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一个邮票收藏馆的珍贵邮票里10分和20分的邮票共有100张价值18元8角这个收藏馆有这两种邮票各多少张？
陈嘉润100分
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18元8角=1880分；
（20×100-1880）÷（20-10）=12（张）；
100-12=88（张）；
答：这个收藏馆有10分邮票12张，20分邮票88张。
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高中数学专题五圆锥曲线的综合问题(共88张PPT)
数学R A（文）专题五 圆锥曲线的综合问题第九章 解析几何基础知识?自主学习要点梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看，可分为三类：无公共 点， 仅有一个公共点及有两个相异的公共 点． (2)从代数角度看，可通过将表示直线的 方程代入二次曲线的方程消元后所得一 元二次方程解的情况来判断． 设直线 l 的 方程为 Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程 f(x，y)＝0. ?Ax＋By＋C＝0 由? ，消元 ?f?x，y?＝0基础知识 题型分类 思想方法 练出高分难点正本 疑点清源 1.直线和圆锥曲线问题解 法的一般规律“联立方程求交点，根 与系数的关系求弦长， 根的分布找范围，曲线 定义不能忘”．基础知识?自主学习要点梳理难点正本 疑点清源 1.直线和圆锥曲线问题解 法的一般规律“联立方程求交点，根 与系数的关系求弦长， 根的分布找范围，曲线 定义不能忘”．如消去 y 后得 ax ＋bx＋c＝0. ①若 a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直 线 l 与双曲线的渐近线平行或重合；当 圆锥曲线是抛物线时，直线 l 与抛物线 的对称轴平行或重合． ②若 a≠0，设 Δ＝b2－4ac.2基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识?自主学习要点梳理难点正本 疑点清源 1.直线和圆锥曲线问题解 法的一般规律“联立方程求交点，根 与系数的关系求弦长， 根的分布找范围，曲线 定义不能忘”．a．Δ & 0 时，直线和圆锥曲线相 交于不同两点； b．Δ ＝ 0 时，直线和圆锥曲线相 切于一点； c．Δ & 0 时，直线和圆锥曲线没 有公共点．基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识?自主学习要点梳理2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|难点正本 疑点清源2.“点差法”的常见题型求中点弦方程、求(过 定点、平行弦)弦中点 轨迹、垂直平分线问 题．必须提醒的是 “点差法”具有不等 价性，即要考虑判别 式 Δ&0 是否 成立．1＋k2|x1－x2| 或|P P |＝ ＝ 1 2 1 1＋k2|y1－y2| .(2)当斜率 k 不存在时， 可求出交点坐标， 直接运算(利用轴上两点间距离公式)．基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识?自主学习要点梳理3．圆锥曲线的中点弦问题 遇 到 中 点弦 问题 常 用 “ 根与 系 数 的关 x 2 y2 系”或“点差法”求解． 在椭圆 2＋ 2＝ a b 1 中， P(x0， 0)为中点的弦所在直线的 以 y b 2x 0 x 2 y2 斜率 k＝－ 2 ；在双曲线 2－ 2＝1 中， a y0 a b 以 P(x0，0)为中点的弦所在直线的斜率 k y b2x0 ＝ 2 ；在抛物线 y2＝2px (p&0)中，以 a y0 P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率 k＝ p . y0难点正本 疑点清源2.“点差法”的常见题型求中点弦方程、求(过 定点、平行弦)弦中点 轨迹、垂直平分线问 题．必须提醒的是 “点差法”具有不等 价性，即要考虑判别 式 Δ&0 是否 成立．基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识?自主学习基础自测题号1 2 3 4答案8解析4x－y－7＝0BB基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类?深度剖析题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题思维启迪 解析 探究提高【例 1】 已知抛物线 C：y2＝4x， 过点 A(－1,0)的直线交抛物线 C → → 于 P、Q 两点，设AP＝λAQ. (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M，求证：直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F； ?1 1? (2)若 λ∈?3，2?，求|PQ|的最 ? ? 大值．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类?深度剖析题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题思维启迪 解析 探究提高【例 1】 已知抛物线 C：y2＝4x， 过点 A(－1,0)的直线交抛物线 C → → 于 P、Q 两点，设AP＝λAQ. (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M，求证：直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F； ?1 1? (2)若 λ∈?3，2?，求|PQ|的最 ? ? 大值．(1)可利用向量共线证明直线 MQ 过 F；(2)建立|PQ|和 λ 的 关系，然后求最值．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类?深度剖析题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题思维启迪 解析 探究提高【例 1】 已知抛物线 C：y2＝4x， 过点 A(－1,0)的直线交抛物线 C → → 于 P、Q 两点，设AP＝λAQ. (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M，求证：直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F； ?1 1? (2)若 λ∈?3，2?，求|PQ|的最 ? ? 大值．(1)证明设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，－y1)． → → ∵AP ＝λAQ ，∴x1 ＋1＝λ(x2 ＋1)，y1＝λy2， 2 2 ∴y1＝λ2y2，y1＝4x1，y2＝4x2， 2 2 x1＝λ2x2，∴λ2x2＋1＝λ(x2＋1)， λx2(λ－1)＝λ－1， 1 ∵λ≠1，∴x2 ＝ λ ，x1 ＝λ，又F(1,0)，基础知识 题型分类 思想方法 练出高分题型分类?