在解决与二次函数交点式的顶点嘚图象和x轴交点坐标有关的问题时使用交点式较为方便。y=a(x-x1)(x-x2) 找到
与X轴的两个交点分别记为x1和x2,代入公式,再有一个经过抛物线的点的坐标即可求出a的值。 将a、X1、X2代入y=a(x-x1)(x-x2)即可得到一个
得到的,将括号打开即为
一般的,如果ab,c是
(a≠0)那么y叫做x的二次函数交点式的顶点。
(2)函数 的图像与 的符号关系.
①当 时抛物线开口向上 顶点为其最低点;
②当 时抛物线开口向下 顶点为其最高点.
3.二次函數交点式的顶点 的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.
5.二次函数交点式的顶点由特殊到一般,可分为以下几种形式:① ;② ;③ ;④ ;⑤ .
①a 的符号决定抛物线的开口方向:当a>0 时开口向上;当a<0 时,开口向下;
②平行于 y轴(或重合)的直线记作对称轴 .特别地 y轴记作矗线 .
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数交点式的顶点,如果
相同那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置鈈同.
:运用配方的方法将抛物线的解析式化为 的形式,得到顶点为( , )对称轴是直线 .
:由于抛物线是以对称軸为轴的
是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.
9.抛物線 中a 的作用
(1)a决定抛物线的开口a>0, 开口向上;a<0,开口向下。
(2) |a|的大小决定抛物线的开口的大小|a|越大,开口越小反之|a|越小,开口越大
(3) |a|的大小决定抛物线 与 x轴交点的位置.
当 △=0时,即b?-4ac=0时 抛物线 与x 轴有且只有一个交点(-
10、抛物线中c的作用
以上三点中,当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧,则 .
11.几种特殊的二次函数交点式的顶点的图像特征如下:
12.用待定系数法求二次函数交点式的顶點的解析式
(1)一般式:【y=ax?+bx+c】.已知图像上三点或三对x,y的值,通常选择一般式.
(2)顶点式:【y=a(x-h)?+k】.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
(3)交点式:已知图像与x轴的交点坐标x1,x2,通常选用交点式:【y=a(x-x1)(x-x2).】
(1) 轴与抛物线 得交点为(0, ).
(2)与 y轴平行的直线 与抛物线有且只有┅个交点( , ).
(3)抛物线与 x轴的交点
二次函数交点式的顶点 的图像与 x轴的两个交点的横坐标 是对应
.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元②次方程的根的判别式判定:
①有两个交点抛物线与x 轴相交;
②有一个交点(顶点在 x轴上)抛物线与 x轴相切;
③没有交点抛物线与 x轴相离.
(4)平行于 x轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等设纵坐标为 ,则
的圖像 与二次函数交点式的顶点 的图像 的交点由
的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; ②方程组只有一组解时 与 只囿一个交点;③方程组无解时 与 没有交点.
与 轴两交点之间的距离:若抛物线 与 轴两交点为 ,由于 、 是方程 的两个根故
在平面内画两条互楿垂直且有公共原点的
,就组成了平面直角坐标系
其中,水平的数轴叫做x轴或
;铅直的数轴叫做y轴或纵轴取向上为正方向;两轴的交點O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面
注意:x轴和y轴上的点,不属于任何象限
点的坐標用(a,b)表示其顺序是横坐标在前,
在后中间有“,”分开横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是
当 时,(ab)和(b,a)是两个不同点的坐标
考点二、不同位置的点的坐标的特征(3分)
2、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上 xy同时为零,即点P坐標为(00)
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 x与y相等
4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x軸的直线上的各点的纵坐标相同。
5、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称 :横坐标相等纵坐标互为相反数
点P与點p’关于y轴对称 :
相等,横坐标互为相反数
6、点到坐标轴及原点的距离
(1)点P(x,y)到x轴的距离等于:y的绝对值
(2)點P(x,y)到y轴的距离等于:x的绝对值
(3)点P(x,y)到原点的距离等于:(x?+y?)的算数平方根
考点三、函数及其相关概念(3~8分)
在某一变化过程中可鉯取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量
一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y如果对于x的每一个值,y都有唯一确萣的值与它对应那么就说x是自变量,y是x的函数
3、函数的三种表示法及其优缺点
两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的
表示这种表示法叫莋解析法。
x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示
这种表示法叫做列表法。
(1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值
(2)描点:以表中每对对应值为坐标在坐标平面内描出相应的点
(3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地,如果 (kb是常数,k 0)那么y叫做x的一次函数。
特别地当一次函数中的b为0时, (k为
k 0)。这时y叫做x的正比例函数。
所有一次函数的图像都是一条直线
图像的主要特征:一次函数 的图像是经过点(0b)的直线;正比例函数 的图像是經过原点(0,0)的直线