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第03章 远期和期货的定价
第三章远期和期货的定价衍生金融工具的定价（Pricing）指的是确定衍生证券的理论价格，它既是市场参与者进行投机、 套期保值和套利的依据，也是银行对场外交易的衍生金融工具提供报价的依据。我们将分别介绍远期、 期货、互换和期权这四种基本衍生金融工具的定价方法。更复杂的衍生金融工具的定价可以据此推导 出来。第一节 金融远期和期货市场概述一、金融远期市场 （一）金融远期合约的定义 金融远期合约（Forward Contracts）是指双方约定在未来的某一确定时间，按确定的价格买 卖 一定 数量的 某种 金融资 产的 合约。 在合 约中规 定在 将来买 入标 的物的 一方 称为多 方（ Long Position） ，而在未来卖出标的物的一方称为空方（Short Position） 。合约中规定的未来买卖标 的物的价格称为交割价格（Delivery Price） 。如果信息是对称的，而且合约双方对未来的预期相 同，那么合约双方所选择的交割价格应使合约的价值在签署合约时等于零。这意味着无需成本就可处 于远期合约的多头或空头状态。 我们把使得远期合约价值为零的交割价格称为远期价格 使得远期合约价值为零的交割价格称为远期价格（Forward Price） 。这个远期价格显然 使得远期合约价值为零的交割价格称为远期价格 是理论价格，它与远期合约在实际交易中形成的实际价格（即双方签约时所确定的交割价格）并不一 定相等。但是，一旦理论价格与实际价格不相等，就会出现套利（Arbitrage）机会。若交割价格高 于远期价格，套利者就可以通过买入标的资产现货、卖出远期并等待交割来获取无风险利润，从而促 使现货价格上升、交割价格下降，直至套利机会消失；若交割价格低于远期价格，套利者就可以通过 卖空标的资产现货、买入远期来获取无风险利润，从而促使现货价格下降，交割价格上升，直至套利 机会消失。而此时，远期理论价格等于实际价格。在本书中，我们所说的对金融工具的定价，实际上 都是指确定其理论价格。 这里要特别指出的是远期价格与远期价值的区别。一般来说，价格总是围绕着价值波动的，而远 期价格跟远期价值却相差十万八千里。例如，当远期价格等于交割价格时，远期价值为零 当远期价格等于交割价格时， 当远期价格等于交割价格时 远期价值为零。这是为什 么呢？其原因在于远期价格指的是远期合约中标的物的远期价格，它是跟标的物的现货价格紧密相联 的，而远期价值则是指远期合约本身的价值，它是由远期实际价格与远期理论价格的差距决定的。在 合约签署时，若交割价格等于远期理论价格，则此时合约价值为零。但随着时间推移，远期理论价格 但随着时间推移， 但随着时间推移 有可能改变，而原有合约的交割价格则不可能改变，因此原有合约的价值就可能不再为零 价值就可能不再为零。 有可能改变，而原有合约的交割价格则不可能改变，因此原有合约的价值就可能不再为零 （二）远期合约的由来和优缺点 远期合约是适应规避现货交易风险的需要而产生的。相对于原始社会自给自足的状态而言，现货 交易是人类的一大进步。通过交易，双方均可获得好处。但现货交易的最大缺点在于无法规避价格风 险。一个农场主的命运完全掌握在他的农作物收割时农作物现货市场价格手中。如果在播种时就能确 定农作物收割时卖出的价格，农场主就可安心致力于农作物的生产了。远期合约正是适应这种需要而 产生的。 远期合约是非标准化合约。因此它不在交易所交易，而是在金融机构之间或金融机构与客户之间 通过谈判后签署远期合约。已有的远期合约也可以在场外市场交易。 在签署远期合约之前，双方可以就交割地点、交割时间、交割价格、合约规模、标的物的品质等 细节进行谈判，以便尽量满足双方的需要。因此远期合约跟下节将要介绍的期货合约相比，灵活性较 灵活性较 这是远期合约的主要优点。 大。这是远期合约的主要优点。1但远期合约也有明显的缺点：首先，由于远期合约没有固定的、集中的交易场所，不利于信息交 流和传递，不利于形成统一的市场价格，市场效率较低 市场效率较低。其次，由于每份远期合约千差万别，这就给 市场效率较低 远期合约的流通造成较大不便，因此远期合约的流动性较差 流动性较差。最后，远期合约的履约没有保证 履约没有保证，当价 流动性较差 履约没有保证 格变动对一方有利时，对方有可能无力或无诚意履行合约，因此远期合约的违约风险较高。 （三）金融远期合约的种类 金融远期合约主要有远期利率协议、远期外汇合约和远期股票合约等。 1.远期利率协议 1.远期利率协议 远期利率协议（Forward Rate Agreements，简称 FRA）是买卖双方同意从未来某一商定的 是买卖双方同意从未来某一商定的 时期开始在某一特定时期内按协议利率借贷一笔数额确定、以具体货币表示的名义本金的协议。远期 时期开始在某一特定时期内按协议利率借贷一笔数额确定、以具体货币表示的名义本金的协议 利率协议的买方是名义借款人，其订立远期利率协议的目的主要是为了规避利率上升的风险。远期利 率协议的卖方则是名义贷款人，其订立远期利率协议的目的主要是为了规避利率下降的风险。之所以 称为“名义” ，是因为借贷双方不必交换本金，只是在结算日根据协议利率和参考利率之间的差额以及 名义本金额，由交易一方付给另一方结算金。 所谓远期利率是指现在时刻的将来一定期限的利率。如 1×4 远期利率，即表示 1 个月之后开始的 期限 3 个月的远期利率。 那么，远期利率是怎么决定的呢？远期利率是由一系列即期利率决定的。例如，如果一年期的即 期利率为 10%，二年期的即期利率为 10.5%，那么其隐含的一年到二年的远期利率就约等于 11%，这 是因为：2 （1＋10％）（1＋11 ％）（1＋10.5％） ≈一般地说，如果现在时刻为 t，T 时刻到期的即期利率为 r，T*时刻（ T * & T ）到期的即期利率 为 r * ，则 t 时刻的 T * ? T 期间的远期利率 r 可以通过下式求得：∧(1 + r )T ?t? ∧? ?1 + r ? ? ?T * ?T= 1+ r*()T * ?t（3.1）应注意的是，式（3.1）仅适用于每年计一次复利的情形。 为了更精确地算出即期利率和远期利率之间的关系，我们必须引入连续复利的概念。连续复利在 以后几章的衍生证券定价中有相当广泛的应用。 假设数额 A 以利率 R 投资了 n 年。如果利息按每一年计一次复利，则上述投资的终值为：A(1 + R )如果每年计 m 次复利，则终值为：R A(1 + m )n（3.2）mn（3.3）当 m 趋于无穷大时，就称为连续复利（Continuous compounding） ，此时的终值为m→∞ R lim A(1 + m ) mn= Ae Rn（3.4）表 3.1 表示了提高复利频率所带来的效果。 从表 3.1 可以看出， 连续复利 （精确到小数点后两位） 与每天计复利得到的效果一样。因此，从实用目的来看，通常可以认为连续复利与每天计复利等价。 表 3.1 复利频率与终值 提高计复利的频率对 100 元在一年末终值的影响，利率为每年 10%2复利频率 每一年（m=1） 每半年（m=2） 每季度（m=4） 每 月（m=12） 每 周（m=52） 每 天（m=365） 连续复利100 元在一年末的终值（单位:元, 取两位小数） 110.00 110.25 110.38 110.47 110.51 110.52 110.52假设 Rc 是连续复利的利率， Rm 是与之等价的每年计 m 次复利的利率，从式（3.3）和（3.4）我 们有：e Rc n = 1 +这意味着：(Rm mn m)或e Rc = 1 +(Rm m m)Rc = m ln 1 +(Rm m)（3.5）? Rc ? Rm = m? e m ? 1? ? ?（3.6）通过式（3.5）和（3.6） ，我们可以实现每年计 m 次复利的利率与连续复利之间的转换。 特别地，当 m=1 时， （3.7） Rc=ln(1+Rm)Rm = e Rc ? 1（3.8）本书所附光盘中题为“利率的换算”的软件可用来计算一年计一次复利的利率与连续复利利率之 间、以及一年计 m 次利率与一年计 1 次利率之间的相互转换。 当即期利率和远期利率所用的利率均为连续复利时，即期利率和远期利率的关系可表示为：r * T * ? t ? r (T ? t ) r= T * ?T∧()（3.9）这是因为：e r (T ? t ) × e r (T∧*?T) = e r (T ?t )* *所以，r (T ? t ) + r T * ? T = r * T * ? t∧()()例如，当一年期和两年期的连续复利年利率分别为 10%和 10.5%时，一年到二年的连续复利远期 年利率就等于 11%，这是因为：e 0.10 × e 0.11 = e 0.105× 22.远期外汇合约 2.远期外汇合约 远期外汇合约（Forward Exchange Contracts）是指双方约定在将来某一时间按约定的远期3汇率买卖一定金额的某种外汇的合约。交易双方在签订合同时，就确定好将来进行交割的远期汇率， 到时不论汇价如何变化，都应按此汇率交割。