深度剖析题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题思维启迪 解析 探究提高【例 1】 已知抛物线 C：y2＝4x， 过点 A(－1,0)的直线交抛物线 C → → 于 P、Q 两点，设AP＝λAQ. (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M，求证：直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F； ?1 1? (2)若 λ∈?3，2?，求|PQ|的最 ? ? 大值．→ ∴MF＝(1－x1， 1)＝(1－λ， 2) y λy ?1 ? → ＝λ? λ－1，y2?＝λFQ， ? ? ∴直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F. 1 (2)解 由(1)知 x2＝ λ ，x1＝λ，得 x1x2＝1，1?2＝16x1x2＝16， y2 y2∵y1y2&0，∴y1y2＝4， 则|PQ|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)22 2 ＝x1＋x2＋y2＋y2－2(x1x2＋y1y2) 2 1基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类?深度剖析题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题思维启迪 解析 探究提高? ? 1?2 1? ＝?λ＋λ ? ＋4?λ＋λ ?－12 ? ? ? ?? ? 1 ＝?λ＋λ＋2?2－16， ? ?【例 1】 已知抛物线 C：y2＝4x， 过点 A(－1,0)的直线交抛物线 C → → 于 P、Q 两点，设AP＝λAQ. (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M，求证：直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F； ?1 1? (2)若 λ∈?3，2?，求|PQ|的最 ? ? 大值．?1 1? 1 ?5 10? λ∈?3，2?，λ＋ λ ∈?2， 3 ?， ? ? ? ?1 10 1 当 λ＋ λ ＝ 3 ，即 λ＝3时，|PQ|2 有最大值 4 7 . 3 112 ，|PQ|的最大值为 9基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类?深度剖析题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题思维启迪 解析 探究提高【例 1】 已知抛物线 C：y2＝4x， 过点 A(－1,0)的直线交抛物线 C → → 于 P、Q 两点，设AP＝λAQ. (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M，求证：直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F； ?1 1? (2)若 λ∈?3，2?，求|PQ|的最 ? ? 大值．圆锥曲线中的最值问题解决方 法一般分两种： 一是几何法， 特 别是用圆锥曲线的定义和平面 几何的有关结论来求最值； 二是 代数法， 常将圆锥曲线的最值问 题转化为二次函数或三角函数 的最值问题， 然后利用基本不等 式、 函数的单调性或三角函数的 有界性等求最值．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类?深度剖析变式训练 1(2012? 四川)如图，动点 M 与两定点A(－1,0)、B(1,0)构成△MAB，且直线 MA、MB 的斜 率之积为 4.设动点 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程．(2)设直线 y＝x＋m(m&0)与 y 轴相交于点 P， |PR| 与轨迹 C 相交于点 Q，R，且|PQ|&|PR|.求 的取值范围． |PQ|解 (1)设 M 的坐标为(x，y)，当 x＝－1 时，直线 MA 的斜率不存在；当 x＝1 时，直线 MB 的斜率不存在．于是 x≠1 且 x≠－1. y y 此时， 的斜率为 MA ， 的斜率为 MB . x＋1 x－1 y y 由题意，有 ? ＝4.化简可得，4x2－y2－4＝0. x＋1 x－1故动点 M 的轨迹 C 的方程为 4x2－y2－4＝0(x≠1 且 x≠－1)．基础知识 题型分类 思想方法 练出高分题型分类?深度剖析?y＝x＋m， ? (2)由? 2 2 ?4x －y －4＝0 ?消去 y，可得 3x2－2mx－m2－4＝0.(*) 对于方程(*)， 其判别式 Δ＝(－2m)2－4×3(－m2－4)＝16m2＋48&0， 而当 1 或－1 为方程(*)的根时，m 的值为－1 或 1. 结合题设(m&0)可知，m&0 且 m≠1.设 Q、R 的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)， 则 xQ，xR 为方程(*)的两根． m－2 m2＋3 因为|PQ|&|PR|，所以|xQ|&|xR|，xQ＝ ， 3 m＋2 m2＋3 xR＝ . 3 3 2 1＋m2＋1 |PR| ?xR ? 2 所以 ＝?x ?＝ ＝1＋ . |PQ| ? Q? 3 3 2 1＋m2－1 2 1＋m2－1基础知识 题型分类 思想方法 练出高分题型分类?深度剖析3 3 1＋ 2&1，且 1＋ 2≠2， m m 2 所以 1&1＋ &3，且 1＋ 3 2 1＋m2－1 2此时5 ≠3， 3 1＋m2－12|PR| ?xR ? |PR| ? xR ? 5 所以 1& ＝? ?&3，且 ＝? ?≠ . |PQ| ?xQ? |PQ| ?xQ? 3? ? 5? ?5 |PR| 综上所述，|PQ|的取值范围是?1，3?∪?3，3?. ? ? ? ?基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类?深度剖析题型二【例 2】圆锥曲线中的定点、定值问题? 3? 已知椭圆 C 经过点 A?1，2?， ? ?思维启迪解析探究提高两个焦点为(－1,0)、(1,0)． (1)求椭圆 C 的方程； (2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点， 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率 互为相反数，证明直线 EF 的斜率 为定值，并求出这个定值．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类?深度剖析题型二【例 2】圆锥曲线中的定点、定值问题? 3? 已知椭圆 C 经过点 A?1，2?， ? ?思维启迪解析探究提高两个焦点为(－1,0)、(1,0)． (1)求椭圆 C 的方程； (2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点， 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率 互为相反数，证明直线 EF 的斜率 为定值，并求出这个定值．可设直线 AE 的斜率来计算直线 EF 的斜率， 通过推理计算消参．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类?深度剖析题型二【例 2】圆锥曲线中的定点、定值问题? 3? 已知椭圆 C 经过点 A?1，2?