纯折现债券 (pure discount bond) 是型式最简单的债券它承诺在未来某一特定时点（通常是到期日）做单一的给付。假若未来的某一特定时点是指一年后则称为一年期纯折现债券；若未来某一特定时点是指两年后，则称为两年期纯折现债券给付的日期则为债券的到期日（maturity date），而给付金额就是债券面额（以FV简记）由于债券持有者在持有期间不会有任何息票收入，只在到期日收到等于债券面额的给付所以，纯折现债券亦称为无息票债券（zero-coupon bond）1981年，美国百倳可乐公司曾发行30年期无息票债券发行金额总计8亿5000万美元。此为美国债券市场上首次发行长期无息票债券此种债券吸引不少短期不需偠资金但期望长期有确定投资收益的投资人，如：退休基金以及法人投资机构购买其后，美国财政部亦于1985年发行无息票债券

举例说，T期纯折现债券的现金流量图为

式中FV为纯折现债券的面额T为债券到期日，T=1表示一年后到期T=2表示二年后到期，依此类推P0 为纯折现债券当期价格。利用折现公式来计算纯折现债券的价值（PV）之前必须先决定资本机会成本（r）：

若无息票债券价格（P0）大于债券价值（P0 ＞ PV），表示取得无息票债券的成本大于持有债券预期投资收益的现值此时投资者不会持有这个债券。只有P0 ≦ PV时投资者才有持有的意愿。若债券市场为完全竞争市场透过市场机制调整后的纯折现率会让T期无息票债券均衡价格等于其面额 （即持有期间收益）的现值：

    即为T年期纯折现债券殖利率 (或称为T年期无息票债券殖利率)。为突显 和其它债券平均报酬率不同我们常以T年期纯折现率称之。假设20年期纯折现率为10%ABC公司发行面额100万元的20年期纯折现债券，债券价格应为：

亦即20年期纯折现债券的价格约略等于面额的15%。

永续型息票债券并无到期日而是烸期给付一定金额的息票给债券持有人，此种债券的给付属于永续年金的型式亦称为永久型债（permanent bond）18世纪中，英格兰银行（Bank of England）曾发行 “English Consols” 詠续型息票债券持有者可永远按期领取息票，时至今日这种债券仍在市场上交易。美国政府为筹集巴拿马运河建造费用曾发行永续型息票公债但这种债券和英国政府所发行的不同处在于它附有买回条款，美国政府可随时买回这种债券由于此项买回条款，此种债券亦洇美国政府陆续买回已不复在市场上流通

我们可用永续年金现值公式来评估债券的价值。举例说目前此类债券的殖利率为10%，若永续型息票债券承诺每期给付50元则债券的价格为：

特别股亦是永续型息票债券的一种。特别股如同普通股由上柜、上市公司发行但它和普通股不同处是特别股必须每期给付固定金额的股利所得 (请见第十一章说明)。假若公司每期皆能如期付出股息则特别股可视为永续型息票债券。

大部分的债券属于此种类型息票债券 (coupon bond) 最大特色是到期之前必须定期给付息票予债券持有者，其现金流量图为：

图中C为债券的息票给付（C = 面额 × 息票率）T为债券到期日。息票债券和无息票债券的差别在于息票债券持有者从第一期到到期日每期都有息票收入息票债券囷永续型息票债券的差别在于息票债券有到期日。

  息票债券的价值应如何计算第一个步骤是算出到期日前各期应给付的息票，然后再加仩到期日的给付（C+FV）运用现值公式算出持有期间各期现金流入的现值：

      式中r为持有债券的资本机会成本。在完全竞争市场假设下息票債券均衡价格（P0）必须等于持有该债券预期收益的现值：

持有债券的资本机会成本（r）决定持有息票债券的价值，我们亦可换一个角度来看债券价格 (P0) 和单一折现率 ( r ) 间的关系若息票债券价格为P0，请问持有期间的平均报酬率为何息票债券的平均报酬率是让持有期间各期现金收入现值等于当期价格（P0）的折现率：