在交割时，名义本金并未交割，而只交割合同中规定的 远期汇率与当时的即期汇率之间的差额。 按照远期的开始时期划分，远期外汇合约又分为直接远期外汇合约（Outright Forward Foreign Exchange Contracts）和远期外汇综合协议（Synthetic Agreement for Forward Exchange ，简称 SAFE） 。前者的远期期限是直接从现在开始算的，而后者的远期期限是从未来的某 个时点开始算的，因此实际上是远期的远期外汇合约。如 1×4 远期外汇综合协议是指从起算日之后的 一个月（结算日）开始计算的为期 3 个月的远期外汇综合协议。 3.远期股票合约 3.远期股票合约 远期股票合约（Equity forwards）是指在将来某一特定日期按特定价格交付一定数量单个股 票或一揽子股票的协议。 由于远期股票合约世界上出现不久，仅在小范围内有交易记录，本书不作详述。二、金融期货市场20 世纪 70 年代初，西方国家出现了严重的通货膨胀，固定汇率制也被浮动汇率制所取代，国内 外经济环境和体制安排的转变使经济活动的风险增大。这种情况反映到金融市场上就是利率、汇率和 证券价格的急剧波动，原有的远期交易由于其流动性差、信息不对称、违约风险高等缺陷而无法满足 人们急剧增长的需要，金融期货交易应运而生。 （一）金融期货合约的定义和特征 金融期货合约（Financial Futures Contracts）是指协议双方同意在约定的将来某个日期 按约定的条件（包括价格、交割地点、交割方式）买入或卖出一定标准数量的某种金融工具的标准化 协议。合约中规定的价格就是期货价格(Futures Price)。 金融期货交易具有如下显著的特征： 1． 期货合约均在交易所进行，交易双方不直接接触，而是各自跟交易所的清算部或专设的清算 公司结算。清算公司充当所有期货买者的卖者和所有卖者的买者，因此交易双方无须担心对方违约， 由于所有买者和卖者都集中在交易所交易，因此就克服了远期交易所存在的信息不对称和违约风险高 的缺陷。 2． 期货合约的买者或卖者可在交割日之前采取对冲交易以结束其期货头寸（即平仓） ，而无须进 行最后的实物交割。这相当于买者可把原来买进的期货卖掉，卖者可把原来卖出的期货买回，这就克 服了远期交易流动性差的问题。由于通过平仓结束期货头寸比起实物交割既省事又灵活，因此目前大 多数期货交易都是通过平仓来结清头寸的。据统计，最终进行实物交割的期货合约不到 2%。 尽管如此，我们也不应忽视交割的重要性。正是因为具有最后交割的可能性，期货价格和标的物 的现货价格之间才具有内在的联系。随着期货交割月份的逼近，期货价格收敛于标的资产的现货价格。 当到达交割期限时，期货的价格等于或非常接近于现货的价格，不然的话，就存在无风险套利机会 。 3． 期货合约的合约规模、交割日期、交割地点等都是标准化的，即在合约上有明确的规定，无 须双方再商定。交易双方所要做的唯一工作是选择适合自己的期货合约，并通过交易所竞价确定成交 价格。价格是期货合约的唯一变量。当然，这并不是说所有期货合约的交割月份、交割地点等都是一 样的，同种金融工具的期货合约可以有不同的交割月份，但它是由交易所事先确定，并在合约中事先 载明的，而不是由交易双方商定后载入合约的。 有时，交易所允许期货合约的空方（即卖方）在可供选择的标的物（主要适用于利率期货和商品 期货）和交割地点（主要适用于商品期货）之间选择，交易所将根据空方的选择按事先规定的公式对 其收取的价款进行调整。 有些金融期货，如标的物为股价指数的期货，在交割时是以现金结算的，这是因为直接交割标的4物非常不方便或者是不可能的。 交易所还根据客户的需要规定各金融工具期货合约的交割月份，交易所必须指定在交割月份中可 以进行交割的确切时间。对于许多期货合约来说，交割日期可以是整个交割月，具体在哪一天交割， 由空方选择。 4． 期货交易是每天进行结算的，而不是到期一次性进行的，买卖双方在交易之前都必须在经纪 公司开立专门的保证金账户。经纪公司通常要求交易者在交易之前必须存入一定数量的保证金，这个 保证金叫初始保证金（Initial Margin） 。在每天交易结束时，保证金账户都要根据期货价格的升 跌而进行调整，以反映交易者的浮动盈亏，这就是所谓的盯市（Marking to Market） 。浮动盈亏是 根据结算价格（Settlement Price）计算的。结算价格的确定由交易所规定，它有可能是当天的加 权平均价，也可能是收盘价，还可能是最后几秒钟的平均价。 当天结算价格高于昨天的结算价格（或当天的开仓价）时，高出部分就是多头的浮动盈利和空头 的浮动亏损。这些浮动盈利和亏损就在当天晚上分别加入多头的保证金账户和从空头的保证金账户中 扣除。当保证金账户的余额超过初始保证金水平时，交易者可随时提取现金或用于开新仓 。而当保证 当保证金账户的余额超过初始保证金水平时， 当保证金账户的余额超过初始保证金水平时 金账户的余额低于交易所规定的维持保证金（Maintenance Margin）水平时，经纪公司就会通知 交易者限期把保证金水平补足到初始保证金水平，否则就会被强制平仓。维持保证金水平通常是初始 保证金水平的 75%。 （二）金融期货合约的种类 按标的物不同，金融期货可分为利率期货、股价指数期货和外汇期货。 利率期货是指标的资产价格依赖于利率水平的期货合约，如长期国债期货、短期国债期货和欧洲 美元期货。 股价指数期货的标的物是股价指数。由于股价指数是一种极特殊的商品，它没有具体的实物形式， 双方在交易时只能把股价指数的点数换算成货币单位进行结算，没有实物的交割。这是股价指数期货 与其他标的物期货的最大区别。例如，芝加哥商品交易所（CME）的 S&P 500 指数期货的单位价格（即 每份合约的价格）规定为指数点数乘以 500 美元。 外汇期货的标的物是外汇，如美元、德国马克、法国法郎、英镑、日元、澳元、加元等。 (三)期货市场的功能 期货市场具有如下功能： 1.转移价格风险的功能 1.转移价格风险的功能 在日常金融活动中，市场主体常面临利率、汇率和证券价格风险（通称价格风险） 。有了期货交易 后，他们就可利用期货多头或空头把价格风险转移了出去，从而实现避险目的。这是期货市场最主要 的功能，也是期货市场产生的最根本原因。 应该注意的是，对单个主体而言，利用期货交易可以达到消除价格风险的目的，但对整个社会而 言，期货交易通常并不能消除价格风险，期货交易发挥的只是价格风险的再分配即价格风险的转移作 用。 不过，在有些条件下，期货交易也具有增大或减少整个社会价格风险总量的作用。具体而言，套 期保值者之间的期货交易可以使两者的价格风险相互抵消，投机者之间的期货交易则是给社会平添期 货价格的风险，而套期保值者与投机者之间的期货交易才是价格风险的转移。由此可见，适量的投机 可以充当套期保值者的媒介，加快价格风险转移速度，而过度的投机则会给社会增加许多不必要的风 险。 2.价格发现功能 2.价格发现功能 期货价格是所有参与期货交易的人，对未来某一特定时间的现货价格的期望或预期。不论期货合 约的多头还是空头，都会依其个人所持立场或所掌握的市场资讯，并对过去的价格表现加以研究后， 做出买卖委托。而交易所通过电脑撮合公开竞价出来的价格即为此瞬间市场对未来某一特定时间现货 价格的平均看法。这就是期货市场的价格发现功能。市场参与者可以利用期货市场的价格发现功能进 行相关决策，以提高自己适应市场的能力。5三、期货合约与远期合约比较期货合约和远期合约虽然都是在交易时约定在将来某一时间按约定的条件买卖一定数量的某种标 的物的合约，但它们存在诸多区别，主要有： （一） 标准化程度不同 远期交易遵循“契约自由”的原则，合约中的相关条件如标的物的质量、数量、交割地点和交割 月份都是根据双方的需要确定的。由于各交易者的需要千差万别，远期合约条款的具体内容也五花八 门，因而远期合约虽具有灵活性的优点，但却给合约的转手和流通造成很大麻烦，这就决定了远期合 约二级市场的不发达。 期货合约则是标准化的。期货交易所为各种标的物的期货合约制订了标准化的数量、质量、交割 地点、交割时间、交割方式、合约规模等条款，只有价格是在成交时根据市场行情确定的。由于开展 期货交易的标的物毕竟有限，相关条件又是固定的，因此期货合约满足人们各种需要的能力虽然不如 远期合约，但标准化却大大便利了期货合约的订立和转让，使期货合约具有极强的流动性，并因此吸 引了众多的交易者。 虽然远期合约目前也在走标准化的道路，但其标准化程度一定赶不上期货合约，否则远期合约就 变成期货合约了，远期合约也就不存在了。 （二） 交易场所不同 远期交易并没有固定的场所，交易双方各自寻找合适的对象，因而是一个无组织的效率较低的分 散的市场。在金融远期交易中，银行充当着重要角色。由于金融远期合约交割较方便，标的物同质性 较好，因此很多银行都提供重要标的物的远期买卖报价供客户选择，从而有力推动了远期交易的发展。 期货合约则在交易所内交易，一般不允许场外交易。