， ? ?思维启迪解析探究提高两个焦点为(－1,0)、(1,0)． (1)求椭圆 C 的方程； (2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点， 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率 互为相反数，证明直线 EF 的斜率 为定值，并求出这个定值．由题意，c＝1，可设椭圆 x2 y2 方程为 ＋ 2＝1. 1＋b2 b 1 9 因为 A 在椭圆上， 所以 ＋ 2 1＋b2 4b 3 2 2 ＝1，解得 b ＝3，b ＝－ (舍去)， 4 2 2 x y 所以椭圆方程为 ＋ ＝1. 4 3 (2)证明 设直线 AE 的方程为 y＝ 3 k(x－1)＋ ， 2 (1)解x2 y2 代入 ＋ ＝1. 4 3基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类?深度剖析题型二【例 2】圆锥曲线中的定点、定值问题? 3? 已知椭圆 C 经过点 A?1，2?， ? ?思维启迪解析探究提高两个焦点为(－1,0)、(1,0)． (1)求椭圆 C 的方程； (2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点， 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率 互为相反数，证明直线 EF 的斜率 为定值，并求出这个定值．得 (3 ＋ 4k2)x2 ＋ 4k(3 － 2k)x ＋ ?3 ? 4?2－k?2－12＝0. ? ? 设 E(xE，yE)，F(xF，yF)． ? 3? 因为点 A?1，2?在椭圆上， ? ? ?3 ? 4?2－k?2－12 ? ? 所以 xE＝ ， 3＋4k2 3 yE＝kxE＋2－k.又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上 式中以－k 代替 k，基础知识 题型分类 思想方法 练出高分题型分类?深度剖析题型二【例 2】圆锥曲线中的定点、定值问题? 3? 已知椭圆 C 经过点 A?1，2?， ? ?思维启迪解析探究提高两个焦点为(－1,0)、(1,0)． (1)求椭圆 C 的方程； (2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点， 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率 互为相反数，证明直线 EF 的斜率 为定值，并求出这个定值．， 3＋4k2 3 yF＝－kxF＋ ＋k， 2 所以直线 EF 的斜率 yF－yE －k?xE＋xF?＋2k kEF ＝ ＝ ＝ xF－xE xF－xE 1 2， 即直线 EF 的斜率为定值，其值 1 为2.思想方法 练出高分可得 xF＝?3 ? 4?2＋k?2－12 ? ?基础知识题型分类题型分类?深度剖析题型二【例 2】圆锥曲线中的定点、定值问题? 3? 已知椭圆 C 经过点 A?1，2?， ? ?思维启迪解析探究提高两个焦点为(－1,0)、(1,0)． (1)求椭圆 C 的方程； (2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点， 如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率 互为相反数，证明直线 EF 的斜率 为定值，并求出这个定值．求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再 证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算 推理的过程中消去变量，从而得 到定值．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类?深度剖析变式训练 2 椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，该椭圆经过 ? 3? 1 ?1， ?且离心率为 . 点P 2? 2 ?(1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若直线 l： y＝kx＋m 与椭圆 C 相交于 A， B 两点(A，B 不是左，右顶点)，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右 顶点，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．x2 y2 (1)解 设椭圆方程为a2＋b2＝1 (a&b&0)， c 1 由 e＝a＝2，得 a＝2c，∵a2＝b2＋c2，∴b2＝3c2， x2 y2 则椭圆方程变为4c2＋3c2＝1. ? 3? 又椭圆过点 P?1，2?，将其代入求得 c2＝1， ? ?基础知识 题型分类 思想方法 练出高分题型分类?深度剖析x2 y2 故 a2＝4，b2＝3，即得椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 4 3 ?y＝kx＋m， ? 2 2 (2)证明 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立?x y ? 4 ＋ 3 ＝1， 2 2 2 ? 得(3＋4k )x ＋8mkx＋4(m －3)＝0.?Δ＝64m2k2－16?3＋4k2??m2－3?&0， ? ?x1＋x2＝－ 8mk 2， 3＋4k 则? ? 4?m2－3? ?x1?2＝ x . 3＋4k2 ?①3?m2－4k2? 又 y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝ 2 . 3＋4k ∵椭圆的右顶点为 A2(2,0)，AA2⊥BA2，基础知识 题型分类 思想方法 练出高分题型分类?深度剖析∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0， 3?m2－4k2? 4?m2－3? 16mk ∴ ＋ ＋ ＋4＝0， 3＋4k2 3＋4k2 3＋4k22k ∴7m2＋16mk＋4k2＝0，解得 m1＝－2k，m2＝－ ， 7 由①，得 3＋4k2－m2&0，当 m1＝－2k 时，l 的方程为 y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)，与 已知矛盾． ? ?2 ? 2? 2k 当 m2＝－ 7 时，l 的方程为 y＝k?x－7?，直线过定点?7，0?， ? ? ? ?∴直线 l?2 ? 过定点，定点坐标为?7，0?. ? ?基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类?深度剖析题型三【例 3】圆锥曲线中的探索性问题已知中心在坐标原点 O思维启迪 解析探究提高的椭圆 C 经过点 A(2,3)，且点 F(2,0)为其右焦点． (1)求椭圆 C 的方程； (2)是否存在平行于 OA 的直线 l， 使得直线 l 与椭圆 C 有公共点， 且直线 OA 与 l 的距离等于 4？ 若存在，求出直线 l 的方程；若 不存在，说明理由．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类?