金融经济学基础——（美）黄奇辅（Chi-fu Huang）等....
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史上最全最完整的金融经济学答案(王江版)
金融经济学习题解答王江（初稿，待修改。未经作者许可请勿传阅、拷贝、转载和篡改。) 2006 年 8 月第2章 基本框架2.1 U (c) 和 V (c) 是两个效用函数，c ∈ Rn + ，且 V (x) = f (U (x))，其中 f (?) 是一正单调 函数。证明这两个效用函数表示了相同的偏好。 解. 假设 U
(c) 表示的偏好关系为 U (c1 ) ≥ U (c2 ) ? c1 c2 ，那么 ? c1 , c2 ∈ RN + 有而 f (?) 是正单调函数，因而 V (c1 ) = f (U (c1 )) ≥ f (U (c2 )) = V (c2 ) ? U (c1 ) ≥ U (c2 ) 因此 V (c1 ) ≥ V (c2 ) ? c1 c2 ，即 V (c) 表示的偏好也是 。2.2* 在 1 期，经济有两个可能状态 a 和 b，它们的发生概率相等： a b 考虑定义在消费计划 c = [c0 ; c1 c1b ] 上的效用函数：1 U (c) = log c0 + 2 (log c1a + log c1b )U (c) =1 1?γ c 1? γ 0+1 21 21 1? γ c 1? γ 1a+1 1? γ c 1? γ 1bU (c) = ?e?ac0 ?e?ac0 + e?ac0证明它们满足：不满足性、连续性和凸性。 解. 在这里只证明第一个效用函数，可以类似地证明第二、第三个效用函数的性 质。 (a) 先证明不满足性。假设 c ≥ c ，那么有 c0 ≥ c0 , c1a ≥ c1a , c1b ≥ c1b 而 log(?) 是单调增函数，因此有 log(c0 ) ≥ log(c0 ), log(c1a ) ≥ log(c1a ), log(c1b ) ≥ log(c1b ) 因而 U (c) ≥ U (c )，即 c c。2第 2 章 基本框架3 (n) = c。对于 (b) 现在证明连续性。令 {c(n) }∞ 1 为 R 中一个序列，且 limn→∞ c ε ? ε & 0, ? δ ，当 | ci ? ci |≤ δ 时我们有 | log(ci ) ? log(ci ) |& 3 , i = 0, 1a, 1b；对于 δ ，? N 使得当 n ≥ N 时， c(n) ? c = (c0 ? c0 )2 + (c1a ? c1a )2 + (c1b ? c1b )2 & δ(n) (n) (n)因而 | U (c(n) ) ? U (c) |& ε，故 limc(n) →c U (c(n) ) = U (c)。 (c) 最后证明凸性。假设 U (C ) & U (C )，那么 log(c0 ) + 1 1 1 1 log(c1a ) + log(c1b ) & log(c0 ) + log(c1a ) + log(c1b ) 2 2 2 2对于 ? α ∈ (0, 1)， U (αC + (1 ? α)C ) 1 1 log(αc1a + (1 ? α)c1a ) + log(αc1b + (1 ? α)c1b ) 2 2 1 1 1 1 ≥ α(log(c0 ) + log(c1a ) + log(c1b )) + (1 ? α)(log(c0 ) + log(c1a ) + log(c1b )) 2 2 2 2 = αU (C ) + (1 ? α)U (C ) & U (C ) = log(αc0 + (1 ? α)c0 ) + 故凸性成立。 2.3 U (c) = c ? 1 a c2 是一可能的效用函数，其中 c ∈ R+ ，a 是非负的系数。U (c) 具有不 2 满足性吗？如果不，那么 a 取什么值和/或 c 在什么范围内时 U (c) 具有不满足性？ 解. 不一定。比如当 a = 1 时，U ( 1 2) = 具有不满足性。 2.4 考虑一个经济，它在 1 期有三个可能状态：a，b 和 c： a b c 证券市场包括证券 1 和 2，它们具有如下的支付向量：X1 = [1; 1; 1] 以及 X2 = [1; 2; 3]。它们的价格分别为 S1 和 S2 。 (a) 描述这个经济的支付空间。 (b) 写出这个经济的市场结构矩阵 X 。 (c) 考虑含有 θ1 单位的证券 1 和 θ2 单位的证券 2 的组合。写出这个组合的支付向 量。这个组合的价格是多少？ c 王江 金融经济学3 8& U (1) =1 2& U (3) = ?1.5。U (c) 不具有1 不满足性。当 a = 0 时，U (c) = c 具有不满足性；当 a & 0 时，当 c ∈ [0, a ] 时 U (c)3 (d) 假设这个市场中总共有 K 个参与者。每个参与者的禀赋是 1 单位的证券 1 和 2 单位的证券 2。这时的市场组合是什么？市场组合的支付向量是什么？市场组 合的总价值是多少？ (e) 写出市场化支付的集合。 (f) 如果市场不允许卖空。市场化支付的集合是什么？ (g) 现在引入新的证券 3，它的支付向量为 X3 = [0; 0; 1]。写出新的市场结构矩 阵。在这个市场结构下，市场化支付集合是什么？ 解. (a) 这个经济的支付空间是 R3 ； ? ? 1 1 (b) 市场结构矩阵为 X = ? 1 2 ? = [X1 , X2 ]； 1 3 (c) 组合的支付向量为 θ1 X1 + θ2 X2 = [θ1 + θ2 ; θ1 + 2θ2 ; θ1 + 3θ2 ]，组合的价格是 θ 1 S 1 + θ 2 S2 ； (d) 市 场 组 合 是 K 单 位 的 证 券 1 和 2K 单 位 的 证 券 2， 组 合 的 支 付 向 量 为 [3K ; 5K ; 7K ]，组合的总价值是 KS1 + 2KS2 ； (e) 市场化的支付集合是 M = {Y ∈ R2 : Y = θ1 X1 + θ2 X2 , θ1 , θ2 ∈ R}； (f) 这时的市场化支付集合是 M+ = {Y ∈ R2 : Y = θ1 X1 + θ2 X2 , θ1 , θ2 ∈ R+ }； ? ? 1 1 0 (g) 新的市场结构矩阵为 X = ? 1 2 0 ? = [X1 , X2 , X3 ]，此时的市场化支付集 1 3 1 3 合为 M = {Y ∈ R : Y = θ1 X1 + θ2 X2 + θ3 X3 , θ1 , θ2 , θ3 ∈ R}。 2.5 在练习 2.4 中定义的只存在证券 1 和 2 的经济中。考虑一个禀赋为 θ1 单位的证券 1 和 θ2 单位的证券 2 的参与者。写出他的预算集。 解. 参与者的预算集是 {C ∈ R3 + : C = α1 X1 + α2 X2 , 其中 α1 S1 + α2 S2 ≤ θ1 S1 + θ 2 S 2 }。 2.6 在上面的练习中引入练习 2.4 中定义的证券 3，它的价格为 S3 。这时，参与者的预 算集是什么（他在证券 3 上的禀赋为 0）？证明由证券 1、2、3 构成的预算集包含 仅由证券 1、2 构成的预算集。 解. 此时参与者的预算集就变成了 {C ∈ R3 + : C = α1 X1 + α2 X2 + α3 X3 , 其中 α1 S1 + α2 S2 + α3 S3 ≤ θ1 S1 + θ2 S2 + θ3 S3 }。 2.7* 考虑一个在 1 期只有一个可能状态的经济。（在这种情况下不存在不确定性。）参 与者 1 的 0 期禀赋为 100 而 1 期禀赋为 1，即他的禀赋向量为 [100; 1]。他的偏好可 金融经济学 c 王江4 以表示成如下形式： U (c0 , c1 ) = log c0 + ρ log c1 .第 2 章 基本框架系数 ρ 为反映参与者在当前消费和未来消费之间相对偏好的参数。有一只证券，它 的 0 期价格为 1、1 期支付为 1 + rF 。这里，rF 是利率。 (a) 如果这个参与者不能在市场上进行交易，那么他的消费计划以及相应的效用 U a 是什么？ (b) 现在假设他可以在市场上进行交易。 ? 他的预算集是什么？以当前消费为单位，他的总财富 w 是多少？ ? 写出参与者的优化问题。令 c0 为参与者的当前（即 0 期）最优消费、s 为 最优储蓄以及 U b 为在最优策略下得到的效用。求解他的最优消费/储蓄选 择以及相应的效用。把 U b 表示成财富 w、利率 rF 和偏好系数 ρ 的函数。 ? 讨论参与者的最优选择如何依赖于利率 rF 和偏好系数 ρ 。给出解释。 (c) 证明 U b ≥ U a 。 (d) 令 g 为参与者由于能够在证券市场上交易而获得的益处。它的定义为 U b (w ? g ) = U a . 计算 g 。讨论 g 如何依赖于 ρ？g 如何依赖于 rF ？给出解释。 解. (a) 如果不能交易，那么参与者只能消费自己的初始禀赋，即 c0 = 100, c1 = 1, U a = log(100) + ρ log(1) = log(100) (b) 参与者的预算集是 {C ∈ R2 + : c0 = 100 ? S, c1 = 1 + S (1 + rF ), S ∈ R}，如果 以当前消费为单位，他的总财富是 w = 100 + max log(100 ? S ) + ρ log(1 + S (1 + rF ))S 1 1+rF。参与者的优化问题就是我们求得最优储蓄 S= 100ρ(1 + rF ) ? 1 (1 + ρ)(1 + rF )最优消费为 c0 = c 王江 100(1 + rF ) + 1 1 ρ(100(1 + rF ) + 1) ρ(1 + rF ) = w, c1 = = w (1 + ρ)(1 + rF ) 1+ρ (1 + ρ)(1 + rF ) 1+ρ 金融经济学5 因而相应的效用为 U b = log( w ρ(1 + rF ) ) + ρ log( w) 1+ρ 1+ρ我们可以看到，c0 （c1 ）随着 rF , ρ 的上升而下降（上升），当 rF 上升时，储 蓄的收益率增加，因而参与者会减少当前的消费以增加储蓄，同时也就增加了 1 期消费了；当 ρ 上升时，1 期消费带来效用的权重增加，因此参与者会减少 0 期消费以增加 1 期消费。 (c) 如果选择 S = 0，那么我们就得到了 U a ，而我们选择最优的 S 以最大化效用 函数而得到的是 U b ，因此，U b ≥ U a ； (d) 由 U b (w ? g ) = log( 我们可以得到 g =w?ρ?ρ ? 1+ ρw?g ρ(1 + rF ) ) + ρ log( (w ? g )) 1+ρ 1+ρ(1 + rF ) 1+ρ 100 1+ρ (1 + ρ)?ρ1g 随着 ρ、rF 的增加而增加。g 表示的是参与者能够在证券市场上交易而获 得的益处，参与者是为了在当前消费和未来消费之间进行消费转移而进行交 易的，如果他进行消费转移的动力越大，那么他从交易中获得益处越大，而 ρ、rF 增加时，参与者都希望增加未来消费，他进行消费转移的动力也增大， 因而 g 增加。金融经济学c 王江6第 2 章 基本框架c 王江金融经济学第3章 Arrow-Debreu 经济3.1* 考虑如下经济，在 1 期有两个可能状态 a 和 b： a b (a) 描述所有 Arrow-Debreu 证券的支付向量。记这些证券的价格向量为 φ。 (b) 考虑一个拥有如下禀赋的参与者： 0 2 1把他的禀赋表示成 Arrow-Debreu 证券的组合。 (c) 计算他的金融财富。写出他的预算集。 (d) 假设参与者的效用函数如下： U (c0 , c1a , c1b ) = ?e?c0 ?1 2e?c1a + e?c1b .不考虑消费的非负约束，写出他的优化问题。求解他的最优消费选择。 (e) 讨论他的消费如何依赖于Arrow-Debreu 证券的价格向量 φ。 (f) 证明在某些价格下，他（在某些时期/状态下）的消费可能是负的。 解. (a) Arrow-Debreu 证券的支付向量是 Xa = [1; 0], Xb = [0, 1]； (b) 2Xa + Xb ； (c) 参与者的金融财富是 w = 2φa +φb ，他的预算集是 {c ∈ R3 + : c0 +φa c1a +φb c1b = w }； (d) 由于不考虑非负约束，参与者的优化问题就变成了 max (e?c1a + e?c1b ) ?e?c0 ? 1 2[ c 0 ; c 1 c 1b ]8 s.t. c0 + φa c1a + φb c1b = w = 2φa + φb 得到最优消费为 c? 0 = c? 1a = c? 1b =第 3 章 ARROW-DEBREU 经济2φa + φb + φa log(2φa ) + φb log(2φb ) 1 + φa + φb 2φa + φb + φb log(2φb ) ? log(2φa ) ? φb log(2φa ) 1 + φa + φb 2φa + φb + φa log(2φa ) ? log(2φb ) ? φa log(2φb ) 1 + φa + φb可以用 c? 