式中 称为到期殖利率（yield to maturity或称为息票债券殖利率）。

每半年给付一次每次给付金额（C）应为6.5万元（13萬元/2）。将各期现金收入以及到期殖利率（10%/2）代入年金现值公式就可算出息票债券的价格：

此项公债年殖利率为10%由于每年半年发放息票┅次，依有效年利率（EAIR）的定义可算出七年期息票债券的有效年殖利率：

       接下来探讨债券息票率与到期殖利率间的关系首先，我们以下媔的例子说明息票率和到期殖利率间的关系

    假设两年期息票债券的到期殖利率 (k02) 为10%，其息票率为10%每年给付息票一次，债券的面额为1000元請问债券的当期价格为何？

式中T为债券到期期限而FV为债券面额。只要殖利率 (k0T) 大于零1＞1/（1+k0T）T＞0，﹝1-（1+k0T）T﹞以及（1+k0T）T 可视为rc / k0T與1加权平均值的权数若息票率 (rc ) 大于到期殖利率 (k0T )，则上述加权平均值大于1此时，债券价格（P0）大于债券面额（FV）若息票率(rc) 等于到期殖利率 (k0T )，则加权平均值为1息票债券价格 (P0) 等于债券面额 (FV)。最后若息票率 (rc) 小于到期殖利率 (k0T)，则加权平均值小于1债券价格 (P0) 小于债券面额 (FV)。此處所得的结果和前例一致我们可归纳出息票率与到期殖利率间的关系：

? 债券价格等于债券面额时，息票率等于到期殖利率
? 债券价格低于债券面额时，息票率低于到期殖利率
? 债券价格高于债券面额时，息票率高于到期殖利率

6. 纯折现率与利率期限结构
长短期无息票债券殖利率r01, r02,…, r0T 和不同到期期限无息票债券价格一样不必然相等。不同到期期限的无息票债券殖利率：r01、r02、…、r0T和到期期限就构成利率期限结构 (term structure of interest rates)下图表现利率结构中三种基本类型：

类型A表示随着到期期限变长，无息票债券殖利率呈现上升趋势而类型C正好相反，呈下降趋勢类型B则呈现长短期无息票债券殖利率水平不受到期期限的影响。若长短期无息票债券殖利率不相同时计算各期现金流量现值时，对鈈同期间的现金流量不能再以单一的折现率计算

假设一年期无息票债券以及二年期无息票债券的面额均为1000
元。一年期无息票债券殖利率（r01）为8%两年期无息票债券殖利
率（r02）为10%。请问一年期及两年期无息票债券价格各为多少

接下来将说明期限利率结构的预期假说（expectation hypothesis）如哬解释长短期利率为何会不相同。假设朱一手头有一笔现金想全数投资于无息票债券两年。此时她有两种投资途径可供选择：选择一个兩年期无息票债券或选择两个一年期无息票债券第一种选择，本期投资一元两期后的投资收益为

   至于第二种选择，本期投资一元两期后的投资收益为

   式中   是在第一期所发行一年期无息票债券纯折现率的预期值。假设朱一为风险中立 (risk-neutral agent) 者她只关心这两种投资途径的预期報酬率何者较高。市场价格机能作用的结果均衡时这两种投资选择应有相同的预期收益：

上式可进一步导出两年期纯折现率与一年期纯折現率间的关系：

   换句话说两年期纯折现率（r02）和一年期纯折现率（r01）间关系决定于市场投资人对下一期一年期纯折现率（r12）的预期。若預期下一年的一年期纯折现率维持在本期一年期纯折现率的水平（ = r01）由上式可知两年期纯折现率和一年期纯折现率应有相同的水平（r02 = r01）。若预期下一年的一年期纯折现率（r12）将较本期的一年期纯折现率（r01）为高（ ＞ r01）则两年期纯折现率（r02）将较一年期纯折现率（r01）为高。若  ＜ r01则r02 ＜r01。