深度剖析题型三【例 3】圆锥曲线中的探索性问题已知中心在坐标原点 O思维启迪 解析探究提高的椭圆 C 经过点 A(2,3)，且点 F(2,0)为其右焦点． (1)求椭圆 C 的方程； (2)是否存在平行于 OA 的直线 l， 使得直线 l 与椭圆 C 有公共点， 且直线 OA 与 l 的距离等于 4？ 若存在，求出直线 l 的方程；若 不存在，说明理由．可先假设 l 存在，然后根据与 C 有 公共点和与 OA 距离等于 4 两个条 件探求．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类?深度剖析题型三【例 3】圆锥曲线中的探索性问题已知中心在坐标原点 O解思维启迪 解析探究提高的椭圆 C 经过点 A(2,3)，且点 F(2,0)为其右焦点． (1)求椭圆 C 的方程；方法一 (1)依题意， 可设椭圆 x2 y2 C 的方程为 2＋ 2＝1(a&b&0)， 且可 a b知其左焦点为 F′(－2,0)． (2)是否存在平行于 OA 的直线 l， 从而有 使得直线 l 与椭圆 C 有公共点， ?c＝2， ? ? 且直线 OA 与 l 的距离等于 4？ ?2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8， ?若存在，求出直线 l 的方程；若 不存在，说明理由．?c＝2， ? 解得? ?a＝4. ?又 a2＝b2＋c2，所以 b2＝12， x2 y2 故椭圆 C 的方程为16＋12＝1.基础知识 题型分类 思想方法 练出高分题型分类?深度剖析题型三【例 3】圆锥曲线中的探索性问题已知中心在坐标原点 O思维启迪 解析探究提高(2)假设存在符合题意的直线 l，设 3 F(2,0)为其右焦点． 其方程为 y＝ x＋t. 2 (1)求椭圆 C 的方程； ? 3 ?y＝2x＋t， (2)是否存在平行于 OA 的直线 l， 由? 2 得 3x2＋3tx＋t2 x y2 ? ＋ ＝1， 使得直线 l 与椭圆 C 有公共点， ?16 12 且直线 OA 与 l 的距离等于 4？ －12＝0. 若存在，求出直线 l 的方程；若 因为直线 l 与椭圆 C 有公共点， 不存在，说明理由． 所 以 Δ ＝ (3t)2 － 4×3×(t2 －12)≥0，基础知识 题型分类 思想方法 练出高分的椭圆 C 经过点 A(2,3)，且点题型分类?深度剖析题型三【例 3】圆锥曲线中的探索性问题已知中心在坐标原点 O思维启迪 解析探究提高的椭圆 C 经过点 A(2,3)，且点 F(2,0)为其右焦点． (1)求椭圆 C 的方程； (2)是否存在平行于 OA 的直线 l， 使得直线 l 与椭圆 C 有公共点， 且直线 OA 与 l 的距离等于 4？ 若存在，求出直线 l 的方程；若 不存在，说明理由．解得－4 3≤t≤4 3.另一方面，由直线 OA 与 l 的距离 |t| d＝4，得 ＝4，解得 t ＝ 9 ＋1 4 ± 13. 2由于± 13?[－4 3，4 3]，所以 2 符合题意的直线 l 不存在．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类?深度剖析题型三【例 3】圆锥曲线中的探索性问题已知中心在坐标原点 O思维启迪 解析探究提高的椭圆 C 经过点 A(2,3)，且点 F(2,0)为其右焦点． (1)求椭圆 C 的方程；方法二(1)依题意，可设椭圆 C x2 y2 的方程为 2＋ 2＝1(a&b&0)， a b?4 9 ? 2＋ 2＝1， (2)是否存在平行于 OA 的直线 l， 且有?a b ?a2－b2＝4. 使得直线 l 与椭圆 C 有公共点， ? 且直线 OA 与 l 的距离等于 4？ 解得 b2＝12，b2＝－3(舍去)．若存在，求出直线 l 的方程；若 不存在，说明理由．x2 y2 所以椭圆 C 的方程为16＋12＝1. 从而 a2＝16.(2)同方法一．基础知识 题型分类 思想方法 练出高分题型分类?深度剖析题型三【例 3】圆锥曲线中的探索性问题已知中心在坐标原点 O思维启迪 解析探究提高的椭圆 C 经过点 A(2,3)，且点 F(2,0)为其右焦点． (1)求椭圆 C 的方程； (2)是否存在平行于 OA 的直线 l， 使得直线 l 与椭圆 C 有公共点， 且直线 OA 与 l 的距离等于 4？ 若存在，求出直线 l 的方程；若 不存在，说明理由．解决直线与圆锥曲线位置关系的 存在性问题，往往是先假设所求的 元素存在，然后再推理论证，检验 说明假设是否正确．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类?深度剖析变式训练 3(2012? 江西)已知三点 O(0,0)，A(－2,1)，B(2,1)，曲线 C 上 → → → → → 任意一点 M(x，y)满足|MA＋MB|＝OM? ＋OB)＋2. (OA (1)求曲线 C 的方程； (2)动点 Q(x0，y0)(－2&x0&2)在曲线 C 上，曲线 C 在点 Q 处的切线为 l.问：是否存在定点 P(0，t)(t&0)，使得 l 与 PA，PB 都相交，交点分 别为 D，E，且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数？若存在，求 t 的 值；若不存在，说明理由． → → 解 (1)由MA＝(－2－x,1－y)，MB＝(2－x,1－y)， → → |MA＋MB|＝ ?－2x?2＋?2－2y?2， → → → OM? ＋OB)＝(x，y)? (OA (0,2)＝2y，由已知得 ?－2x?2＋?2－2y?2＝2y＋2，基础知识 题型分类 思想方法 练出高分题型分类?深度剖析化简得曲线 C 的方程：x2＝4y. (2)假设存在点 P(0，t)(t&0)满足条件， t－1 则直线 PA 的方程是 y＝ 2 x＋t， 1－t PB 的方程是 y＝ 2 x＋t. x0 x2 0 曲线 C 在 Q 处的切线 l 的方程是 y＝ 2 x－ 4 ， 它与 y 轴的交点为 2 ? x0? F?0，－ 4 ?. ? ? x0 由于－2&x0&2，因此－1& 2 &1. t－1 1 x0 t－1 ①当－1&t&0 时， －1& &－ ， 存在 x0∈(－2,2)， 使得 ＝ ， 2 2 2 2即 l 与直线 PA 平行，故当－1&t&0 时不符合题意． t－1 x0 1－t x0 ②当 t≤－1 时， 2 ≤－1& 2 ， 2 ≥1& 2 ，基础知识 题型分类 思想方法 练出高分题型分类?深度剖析所以 l 与直线 PA，PB 一定相交．t－1 ? y＝ 2 x＋t， ? 分别联立方程组? x0 x2 ?y＝ x－ 0， 2 4 ?1－t ? y＝ 2 x＋t， ? ? x0 x2 ?y＝ x－ 0， 2 4 ?x2＋4t 0 解得 D，E 的横坐标分别是 xD＝ ， 2?x0＋1－t? x2＋4t 0 xE＝ ， 2?x0＋t－1? x2＋4t 0 则 xE－xD＝(1－t) 2 . x0－?t－1?2 x2 0 又|FP|＝－ 4 －t， 1－t ?x2＋4t?2 1 0 有 S△PDE＝2? |xE－xD|＝ 8 ? |FP|? 2， ?t－1?2－x0基础知识 题型分类 思想方法 练出高分题型分类?深度剖析x2? 4－x0 1 ? 0 又 S△QAB＝ ? ?1－ 4 ?＝ 4? ， 2 ? 2 ? 2 2 2 S△QAB 4 ?x0－4?[x0－?t－1? ] 于是 ＝ ? S△PDE 1－t ?x2＋4t?2 0 4 2 2 2 4 x0－[4＋?t－1? ]x0＋4?t－1? ＝ ? . 1－t x4＋8tx2＋16t2 0 0 S△QAB 对任意 x0∈(－2,2)，要使 为常数， S△PDE ?－4－?t－1?2＝8t， ? 