对 φa , φb 的导数的符号来确定状态价格变化对最终消费的影响。一般 说来，状态价格变化对消费有两种效应：财富效应和价格效应。比如说，当状 态价格 φa 上升时，对消费 c? 1a 有正的财富效应和负的价格效应，总的效应是不? 确定的，有可能为正也有可能为负；而 φa 上升对消费 c? 0 , c1b 均有的正的财富 ? 效应和正的价格效应，因而 c? 0 , c1b 均会增加；(e) 当 φa = φb = 0.1 时，c? 0 = ?0.0182 & 0。 3.2 考虑一个在 1 期只有一个可能状态的经济。（在这种情况下不存在不确定性。）参 与者 1 的 0 期禀赋为 100 而 1 期禀赋为 1，即他的禀赋向量为 [100; 1]。他的偏好可 以表示成如下形式： U (c0 , c1 ) = log c0 + ρ log c1 . 有一只可交易证券，它的 0 期价格为 1、1 期支付为 1 + rF 。这里，rF 是利率。 (a) 假设利率 rF 是给定的，导出参与者对证券的需求。 (b) 假设参与者1是经济中的唯一参与者。描述市场出清条件。 (c) 求解均衡利率。 (d) 均衡利率如何依赖于偏好参数 ρ？解释所得到的结论。 解. (a) 先不考虑消费的非负性，求解参与者的证券需求。此时参与者的优化问题变成 了 max log(100 ? θ) + ρ log(1 + θ(1 + rF ))θ我们可以求得参与者的证券需求是 θ? = c 王江 100ρ(1 + rF ) ? 1 (1 + ρ)(1 + rF ) 金融经济学9 最优消费为 c? 0 = 100(1 + rF ) + 1 ? ρ(100(1 + rF ) + 1) , c = (1 + ρ)(1 + rF ) 1 1+ρ由于最优消费都是非负的，因此上面的求解过程没有问题。 (b) 由于市场上只有一个参与者，因而市场出清条件是 θ? = 0； (c) 由上面的市场出清条件，我们可以求得均衡利率为 rF =1 100ρ? 1；(d) rF 随着偏好系数的增加而减小。这是因为偏好系数增大，未来消费带来的边际 效用相对增加，从而人们对能将财富在 0 期、1 期之间进行转换的证券需求增 加，证券价格上升，利率下降。 3.3* 继续考虑练习 3.2 中定义的经济。现在假设还有另外一个参与者 2，他的效用函数和 参与者 1 的一样但他的禀赋为 [1; 100]。 (a) 求解参与者 2 的最优消费/储蓄选择。 (b) 比较参与者 1 和 2 的最优消费/储蓄选择。 (c) 求解有两个参与者时的市场均衡。 (d) 计算均衡利率。它与前一情形（经济中只有参与者 1）下的均衡利率有何不 同？ (e) 证明均衡配置是 Pareto 最优的。 解. (a) 先不考虑消费非负的约束，参与者 2 的优化问题就变成了 max log(1 ? θ) + ρ log(100 + θ(1 + rF ))θ可以求得参与者的证券需求是 θ? = ρ(1 + rF ) ? 100 (1 + ρ)(1 + rF )最优消费为 c? 0 = (1 + rF ) + 100 ? ρ((1 + rF ) + 100) , c = (1 + ρ)(1 + rF ) 1 1+ρ由于最优消费都是非负的，因此上面的求解过程没有问题。 (b) 两人的最优消费/储蓄选择形式上是完全一样的，差别在于两人的禀赋不一 样； 金融经济学 c 王江10 (c) 此时的市场出清条件是 100ρ(1 + rF ) ? 1 ρ(1 + rF ) ? 100 + =0 (1 + ρ)(1 + rF ) (1 + ρ)(1 + rF ) (d) 通过市场出清条件可以求得均衡利率是 rF = 不一样，导致均衡利率也不一样； (e) 对于参与者 1 来说，边际效用之比是 (ρ log(c? c? 1 1 )) 0 = ρ =ρ ? ? c1 1 + rF (log(c0 ))第 3 章 ARROW-DEBREU 经济1 ρ? 1，这是因为经济中的总禀赋1 同样可以算得参与者 2 的边际效用之比也是 ρ 1+ rF ，因而均衡配置是 Pareto 最优的。 