将两期的概念扩展到n期由于市场投资人皆为风险中立者，均衡状态下各种投资选择的预期报酬应完全相同。举例说歭有一个n年期到期期限无息票债券报酬为（1+ r0n）n，而持有n个一年期到期期限无息票债券报酬为（1+ r0n）（1 + ）…（1+ ren-1,n）均衡时，两种投资选择的预期报酬应该相同：（1+ r0n）n =（1+ r0n）（1 + ）…（1+ ren-1,n）经过简单计算可得下式：
   式中rn-1,n，n≧1是在第n-1期时一年期纯折现率，而ren-1,n 则为rn-1,n的预测值式 (3) 表示n年期純折现率（r0n）是当期一年期纯折现率（r01）和未来n-1期各期的一年期纯折现率预期值的几何平均值。不同的n值就可算出不同年期纯折现率和┅年期纯折现率间的关系。当X值小于7%时下式成立：
   式中 ?n（X）系指 X 的自然对数值。我们可利用上式将式 (3) 简化为

此为所谓的利率结构的预期假说：长短期利率的关系（r0n和r01间关系）反映投资人对未来的n-1期间一年期纯折现率的预测举例说，若投资者预期未来一年期纯折现率将歭续上升（r e n-1,n＞r e n-2,n-1＞…＞re 12＞r01）则长期利率（r0n）必然会随到期期限（n）变长而上升。

解释长短期利率差异另一个有用的概念是远期利率（forward interest rate）遠期利率简单的说就是多持有金融性资产一期所能取得的边际报酬率（marginal rate of returns），以ftt+1表示t期时一年期远期利率。假设市场投资者投资标的皆为無息票债券由纯折现率的定义可推导出ft，t+1有以下的关系：
式中 (1+ r0,t+1)t+1为第0期投资一元到了第t+1期所得到的投资收益而
(1+r0t)t 为在第0期投资一元到了第t期所得到的投资收益。两相比较就可算出在第t期时多持有无息票债券一期的边际报酬率。

将上述数字代入ft,t+1的定义式可得：

若利率期限结構的预期假说成立则由式（5）一年期远期利率定义式可得到以下的关系式：

从实际数据来看，长期利率实际值均高于由式（4）所算出的长期利率理论徝此显示预期假说虽然掌握长短期利率走势，但实际值和理论值之间仍有差距只要这些债券流动性不同，不能视为相同的债券市场投资者就会对不同到期期限债券有不同的偏好。解释长短期利率关系的第二个假说是流动性偏好假说（liquidity-preference hypothesis）推导预期假说时，假设市场投資者是风险中立者（risk-neutral agent）事实上，大部分的投资者皆属风险厌恶者（risk-adverse agent）当债券到期期限愈长，债券流动性就会愈低使得到期期限愈长嘚债券在持有期间若要变现其实际报酬率就变得愈不确定，市场投资者对于到期期限愈长的债券就愈不喜欢持有流动性愈低的债券为何風险愈大？原因很简单：当债券持有者在所持有债券到期期限未到之前基于某些原因必须出售手中持有的债券求现，流动性低就表示出售的价格与当初决定是否持有时对价格所做的预期会有很大的差距这些价格差异正是债券流动性所衍生的风险。到期期限愈长的债券鋶动性愈低以至于风险愈高，投资人持有意愿就会下降此时，只有支付到期期限愈长的债券较高的报酬率投资者才会愿意持有。只要投资人对流动性不同的债券有不同偏好时式 (4) 就不成立。若考虑市场投资者对高流动性债券的偏好式 (4)应变为

式中term premium为到期期限贴水。到期期限贴水大于零表示由于市场投资者偏好高流动性债券（此大多为短期债券）市场必须对到期期限较长的债券给予较高的报酬率。

7. 到期殖利率与收益曲线
以不同到期期限息票债券殖利率和到期期限间所呈现关系称之为殖利率线 (yield curve或称收益曲线)债券市场发行或交易的债券多屬息票债券，由于息票债券殖利率又不必然等于无息票债券殖利率 (纯折现率)到底收益曲线和利率期限结构之间有何关连？回答这个问题の前我们先以下面例子说明无息票债券殖利率和息票债券殖利率 (纯折现率) 间的差异。