即只需 t 满足? ?4?t－1?2＝16t2. ? S△QAB 解得 t＝－1.此时 ＝2， S△PDE2故存在 t＝－1，使得△QAB 与△PDE 的面积之比是常数 2.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类?深度剖析思想与方法 19.圆锥曲线中的函数思想x2 y2 典例：(12 分)已知椭圆 ＋ ＝1 上的两个动点 P，Q，设 P(x1，y1)，Q(x2， 4 2 y2)且 x1＋x2＝2.(1)求证：线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A； (2)设点 A 关于原点 O 的对称点是 B， 求|PB|的最小值及相应的 P 点坐标．审 题 视 角规 范 解 答温 馨 提 醒基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类?深度剖析思想与方法 19.圆锥曲线中的函数思想x2 y2 典例：(12 分)已知椭圆 ＋ ＝1 上的两个动点 P，Q，设 P(x1，y1)，Q(x2， 4 2 y2)且 x1＋x2＝2.(1)求证：线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A； (2)设点 A 关于原点 O 的对称点是 B， 求|PB|的最小值及相应的 P 点坐标．审 题 视 角规 范 解 答温 馨 提 醒(1)引入参数 PQ 中点的纵坐标，先求 kPQ，利用直线 PQ 的方程求解． (2)建立|PB|关于动点坐标的目标函数，利用函数的性质求最值．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类?深度剖析思想与方法 19.圆锥曲线中的函数思想x2 y2 典例：(12 分)已知椭圆 ＋ ＝1 上的两个动点 P，Q，设 P(x1，y1)，Q(x2， 4 2 y2)且 x1＋x2＝2.(1)求证：线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A； (2)设点 A 关于原点 O 的对称点是 B， 求|PB|的最小值及相应的 P 点坐标．审 题 视 角(1)证明规 范 解 答温 馨 提 醒∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且 x1＋x2＝2. ?x2＋2y2＝4 ? 1 y1－y2 1 x1＋x2 1 ? 2 当 x1≠x2 时，由 ，得 ＝－ ? . 2 y1＋y2 ?x2＋2y2＝4 x1－x2 ? 2 y1－y2 1 设线段 PQ 的中点 N(1，n)，∴kPQ＝ ＝－2n， x1－x2 ∴线段 PQ 的垂直平分线方程为 y－n＝2n(x－1)， ∴(2x－1)n－y＝0， 1 该直线恒过一个定点 A( ，0)． 2基础知识 题型分类 思想方法4分6分练出高分题型分类?深度剖析思想与方法 19.圆锥曲线中的函数思想x2 y2 典例：(12 分)已知椭圆 ＋ ＝1 上的两个动点 P，Q，设 P(x1，y1)，Q(x2， 4 2 y2)且 x1＋x2＝2.(1)求证：线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A； (2)设点 A 关于原点 O 的对称点是 B， 求|PB|的最小值及相应的 P 点坐标．审 题 视 角规 范 解 答温 馨 提 醒1 当 x1＝x2 时，线段 PQ 的中垂线也过定点 A( ，0)． 2 1 综上，线段 PQ 的垂直平分线恒过定点 A( ，0)． 2 (2)解 由于点 B 与点 A 关于原点 O 对称， 1 故点 B(－2，0)． ∵－2≤x1≤2，－2≤x2≤2，∴x1＝2－x2∈[0,2]， 1 1 7 9 2 |PB|2＝(x1＋2)2＋y1＝2(x1＋1)2＋4≥4， 3 ∴当点 P 的坐标为(0，± 2)时，|PB|min＝2.基础知识 题型分类 思想方法7分 8分 10分 12分练出高分题型分类?深度剖析思想与方法 19.圆锥曲线中的函数思想x2 y2 典例：(12 分)已知椭圆 ＋ ＝1 上的两个动点 P，Q，设 P(x1，y1)，Q(x2， 4 2 y2)且 x1＋x2＝2.(1)求证：线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A； (2)设点 A 关于原点 O 的对称点是 B， 求|PB|的最小值及相应的 P 点坐标．审 题 视 角规 范 解 答温 馨 提 醒(1)本题是圆锥曲线中的综合问题，涉及到了定点问题以及最值问题．求圆 锥曲线的最值问题是高考考查的一个重要问题，通常是先建立一个目标函 数，然后利用函数的单调性、函数的图象、函数的有界性或基本不等式等 求最值，本题是建立二次函数、利用二次函数的图象求最值． (2)本题的第一个易错点是，表达不出线段 PQ 的中垂线方程，原因是想不 到引入参数表示 PQ 的中点．第二个易错点是，易忽视 P 点坐标的取值范 围．实质上是忽视了椭圆的范围.基础知识 题型分类 思想方法 练出高分思想方法?感悟提高1． 解决直线与椭圆的位置关系问题， 如果直线与椭圆有两个不同 x2 y2 交点，可将直线方程 y＝kx＋c 代入椭圆方程 2＋ 2＝1 整理出 a b方 法 与 技 巧关于 x(或 y)的一元二次方程 Ax2＋Bx＋C＝0，Δ＝B2－4AC &0， Δ 可利用根与系数之间的关系求弦长(弦长为 1＋k2 |A| )．2．圆锥曲线综合问题要四重视： (1)重视定义在解题中的作用； (2)重视平面几何知识在解题中的作用； (3)重视根与系数的关系在解题中的作用； (4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用．基础知识题型分类思想方法练出高分思想方法?感悟提高失 误 与 防 范1．在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直 线与抛物线的对称轴平行的特殊情况．2．中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验 证 Δ&0 或说明中点在曲线内部．基础知识题型分类思想方法练出高分练出高分1 2 3A组4专项基础训练5 6 7 8 9基础知识题型分类思想方法练出高分练出高分1 2 3A组4专项基础训练5 6 7 8 91．直线 y＝kx＋2 与抛物线 y2＝8x 有且只有一个公共点，则 k 的值为 A．1 B．1 或 3 C．0 D．1 或 0 ( )解 析基础知识题型分类思想方法练出高分练出高分1 2 3A组4专项基础训练5 6 7 8 91．直线 y＝kx＋2 与抛物线 y2＝8x 有且只有一个公共点，则 k 的值为 A．1 B．1 或 3 C．0 D．1 或 0 ( D )解 析?y＝kx＋2， ? 由? 2 ?y ＝8x ?得 ky2－8y＋16＝0，若 k＝0，则 y＝2，若k≠0，若 Δ＝0，即 64－64k＝0，解得 k＝1，因此直线 y＝ kx＋2 与抛物线 y2＝8x 有且只有一个公共点，则 k＝0 或 k ＝1.基础知识题型分类思想方法练出高分练出高分1 2 3A组4专项基础训练5 6 7 8 9x2 y2 2． 为过椭圆 2＋ 2＝1 中心的弦， AB F(c,0)为它的焦点， 则△FAB a b 的最大面积为 A．b2 B．ab C．ac D．bc ( )解 析基础知识题型分类思想方法练出高分练出高分1 2 3A组4专项基础训练5 6 7 8 9x2 y2 2． 为过椭圆 2＋ 2＝1 中心的弦， AB F(c,0)为它的焦点， 则△FAB a b 的最大面积为 A．