交易所不仅为期货交易提供了交易场所，而 且还为期货交易提供了许多严格的交易规则（如涨跌停板制、最小价格波动幅度、报价方式、最大持 仓限额、保证金制度等） ，并为期货交易提供信用担保。可以说期货市场是一个有组织的、有秩序的、 统一的市场。 （三） 违约风险不同 远期合约的履行仅以签约双方的信誉为担保，一旦一方无力或不愿履约时，另一方就得蒙受损失。 即使在签约时，签约双方采取交纳定金、第三方担保等措施，仍不足以保证远期合约到期一定能得到 履行，违约、毁约的现象时有发生，因而远期交易的违约风险很高。 期货合约的履行则由交易所或清算公司提供担保。交易双方直接面对的都是交易所，即使一方违 约，另一方也不会受到丝毫影响。交易所之所以能提供这种担保，主要是依靠完善的保证金制度和结 算会员之间的连带无限清偿责任来实现的。可以说，期货交易的违约风险几乎为零。 （四） 价格确定方式不同 远期合约的交割价格是由交易双方直接谈判并私下确定的。由于远期交易没有固定的场所，因此 在确定价格时信息是不对称的， 不同交易双方在同一时间所确定的类似远期合约的价格可能相差甚远， 因此远期交易市场定价效率很低。 期货交易的价格则是在交易所中由很多买者和卖者通过其经纪人在场内公开竞价确定的，有关价 格的信息较为充分、对称，由此产生的期货价格较为合理、统一，因此期货市场的定价效率较高。 （五） 履约方式不同 由于远期合约是非标准化的，转让相当困难，并要征得对方同意（由于信用度不同） ，因此绝大多 数远期合约只能通过到期实物交割来履行。而实物交割对双方来说都是费时又费力的事。 由于期货合约是标准化的，期货交易又在交易所内，因此交易十分方便。当交易一方的目的（如 投机、套期保值和套利）达到时，他无须征得对方同意就可通过平仓来结清自己的头寸并把履约权利 和义务转让给第三方。在实际中，绝大多数期货合约都是通过平仓来了结的。6（六） 合约双方关系不同 由于远期合约的违约风险主要取决于对方的信用度，因此签约前必须对对方的信誉和实力等方面 作充分的了解。 而期货合约的履行完全不取决于对方而只取决于交易所或清算公司 ，因此可以对对方完全不了 解。在期货交易中，交易者甚至根本不知道对方是谁，这就极大方便了期货交易。 （七） 结算方式不同 远期合约签订后，只有到期才进行交割清算，其间均不进行结算。 期货交易则是每天结算的。当同品种的期货市场价格发生变动时，就会对所有该品种期货合约的 多头和空头产生浮动盈余或浮动亏损，并在当天晚上就在其保证金账户体现出来。因此当市场价格朝 因此当市场价格朝 自己有利的方向变动时，交易者不必等到到期就可逐步实现盈利。当然， 自己有利的方向变动时，交易者不必等到到期就可逐步实现盈利。当然，若市场价格朝自己不利的方 向变动时，交易者在到期之前就得付出亏损的金额。 向变动时，交易者在到期之前就得付出亏损的金额。第二节远期价格和期货价格的关系一、基本的假设和符号（一）基本的假设 为分析简便起见，本章的分析是建立在如下假设前提下的： 1、没有交易费用和税收。 2、市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。 3、远期合约没有违约风险。 4、允许现货卖空行为。 5、当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动，从而使套利机会消失，我们算出的理论价格 就是在没有套利机会下的均衡价格。 6、期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。这意味着任何人均可不花成本地取得远期和期 货的多头和空头地位。 （二）符号 本章将要用到的符号主要有： T：远期和期货合约的到期时间，单位为年。 t：现在的时间，单位为年。变量 T 和 t 是从合约生效之前的某个日期开始计算的，T－t 代表远期 和期货合约中以年为单位的剩下的时间。 S：标的资产在时间 t 时的价格。 ST：标的资产在时间 T 时的价格（在 t 时刻这个值是个未知变量） 。 K：远期合约中的交割价格。 f：远期合约多头在 t 时刻的价值。 F：t 时刻的远期合约和期货合约中标的资产的远期理论价格和期货理论价格，在本书中如无特别 注明，我们分别简称为远期价格和期货价格。 r：T 时刻到期的以连续复利计算的 t 时刻的无风险利率（年利率） ，在本章中，如无特别说明，利 率均为连续复利。二、远期价格和期货价格的关系根据罗斯等美国著名经济学家证明 ，当无风险利率恒定，且对所有到期日都不变时，交割日相同 当无风险利率恒定，且对所有到期日都不变时 当无风险利率恒定参见 Cox，J.C., J.E.Ingersoll，and S.A.Ross， “The Relationship between Forward Prices and Future Prices” ， Journal of Financial Economics， （December 1981） ，321―46。 7的远期价格和期货价格应相等。 的远期价格和期货价格应相等。 但是，当利率变化无法预测时，远期价格和期货价格就不相等。 但是，当利率变化无法预测时，远期价格和期货价格就不相等。至于两者谁高则取决于标的资产 价格与利率的相关性。 价格与利率的相关性。 当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期价格。这是因为当标的资产价格上升时， 期货价格通常也会随之升高，期货合约的多头将因每日结算制而立即获利，并可按高于平均利率的利 率将所获利润进行再投资。而当标的资产价格下跌时，期货合约的多头将因每日结算制而立即亏损， 而他可按低于平均利率的利率从市场上融资以补充保证金。相比之下，远期合约的多头将不会因利率 的变动而受到上述影响。因此在此情况下，期货多头比远期多头更具吸引力，期货价格自然就大于远 期价格。 相反，当标的资产价格与利率呈负相关性时，远期价格就会高于期货价格。 远期价格和期货价格的差异幅度还取决于合约有效期的长短。当有效期只有几个月时，两者的差 距通常很小。 此外，税收、交易费用、保证金的处理方式、违约风险、流动性等方面的因素或差异都会导致远 期价格和期货价格的差异。 在现实生活中，期货和远期价格的差别往往可以忽略不计。在估计外汇期货和远期之间的合理差 ② 价时，康奈尔和莱因格纳 发现盯市所带来的收益太小了,以至于远期和期货价格几乎没有区别 发现盯市所带来的收益太小了,以至于远期和期货价格几乎没有区别 价格几乎没有区别。因此 在大多数情况下，我们仍可以合理地假定远期价格与期货价格相等，并都用 F 来表示。在以下的分析 中，对远期合约的定价同样适用于期货合约。第三节一、无套利定价法无收益资产远期合约的定价无收益资产是指在到期日前不产生现金流的资产，如贴现债券。本章所用的定价方法为无套利定价法。其基本思路为：构建两种投资组合，让其终值相等，则其 现值一定相等；否则的话，就可以进行套利，即卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投资组合， 并持有到期末，套利者就可赚取无风险收益。众多套利者这样做的结果，将使较高现值的投资组合价 格下降，而较低现值的投资组合价格上升，直至套利机会消失，此时两种组合的现值相等。这样，我 们就可根据两种组合现值相等的关系求出远期价格。 例如，为了给无收益资产的远期定价我们可以构建如下两种组合： ③ -r（T－t） 组合 A：一份远期合约 多头加上一笔数额为 Ke 的现金； 组合 B：一单位标的资产。 -r（T－t） 在组合 A 中，Ke 的现金以无风险利率投资，投资期为（T－t） 。到 T 时刻，其金额将达到 K。 -r（T－t） r（T－t） e =K 这是因为：Ke 在远期合约到期时，这笔现金刚好可用来交割换来一单位标的资产。这样，在 T 时刻，两种组合 都等于一单位标的资产。根据无套利原则，这两种组合在 t 时刻的价值必须相等。即： -r（T－t） f+ Ke =S -r（T－t） f=S－Ke （3.10） 公式 （3.1） 表明， 无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的差额。 -r（T－t） 或者说,一单位无收益资产远期合约多头可由一单、位标的资产多头和 Ke 单位无风险负债组成。 本书所附光盘中有计算远期合约价值的软件。②Cornell, Bradford and Marc R. Reinganum, “Forward and Futures Prices: Evidence from the Foreign Exchange Markets”, Journal of Finance 36(Dec., 1981). ③ 该合约规定多头在到期日可按交割价格 K 购买一单位标的资产。 8二、现货-远期平价定理由于远期价格 （F） 就是使合约价值 （f） 为零的交割价格 （K） 即当 f=0 时， ， K=F。 据此可以令 （3.10） 式中 f=0，则 F=Ser（T－t）（3.11 ） 这就是无收益资产的现货-远期平价定理（Spot-Forward Parity Theorem） ，或称现货期货平价定 理(Spot-Futures Parity Theorem)。