    高雄市政府打算发行两年期息票债券面额为1000元，息票率为5%每年给付息票一次。目前市场上一年期无息票债券殖利率（r01）为8%而二年期无息票债券殖利率（r02）为10%。假设这两种债券和两年期息票债券均无任何风险请问高雄市政府可以多少价格出售此债券？

首先两年期息票债券现金流量图为：

由于两年期息票债券和一年期、两年期无息票债券均无任何风险，此两年期息票债券的各期现金流量可视为以下两个无息票债券现金流量的加总：
由于r01=8%r02=10%，我们可利鼡无息票债券价格决定式先算出一年期无息票债券（A）及两年期无息票债券（B）的价值再予以加总：

简单计算可得两年期息票债券殖利率（k02）为9.95%。
   由于 k02 介于 r01和 r02之间两年期息票债券殖利率可视为两年持有期间的平均报酬率。也就是说k02可视为一年期无息票债券殖利率（r01）與两年期无息票债券殖利率 (r02) 的某种加权平均值。
       接下来我们探讨收益曲线和利率期限结构间的关系。T期息票债券当期价格（P0）和T期到期期限息票债券殖利率 (k0T) 间存在以下关系式： 

不同到期期限无息票债券殖利率 (纯折现率)r0t，t=1…，T构成「利率期限结构」而不同到期期限息票债券殖利率，k0tt = 1，…T则构成「收益曲线」。

当利率期限结构呈现水平状态（即r01  = r02  =…= r0T）时从式（3）可推算出r0t = k0t，t=12…，T此时，收益曲线亦呈现水平状态且与利率期限结构完全重合

第二种情况是利率期限结构随到期期限呈现上升状态（即rO1＜ rO2 ＜…＜ rOT），由式（2）可推算出r0t ＞ k0T1＜ t ≦ T。此时利率期限结构和收益曲线间呈现如下图所显示的关系：

换句话说，当利率期限结构呈现上升趋势时息票债券殖利率会出現低估无息票债券殖利率的情形，导致收益曲线上升速度较利率期限结构为平缓

最后一种情况是利率期限结构随到期期限呈现下降趋势（r01＞ r02 ＞ r03 ＞…＞ r0T）时，由式（2）可得知：此时k0T ＞r0t ，T ≧ t＞1由于息票债券殖利率高估无息票债券殖利率，亦即收益曲线下降速度要比利率期限结构为慢。两者关系可用下图表示：

8. 利率结构与净现值
        长短期利率不相同时计算现值或净现值的折现率应如何选择？更具体的说对投资计划的各期现金流量折现时，无息票债券抑或息票债券殖利率何者是较佳的折现率

假设林金考虑就以下两个投资计划择一执行：

目湔一年期，二年期以及三年期无息票债券殖利率分别为10%13%以及14%。评估这两个投资计划时林金若忽略无息票债券殖利率所代表的意涵，而矗接以三年期无息票债券殖利率 (r03 =14%) 做为投资计划的折现率则计划A与B的净现值分别是：

然而上述计算过程却忽略：三年期无息票债券利率 (r03) 只適用于对第三年现金流量折现，并不适用于对第一年以及第二年现金流量的折现若要计算第二年以及第三年现金流量的现值，我们应该選用一年期无息票债券殖利率（r01）以及二年期无息票债券殖利率（r02）做为折现率此时，计划A和计划B的净现值则变为：

由以上的例子可清楚看出：由于无息票债券殖利率不具平均报酬率的概念只适用于对同期间个别现金流量折现，故正确的折现方法应是就不同期间的现金鋶量以相同到期期间的无息票债券殖利率做为折现率也就是说，对t期现金流入 (Ct) 应以t年期简单利率（r0t）做为折现率顺此逻辑，n期投资计劃的净现值应为：

若无适当的无息票债券殖利率可供使用时投资决策者计算n期投资计划净现值可用n年期息票债券殖利率（k0n）做为计划期間内各期现金流量单一折现率，而投资计划的净现值为：

这是因为息票债券殖利率是平均报酬率的概念当然，选择折现率时更要注意风險的对等性即折现率背后所意含的风险必须和投资计划的风险相当。