3.4* 在 1 期，经济有三个等可能的状态 a、b 和 c。在证券市场上交易的 Arrow-Debreu 证券集合是完全的。经济中有两个参与者，参与者 1 和 2。他们的禀赋如下： 0 e1 : 100 0 0 他们的偏好相同，形式如下： U (c) = ? 1 ? c01 3200 e2 : 0 100 501 1 1 + + c1a c1b c1c.(a) 求解每一参与者的最优消费/投资选择。 (b) 求解均衡状态价格。 (c) 证明对两个参与者的消费都有禀赋越高、消费越高的性质。 (d) 证明每一参与者的消费在总消费中所占的份额 ck,1ω /e1ω 在所有状态下都是一 样的，其中 k = 1, 2、而 e1ω 是在状态 ω = a, b, c 下的 1 期总消费/禀赋。 解. (a) 求解最优消费选择时，先不考虑消费非负的约束。对于参与者 1，它的优化问 题是： max ?c0 ,c11 1 1 1 1 ( + ?3 + ) c0 c1a c1b c1cs.t. c0 + φa c1a + φb c1b + φc c1c = 100 求解得参与者 1 的最优消费选择为 c? 0 = c 王江 100 1+ φa /3 + φb /3 + φc /3 金融经济学11 c? 1a = c? 1b = c? 1c = 100 3φa (1 + 3φb (1 + 3φc (1 + φa /3 + φb /3 + 100 φa /3 + φb /3 + 100 φa /3 + φb /3 + φc /3) φc /3) φc /3)√ √ √类似地，可以求得参与者 2 的最优消费选择为 c? 0 = c? 1a = c? 1b = c? 1c = 200φa + 100φb + 50φc 1+ √ √ √ φa /3 + φb /3 + φc /3 200φa + 100φb + 50φc φc /3) φc /3) φc /3)3φa (1 + φa /3 + φb /3 + 200φa + 100φb + 50φc 3φb (1 + φa /3 + φb /3 + 200φa + 100φb + 50φc 3φc (1 + φa /3 + φb /3 +因为最优消费都是非负的，因而上面的求解过程是没有问题的； (b) 市场出清条件是 √ 100 3φa (1 + 3φb (1 + φa /3 + φb /3 + 100 φa /3 + φb /3 + 100 φa /3 + φb /3 + φc /3) 3φa (1 + φa /3 + φb /3 + 200φa + 100φb + 50φc +√ φc /3) 3φb (1 + φa /3 + φb /3 + 200φa + 100φb + 50φc +√ φc /3) 3φc (1 + φa /3 + φb /3 + +√ 200φa + 100φb + 50φc φc /3) φc /3) φc /3) = 200 = 100 = 50√ √3φc (1 +解上述方程组可以求得状态价格为 φa = φb = φc =1 12 1 3 4 3? ? (c) φa & φb & φc ，对于参与者 1、2 都有 c? 1a & c1b & c1c ，即总禀赋越高、消费越高； (d) 因为对于消费者 1、2 都有 c? 1a = c? 1b c? 1a = c? 1c φb =2= φa φc =4= φa200 100200 50因此，每一参与者的消费在总消费中所占的份额在所有状态下都是相等的。金融经济学c 王江12第 3 章 ARROW-DEBREU 经济c 王江金融经济学第4章 套利和资产定价4.1 经济在 1 期有 4 个可能状态。在市场中有 5 只可交易证券，它们的支付矩阵 X 如 下： 1 ? 1 X=? ? 1 1 ? 1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 1 2 ? 0 0 ? ?. 0 ? 1(a) 证明市场是完全的。 (b) 证明状态价格向量存在且唯一。并给出它的值。 (c) 证明市场上存在冗余证券。 (d) 选择一组足以保证市场完全的复合证券。把每一只 Arrow-Debreu 证券都表示 成这些证券的组合。