式（3.11）表明，对于无收益资产而言，远期价格等于其标的资 对于无收益资产而言， 对于无收益资产而言 产现货价格的终值。 产现货价格的终值。 本书所附光盘中有计算现货-远期平价的软件。 为了证明公式（3.11） ，我们用反证法证明等式不成立时的情形是不均衡的。 r（T－t） 假设 F&Se ，即交割价格大于现货价格的终值。在这种情况下，套利者可以按无风险利率 r 借 入 S 现金，期限为 T－t。然后用 S 购买一单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合约，交割价格 r（T－t） 为 F。在 T 时刻，该套利者就可将一单位标的资产用于交割换来 F 现金，并归还借款本息 Se ，这 r（T－t） 就实现了 F－Se 的无风险利润。 r（T－t） 若 F&Se ，即交割价值小于现货价格的终值。套利者就可进行反向操作，即卖空标的资产， 将所得收入以无风险利率进行投资，期限为 T-t，同时买进一份该标的资产的远期合约，交割价为 F。 r（T－t） ，并以 F 现金购买一单位标的资产，用于归还卖空时借入的标 在 T 时刻，套利者收到投资本息 Se r（T－t） 的资产，从而实现 Se -F 的利润。 例如我们考虑一个股票远期合约，标的股票不支付红利。合约的期限是 3 个月，假设标的股票现 在的价格是 40 元，连续复利的无风险年利率为 5％。那么这份远期合约的合理交割价格应该为：F = 40e0.05×0.25 = 40.50如果市场上该合约的交割价格为 40.20 元，则套利者可以卖出股票并将所得收入以无风险利率进 行投资，期末可以获得 45.50－40.20＝0.30 元。反之，如果市场上的远期合约的交割价格大于 40.50 元，套利着可以借钱买入股票并卖出远期合约，期末也可以获得无风险的利润。 利用公式（3.10） ，我们可计算现有无收益证券远期合约的价值。 例 3.1 设一份标的证券为一年期贴现债券、剩余期限为 6 个月的远期合约多头，其交割价格为$950，6 个月期的无风险年利率（连续复利）为 6%，该债券的现价为$930。则根据公式（3.15） ，我们可以算出 该远期合约多头的价值为： f=940-960e-0.5×0.06=$8.08利用公式（3.2） ，我们可以算出无收益证券的远期合约中合理的交割价格。 例 3.2 假设一年期的贴现债券价格为$960，3 个月期无风险年利率为 5%，则 3 个月期的该债券远期合约 的交割价格应为： F=960e0.05×0.25=$972三、远期价格的期限结构远期价格的期限结构描述的是不同期限远期价格之间的关系。设 F 为在 T 时刻交割的远期价格， * * * * ? F 为在 T 时刻交割的远期价格, r 为 T 时刻到期的无风险利率,r 为 T 时刻到期的无风险利率, r 为 T 到 * T 时刻的无风险远期利率。对于无收益资产而言，从公式（3.11）可知, r（T－t） F=Se9F * = Se r两式相除消掉 S 后,*(T * ? t )F * = Fe r*( T * ? t ) ? r (T ? t )（3.12）根据公式（3.9）, 我们可以得到不同期限远期价格之间的关系： (3.13) 例 3.3 假设某种不付红利股票 6 个月远期的价格为 20 元，目前市场上 6 个月至 1 年的远期利率为 8％， 求该股票 1 年期的远期价格。 根据式（3.13） ，该股票 1 年期远期价格为：F * = Fe r? (T*?T )F *＝ 2 0 e 0 .0 8 × 0 .5 = 2 0 .8 2 元 。读者可以运用相同的方法,推导出支付已知现金收益资产和支付已知红利率资产的不同期限远期 价格之间的关系。第四节支付已知现金收益资产远期合约的定价支付已知现金收益的资产是指在到期前会产生完全可预测的现金流的资产，如附息债券和支付已 知现金红利的股票。黄金、白银等贵金属本身不产生收益，但需要花费一定的存储成本，存储成本可 看成是负收益。我们令已知现金收益的现值为 I，对黄、白银来说，I 为负值。一、支付已知现金收益资产远期合约定价的一般方法为了给支付已知现金收益资产的远期定价，我们可以构建如下两个组合： -r（T－t） 组合 A：一份远期合约多头加上一笔数额为 Ke 的现金; 组合 B：一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限为从现在到现金收益派发日 、本金为 I 的 负债。 从上节可知，组合 A 在 T 时刻的价值等于一单位标的证券。在组合 B 中，由于标的证券的收益刚 好可以用来偿还负债的本息，因此在 T 时刻，该组合的价值也等于一单位标的证券。因此，在 t 时刻， 这两个组合的价值应相等，即： =S-I f+ Ke -r（T－t） f=S-I- Ke-r（T－t）（3.14）公式（3.14）表明，支付已知现金收益资产的远期合约多头价值等于标的证券现货价格扣除现金 收益现值后的余额与交割价格现值之差。或者说，一单位支付已知现金收益资产的远期合约多头可由 -r（T－t） 一单位标的资产和 I+Ke 单位无风险负债构成。 例 3.4 假设 6 个月期和 12 个月期的无风险年利率分别为 9%和 10%， 而一种十年期债券现货价格为 990 元， 该证券一年期远期合约的交割价格为 1001 元， 该债券在 6 个月和 12 个月后都将收到$60 的利息， 且第 二次付息日在远期合约交割日之前，求该合约的价值。 根据已知条件，我们可以先算出该债券已知现金收益的现值： I=60e-0.09×0.5+60e-0.10×1=111.65 元根据公式（3.14） ，我们可算出该远期合约多头的价值为： f=990-111.65-1001e 相应地，该合约空头的价值为 27.39 元。-0.1×1=-$27.39 元10根据 F 的定义，我们可从公式（3.14）中求得： （3.15） F=(S-I)e 这就是支付已知现金收益资产的现货-远期平价公式。公式（3.15）表明，支付已知现金收益资产 的远期价格等于标的证券现货价格与已知现金收益现值差额的终值。 例 3.5 假设黄金的现价为每盎司 450 美元，其存储成本为每年每盎司 2 美元，在年底支付，无风险年利 率为 7%。则一年期黄金远期价格为： F=(450-I)e 其中,I=-2e-0.07×1 0.07×1 r（T－t）=-1.865，故： F=(450+1.865)×e0.07=484.6 美元/盎司我们同样可以用反证法来证明公式（3.15） 。 r（T－t） 首先假设 F&(S-I)e ，即交割价格高于远期理论价格。这样，套利者就可以借入现金 S，买入 r（T－t） 标的资产，并卖出一份远期合约，交割价为 F。这样在 T 时刻，他需要还本付息 Se ，同时他将在 r（T－t） T-t 期间从标的资产获得的现金收益以无风险利率贷出， 从而在 T 时刻得到 Ie 的本利收入。 此外， r（T－t） 他还可将标的资产用于交割，得到现金收入 F。这样，他在 T 时刻可实现无风险利润 F-(S-I)e 。 r（T－t） ， 即交割价格低于远期理论价格。 这时， 套利者可以借入标的资产卖掉， 其次再假设 F&(S-I)e 得到现金收入以无风险利率贷出，同时买入一份交割价为 F 的远期合约。在 T 时刻，套利者可得到贷 r（T－t） 款本息收入 Se ，同时付出现金 F 换得一单位标的证券，用于归还标的证券的原所有者，并把该标 r（T－t） ④ 的证券在 T-t 期间的现金收益的终值 Ie 同时归还原所有者 （开始的买价中已包含红利） 。这样， r（T－t） 该套利者在 T 时刻可实现无风险利润(S-I)e -F。 从以上分析可以看出，当公式（3.15）不成立时，市场就会出现套利机会，套利者的套利行为将 促成公式（3.15）成立。二、中长期国债期货的定价中长期国债属附息票债券，属支付已知现金收益的证券，因此公式（3.14）和（3.15）适用于中 长期国债期货的定价。只是由于其报价和交割制度的特殊性，使这些公式的运用较为复杂而已。 以下我们以美国芝加哥交易所的长期国债期货为例来说明其定价问题，其结论也适用于中期国债 期货。 （一）长期国债现货和期货的报价与现金价格的关系 长期国债期货的报价与现货一样，以美元和 32 分之一美元报出，所报价格是 100 美元面值债券的 价格，由于合约规模为面值 10 万美元，因此 90―25 的报价意味着面值 10 万美元的报价是 90，781.25 美元。 ⑤ 应该注意的是，报价与购买者所支付的现金价格（Cash Price）是不同的。现金价格 与报价的关 系为： 现金价格=报价+上一个付息日以来的累计利息 （3.16） 例 3.6 假设现在是 1999 年 11 月 5 日，2016 年 8 月 15 日到期，息票利率为 12%的长期国债的报价为 94 ―28（即 94.875） 。由于美国政府债券均为半年付一次利息，从到期日可以判断，上次付息日是 1999 年 8 月 15 日，下一次付息日是 2000 年 2 月 15 日。