b2 B．ab C．ac D．bc ( D )解 析设 A、B 两点的坐标为(x1，y1)、(－x1，－y1)，1 则 S△FAB＝ |OF||2y1|＝c|y1|≤bc. 2基础知识题型分类思想方法练出高分练出高分1 2 3A组4专项基础训练5 6 7 8 93．过抛物线 y2＝2px (p&0)的焦点 F 且倾斜角为 60° 的直线 l 与抛物 |AF| 线在第一、四象限分别交于 A、B 两点，则 的值等于( ) |BF| A．5 B．4 C．3 D．2解 析基础知识题型分类思想方法练出高分练出高分1 2 3A组4专项基础训练5 6 7 8 93．过抛物线 y2＝2px (p&0)的焦点 F 且倾斜角为 60° 的直线 l 与抛物 |AF| 线在第一、四象限分别交于 A、B 两点，则 的值等于( C ) |BF| A．5 B．4 C．3 D．2解 析记抛物线 y2 ＝2px 的准线为 l，作 AA1⊥l，BB1⊥l， |AC| BC⊥AA1，垂足分别是 A1、B1、C，则有 cos 60° ＝ ＝ |AB| |AA1|－|BB1| |AF|－|BF| 1 |AF| ＝ ＝ ，由此得 ＝3，选 C. |BF| |AF|＋|BF| |AF|＋|BF| 2基础知识题型分类思想方法练出高分练出高分1 2 3A组4专项基础训练97 6 8 5 4．(2011? 山东)设 M(x0，y0)为抛物线 C：x2＝8y 上一点，F 为抛物线 C 的焦点，以 F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线 C 的 准线相交，则 y0 的取值范围是 A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) ( ) D．[2，＋∞)解 析基础知识题型分类思想方法练出高分练出高分1 2 3A组4专项基础训练97 6 8 5 4．(2011? 山东)设 M(x0，y0)为抛物线 C：x2＝8y 上一点，F 为抛物线 C 的焦点，以 F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线 C 的 准线相交，则 y0 的取值范围是 A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) ( C ) D．[2，＋∞)解 析∵x2＝8y，∴焦点 F 的坐标为(0,2)，准线方程为 y＝－2. 由抛物线的定义知|MF|＝y0＋2. 由于以 F 为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心 F 到准线的距离为 4，故 4&y0＋2，∴y0&2.基础知识题型分类思想方法练出高分练出高分1 2 3A组4专项基础训练5 6 7 8 95．设抛物线 x2＝4y 的焦点为 F，经过点 P(1,4)的直线 l 与抛物线相 → 交于 A、 两点， B 且点 P 恰为 AB 的中点， → |＋|BF|＝________. 则|AF解 析基础知识题型分类思想方法练出高分练出高分1 2 3A组4专项基础训练5 6 7 8 95．设抛物线 x2＝4y 的焦点为 F，经过点 P(1,4)的直线 l 与抛物线相 → 10 交于 A、 两点， B 且点 P 恰为 AB 的中点， → |＋|BF|＝________. 则|AF解 析2 2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知 x1＋x2＝2，且 x1＝4y1，x2 y1－y2 x1＋x2 1 ＝4y2，两式相减整理得， ＝ ＝ ，所以直线 AB 4 2 x1－x2的方程为 x－2y＋7＝0.将 x＝2y－7 代入 x2＝4y 整理得 4y2－ → → 32y＋49＝0，所以 y1＋y2＝8，又由抛物线定义得|AF|＋|BF| ＝y1＋y2＋2＝10.基础知识题型分类思想方法练出高分练出高分1 2 3A组4专项基础训练5 6 7 8 9x2 2 6．已知椭圆 ＋y ＝1 的两个焦点为 F1、F2，过 F1 作垂直于 x 轴的 4 直线与椭圆相交，一个交点为 P，则|PF2|＝______.解 析基础知识题型分类思想方法练出高分练出高分1 2 3A组4专项基础训练5 6 7 8 9x2 2 6．已知椭圆 ＋y ＝1 的两个焦点为 F1、F2，过 F1 作垂直于 x 轴的 4 7 直线与椭圆相交，一个交点为 P，则|PF2|＝______. 2解 析1 将 x＝－ 3代入椭圆方程得 yp＝ ， 由|PF1|＋|PF2| 2 ＝41 7 ?|PF2|＝4－|PF1|＝4－2＝2.基础知识题型分类思想方法练出高分练出高分1 2 3A组4专项基础训练5 6 7 8 97．直线 y＝kx－2 与抛物线 y2＝8x 交于不同两点 A、B，且 AB 的 中点横坐标为 2，则 k 的值是________．解 析基础知识题型分类思想方法练出高分练出高分1 2 3A组4专项基础训练5 6 7 8 97．直线 y＝kx－2 与抛物线 y2＝8x 交于不同两点 A、B，且 AB 的 2 中点横坐标为 2，则 k 的值是________．解 析设?y＝kx－2， ? A(x1，y1)、B(x2，y2)，由? 2 ?y ＝8x， ?消去 y 得 k2x2－4(k＋2)x＋4＝0， ?Δ＝[－4?k＋2?]2－4×k2×4&0， ? 由题意得? 4?k＋2? ?x1＋x2＝ k2 ＝2×2， ? ?k&－1， ? ∴? 即 k＝2. ?k＝－1或k＝2， ?基础知识 题型分类 思想方法 练出高分练出高分1 2 3A组4专项基础训练5 6 7 8 9x2 y2 8．(10 分)椭圆 2＋ 2＝1 (a&b&0)与直线 x＋y－1＝0 相交于 P、Q 两 a b 点，且 OP⊥OQ(O 为原点)． 1 1 (1)求证： 2＋ 2等于定值； a b ? 3 2? ? (2)若椭圆的离心率 e∈? ， ?，求椭圆长轴长的取值范围． 2? ? 3 ?解 析基础知识题型分类思想方法练出高分练出高分1 2 3A组4专项基础训练5 6 7 8 9x2 y2 8．(10 分)椭圆 2＋ 2＝1 (a&b&0)与直线 x＋y－1＝0 相交于 P、Q 两 a b 点，且 OP⊥OQ(O 为原点)． 1 1 (1)求证： 2＋ 2等于定值； a b ? 3 2? ? (2)若椭圆的离心率 e∈? ， ?，求椭圆长轴长的取值范围． 2? ? 3 ?解 析(1)证明消去 y，得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0，∵直线与椭圆有两个交点，∴Δ&0， 即 4a4－4(a2＋b2)a2(1－b2)&0 ?a2b2(a2＋b2－1)&0， ∵a&b&0，∴a2＋b2&1.基础知识 题型分类?b2x2＋a2y2＝a2b2， ? 由? ?x＋y－1＝0 ?①思想方法练出高分练出高分1 2 3A组4专项基础训练5 6 7 8 9x2 y2 8．(10 分)椭圆 2＋ 2＝1 (a&b&0)与直线 x＋y－1＝0 相交于 P、Q 两 a b 点，且 OP⊥OQ(O 为原点)． 1 1 (1)求证： 2＋ 2等于定值； a b ? 3 2? ? (2)若椭圆的离心率 e∈? ， ?，求椭圆长轴长的取值范围． 2? ? 3 ?解 析a2?1－b2? 2a2 ∴x1＋x2＝ 2 ，x1x2＝ 2 . a ＋b2 a ＋b2设 P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则 x1、x2 是方程①的两实根．