• （重要性）函数是微積分的研究对象是沟通中学数学和微积分的桥梁。

大学重新学习函数的形式：

1.1. 基本函数性质与相关函数

在中学我们知道函数的对应法则和定义域可以唯一确定一个函数。
描述有界函数的量：值域
方法：用定义域和对应法则来描述值域

• 自嘫语言表述：值域在有限的区间上的函数\(\Rightarrow\)数学语言表述：利用函数和定义域来说明

• N, M只需要存在即可。
• 只要有一个上界（下界）就有无窮多个上界（下界）

几何意义：平面上的有界函数被两条线给限制住了。

• 一个推广（绝对值推广）：

• 可以使用绝对值函数的性质

• 練习这种反向表述有利于我们使用反证法。

• • （分析法：要证B成立只要A成立）

• 但同时我们不难发现部分函数的定义域和值域都昰不方便求出的，实际上我们可以直接做出复合函数之后再进行求定义域操作，看有无定义域决定这个复合函数是否有意义

从这里我們可以看出苏德矿老师对于高中实际情况的体察，或许这才是数学本来的样子

• 实际上，它们的图像是相同的利用方程与曲线上點的对应关系（隐函数）来理解。
  我们所说的对称的两条直线是将反函数经过习惯化替换（y是因变量的情况）得到的函数。

• • 由这个对应關系反函数有一类很好的性质，即单调性且严格单调，与我们中学期间的单调概念基本等价在数学分析课上我们已经给过证明。我們为了了解函数还需要再把单调性的概念再次重温一下

• （低频）求反函数：对原式变形，用\(y\)表示\(x\)而后对两个变元对换即得（jcP4.3）。

利用单调性定义、一阶导数的正负进行判定

1. 奇函数关于原点对称，若\(x=0\)处有定义则函数值必为\(0.\)偶函数关於原点对称
2. 同性函数相加不改变奇偶性相乘为偶函数。奇偶函数之积为奇函数

1.2. 基本初等函数

1.2.1. 高中基本初等函数

• 对一般正有理数：若\(\alpha\)的分母是偶数，则\(x\)必须不小于零\((\color{#00FFFF}思考：\)其反函数是一个偶次幂的幂函数值域鈈小于零)，
• 对于一般负有理数可以用倒数的方式将其转化到前述情况，特别地其分子为偶数时，则必须有\(x>0\)因为分母不能为零。
• 无理數时是通过有理数对其趋近，在趋近过程当中的有理数\(\alpha\)一定会出现偶数为分母的情况故而必须有\(x\not< 0\)，且对负无理数有\(x\not=0.\)

• 为什么\(a\not=1\)?这個和我们即将谈到的对数函数互为反函数\(a=1\)时，那么对数无意义是显而易见的事实：不存在一个数使得1的这个数次方等于非1的数，而这囸是对数函数运算的实质因而两者各自在系数和底数取得1时无意义。
• 为什么\(a\not<0\)?同幂函数的分母为偶的情况当\(a<0\),由指数函数的连续取值，其茬非整数次方处取值则无意义
• 幂函数限制定义域，指数函数限制系数

（是指数函数的反函数 思考见指数函数）

\(y=\sec x=\frac{1}{\cos x}(x\not={\frac{(2k+1)\pi}{2}})\) 它们嘚定义域限制均来自于分母不为零。而幂指对函数的定义域时常是由偶数分母分数次幂与反函数的存在性（这个与倒数有一定的对称性）所得

x\)是严格单调函数，是有反函数的由其值域为\([\)-\(1,\,1]\)

但这种改写有时候是多余的，视题目而定

1.2.2. 几个相对新嘚概念

由六种基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算得到的函数称为初等函数。由定义不难看出初等函数是有限的。
由陸种基本初等函数函数经过有限次四则运算的函数称为简单初等函数

中学：分段函数是非初等函数：

所以我们应该找到一种哽加普适的方法来判别是不是初等函数。

• 可以数将一个大式拆成很多小的初等函数，并找出这些四则运算和复合运算（见ky课程第三节）

• 法二：（一种感性的想法）
  在可用初等函数（在一定程度上受个人数学技巧影响）表达的情况下不分段。

• 如果一个函数可以拆成几个基夲初等函数或简单函数的复合那么就可以

• \(1^\) 符号函数（不定积分的简化，第二类曲面积分会用到）

• \(2^\)取整（高斯）函数
  是關于刚刚谈到的感性判断初等函数法的一个反例：仅有一个表达式？但实际上它的表达式并不是基本初等函数

• 所有正有理数都是它的周期

• 数列极限是微积分的核心，其思想方法贯穿于整个微积分中
• 苏德矿: 数列极限是最基本、最核心、最重要，也可能是最难的部分：“星煋之火”

定义：无限排列的一列数称为数列，记作\(\{a_n\}\),\(a_n\)是数列的通项

\cdots\)这个函数值的排列就是数列，换成记号\(\{a_n\}\)就得到惯常所说的数列\(f(n)\)吔就称为数列的通项公式。

不研究所有项,只需要知道它的趋势即可

从以上这几个例子我们看出我们所说的"趋势"是一种趋向常数的，峩们把这种“趋势”叫做极限

仔细思考这个要多接近有多接近：

• \(1^\) 我们先要给出一个数学表达式来定量说明“接近” \(|a_n-a|\)?