由于 1999 年 8 月 15 到 11 月 5 日之间的天数为 82 天，1999 年 11 月 5 日到 2000 年 2 月 15 日之间的天数为 102 天，因此累计利息等于：6美元 ×该国债的现金价格为：④ ⑤82 = 2.674美元 184由于在卖空交易中，借入证券只借入该证券的使用权而未借入所用权，故该证券的收益归原所有者。 由于在卖空交易中，借入证券只借入该证券的使用权而未借入所用权，故该证券的收益归原所有者。 期货的现金价格就是我们以前所说的期货价格。 1194.875 美元+2.674 美元=97.549 美元 （二）交割券与标准券的转换因子 芝加哥交易所规定，空头方可以选择期限长于 15 年且在 15 年内不可赎回的任何国债用于交割。 由于各种债券息票率不同，期限也不同，因此芝加哥交易所规定交割的标准券为期限 15 年、息票率为 8%的国债，其它券种均得按一定的比例折算成标准券。这个比例称为转换因子（Conversion Factor ） 。 转换因子等于面值为 100 美元的各债券的现金流按 8%的年利率（每半年计复利一次）贴现到交割月第 ⑥ 一天 的价值，再扣掉该债券累计利息后的余额。在计算转换因子时，债券的剩余期限只取 3 个月的整 数倍，多余的月份舍掉。如果取整数后，债券的剩余期限为半年的倍数，就假定下一次付息是在 6 个 月之后，否则就假定在 3 个月后付息，并从贴现值中扣掉累计利息，以免重复计算。转换因子由交易 所计算并公布。 算出转换因子后，我们就可算出空方交割 100 美元面值的债券应收到的现金： 空方收到的现金=期货报价 ×交割债券的转换因子+交割债券的累计利息⑦（3.17）例 3.7 某长期国债息票利率为 14%，剩余期限还有 18 年 4 个月。标准券期货的报价为 90―00，求空方用 该债券交割应收到的现金。 首先，我们应计算转换因子。根据有关规则，假定该债券距到期日还有 18 年 3 个月。这样我们可 以把将来息票和本金支付的所有现金流先贴现到距今 3 个月后的时点上，此时债券的价值为：∑ 1? 04i =0367i+100 = 163 ? 73美元 1 ? 04 36由于转换因子等于该债券的现值减累计利息。因此我们还要把 163.73 美元贴现到现在的价值。由 于 3 个月的利率等于 1.04 ? 1 ， 1.9804%， 即 因此该债券现在的价值为 163.73/1..55 美元。 由于 3 个月累计利息等于 3.5 美元，因此转换因子为： 转换因子=160.55-3.5=157.05 美元 然后，我们可根据公式（3.17）算出空方交割 10 万美元面值该债券应收到的现金为： 1000×[（1.）+3.5]=144，845 美元 （三）确定交割最合算的债券 由于转换因子制度固有的缺陷和市场定价的差异决定了用何种国债交割对于双方而言是有差别 的，而空方可选择用于交割的国债多达 30 种左右，因此空方应选择最合算的国债用于交割。 交割最合算债券就是购买交割券的成本与空方收到的现金之差最小的那个债券。 交割差距=债券报价+累计利息―[（期货报价×转换因子）+累计利息] =债券报价―（期货报价×转换因子）（3.18）例 3.8 假设可供空头选择用于交割的三种国债的报价和转换因子如表 3.2 所示,而期货报价为 93―16,即 93.50 美元。请确定交割最合算的债券。 表 3.2 国 1 2 3 债 可供交割国债报价及其转换因子 报 价 144.50 120.00 99.80 转 换 因 子 1.4 1.0380根据以上数据，我们可以求出各种国债的交割差距为：⑥ ⑦因为中长期期国债期货的空头可选择在交割月任意一天交割。 期货报价均指标准券的期货报价。 12国债 1： 144.50-(93.50×1.9 国债 2： 120.00-(93.50×1.1 国债 3： 99.80-(93.50×1.0 由此可见，交割最合算的国债是国债 2。 （四）国债期货价格的确定 由于国债期货的空方拥有交割时间选择权和交割券种选择权，因此要精确地计算国债期货的理论 价格也是较困难的。但是，如果我们假定交割最合算的国债和交割日期是已知的，那么我们可以通过 以下四个步骤来确定国债期货价格： 1．根据交割最合算的国债的报价，运用式（3.16）算出该交割券的现金价格。 ⑧ 2．运用公式（3.15） ，根据交割券的现金价格算出交割券期货 理论上的现金价格。 3．运用公式（3.16）根据交割券期货的现金价格算出交割券期货的理论报价。 4．将交割券期货的理论报价除以转换因子即为标准券期货理论报价，也是标准券期货理论的现金 ⑨ 价格 。 例 3.9 假定我们已知某一国债期货合约最合算的交割券是息票利率为 14%，转换因子为 1.3650 的国债， 其现货报价为 118 美元，该国债期货的交割日为 270 天后。该交割券上一次付息是在 60 天前，下一次 付息是在 122 天后，再下一次付息是在 305 天后，市场任何期限的无风险利率均为年利率 10%（连续复 利） 。请根据上述条件求出国债期货的理论价格。 首先，我们可以运用公式（3.16）求出交割券的现金价格为：118 +60 × 7 = 120 ? 308美元 182其次，我们要算出期货有效期内交割券支付利息的现值。由于期货有效期内只有一次付息，是在 122 天（0.3342 年）后支付 7 美元的利息，因此利息的现值为： -0. 7e =6.770 美元 再次，由于该期货合约的有效期还有 270 天（即 0.7397 年）我们可以运用公式（3.15）算出交割 券期货理论上的现金价格为：× （120.308-7.770）×e =121.178 美元 再其次，我们要算出交割券期货的理论报价。由于交割时，交割券还有 148 天（即 270-122 天） 的累计利息，而该次付息期总天数为 183 天（即 305 天-122 天）运用公式（3.16） ，我们可求出交割券 期货的理论报价为：0.121 ?178 ? 7 ×最后，我们可以求出标准券的期货报价：148 = 15 ? 5168美元 183115 ? 5168 = 84 ? 628或84 ? 20 1 ? 3650第五节支付已知收益率资产远期合约的定价支付已知收益率的资产是指在到期前将产生与该资产现货价格成一定比率的收益的资产。外汇是 这类资产的典型代表，其收益率就是该外汇发行国的无风险利率。股价指数也可近似地看作是支付已 知收益率的资产。因为虽然各种股票的红利率是可变的，但作为反映市场整体水平的股价指数，其红 利率是较易预测的。远期利率协议和远期外汇综合协议也可看作是支付已知收益率资产的远期合约。一、支付已知收益率资产远期合约定价的一般方法⑧ ⑨交割券期货属于虚拟期货。 因为标准券的累计利息为零。 13为了给出支付已知收益率资产的远期定价，我们可以构建如下两个组合： -r（T－t） 组合 A：一份远期合约多头加上一笔数额为 Ke 的现金； -q（T－t） 组合 B：e 单位证券并且所有收入都再投资于该证券，其中 q 为该资产按连续复利计算的已 知收益率。 从第三节的分析可知，组合 A 在 T 时刻的价值等于一单位标的证券。组合 B 拥有的证券数量则随 着获得红利的增加而增加，在时刻 T，正好拥有一单位标的证券。因此在 t 时刻两者的价值也应相等， 即：f + Ke ? r (T ?t ) = Se ? q (T ?t ) f = Se ? q (T ?t ) ? Ke ? r (T ?t )-q(T-t)（3.19）公式（3.19）表明，支付已知红利率资产的远期合约多头价值等于 e 单位证券的现值与交割 -q（T－t） -r（T 价现值之差。或者说，一单位支付已知红利率资产的远期合约多头可由 e 单位标的资产和 Ke －t） 单位无风险负债构成。 根据远期价格的定义，我们可根据公式（3.19）算出支付已知收益率资产的远期价格： （3.20） 这就是支付已知红利率资产的现货-远期平价公式。公式（3.20）表明，支付已知收益率资产的远 期价格等于按无风险利率与已知收益率之差计算的现货价格在 T 时刻的终值。 例 3.10 A 股票现在的市场价格是 25 美元，年平均红利率为 4％，无风险利率为 10％，若该股票 6 个月的 远期合约的交割价格为 27 美元，求该远期合约的价值及远期价格。F = Se ( r ? q )(T ? t )f = Se ? q (T ?t ) ? Ke? r (T ?t ) = 25e?0.04×0.5 ? 27e ?0.1×0.5 = ?1.18美元所以该远期合约多头的价值为－1.18 美元。其远期价格为：F = Se( r ? q )(T ?t ) = 25e0.06×0.5 = 25.67美元二、外汇远期和期货的定价外汇属于支付已知收益率的资产，其收益率是该外汇发行国连续复利的无风险利率，用 rf 表示。 我们用 S 表示以本币表示的一单位外汇的即期价格， 表示远期合约中约定的以本币表示的一单位 K 外汇的交割价格，即 S、K 均为用直接标价法表示的外汇的汇率。