②由 OP⊥OQ 得 x1x2＋y1y2＝0，又 y1＝1－x1，y2＝1－x2， 得 2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0. ③基础知识 题型分类 思想方法 练出高分练出高分1 2 3A组4专项基础训练5 6 7 8 9x2 y2 8．(10 分)椭圆 2＋ 2＝1 (a&b&0)与直线 x＋y－1＝0 相交于 P、Q 两 a b 点，且 OP⊥OQ(O 为原点)． 1 1 (1)求证： 2＋ 2等于定值； a b ? 3 2? ? (2)若椭圆的离心率 e∈? ， ?，求椭圆长轴长的取值范围． 2? ? 3 ?解 析式②代入式③化简得 a2＋b2＝2a2b2.1 1 ∴a2＋b2＝2.④(2)解利用(1)的结论，将 a 表示为 e 的函数c 由 e＝a?b2＝a2－a2e2，基础知识 题型分类 思想方法 练出高分练出高分1 2 3A组4专项基础训练5 6 7 8 9x2 y2 8．(10 分)椭圆 2＋ 2＝1 (a&b&0)与直线 x＋y－1＝0 相交于 P、Q 两 a b 点，且 OP⊥OQ(O 为原点)． 1 1 (1)求证： 2＋ 2等于定值； a b ? 3 2? ? (2)若椭圆的离心率 e∈? ， ?，求椭圆长轴长的取值范围． 2? ? 3 ?代入式④，得 2－e2－2a2(1－e2)＝0. 2－e2 1 1 ∴a2＝ ＝2＋ 2 2 . 2?1－e ? 2?1－e ? 3 2 5 2 3 ∵ 3 ≤e≤ 2 ，∴4≤a ≤2. 5 6 ∵a&0，∴ 2 ≤a≤ 2 .∴长轴长的取值范围为[ 5， 6]．基础知识 题型分类 思想方法 练出高分解 析练出高分1 2 3A组4专项基础训练5 6 7 8 9y2 9．(12 分)给出双曲线 x2－ ＝1. 2 (1)求以 A(2,1)为中点的弦所在的直线方程； (2)若过点 A(2,1)的直线 l 与所给双曲线交于 P1，P2 两点，求线段 P1P2 的中点 P 的轨迹方程； (3)过点 B(1,1)能否作直线 m，使得 m 与双曲线交于两点 Q1，Q2， 且 B 是 Q1Q2 的中点？这样的直线 m 若存在，求出它的方程；若 不存在，说明理由．基础知识题型分类思想方法练出高分练出高分1 2 3A组4专项基础训练5 6 7 8 9解 析解 (1)设弦的两端点为?2x2－y2＝2， ? 1 1 ? 2 P1(x1， 1)， 2(x2， 2)， y P y 则 ?2x2－y2＝2， ? 2两式相减得到 2(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)， 又 x1＋x2＝4，y1＋y2＝2， y1－y2 所以直线斜率 k＝ ＝4. x1－x2 故求得直线方程为 4x－y－7＝0.(2)设 P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， y1－y2 2x 按照(1)的解法可得 ＝ ， x1－x2 y y1－y2 y－1 由于 P1，P2，P，A 四点共线，得 ＝ ， x1－x2 x－2基础知识 题型分类 思想方法① ②练出高分练出高分1 2 3A组4专项基础训练5 6 7 8 9解 析2x y－1 由①②可得 y ＝ ，整理得 2x2－y2－4x＋y＝0，检验当 x1 x－2 ＝x2 时，x＝2，y＝0 也满足方程，故 P1P2 的中点 P 的轨迹方程 是 2x2－y2－4x＋y＝0. (3)假设满足题设条件的直线 m 存在， 按照(1)的解法可得直线 m 的方程为 y＝2x－1. ?y＝2x－1， ? 考虑到方程组? 2 y2 无解，因此满足题设条件的直线 m ?x － 2 ＝1 ?是不存在的．基础知识 题型分类 思想方法 练出高分练出高分1 2B组3专项能力提升4 5 6 7基础知识题型分类思想方法练出高分练出高分1 2B组3专项能力提升4 5 6 71．已知双曲线 E 的中心为原点，F(3,0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且 AB 的中点为 N(－12，－15)，则 E 的方程为 x2 y2 A. － ＝1 3 6 ( x2 y2 B. － ＝1 4 5 x2 y2 C. － ＝1 6 3 x2 y2 D. － ＝1 5 4 )解 析基础知识题型分类思想方法练出高分练出高分1 2B组3专项能力提升4 5 6 71．已知双曲线 E 的中心为原点，F(3,0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且 AB 的中点为 N(－12，－15)，则 E 的方程为 x2 y2 A. － ＝1 3 6 ( x2 y2 B. － ＝1 4 5 x2 y2 C. － ＝1 6 3 x2 y2 D. － ＝1 5 4 )0＋15 ∵kAB＝ ＝1， 3＋12 ∴直线 AB 的方程为 y＝x－3. 由于双曲线的焦点为 F(3,0)，∴c＝3，c2＝9.解 析x2 y2 设双曲线的标准方程为a2－b2＝1(a&0，b&0)， 2 x2 ?x－3? 则 2－ ＝1.整理，得 a b2基础知识 题型分类 思想方法 练出高分练出高分1 2B组3专项能力提升4 5 6 71．已知双曲线 E 的中心为原点，F(3,0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且 AB 的中点为 N(－12，－15)，则 E 的方程为 x2 y2 A. － ＝1 3 6 ( B ) x2 y2 B. － ＝1 4 5 x2 y2 C. － ＝1 6 3 x2 y2 D. － ＝1 5 4解 析(b2－a2)x2＋6a2x－9a2－a2b2＝0.6a2 2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝ 2 2 ＝2×(－12)，∴a a －b ＝－4a2＋4b2，∴5a2＝4b2.又 a2＋b2＝9，∴a2＝4，b2＝5，∴双 x2 y2 曲线 E 的方程为 － ＝1. 4 5基础知识 题型分类 思想方法 练出高分练出高分1 2B组3专项能力提升4 5 6 72． 已知抛物线 y＝－x2＋3 上存在关于直线 x＋y＝0 对称的相异两点 A、B，则|AB|等于 A．3 B．4 C．3 2 D．4 2 ( )解 析基础知识题型分类思想方法练出高分练出高分1 2B组3专项能力提升4 5 6 72． 已知抛物线 y＝－x2＋3 上存在关于直线 x＋y＝0 对称的相异两点 A、B，则|AB|等于 A．3 B．4 C．3 2 D．4 2 ( C )解 析?y＝－x2＋3 ? 由? ?y＝x＋b ?设直线 AB 的方程为 y＝x＋b.?x2＋x＋b－3＝0?x1＋x2＝－1，? 1 1 ? 得 AB 的中点 M?－2，－2＋b?. ? ? ? 1 ? 1 又 M?－2，－2＋b?在直线 x＋y＝0 ? ?上，可求出 b＝1，∴x2＋x－2＝0， 则|AB|＝ 1＋12? ?－1?2－4×?－2?＝3 2.基础知识 题型分类 思想方法 练出高分练出高分B组专项能力提升71 2 3 4 6 5 3．如图，已知过抛物线 y2＝2px (p&0)的焦点 F 的直线 x－my＋m＝0 与抛物线交于 A、B 两点，且△OAB(O 为 坐标原点)的面积为 2 2，则 m6＋m4 的值是( A．1 B. 2 C．2 D．4 )解 析基础知识题型分类思想方法练出高分练出高分B组专项能力提升75 1 2 3 4 6 3．如图，已知过抛物线 y2＝2px (p&0)的焦点 F 的直线 x－my＋m＝0 与抛物线交于 A、B 两点，且△OAB(O 为 坐标原点)的面积为 2 2，则 m6＋m4 的值是( C ) A．