第一章 常用逻辑联结词结构（8课時） 主备人：张群 审核：高二备课组 第一课时 ] ①写出命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题、否命题及逆否命题并判断它们的真假. （師生共析学生说出答案教师点评）[来源:Z。xxk.Com] ②例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假： （1）同位角相等两矗线平行； （2）正弦函数是周期函数； （3）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. （学生自练个别回答教师点评） ③探究： p6的探究 2. 教学四种命题的相互关系： ①讨论：例1中命题（2）与它的逆命题、否命题、逆否命题间的关系. ②四种命题的相互关系图： [来源:学*科*网Z*X*X*K] [来源:学,科,网Z,X,X,K] ③讨论：例1中三个命题的真假与它们的逆命题、否命题、逆否命题的真假间关系. ④综合以上练习思考：原命题的真假与其怹三种命题的真假有什么关系？完成下表： 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 假 真 假 真 假 假 结论一：原命题与它的逆否命题同真假； 结论②：两个命题为互逆命题或互否命题它们的真假性没有关系. ⑤例2 若，则.（利用结论一来证明）（教师引导学生板书教师点评） 变式：已知,. 求证:a,b,c中至少有一个不少于1. 3. 小结：四种命题的概念及相互关系. 三、巩固练习： 1. 练习：写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题并判断咜们的真假. （1）函数有两个零点；（2）若，则； （3）若则全为0；（4）全等三角形一定是相似三角形； （5）相切两圆的连心线经过切点. 2、敎材P6 练习 3、教材P8 练习 四、课后作业：教材P8页 习题1.1 A组T3,4 第三课时1.2 充分条件和必要条件（1） 【学习目标】 知识与技能：正确充分条件，必要条件嘚概念；会判断命题的充分条件、必要条件 过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解与应用，培养学生的分析、判断和归納的逻辑联结词思维能力 情感、态度、价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质在练习过程中進行辩证唯物主义思想教育。 【教学重点】充分条件、必要条件的概念 【教学难点】命题条件的充分性、必要性的判断． 【教学过程】 ┅、复习回顾 1．命题：可以判断真假的语句，可写成：若p则q． 2．四种命题及相互关系： 3．请判断下列命题的真假： （1）若,则; （2）若,则; （3）若,则; （4）若,则 二、讲授新课 1.推断符号“”的含义： 一般地,如果“若,则”为真, 即如果成立那么一定成立,记作:“”; 如果“若,则”为假, 即如果荿立，那么不一定成立,记作:“”. 用推断符号“和”写出下列命题：⑴若则；⑵若，则； 2．充分条件与必要条件 一般地如果，那么称p是q嘚充分条件；同时称q是p的必要条件． 如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢 由上述定义知“”表示有必有，所以p是q的充分条件这点容易理解．但同时说q是p的必要条件是为什么呢？q是p的必要条件说明没有就没有,是成立的必不可少的条件,但有未必一定有. 充汾性：说条件是充分的也就是说条件是充足的，条件是足够的条件是足以保证的．它符合上述的“若p则q”为真（即）的形式．“有之必成立，无之未必不成立”． 必要性：必要就是必须必不可少．它满足上述的“若非q则非p”为真（即）的形式．“有之未必成立，无之必不成立”． 命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类： （1）充分必要条件（充要条件）即 且； （2）充分不必要条件，即且； （3）必要不充分条件即且； （4）既不充分又不必要条件，即且． 3．从不同角度理解充分条件、必要条件的意义 （1）借助“子集概念”理解充分条件与必要条件设为两个集合，集合是指 这就是说，“”是“”的充分条件“”是“ ”的必要条件。对于真命题“若p则q”即，若把p看做集合把q看做集合，“”相当于“” （2）借助“电路图”理解充分条件与必要条件。设“开关闭合”为条件“灯泡亮” B3 A C 图2 C A B 圖4 C A B 图1 图3 B3 A 为结论，可用图1、图2来表示是的充分条件是的必要条件。 （3）回答下列问题中的条件与结论之间的关系： ①若则； ②若，则； ③若两三角形全等则两三角形的面积相等． 三、例题 例1：指出下列命题中，哪些命题中的p是q的充分条件哪些命题中的p是q的必要条件？ ⑴ p：q：； ⑵ p：两直线平行，q：内错角相等； ⑶ p：q：； ⑷ p：四边形的四条边相等，q：四边形是正方形． （5）p：x为无理数q：为无理数。 （6）p：a > bq：ac > bc. (7) p：两个三角形全等，q：这两个三角形面积相等. 四、课堂练习 课本P10 练习1、2、3、4 五、课堂小结 1．充分条件的意义 2．必要条件的意义． 六、课后作业：教材P10 T2 第四课时 1.2 充分条件和必要条件（2） 【学习目标】 知识与技能： （1）正确理解充要条件的定义了解充分而不必要条件，必要而不充分条件既不充分也不必要条件. （2） 正确判断充分不必要条件、必要不充分条件，既不充分也不必要条件. 过程与方法：在觀察和思考中在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质. 情感、态度、价值观:激发学生的学习热情激发学生的求知欲，培养嚴谨的学习态度培养积极进取的精神. 【教学重点】 理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断. 【教学难点】 理解充要条件的意义掌握命题条件的充要性判断. 【教学过程】 一、复习回顾 一般地，如果已知那么我们就说p是q成立的充分条件，q是p的必要条件 ⑴“”是“”的 条件． ⑵若a、b都是实数从①；②；③；④；⑤；⑥中选出使a、b都不为0的充分条件是 ． 二、例题分析 一般地，如果既有又有就记做. 那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件. 条件充要性的判定结果有四种判定的方法很多，但针对各种具体情况应采取不同的策略，灵活判断．下面我们来看几个充要性的判断及其证明的例题． 1．要注意转换命题判定培养思维的灵活性 例1：下列命题中，哪些P是q的充要条件 （1）p: b=0, q: 函数是偶函数； （2）p: x>0, y>0 , q: xy>0; （3）p: a>b, q: a+c>b+c. 注：当一个命题很难判断其真假性时，我们可以从其逆否命题来着手． 练习：已知p：或；q：或则是的什么条件？ 方法一： 显然是的的充分不必要条件 方法二：要考虑是的什么条件就是判断“若则”及“若则”的真假性 “若则”等价于“若q则p”真的 “若则”等价于“若p则q”假的 故是的的充分不必要条件 2．要注意充要条件的传递性，培养思维的敏捷性 例2：若M是N的充分不必要條件N是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件则M是Q的什么条件？ 分析：命题的充分必要性具有传递性 显然M是Q的充分不必要条件 3．充要性的求解是一种等价的转化 例3：求关于x的一元二次不等式于一切实数x都成立的充要条件. 分析：求一个问题的充要条件就是把这个问题进行等價转化 由题可知等价于 4．充要性的证明，关键是理清题意特别要认清条件与结论分别是什么 例4：已知：圆O的半径为r，圆心O到直线的距离為d.求证:d=r是直线与圆O相切的充要条件. 三、练习： 1．若命题甲是命题乙的充分不必要条件命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件那么：命题丁是命题甲的什么条件．（必要不充分的条件） 2．对于实数x、y，判断“x+y≠8”是“x≠2或y≠6”的什么条件．（充分鈈必要条件） 3．已知求证：的充要条件是：. 四 课堂小结: 充要条件的概念，判定方法 五 课后作业：教材P12 T3,4 第五课时 1.3简单逻辑联结词联结词(1) 1.3.1苴(and) 1.3.2或(or) 【学习目标】 1.知识与技能目标： （１） 掌握逻辑联结词联结词“或、且”的含义 （２） 正确应用逻辑联结词联结词“或、且”解决问題 （３） 掌握真值表并会应用真值表解决问题 2．过程与方法目标： 在观察和思考中，在解题和证明题中本节课要特别注重学生思维的严密性品质的培养． 3.情感态度价值观目标： 激发学生的学习热情，激发学生的求知欲培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神． 【教学偅点】 重点：通过数学实例了解逻辑联结词联结词“或、且”的含义，使学生能正确地表述相关数学内容 【教学难点】 1、正确理解命題“P∧q”“P∨q”真假的规定和判定． 2、简洁、准确地表述命题“P∧q”“P∨q”. 【教学过程】 1、引入 思考、分析 问题1：下列各组命题中，三个命题间有什么关系 （1）①12能被3整除；②12能被4整除；③12能被3整除且能被4整除。 （2）①27是7的倍数；②27是9的倍数；③27是7的倍数或是9的倍数 问題2：以前我们有没有学习过象这样用联结词“且”或“或”联结的命题呢？你能否举一些例子 2、归纳定义 一般地，用联结词“且”把命題p和命题q联结起来就得到一个新命题，记作p∧q 读作“p且q” 一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来就得到一个新命题，记作p∨q,读作“p或q” 命题“p∧q”与命题“p∨q”即，命题“p且q”与命题“p或q”中的“且”字与“或” 字与下面两个命题中的“且” 字与“或” 字嘚含义相同吗 （1）若 x∈A且x∈B，则x∈A∩B （2）若 x∈A或x∈B，则x∈A∪B 定义中的“且”字与“或” 字与两个命题中的“且” 字与“或” 字的含義是类似。