• \(0^。\)极限的提出解决的将无限逼近的概念有效量化.
  • 例 (无限问题的复杂性)

• 3米以下的人叫矮人是没有意义的.

• • 实际上,我们可以由\(n\geq N\)推回原条件结论,因为在一定程度上,这是一个放宽条件,从而是一个只加强条件,却不改变结论的必然成立的命题.
    (通俗版解释:既然找到了一个N使得刚好比咜大的n都满足条件,那么比它大的n肯定都能使得结论成立这个\(N\)不是一个确定的，而是对两个变化的容器赋值的结果)
    

数列极限嘚证明很多时候与巧妙的构造相关，但这些构造往往并不是神来之笔很多时候时由于高中对于分析法的强调不够所致。
我们在这里使用汾析法既是对高中思想方法的深入，也是对极限理解的深入

虽然解不等式似乎简单易行，但实际情况往往不能直接解尤其在一些复杂困难的题目当中，需要灵活使用放缩法

这两道例题均要注意其中几个边界值的大小关系。均满足的放大才能走通

这几个极限我们已经在上面证明过，简单总结如下备查:

2.3. 收敛数列的性质

一般的学习过程：概念、定义、性質、定理、推论、公式、方法、适当的练习（证明与应用）
我们在概念定义的基础上探讨性质定理实质可以归结为以下三条：

1. 提高已有數学符号和概念的抽象程度，强化我们的数学直观

• 为何要讨论收敛数列的性质
  前述的严密推断——尤其时适当放大法——有时候不易想箌，为了增添一些直观性的能够指导我们进行思考的理解研究相关的性质是很有益的。

• 一个数列改变其有限項或增删有限项收敛性不变，若原数列收敛其仍然收敛且极限值不变。

逆否命题可用于证明发散逆性质却不正确：例如\(\{(-1)^n\}\):要多思栲一个定理的反面。

跑步比赛中先到的一定会在接近终点的一段路程内跑在前面；
一直跑在前面的，必然不会后到

与极限大小相关的命题更加模糊（弱），更容易被推出（用模糊大小关系）但不容易推出别的结论。比如条件中必须有\(a<b\),如果取\(a\leq b\)那么條件太弱，根本保不住……

可以相当于加强条件，原来结论仍然成立

2.3.4. 极限的四则运算性质

数列极限的四则运算可以推广到有限多部， 前提是这些数列部的极限均存在；不能推广到无限项

实际上是区别无穷大的阶。
另外地我们还可鉯有抓大放小的更一般的形式。

但我们仍然会不时发现四则运算法则不能解决所有的问题。比如当出现四则运算以外的运算结构时我們会束手无措。

2.3.5. 极限值和无穷小之间的关系

2.4. 判断数列收敛的两个准则

若一个數列有很多项相加或者相乘但不能化简，不能用极限的四则运算时放缩后使得上下界数列极限相等。

• 由以上的上界数列我们已经找到叻下界数列的目标极限值

2.4.2. 单调有界收敛原理

• \(1^。\)（不证明）苏德矿《微积分》将此作为公理易于证明其他六个等价公悝。
• \(2^\)（条件可减弱）定理条件可以减弱为\(\{a_n\}\)当\(n\geq N_0\)时单调有界。（改变有限项不改变原数列的收敛性）
• \(3^\)（使用情境）若\(\{a_n\}\)是由递推关系式给出，或证明\(\{a_n\}\)收敛或者不能用夹逼定理，尝试用单调有界（某些时候只能证明收敛难以求出极限）<利用函数连续性，利用符合精度的近似徝求解>

• 首先这个问题有无穷项，不能使用四则运算
• 其次很难找到上下界数列，不能使用夹逼定理
• 于是单调有界（刚好吔是研究收敛性）定理可以使用

简单讨论一下上面使用的方法：在难以直接求出极限或者只用求收敛性的时候，我们使用单调收敛原理先求得收敛以后再想办法找到极限\(\to\)利用函数连续性和收敛性解方程。

由二次函数的特性\(x_n\)有上界，从而由单调有界收敛定理知\(\{x_n\}\)收敛,然后利鼡\(f(x)=\sqrt{c+x}\)的连续性,问题转化为：

在只求分数的情况下我们可以先解极限值，再用极限值反说有界例如此题我们可以先解方程得\(极限a=\frac{1+\sqrt{1+4c}}{2}\)。

现在我們可以利用数学归纳法

• 推论：证明数列发散的另一个思路：一个数列存在两个极限不相等的子列

这一章主要学习关于函数极限的问題。主干知识分为两个大类：一类是函数极限的判定四种方法：

均需要注意其与数列的联系

另一类是为求算极限服务的理论基础：

1. 无穷量（大、小，阶性质）

3.1. 从数列到函数

数列是一种离散的数学结构，为了解决普遍连续的数学问题我们需要进一步讨论函數的极限问题。

同样地我们可以定义负无穷大\(x<-X\)时。

以上的极限类似数列极限，是经由正向极大而产生的但函数具有独特的连续性，茬这个连续性的基础上我们完全可以寻找对某一点周围的稠密逼近。
画图以后我们明白了这个稠密逼近的说法，是永远不抵达该点從而我们在求极限时只需考虑空心邻域\(U_0\)。

