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青年文明号超市收银台设置问题；摘要；超市中存在着这样一个问题，收银台的设置与成本成正；调查后我们发现，超市顾客的数量，在一周内变化有规；建立K个M/M/k的排队系统的数学模型，通过拟合；最后由本文中数据得到在周一至周五时开设3个收银台；1.问题重述；在许多大型超市中，存在着这样一个问题：开的收银台；现在收集到某家大型超市人流量数据：；表2全部工作日到达总人数周内分布；
超市收银台设置问题
超市中存在着这样一个问题，收银台的设置与成本成正比，但是在实际过程中，顾客的数量是变化的，如何设置收银台的数量以达到最小的成本。
调查后我们发现，超市顾客的数量，在一周内变化有规律性，在一天内变化也后周期性，所以我们要研究这个特性以安排出最佳方案。
建立K个M/M/k的排队系统的数学模型，通过拟合手段，计算出最佳方案。
最后由本文中数据得到在周一至周五时开设3个收银台；而周六和周日开设5个收银台。
1.问题重述
在许多大型超市中，存在着这样一个问题：开的收银台少时，人多会排长队，顾客满意度下降；开的收银台多时，人少会导致收银员空闲，人力资源浪费。这就关系到一个如何合理安排收银台数量的问题。
现在收集到某家大型超市人流量数据：
全部工作日到达总人数周内分布
2.问题的分析
基于在超市收银系统中涉及到的顾客满意率、超市成本等直接联系到整个服务系统良好的运营。因此通过采集、查阅超市收银系统中的有关数据进行分析研
究，拟合出数据呈现的规律或概率；也可以拟合出在超市服务系统中的顾客等待时间、顾客队列长等随机事件的规律或概率，而这些拟合出来的规律或概率对在考虑超市成本情况下，应该采用何种服务系统来提高顾客满意率，服务效率提供了可行的参考。
有用数据[1]的收集
（1）对超市的顾客到达情况进行统计，统计了某大型超市一个工作日个时段顾
客到达总人数和周内各天到达总人数分布；
（2）对当地超市进行观察，并采样数据，可得出该收银台的平均服务率，实际
平均到达率的得出以便后面模型的实际检验。 2.2
数据规律的研究及排队理论 （1） 运用数学软件MATLAB编程对收集到的数据进行分析，得出数据布规律（如：
在排队系统中顾客的人流量一般服从泊松分布；顾客服务时间一般服从定长分布或负指数分布等）；
（2）查阅相关文献，学习并掌握排队理论[1]知识。 2.3
模型实际运用
根据实际数据代入数学模型计算得出相应数值，这些数值则反映出服务系
统的服务效率； 2.4
模型的进一步分析
（1）根据已建立的模型和检验数据，并结合实际情况，假设更多的实际因素代
入到模型中去，实现模型的进一步优化。
3.模型假设
1、顾客中没有插队现象的发生。
2、顾客一旦进入队伍中就不会中途离开。
3、收银台进行服务时，排除因为意外情况的发生而影响到的服务时间。
4、各收银台服务时间基本一致，不考虑各窗口工作人员自身原因引起的服的改
5、收银台数量为考虑超市成本的主要因素。
6、本模型只考虑工作日超市的人流数量，排除特别节假日时期的情况。 8、周一至周五每日的人流量可以看同等分布。 9、收银台服务时间服从均匀分布。
4.符号说明
T1: 表示排成一大队列时的平均等待时间； L1: 表示排成一大队列时的平均队列长； T2: 表示排成k个小队时的平均等待时间； L2: 表示排成k个小队时的平均队列长；
?: 表示顾客的平均到达率(称为顾客到达速率)；
?: 表示系统的平均服务率(即服务台的平均服务速率)；
k: 窗口数量 ；
n0：平均每日顾客到达人数；
n1：周一至周五平均每日各时段顾客到达人数；
n2：周六周日平均每日各时段顾客到达人数； P0：窗口完全空闲的概率； Pn：系统中有n个客户的概率；
?: 表示服务强度，其值为有效的平均到达率?与平均服务率?之比，即
其中主要性指标是T1，L1。
主要性指标其值越小，说明系统排队越少，等待时间越少，因而系统性能越好。显然，它们是顾客与服务部门都很关注的，顾客希望等待时间和队列长越短越好，当然对服务员来说，服务强度越小越好。
5.模型建立
5.1 排队理论系统说明
所谓M/M/k的排队系统是指这样的一种服务：顾客的到达服从参数为?的泊松分布；顾客的服务时间服从参数为?的指数分布；有k个服务台（窗口），顾客按到达的先后次序接受服务。
泊松分布：
P?X?K???ke?1/k!
(?为常数，k=0,1,2,……) 即在时间T内有k位客服的到达的概率为：
P???T?e??T/k!
其中?T是在时间T内顾客到达的平均顾客数，?平均到达率。
负指数分布：
F?t??1?e??t
其中?为大于0的常数，代表单位时间内的平均服务率。
服务强度：?=?/?； 平均对长： Ls??nPn?
平均队列长：Lq??(n?1)Pn?Ls????Ls；
5.2 模型的求解与分析 5.2.1 模型建立
假定顾客到达均匀分布于k个小队，该问题可归结为k个独立的M/M/1/?排队系统，当服务强度?
顾客的平均等待时间为：T1=
每对顾客的平均队列长为：L1=
5.2.2 实际数据代入模型计算的检验分析
通过程序分析验证表1数据得出顾客的到达服从泊松分布（程序代码见附1），并求出泊松分布中的?值：
每小时到达人数：
对于单排对单窗口排队系统，即M/M/1型系统，考虑实际情况我们可以假设服务时间是服从（3,6）均匀分布，根据概率论知识，当顾客到达量服从泊松分布时顾客到达时间间隔服从负指数分布。现用模拟（程序代码见附2），人数n取30，得到的仿真结果如表4，并计算出负指数分布中的?值：
服务时间仿真结果
间服从负指数分布。并计算出：
?=0.7851，??0.2391
(1) 当开设窗口数k=1时：??
=3.2835&1； k?
(2) 当开设窗口数k=2时: ??
=1.6417&1, k?
(3) 当开设窗口数k=3时:??
=1.0945&1 k?
所以当k=1,2,3时，服务强度大于1，即系统内顾客的到达率大于系统的平均服务率，可见系统不存在平衡状态，且排队的人会越来越多，排队等候的时间也会越来越长，因此此超市开设2个窗口无法满足顾客需要，需要增开窗口才能满足顾客需求。
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