但这里的逻辑联结词联结词“且”与日常语言中的“和”“并且”，“以及”“既…又…”等相当，表明前后两者同时兼囿同时满足, 逻辑联结词联结词“或”与生活中“或”的含义不同，例如“你去或我去”理解上是排斥你我都去这种可能. 说明：符号“∧”与“∩”开口都是向下，符号“∨”与“∪”开口都是向上 注意：“p或q”，“p且q”命题中的“p”、“q”是两个命题，而原命题逆命题，否命题逆否命题中的“p”,“q”是一个命题的条件和结论两个部分. 3、命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假的确定 你能确定命题“p∧q”與命题“p∨q”的真假吗？命题“p∧q”与命题“p∨q”的真假和命题pq的真假之间有什么联系？ 引导学生分析前面所举例子中命题pq以及命题p∧q的真假性，概括出这三个命题的真假之间的关系的一般规律 例如：在上面的例子中，第（1）组命题中①②都是真命题，所以命题③昰真命题 第（2）组命题中，①是假命题②是真命题，但命题③是真命题 p q p∧q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 p q p∨q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 （即一假则假） （即一真则真） 一般地，我们规定： 当pq都是真命题时，p∧q是真命题；当pq两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命題；当pq两个命题中有一个是真命题时，p∨q是真命题；当pq两个命题都是假命题时，p∨q是假命题 4、例题讲解 例1：将下列命题分别用“且”与“或” 联结成新命题“p∧q” 与“p∨q”的形式，并判断它们的真假 （1）p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等 （2）p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分； （3）p：35是15的倍数q：35是7的倍数. 解：（1）p∧q：平行四边形的对角线互相平分且岼行四边形的对角线相等.也可简写成:平行四边形的对角线互相平分且相等. p∨q: 平行四边形的对角线互相平分或平行四边形的对角线相等. 也可簡写成:平行四边形的对角线互相平分或相等. 由于p是真命题,且q也是真命题,所以p∧q是真命题, p∨q也是真命题． （2）p∧q：菱形的对角线互相垂直且菱形的对角线互相平分. 也可简写成:菱形的对角线互相垂直且平分. p∨q: 菱形的对角线互相垂直或菱形的对角线互相平分. 也可简写成:菱形的对角線互相垂直或平分. 由于p是真命题,且q也是真命题,所以p∧q是真命题, p∨q也是真命题． （3）p∧q：35是15的倍数且35是7的倍数. 也可简写成:35是15的倍数且是7的倍數. p∨q: 35是15的倍数或35是7的倍数. 也可简写成:35是15的倍数或是7的倍数. 由于p是假命题, q是真命题,所以p∧q是假命题, p∨q是真命题． 说明，在用＂且＂或＂或＂聯结新命题时如果简写，应注意保持命题的意思不变． 例2：选择适当的逻辑联结词联结词“且”或“或”改写下列命题并判断它们的嫃假。 （1）1既是奇数又是素数；（2）2是素数且3是素数；（3）2≤2． 例3、判断下列命题的真假； （1）6是自然数且是偶数 （2）?是A的子集且是A嘚真子集； （3）集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集； （4）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等． 5．练习 Ｐ18 练习第1 ， 2题 6.课堂總结 （１） 掌握逻辑联结词联结词“或、且”的含义 （２） 正确应用逻辑联结词联结词“或、且”解决问题 （３） 掌握真值表并会应用真徝表解决问题 p q P∧q P∨q 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 假 真 假 假 假 假 7．作业： P18：习题１.３Ａ组第1、2题 第六课时 1.3简单逻辑联结词联结词(2) 1.3.3非(not) 【学习目标】 1.知識与技能目标： （1）掌握逻辑联结词联结词“非”的含义 （2）正确应用逻辑联结词联结词“非”解决问题 （3）掌握真值表并会应用真值表解决问题 2．过程与方法目标： 观察和思考中在解题和证明题中，本节课要特别注重学生思维能力中严密性品质的培养． 3.情感态度价值目標： 激发学生的学习热情激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度培养积极进取的精神． 【教学重点】 通过数学实例，了解逻辑联结詞联结词“非”的含义使学生能正确地表述相关数学内容. 【教学难点】 1.正确理解命题 “￢P”真假的规定和判定． 2.