根据公式（3.19） ，我们可以得出外 汇远期合约的价值：f = Se? r f (T ? t )? Ke ? r (T ?t )( r ? r f )(T ? t )（3.21）根据公式（3.21） ，我们可得到外汇远期和期货价格的确定公式： （3.22） 3.22 这就是国际金融领域著名的利率平价关系。它表明， 这就是国际金融领域著名的利率平价关系。它表明，若外汇的利率大于本国利率 ( r f & r ) ，则该 外汇的远期和期货汇率应小于现货汇率； 外汇的远期和期货汇率应小于现货汇率；若外汇的利率小于本国的利率 ( r f & r ) ，则该外汇的远期和 期货汇率应大于现货汇率。 期货汇率应大于现货汇率。F = Se三、远期利率协议的定价由于远期利率协议是空方承诺在未来的某个时刻（T 时刻）将一定数额的名义本金（A）按约定的14合同利率（rK）在一定的期限（T -T）贷给多方的远期协议，本金 A 在借贷期间会产生固定的收益率 r ， 因此其属于支付已知收益率资产的远期合约。远期利率协议（FRA）的定价可以用更直截了当的方式。 远期利率协议多方（即借入名义本金的一方）的现金流为： T 时刻：A T 时刻： ? Ae K * * 这些现金流的现值即为远期利率协议多头的价值。为此，我们要先将 T 时刻的现金流用 T -T 期限**r (T * ? T )^的远期利率 ( r ) 贴现到 T 时刻，再贴现到现在时刻 t，即：f = Ae ? r (T ? t ) ? Ae rK (T *?T ) × e ? r (T *?T ) × e ? r (T ? t )∧ ? ? = Ae ? r (T ?t ) × ?1 ? e ( rK ? r )(T *?T ) ? ? ? ? ?∧（3.23）这里的远期价格就是合同利率。根据远期价格的定义，远期利率就是使远期合约价值为 0 的协议 价格（在这里为 rK） 。 因此理论上的远期利率（rF）应等于：rF = r从第一节我们知道∧∧（3.24）r * T * ? t ? r (T ? t ) r= T* ?T rF = r * T * ? t ? r (T ? t ) T* ?T()代入公式（3.24）得：()（3.25）例 3.11 假设 2 年期即期年利率（连续复利，下同）为 10.5%，3 年期即期年利率为 11%，本金为 100 万美 元的 2 年×3 年远期利率协议的合同利率为 11%，请问该远期利率协议的价值和理论上的合同利率等于 多少? 根据公式（3.24）和公式（3.25） ，该合约理论上的合同利率为：rF = r =∧0 ?11× 3 ? 0 ?105 × 2 = 12 ? 0% 3? 2根据公式（3.23） ，该合约价值为：f = 100万 × e ?0?105×2 × [1 ? e(0?11? 0?12)(3? 2) ] = 8065 ? 31美元四、远期外汇综合协议的定价远期外汇综合协议是指双方在现在时刻（ 时刻）约定买方在结算日（ 时刻） 远期外汇综合协议是指双方在现在时刻（t 时刻）约定买方在结算日（T 时刻）按照合同中规定的 结算日直接远期汇率（ 第二货币向卖方买入一定名义金额（ 的原货币，然后在到期日（ * 结算日直接远期汇率（K）用第二货币向卖方买入一定名义金额（A）的原货币，然后在到期日（T 时 再按合同中规定的到期日直接远期汇率（ * 把一定名义金额（ 刻）再按合同中规定的到期日直接远期汇率（K ）把一定名义金额（在这里假定也为 A）的原货币出售 给卖方的协议。 给卖方的协议。在这里，所有的汇率均指用第二货币表示的一单位原货币的汇率。为论述方便，我们 把原货币简称为外币，把第二货币简称为本币。 根据该协议，多头的现金流为： T 时刻：A 单位外币减 AK 本币 * * T 时刻：AK 本币减 A 单位外币 这些现金流的现值即为远期外汇综合协议多头的价值（f） 。为此，我们要先将本币和外币分别按 相应期限的本币和外币无风险利率贴现成现值，再将外币现金流现值按 t 时刻的汇率（S）折成本币。 * * 我们令 rf 代表在 T 时刻到期的外币即期利率，r f 代表在 T 时刻到期的外币即期利率，则：15f = ASe? r f (T ? t )* *? AKe ? r (T ?t )? r * ( T * ?t )+ AK *e ? r (T ?t ) ? ASe f ( r ? r )(T ? t ) f = Ae ? r (T ?t ) [ Se f ? K]+ Ae ? r**(T * ? t )[ K * ? Se( r * ? r f * )(T * ? t )*（3.26）]由于远期汇率就是合约价值为零的协议价格 （这里为 K 和 K ） 因此 T 时刻交割的理论远期汇率 ， （F） * 和 T 时刻交割的理论远期汇率（F ）分别为：F = Se*( r ? r f )(T ? t )( r * ? r f* )(T * ? t )（3.27） （3.28）F = Se f = Ae ? r(T ? t )其结论与公式（3.22）是一致的。将公式（3.27）和（3.28）代入公式（3.26）得： （3.29） * 有的远期外汇综合协议直接用远期差价规定买卖原货币时所用的汇率，我们用 W 表示 T 时刻到 T * * 时刻的远期差价。定义 W =F -F，表示远期差价。将公式（3.27）和（3.28）代入，我们可以得到：*( F ? K ) + Ae? r*(T * ? t）(K * ? F *)W * = Se( r ? r f )(T ? t )? Se∧ ∧( r * ? r f * )(T * ? t )W * = Se∧ ∧*( r ? r f )(T ? t )[e( r ? r f )(T*?T )? 1]（3.30）其中， r 和 r f 分别表示 T 时间到 T 时刻本币和外币的远期利率。我们用 W 表示 t 时刻到 T 时刻的 远期差价，我们可以得到： W=F-SW = S [e( r ? r f )(T ? t )? 1]（3.31）例 3.12 假设美国 2 年期即期年利率（连续复利，下同）为 8%，3 年期即期年利率为 8.5%，日本 2 年期即 期利率为 6%，3 年期即期利率为 6.5%，日元对美元的即期汇率为 0.0083 美元/日元。本金 1 亿日元的 2 年×3 年远期外汇综合协议的 2 年合同远期汇率为 0.0089 美元/日元，3 年合同远期汇率为 0.0092 美 元/日元，请问该合约的多头价值、理论上的远期汇率和远期差价等于多少？ 根据公式（3.27） 年期理论远期汇率（F）为： ，2F = 0 ? 0083 × e ( 0?08? 0?06)× 2 = 0 ? 0086 美元/日元根据公式（3.28） 年期理论远期汇率（F ）为： ，3*F * = 0 ? 0083e ( 0?085 ? 0?065)×3 = 0 ? 0088 美元/日元根据公式（3.30） 年×3 年理论远期差价（W ）为： ，2*W * = F * ? F = 0 ? 0002 美元/日元根据公式（3.31） 年期理论远期差价（W）为： ，2W = F ? S = 0 ? 0086 ? 0 ? 0083 = 0 ? 0003美元 /日元根据公式（3.29） ，该远期外汇综合协议多头价值（f）为：f = 1亿 × e ?0?008×2 × (0 ? 0086 ? 0 ? 0089 ) + 1亿 × e ?0?0085×3 × (0 ? 0092 ? 0 ? 0088 ) = 9,469美元第六节期货价格与现货价格的关系期货价格和现货价格之间相互关系可从两个角度去考察。 一是期货价格和现在的现货价格的关系； 一是期货价格与预期的未来现货价格的关系。一、期货价格和现在的现货价格的关系16从前几节的定价分析中我们看到，决定期货价格的最重要因素是现货价格。现货价格对期货价格 的升跌起着重要的制约关系，正是这种制约关系决定了期货是不能炒作的。但是，如果现货市场不够 大，从而使现货价格形不成对期货价格的有效制约的话期货市场就迟早会因恶性炒作而出问题。中国 国债期货实验失败的重要原因之一就是没有足够庞大的国债现货市场来制约国债期货的炒作。 那么期货价格和现货价格到底存在什么关系呢？ 期货价格和现货价格的关系可以用基差（Basis）来描述。所谓基差，是指现货价格与期货价格之 差，即： 基差=现货价格― （3.32） 基差=现货价格―期货价格 基差可能为正值也可能为负值。但在期货合约到期日，基差应为零 但在期货合约到期日，基差应为零。这种现象称为期货价格收敛 但在期货合约到期日 为零 于标的资产的现货价格，如图 3.1 所示。 根据前几节的定价公式，当标的证券没有收益，或者已知现金收益较小、或者已知收益率小于无 当标的证券没有收益， 当标的证券没有收益 或者已知现金收益较小、 风险利率时， 所示；当标的证券的已知现金收益较大，或者已 风险利率时，期货价格应高于现货价格如图 3.1（a）所示 知收益率大于无风险利率时，期货价格应小于现货价格，如图 3.1（b）所示。 