1 B. 2 C．2 D．4解 析p 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知， ＝－m，将 2x＝my－m 代入抛物线方程 y2＝2px(p&0)中，整理得 y2－2pmy＋2pm ＝0，由根与系数的关系，得 y1＋y2＝2pm，y1y2＝2pm，∴(y1－y2)2 ＝(y1＋y2)2－4y1y2＝(2pm)2－8pm＝16m4＋16m2，又△OAB 的面积 S 1 p 1 ＝ × |y1－y2|＝ (－m)×4 m4＋m2＝2 2，两边平方即可得 m6＋m4 2 2 2 ＝2.基础知识 题型分类 思想方法 练出高分练出高分1 2B组3专项能力提升4 5 6 7x2 y2 4． 直线 y＝kx＋1 与椭圆 ＋m＝1 恒有公共点， m 的取值范围 则 5 是______________．解 析基础知识题型分类思想方法练出高分练出高分1 2B组3专项能力提升4 5 6 7x2 y2 4． 直线 y＝kx＋1 与椭圆 ＋m＝1 恒有公共点， m 的取值范围 则 5 m≥1 且 m≠5 是______________．解 析x2 y2 ∵方程 ＋m＝1 表示椭圆，∴m&0 且 m≠5. 5 ∵直线 y＝kx＋1 恒过(0,1)点，02 12 ∴要使直线与椭圆总有公共点，应有： ＋ ≤1，m≥1， 5 m ∴m 的取值范围是 m≥1 且 m≠5.基础知识题型分类思想方法练出高分练出高分1 2B组3专项能力提升4 5 6 7x2 y2 5．已知双曲线 2－ 2＝1 (a&1，b&0)的焦距为 2c，离心率为 e，若 a b x y 4 点(－1,0)与(1,0)到直线a－b＝1 的距离之和 s≥ c，则 e 的取值 5 范围是__________．解 析基础知识题型分类思想方法练出高分练出高分1 2B组3专项能力提升4 5 6 7x2 y2 5．已知双曲线 2－ 2＝1 (a&1，b&0)的焦距为 2c，离心率为 e，若 a b x y 4 点(－1,0)与(1,0)到直线a－b＝1 的距离之和 s≥ c，则 e 的取值 5 ? ?5 ? ， 5? 2 ? 范围是__________．? ? ?|－b－ab| |b－ab| 2ab 4 由题意知 s＝ 解 析 2 2 ＋ 2 2＝ c ≥5c， a ＋b a ＋b 2 2c 5b 2 ∴2c ≤5ab，∴ a2 ≤ a .b 又a＝ c2－a2 2 2 2 2 ＝ e －1，∴2e ≤5 e －1， a∴4e4≤25(e2－1)，∴4e4－25e2＋25≤0， 5 2 5 ∴4≤e ≤5，∴ 2 ≤e≤ 5.基础知识 题型分类 思想方法 练出高分练出高分1 2B组3专项能力提升4 5 6 76． 若过抛物线 y2＝2px (p&0)的焦点 F 的直线 l 依次交抛物线及其 准线于点 A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的 方程为____________．解 析基础知识题型分类思想方法练出高分练出高分1 2B组3专项能力提升4 5 6 76． 若过抛物线 y2＝2px (p&0)的焦点 F 的直线 l 依次交抛物线及其 准线于点 A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的y2＝3x 方程为____________．解 析如图，过 A、B 分别作 AD、BE 垂直于准线，垂 足分别为 D、E. 由|BC|＝2|BF|，即|BC|＝2|BE|， 则∠BCE＝30° ，又|AF|＝3，即|AD|＝3，|AC|＝6， ∴F 为 AC 的中点，KF 为△ACD 的中位线， 1 3 ∴p＝|FK|＝2|AD|＝2，所求抛物线方程为 y2＝3x.基础知识 题型分类 思想方法 练出高分练出高分12B组3专项能力提升4 5 677．(13 分)(2012? 上海)在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C1： 2x2－y2＝1. (1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线， 求该直线与另一 条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积． (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点．若 l 与圆 x2＋y2＝1 相切，求证：OP⊥OQ. (3)设椭圆 C2：4x2＋y2＝1.若 M、N 分别是 C1、C2 上的动点，且 OM⊥ON，求证：O 到直线 MN 的距离是定值．基础知识题型分类思想方法练出高分练出高分1 2B组3专项能力提升4 5 6 7解 析(1)解? ? x2 2 2 ? 双曲线 C1： －y ＝1，左顶点 A?－ ，0?，渐近线方 ? 1 2 ? ? 2程：y＝± 2x. 不妨取过点 A 与渐近线 y＝ 2x 平行的直线方程为 ? 2? ? y＝ 2?x＋ ?，即 y＝ 2x＋1. 2? ? ? ? 2 ?y＝－ 2x， ?x＝－ 4 ， ? 解方程组? 得? ?y＝ 2x＋1 ? ?y＝1. ? 2 1 2 所以所求三角形的面积为 S＝ |OA||y|＝ . 2 8基础知识 题型分类 思想方法 练出高分练出高分1 2B组3专项能力提升4 5 6 7解 析设直线 PQ 的方程是 y＝x＋b. |b| 因为直线 PQ 与已知圆相切，故 ＝1，即 b2＝2. 2 ?y＝x＋b， ? 由? 2 2 得 x2－2bx－b2－1＝0. ?2x －y ＝1 ? ?x ＋x ＝2b， ? 1 2 ? 设 P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则 ?x1x2＝－1－b2. ? (2)证明又 y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)，所以→ → OP? ＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2 OQ＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0. 故 OP⊥OQ.基础知识 题型分类 思想方法 练出高分练出高分1 2B组3专项能力提升4 5 6 7解 析当直线 ON 垂直于 x 轴时， 2 3 |ON|＝1，|OM|＝ ，则 O 到直线 MN 的距离为 . 2 3 (3)证明当直线 ON 不垂直于 x 轴时，设直线 ON1 则直线 OM 的方程为 y＝－kx. ? 2 ?x ＝ 1 2， ?y＝kx， 4＋k ? ? 由? 2 2 得? ?4x ＋y ＝1 k2 ? ?y2＝ 2， ? 4＋k ?1＋k2 所以|ON|2＝ . 4＋k2基础知识 题型分类? 的方程为 y＝kx?显然|k|& ?2? ?， 2?思想方法练出高分练出高分1 2B组3专项能力提升4 5 6 7解 析1＋k2 同理|OM|2＝ 2 . 2k －1设 O 到直线 MN 的距离为 d，因为(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2， 3k2＋3 1 1 1 3 所以d2＝|OM|2＋|ON|2＝ 2 ＝3，即 d＝ 3 . k ＋1综上，O 到直线 MN 的距离是定值．基础知识题型分类思想方法练出高分
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