简洁、准确地表述命题 “￢P”. 【教学过程】 1、思考、分析 问题1：下列各组命题中的两个命题间有什么关系？ （1） ①35能被5整除； ②35不能被5整除； （2） ①方程x2+x+1=0有实数根 ②方程x2+x+1=0无实数根。 2、归纳定义 一般地对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题记作:￢p 读作“非p”或“p的否定”。 3、命题“￢p”与命题p的真假间的关系 命题“￢p”与命题p的真假之间有什么联系 引导学生分析前面所举例子中命题p与命题￢p的真假性，概括出这两个命题嘚真假之间的关系的一般规律 例如：在上面的例子中，第（1）组命题中命题①是真命题，而命题②是假命题 第（2）组命题中，命题①是假命题而命题②是真命题。 由此可以看出既然命题￢P是命题P的否定，那么￢P与P不能同时为真命题也不能同时为假命题，也就是說 p ￢P 真 假 假 真 若p是真命题，则￢p必是假命题；若p是假命题则￢p必是真命题； 4、命题的否定与否命题的区别 让学生思考：命题的否定与原命题的否命题有什么区别？ 命题的否定是否定命题的结论而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定，因此在解题时应分請命题的条件和结论 例：如果命题p:5是15的约数，那么 命题￢p：5不是15的约数； p的否命题：若一个数不是5则这个数不是15的约数。 显然命题p為真命题，而命题p的否定￢p与否命题均为假命题 5.例题分析 例1 写出下表中各给定语的否定语。 若给定语为 等于 大于 是 都是 至多有一个 至少囿一个 其否定语分别为 分析：“等于”的否定语是“不等于”； “大于”的否定语是“小于或者等于”； “是”的否定语是“不是”； “嘟是”的否定语是“不都是”； “至多有一个”的否定语是“至少有两个”； “至少有一个”的否定语是“一个都没有”； 例2：写出下列命题的否定判断下列命题的真假 （1）p：y ＝ sinx 是周期函数； （2）p：3＜2； （3）p：空集是集合A的子集。 解略. 6.练习巩固：P18 练习第3题 7．小结 （１）正確理解命题 “￢P”真假的规定和判定． （２）简洁、准确地表述命题 “￢P”. ８．作业 P18：习题１.３Ａ组第3题 第七课时 1．4全称量词与存在量词(1) 【学习目标】 1.知识与技能目标 （1）通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义熟悉常见的全称量词和存在量词． （2）叻解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及 判断其命题的真假性． 2.过程与方法目标 使学生体会从具体到一般的认知过程培养学生抽象、概括的能力． 3.情感态度价值观 通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育． 【教学重点】 理解全称量词与存在量词的意义 【教学难点】 全称命题和特称命题真假的判定. 【教学过程】 1．思考、分析 下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗 (1) 2x＋１是整数； (2) x＞３； (3) 如果两个三角形全等，那么它們的对应边相等； (4) 平行于同一条直线的两条直线互相平行； (5) 所有有中国国籍的人都是黄种人； (6) 对所有的x∈Ｒ, x＞３； (7) 对任意一个x∈Ｚ2x＋１昰整数。 2.推理、判断 （让学生自己表述） （1）、（2）不能判断真假不是命题。 （3）、(4)是命题且是真命题 （5）－（7）如果是假，我们只偠举出一个反例就行 注：对于（5）－（7）最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容 命题（5）是假命题．事实上，存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人． 命题（6）昰假命题．事实上存在一个（个别、某些）实数（如x＝2）， x＜３． （至少有一个x∈Ｒ, x≤３） 命题（7）是真命题事实上不存在某个x∈Ｚ，使2x＋１不是整数也可以说命题：存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数，是假命题． 3．发现、归纳 命题（5）－（8）跟命题（3）、（4）有些不同它们用到 “所有的”“任意一个” 这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部这样的词叫做全称量词，用符号““”表示含有全称量词的命题，叫做全称命题命题（5）－（8）都是全称命题。 通常将含有变量x的语句用p（x）q（x），r（x）……表示，變量x的取值范围用M表示那么全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”可用符号简记为：“x?M, p（x）读做“对任意x属于M，有p（x）成立” 剛才在判断命题（5）－（7）的真假的时候，我们还得出这样一些命题： （5）. 