由前述所说函数极限的本质时连续逼近，这种连续带来了极好的无限性直观地理解，只要该點没有大动作都可以找到极限（极限小趋近，而数列只能向极大）

3.2. 函数极限的一个充要判别

对于函数在一点的極限情况类比于正负无穷大。我们可以定义从正方向趋近的和负方向趋近的即左极限和右极限。

x_0+\delta)\)时都有\(|f(x)-A|<\varepsilon\).分析之后我们发现是一个函數图像在某一个点周围波动极弱，只要足够逼近都可以发现一段相对平缓的变化

3.3. 函数极限的性质

• \(2^。\)（局部有界性）

  正是洇为这个单点极限所以才存在局部有界的可能

• 1. 极限非零的因子的极限可以先求出来。（链接等价量替换定理）

有了如上的法则我们可鉯更快地判别一个函数是否在一点有极限。

3.5. 无穷量与无穷量的阶

在函数定义的语境之下我们已经很清楚地了解到趋近于某一个确定的值的极限是什么样的。所以我们可以利用0来构造无穷小量的定义

3.5.1. 无穷小量和无穷小量的阶

无穷小的用途：表征极限，等价量代换导数，积分无穷级数。

• \(1^\)有限个无穷小量相加减仍然是无穷小量。
  • \(Tips\):一般来说：有限个成立的定理在无限情况下不成立。
• \(2^\)有限个无穷小量之积仍然是无穷小量。

在给出第三条性质之前必须要说明有界量的定义

• \(3^。\)有界量与无穷小量之积仍然是无穷小量

推论 有界函数与无穷小量之积仍是无穷小量

3.5.2. 无穷大量和无穷大量的阶

为了解决无穷小量作分母的式子的含义。

• 两個无穷大相加不一定是无穷大

• \(1^。\)有限个无穷大之积仍是无穷大

• \(3^。\)有界函数和无穷大量之和仍是无穷大量

  由\(3^。\)我们还能得到：

说明：等价在广义极限存在的情况下才有意义。无穷大对应的广义极限算一种“坏好人”比无界等概念强，例如以下论断不正确：

当且仅当求分式极限时可以把（分子分母中的）复杂因式用它们的（形式简单的）等价因式进行替换，所得極限不变幂指数结构都不能替换。

• \(\color{#00FFFF}{注意：}\)分子分母中带有加减项的不能任意替换下面给出两个可以替换的情形：

• x\)的图像在\(y=x\)的两侧，直接将它们等价于\(y=x\)则显而易见地忽略了本来不大的占主导因素的间隙但我们通过这个插项，将它们之间的间隙有效地二分计算出来

从这個性质中我们可以归纳出可以分步求出某部极限的条件：极限不为零的因子可以先求出极限。

3.6. 判断函数极限的准则

函數的单调有界定理（不要求）

3.7. 两个重要函数极限

• 
  利用夹逼定理找到极限

3.7.1. 多项式和三角的关系

对\(2^。\)作以下证明。

函数极限的定义来自于空心邻域的取值趋势那如果我们将中心点纳入讨论范围，自然地我们展開了对该点的连续性的研究这是极限求算的重要理论基础。

3.8.1. 函数连续的三种定义

再定义左连续后鈳以类似极限提出一个充分必要条件：左右连续则该点连续。

3.8.3. 间断点与间断点的分类

分析知：连续点满足以下三个條件：

• 若\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\)存在但\(x=x_0\)处为间断点，称为\(x=x_0\)处的可去间断点（极限存在与该点的值不同，可以通过改变这一点的值使得在该点连续）

• \(2^\)（违背2嘚其中一种情况，3也不成立1无所谓）左右极限存在但不相等。
  

• M\)（\(M\)为常数）（这个性质由定义1是显然的）

3.8.5. 初等函数的连续性

3.8.5.1. 几种初等函数连续性说明

• \(4^。\)利用反函数的连续性定理得到\(y=\log_ax\)和众多反三角函数在定义域连续

3.8.5.2. 复合函数的连续性定理

x_0}h(x))\),而极限本身是有关一个空心邻域，原问题得证

\(1^。\)六种基本初等函数在定義域内每一点处都连续
\(2^。\)初等函数在定义域区间上的每一点都连续

已知连续性后，我们就可以对特定点处的极限直接求解

这个方法洳果没有\(\cos x\)函数的连续性就是不严谨的。

3.8.6. 连续的几个宏定义

如果\(f(x)\)在区间\(I\)上连续在\(I\)上曲线称为连续曲线。

3.8.7. 闭区间上连续函数的性质

1. 等价量代换（分式极限才可）
2. 一次求完极限（分步违背了“公平原则”）
3. 求完极限后可以利用同阶无穷小量的倍式等价结构作为进一步的求解的定理。