期货价格 现货价格期货价格 现货价格 开始交易日 交割日 时间 开始交易日 交割日 （a） （b） 随交割期限的临近， 图 3.1 随交割期限的临近，期货价格与现货价格之间的关系时间但在期货价格收敛于现货市场的过程中，并不是一帆风顺的，也就是说，基差会随着期货价格和 现货价格变动幅度的差距而变化。当现货价格的增长大于期货价格的增长时，基差也随之增加，称为 基差增大。当期货价格的增长大于现货价格增长时，称为基差减少。 期货价格收敛于标的资产现货价格是由套利行为决定的。假定交割期间期货价格高于标的资产的 现货价格，套利者就可以通过买入标的资产、卖出期货合约并进行交割来获利，从而促使现货价格上 升，期货价格下跌。相反，如果交割期间现货价格高于期货价格，那么打算买入标的资产的人就会发 现，买入期货合约等待空头交割比直接买入现货更合算，从而促使期货价格上升。二、期货价格与预期的未来现货价格的关系我们以无收益资产为例来说明期货价格与预期的未来现货价格之间的关系。根据预期收益率的概 念，我们有： y(T-t) E（ST）=Se (3.33) 其中，E（ST）表示现在市场上预期的该资产在 T 时刻的市价，y 表示该资产的连续复利预期收益率，t 为现在时刻。 而 r(T-t) F=Se (3.34) 比较公式（3.33）和（3.34）可知，y 和 r 的大小就决定了 F 和 E（ST）孰大孰小。而 y 值的大小 取决于标的资产的系统性风险。根据资本资产定价原理，若标的资产的系统性风险为 0，则 y=r， F = E ( S T ) ；若标的资产的系统性风险大于零，则 y&r， F & E ( S T ) ；若标的资产的系统性风险小于 零，则 y&r， F & E ( S T ) 。在现实生活中，大多数标的资产的系统性风险都大于零，因此在大多数情 在现实生活中， 在现实生活中 大多数标的资产的系统性风险都大于零， 况下， 况下，F 都小于 E（ST） 。 对于有收益资产我们也可以得出同样的结论。第七节远期与期货价格的一般结论17我们可以用持有成本的概念来概括远期和期货价格与现货价格的关系。持有成本的构成如下： 持有成本＝保存成本＋利息成本－标的资产在合约期限内提供的收益 对于不支付红利的股票，没有保存成本和收益，所以持有成本就是利息成本 r ，股票指数的持有 成本是 r ? q ，货币的持有成本是 r ? rf 。 如果我们用 c 表示持有成本，那么F = Sec (T ?t ) f = F ? Sec (T ?t )不过这些结论是建立在完全市场的假设上的。实际运用中，由于市场的不完全性，定价公式会受 到一定影响。我们以无收益资产为例进行简答解释。证明不是很困难，有兴趣的读者可以尝试。 1. 存在交易成本的时候， 假定每一笔交易的费率为 Y， 那么不存在套利机会的远期价格就不再 交易的费率为 是确定的值，而是一个区间：2.? S (1 ? Y ) er (T ?t ) , S (1 + Y ) e r (T ?t ) ? ? ? 借贷存在利差 利差的时候，如果用 rb 表示借入利率，用 rl 表示借出利率，对非银行的机构和个 利差人，一般是 rb & rl 。这时远期和期货的价格区间为：? Se rl (T ?t ) , Se rb (T ?t ) ? ? ?3. 存在卖空限制的时候，因为卖空会给经纪人带来很大风险，所以几乎所有的经纪人都扣留 卖空客户的部分所得作为保证金 假设这一比例为 X， 部分所得作为保证金。 那么均衡的远期和期货价格区间应该 部分所得作为保证金 是：r ? （1 ? X）Se（T ?t ) , Se r (T ?t ) ? ? ?如果上述三种情况同时存在，远期和期货价格区间应该是：? （1 ? X）S (1 ? Y ) e rlT , S (1 + Y ) erbT ? ? ? 完全市场可以看成是 X = 0, Y = 0, rl = rb = r 的特殊情况。小结1． 金融远期合约是指双方约定在未来的确定时间，按确定的价格买卖一定数量的某种金融资产 的合约。 2． 远期价格指的是标的资产的远期价格，它是指使得远期合约价值为零的交割价格。远期价值 指的是远期合约本身的价值，它取决于远期价格与交割价格的差距。 3． 远期合约解决了价格风险问题，却派生出信用风险问题，期货合约主要是为了解决远期合约 信用风险问题而产生的。 4． 远期合约主要有远期利率协议、远期外汇合约和远期股票合约三种。 5． 远期利率是指将来时刻的一定期限的利率，它可通过一系列即期利率求出。 6． 连续复利利率与每年计 m 次复利的利率可以互相换算。 7． 远期汇率是指两种货币在未来某一日期交割的买卖价格。 8． 金融期货合约是指协议双方同意在约定的将来某个日期按约定的条件买入或卖出一定标准数 量的某种金融工具的标准化协议。合约双方都交纳保证金，并每天结算盈亏。合约双方均可单方通过 平仓结束合约。 9． 金融期货主要分利率期货、货币期货和股价指数期货三种，其主要功能是转移价格风险功能 和价格发现功能。当无风险利率恒定，且对所有到期日都不变时，具有相同交割日的远期价格和期货 价格应相等。当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格应高于远期价格；当标的资产价格与利率 呈负相关时，期货价格应低于远期价格。但在大多数情况下，我们均假定远期价格与期货价格相等。1810．无收益资产远期合约的价值为： f = S ? Ker (T ? t )? r (T ? t )远期价格为： F = Se对于美国 100 美元面值的国库券期货来说， F = 100e? r (T ? t )? r ( T * ?T )∧11.支付已知现金收益资产的远期合约价值为： f = S ? I ? Ke ? r (T ? t ) 远期价格为： F = ( S ? I )e 12．由于长期国债期货报价与现金价格的不同，以及空头所拥有的时间选择权和交割债种选择权， 长期国债期货价格的确定较为复杂。 13．支付已知收益率证券的远期合约价值为： f = Se( r ? q )(T ? t ) ? q (T ? t )? Ke ? r (T ? t )远期价格为： F = Se 当我们用外汇发行国的无风险利率 r f 代替 q 时，就可得到国际金融领域著名的利率平价关系：F = Se( r ? r f )(T ? t )( rk ? r )(T * ?T )∧14．远期利率协议多头的价值为： f = Ae × [1 ? e 为使远期利率协议价值为零，合同利率应等于：? r (T ? t )]rF = r =15．远期外汇综合协议多头的价值为：∧r * (T * ? t ) ? r (T ? t ) T* ?Tf = Ae ? r (T ?t ) ( F ? K ) + Ae ? r*(T * ? t )(K * ? F * )( r ? r f )(T ? t ) ( r * ? r * )(T * ? t ) f ( r ? r f )(T ? t ) ( r ? r f )(T ? t )为使远期外汇综合协议价值为零，合约中规定的远期汇率和远期差价应等于：F = SeF * = Se W = S [e? 1] [1 ? e(r ?r∧ ∧ fW * = Se)(T * ?T )]16．随着交割月份的逼近，期货价格收敛于标的资产的现货价格。 17．对于系统性风险大于零的资产而言，期货价格应小于预期未来的现货价格。 18. 19. 如果我们用 c 表示持有成本，那么F = SecT ， f = F ? SecT习题：1. 某交易商拥有 1 亿日元远期空头，远期汇率为 0.008 美元/日元。如果合约到期时汇率分别为 0.0074 美元/日元和 0.0090 美元/日元，那么该交易商的盈亏如何？ 2. 目前黄金价格为 500 美元/盎司，1 年远期价格为 700 美元/盎司。市场借贷年利率为 10%，假 设黄金的储藏成本为 0，请问有无套利机会？ 3. 一交易商买入两份橙汁期货，每份含 15000 磅，目前的期货价格为每磅 1.60 元，初始保证金 为每份 6000 元，维持保证金为每份 4500 元。请问在什么情况下该交易商将收到追缴保证金 通知？在什么情况下，他可以从保证金账户中提走 2000 元？ 4. 一个航空公司的高级主管说： “我们没有理由使用石油期货， 因为将来油价上升和下降的机会 是均等的。 ”请对此说法加以评论。195. 每季度计一次复利的年利率为 14%， 请计算与之等价的每年计一次复利的年利率和连续复利年 利率。 6. 每月计一次复利的年利率为 15%，请计算与之等价的连续复利年利率。 7. 某笔存款的连续复利年利率为 12%， 但实际上利息是每季度支付一次。 请问 1 万元存款每季度 能得到多少利息？ 8. 假设连续复利的零息票利率如下： 期限（年） 期限（ 年利率（%） 年利率（ 12.0 1 13.0 2 13.7 3 4 14.2 14.5 5 请计算第 2、3、4、5 年的连续复利远期利率。 9. 假设连续复利的零息票利率分别为： 期限（ 期限（月） 年利率 8．0 3 8．2 6 8．4 9 8．5 12 8．6 15 8．7 18 请计算第 2、3、4、5、6 季度的连续复利远期利率。 