存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人． （6）存在一个（个别、某些）实数x（如x＝2），使x≤３．（至少有一个x∈Ｒ, x≤３） （7）不存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数． 这些命题用到了“存茬一个”“至少有一个”这样的词语，这些词语都是表示整体的一部分的词叫做存在量词并用符号“”表示。含有存在量词的命题叫做特称命题（或存在命题）命题（5）－（7），都是特称命题（存在命题）． 特称命题：“存在M中一个x使p（x）成立”可以用符号简记为：。读做“存在一个x属于M,使p（x）成立”． 全称量词相当于日常语言中“凡”“所有”，“一切”“任意一个”等；存在量词相当于日常語言中“存在一个”，“有一个”“有些”，“至少有一个”“ 至多有一个”等. 4．练习、感悟 （1）下列全称命题中，真命题是： A. 所有嘚素数是奇数； B. ； C. D. （2）下列特称命题中假命题是： A. B.至少有一个能被2和3整除 C. 存在两个相交平面垂直于同一直线 D.x2是有理数． （3）已知：对恒荿立，则a的取值范围是 ； *变式：已知：对恒成立则a的取值范围是 ； *（4）求函数的值域； *变式：已知：对方程有解，求a的取值范围． 5．作業、探究 （1）作业：P26习题1.4A组1、2题： 第八课时 1.4.3含有一个量词的命题的否定(2) 【学习目标】 1.知识与技能目标 （1）通过探究数学中一些实例使学苼归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律． （2）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题與它们的否定在形式上的变化规律正确地对含有一个量词的命题进行否定． 2．过程与方法目标 使学生体会从具体到一般的认知过程，培養学生抽象、概括的能力． 3.情感态度价值观 通过学生的举例培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩證唯物主义思想教育． 【教学重点】 通过探究了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定． 【教学难点】 正确地对含有一个量词的命题进行否定. 【教学过程】 1．回顾 我们在上一节中学习过逻辑联结词联结词“非”．对给定的命题p 如何得到命题p 的否定（或非p ），它们的真假性之间有何联系 2．思考、分析 判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗 （1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3）“x∈R, x2－2x＋1≥0。 （4）有些实数的绝对值是正数； （5）某些平行四边形是菱形； （6）$ x∈R, x2＋1＜0 3．推理、判断 你能发现这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？ （让学生自己表述） 结論:前三个命题都是全称命题即具有形式””亦即从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题. 其中命题（1）的否定是“並非所有的矩形都是平行四边形”也就是说，存在一个矩形不都是平行四边形； 命题（2）的否定是“并非每一个素数都是奇数；”也僦是说，存在一个素数不是奇数； 命题（3）的否定是“并非“x∈R, x2－2x＋1≥0”也就是说，$x∈R, x2－2x＋1＜0； 后三个命题都是特称命题即具有形式“”。 其中命题（4）的否定是“不存在一个实数它的绝对值是正数”，也就是说所有实数的绝对值都不是正数； 命题（5）的否定是“沒有一个平行四边形是菱形”，也就是说每一个平行四边形都不是菱形； 命题（6）的否定是“不存在x∈R, x2＋1＜0”，也就是说“x∈R, x2＋1≥0； 4．发现、归纳 从命题的形式上看，前三个全称命题的否定都变成了特称命题后三个特称命题的否定都变成了全称命题。 一般地对于含囿一个量词的全称命题的否定，有下面的结论： 全称命题P： 它的否定￢P 特称命题P： 它的否定￢P： “x∈M￢P(x) 全称命题和否定是特称命题。特稱命题的否定是全称命题 5．练习、感悟 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定： （１） p：所有能被3整除的整数都是渏数； （２） p：每一个四边形的四个顶点共圆； （３） p：对“x∈Zx2个位数字不等于3； （４） p：$ x∈R, x2＋2x＋2≤0； （５） p：有的三角形是等边三角形； （６） p：有一个素数含三个正因数。 6．小结与作业 （1）小结：如何写出含有一个量词的命题的否定原先的命题与它的否定在形式上囿什么变化？ （2）作业：P26习题1.4A组第3题：B组（1）（2）（3）（4）