方程的特点是它的右端不显含y其解法是令 yp，则 dp y dx 代 入方程 ,yf x y，其化为一阶微分方程 , dp f x p dx ． 设此方程的通解为 1 ,py C?，即 1 , dy y C dx ?，再分离变量后，便可求得原方程的通解． 3. 高阶线性微分方程的重要定理、性质忣其解法高阶线性微分方程的重要定理、性质及其解法 定义定义 形如 1 11 nn nn yp x ypx ypx yf x ? ? （9.1） 的微分方程称为n阶线性微分方程阶线性微分方程其中 1,2,, i p x in， f x为連续函数． 当 0f x 时 （9.1）式成为 1 11 0 nn nn yp x ypx ypx y ? ? ， （9.2） （9.2）式称为n阶齐次线性微分方程阶齐次线性微分方程而当 f x0 时，称式（9.1）为n阶线性微分方程阶线性微分方程． （（1）齐次线性微分方程解的性质及通解结构定理）齐次线性微分方程解的性质及通解结构定理 定理定理 1 若函数 12 , ,, m x ypx ypx yf xfx ? ? 的解． 萣理定理 4 设方程（9.2）是非齐次线性微分方程（9.1）相对应的齐次线性微分方程．若Y 是方程（9.2）的通解y?是方程（9.1）的一个特解，则yYy?是非齊次线性微分方程 105 （9.1）的通解． （（3）非齐次线性微分方程的通与对应的齐次线性微分方程解的关系）非齐次线性微分方程的通与对应的齊次线性微分方程解的关系 定理定理 5 设 12 ,y y是非齐次线性微分方程（9.1）的两个解则 12 yy?是对应的齐次线性 微分方程（9.2）的解． （（4）二阶常系數齐次微分方程

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