10．假设一种无红利支付的股票目前的市价为 20 元，无风险连续复利年利率为 10%，求该股票 3 个月期远期价格。 11．假设恒生指数目前为 10000 点，香港无风险连续复利年利率为 10%，恒生指数股息收益率 为每年 3%，求该指数 4 个月期的期货价格。 12．某股票预计在 2 个月和 5 个月后每股分别派发 1 元股息，该股票目前市价等于 30，所有期 限的无风险连续复利年利率均为 6%，某投资者刚取得该股票 6 个月期的远期合约空头，请问： 该远 期价格等于多少？若交割价格等于远期价格， 则远期合约的初始值等于多少？ 3 个月后， 该股票价格 涨到 35 元，无风险利率仍为 6%，此时远期价格和该合约空头价值等于多少？ 13．假设目前白银价格为每盎司 80 元，储存成本为每盎司每年 2 元，每 3 个月初预付一次， 所有期限的无风险连续复利率均为 5%，求 9 个月后交割的白银期货的价格。 14. 有些公司并不能确切知道支付外币的确切日期，这样它就希望与银行签订一种在一段时期 中都可交割的远期合同。公司希望拥有选择确切的交割日期的权力以匹配它的现金流。如果把你自己 放在银行经理的位置上，你会如何对客户想要的这个产品进行定价? 15． 有些学者认为， 远期汇率是对未来汇率的无偏预测。 请问在什么情况下这种观点是正确的？ 16．一家银行为其客户提供了两种贷款选择，一是按年利率 11%（一年计一次复利）贷出现金， 一是按年利率 2%（一年计一次复利）货出黄金。黄金贷款用黄金计算，并需用黄金归还本息。假设市 场无风险连续复利年利率为 9.25%。储存成本为每年 0.5%（连续复利） 。请问哪种贷款利率较低？ 17．瑞士和美国两个月连续复利率分别为 2%和 7%，瑞士法郎的现货汇率为 0.6500 美元，2 个月期的瑞士法郎期货价格为 0.6600 美元，请问有无套利机会？ 18．一个存款账户按连续复利年利率计算为 12%，但实际上是每个季度支付利息的，请问 10 万 元存款每个季度能得到多少利息？ 19．股价指数期货价格大于还是小于指数预期未来的点数？请解释原因。20习题答案： 1． 若合约到期时汇率为 0.0075 美元/日元，则他赢利 1 亿×（0.008-0.0075）=5 万美元。 若合约到期时汇率为 0.0090 美元/日元，则他赢利 1 亿×（0.008-0.009）=-10 万美元。 2． 套利者可以借钱买入 100 盎司黄金，并卖空 1 年期的 100 盎司黄金期货，并等到 1 年后 交割，再将得到的钱用于还本付息，这样就可获得无风险利润。 3． 如果每份合约损失超过 1500 元他就会收到追缴保证金通知。 此时期货价格低于 1.50 元/ 磅。当每份合约的价值上升超过 1000 元，即期货价格超过 1.667 元/磅时，他就可以从 其保证金账户提取 2000 元了。 4． 他的说法是不对的。因为油价的高低是影响航空公司成本的重要因素之一，通过购买石油 期货，航空公司就可以消除因油价波动而带来的风险。 5． 每年计一次复利的年利率= （1+0.14/4）4-1=14.75% 连续复利年利率= 4ln(1+0.14/4)=13.76%。 6． 连续复利年利率= 12ln(1+0.15/12)=14.91%。 7． 与 12%连续复利利率等价的每季度支付一次利息的年利率= 4（e0.03-1）=12.18%。 因此每个季度可得的利息=1%/4=304.55 元。 8． 第 2、3、4、5 年的连续复利远期利率分别为： 第 2 年：14.0% 第 3 年：15.1% 第 4 年：15.7% 第 5 年：15.7% 9． 第 2、3、4、5、6 季度的连续复利远期利率分别为： 第 2 季度：8.4% 第 3 季度：8.8% 第 4 季度：8.8% 第 5 季度：9.0% 第 6 季度：9.2% 0.1 0.25 10.期货价格=20e × =20.51 元。 (0.1-0.05)×4/12 11.指数期货价格=10000e =10125.78 点。 -0.06 2/12 -0.06 5/12 12.（1）2 个月和 5 个月后派发的 1 元股息的现值=e × +e × =1.96 元。 0.06×0.5 远期价格=(30-1.96)e =28.89 元。 若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始价格为 0。 -0.06 2/12 （2）3 个月后的 2 个月派发的 1 元股息的现值= e × =0.99 元。 0.06×3/12 远期价格=（35-0.99）e =34.52 元。 -0.06 3/12 此时空头远期合约价值=（28.89-34.52）e × =-5.55 元。 -0.05×3/12 -0.05 6/12 13. 9 个月储藏成本的现值=0.5+0.5e +0.5e × =1.48 元。 0.05×9/12 白银远期价格=(80+1.48)e =84.59 元。 14. 银行在定价时可假定客户会选择对银行最不利的交割日期。我们可以很容易证明，如果外币 利率高于本币利率，则拥有远期外币多头的客户会选择最早的交割日期，而拥有远期外币空 头的客户则会选择最迟的交割日期。相反，如果外币利率低于本币利率，则拥有远期外币多21头的客户会选择最迟的交割日期，而拥有远期外币空头的客户则会选择最早的交割日期。只 要在合约有效期中，外币利率和本币利率的高低次序不变，上述分析就没问题，银行可按这 个原则定价。 但是当外币利率和本币利率较为接近时，两者的高低次序就有可能发生变化。因此，客户 选择交割日期的权力就有特别的价值。银行应考虑这个价值。 如果合约签订后，客户不会选择最有利的交割日期，则银行可以另赚一笔。 15. 只有当外币的系统性风险等于 0 时，上述说法才能成立。 16. 将上述贷款利率转换成连续复利年利率，则正常贷款为 10.44%,黄金贷款为 1.98％。 0.0198 假设银行按 S 元/盎司买了 1 盎司黄金， 1.98％的黄金利率贷给客户 1 年， 按 同时卖出 e 盎司 1 年远期黄金， 根据黄金的储存成本和市场的无风险利率， 我们可以算出黄金的 1 年远期 0.8+0.3 价格为 Se 元/盎司。也就是说银行 1 年后可以收到 Se =Se 元现金。可见黄金贷 款的连续复利收益率为 11.73%。显然黄金贷款利率高于正常贷款。 17. 瑞士法郎期货的理论价格为： 0.1667×(0.07-0.02) 0.65e =0.06554 可见，实际的期货价格太高了。投资者可以通过借美元，买瑞士法郎，再卖瑞士法郎期货 来套利。 18. 与 12％连续复利年利率等价的 3 个月计一次复利的年利率为： 0.03 4×（e -1）=12.18% 因此，每个月应得的利息为： 10 万×0.45.5 元。 19. 由于股价指数的系统性风险为正，因此股价指数期货价格总是低于预期未来的指数值。22
《金融工程学》教学提纲 第二章 远期和期货定价 一、远期和期货市场 远期和期货市场 1、远期和期货的由来 远期和期货的由来 人类交易方式的演进: 人类交易方式的...当无风险利率恒定,且对所有到期日都不变时,交割日相同的远期价格和期货价格应相等。但是,当利率变化无法预测时,远期价格和期货价格就不相等。至于两者谁高则取决于...C13029金融衍生品系列课程之一:远期与期货概述课后测验100分答案_理学_高等教育_...A. 现货价格上涨 B. 成本超过预期 C. 现货价格下跌 D. 买方信用问题 三、...远期股票合约期限为 60 天。假定在第 37 天时,股票价格为 21 美元,则那时...外汇期货 2. 一位投资者买了 10 份标准普尔 500 指数期货合约。3 月 10 ...《金融工程学》教学提纲 第二章 远期和期货定价 一、远期和期货市场 远期和期货市场 1、远期和期货的由来 远期和期货的由来 人类交易方式的演进: 人类交易方式的...金融工程期货价格价值练习题_经济学_高等教育_教育专区。一、判断题 1、远期...金融工程_第03章_远期和... 73页 2下载券
金融期货期权习题 22页 1下载券...金融衍生品系列课程之一:远期与期货概述 100分_金融/投资_经管营销_专业资料。...价格有效性 您的答案:B 题目分数:10 此题得分:10.0 3. 一般情况下,在期货...第 4 章 期货市场 3 4.1 期货概念定义:期货是一种标准化的远期合约。 标的资产:将要买卖的资产,如商品或金融资产,包括债券、货币等。 标的变量:价格、利率、...现在该股票价格为$29,3 个月期的执行价格为$30 的看跌期权的价格为$2.90.你...与远期合约多头相一致。 2 第2章 期货市场的运行机制练习题及参考答案 2.1 ...合约标准化 三、判断题 10. 一般情况下,在远期合约中,如果商品价格在交割时...金融衍生品期货交易概述 46页 免费 第一章 金融衍生品概论(... 暂无评价 34...
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