称这些组合为状态或有组合。 (e) 用状态或有组合把任一由五只交易证券组成的组合表示出来。 (f) 证明状态或有组合可生成状态空间。 解. 记 5 只交易证券的支付向量分别为 X1 = [1; 1; 1; 1], X2 = [1; 2; 3; 4], X3 = [0; 1; 2; 3], X4 = [0; 0; 1; 2], X5 = [0; 0; 0; 1] (a) 因为 X1 , X2 , X3 , X4 的支付是互相独立的四只证券，而状态数等于 4，因而证 券市场是完全的； (b) 假设状态价格向量为 φ = [φ1 ; φ2 ; φ3 ; φ4 ]，那么有： φ1 + φ2 + φ3 + φ4 = 1 φ1 + 2φ2 + 3φ3 + 4φ4 = 2.5 φ2 + 2φ3 + 3φ4 = 1.5 φ3 + 2φ4 = 0.75 φ4 = 0.251 1 1 求解上述方程组可以得到唯一的解为 φ = [ 1 4 ; 4 ; 4 ; 4 ]；14第 4 章 套利和资产定价 (c) 买入 1 单位的证券 2 卖出 1 单位的证券 3，得到的支付是 [1; 1; 1; 1]，恰好就是 证券 1 的支付，因而市场上存在冗余证券； (d) 证券 2、3、4、5 可以保证市场完全，而且我们有 X2 ? 2X3 + X4 = [1; 0; 0; 0] X3 ? 2X4 + X5 = [0; 1; 0; 0] X4 ? 2X5 = [0; 0; 1; 0] X5 = [0; 0; 0; 1] (e) 假设组合中 5 只交易证券的头寸分别为 θ1 , θ2 , θ3 , θ4 , θ5 ，那么状态或有组合的 头寸分别为 θ1 + θ2 , θ1 + 2θ2 + θ3 , θ1 + 3θ2 + 2θ3 + θ4 , θ1 + 4θ2 + 3θ3 + 2θ4 + θ5 ； (f) 因为状态或有组合的支付是 R4 空间的一组基，因而状态或有组合可生成支付 空间。4.2 银行 1 的存贷利率为 r1 而银行 2 的为 r2 ，且 r1 & r2 。证明存在套利机会。 解. 从银行 2 借钱并全部存入银行 1，参与者就可以获得第 2 类套利。 4.3 银行 i 的贷款利率为 ria （即顾客借钱的利率）而存款利率为 rib ， i = 1, 2。 (a) 证明无套利要求 ria ≥ rib 。 (b) 两个银行的存贷利率应该满足什么样的条件才能使市场上不存在套利机会。 解. (a) 反证法。如果 ria & rib ，那么从银行 i 借入 1 块钱并存入银行 i，那么在 0 期支 付为 0 而 1 期支付为rib ria & 0，参与者可获得第 2 类套利。因此，ria ≥ rib ； (b) r1a & r2b , r1b & r2a 。 4.4 考虑练习 4.1 中定义的市场。假设 5 只交易证券的价格分别为 1，2，3/2，1，1/2。 (a) 在这样的价格和支付下存在套利机会吗？ (b) 你能构建第 1、2 以及 3 类套利机会吗？ 解. (a) 买入 1 单位的证券 4，卖出 2 单位的证券 5，0 期支付为 0，而 1 期支付为 [0; 0; 1; 0] & 0，因而存在套利机会。 (b) 上面构造了第 2 类套利机会。卖出 1 单位的证券 1 和 1 单位的证券 3，同时买1 入 1 单位的证券 2，那么 0 期支付为 2 ，而 1 期支付为 0，这是第 1 类套利机会。同时进行上述两种交易就可以得到第 3 类套利机会。 c 王江 金融经济学15 4.5 在 1 期有三个可能状态：{ω1 , ω2 , ω3 }。在经济中有三只交易证券，a，b，c，它们的 支付向量如下： ? ? ? ? 1 0 ? ? ? Xa = 1 , X b = 1 ? , 0 1 ? 1/2 Xc = ? 1 ? . 1/2 ?这些证券的 0 期均衡价格为：Sc = Sb = Sc = 1。令 φ = [φ1 ; φ2 ; φ3 ] 为状态价格向 量。 (a) 证明 [2; ?1; 2] 是一个可能的状态价格向量，因为它给出了三支现有证券的价 格。 (b) ”资产定价基本定理”指出状态价格必须是非负的。在一个两期经济里，对于证 券市场这意味着什么？并给出其解释。 (c) 上面的例子是这个原理的反例吗？为什么？ (d) 证明 [1/2; 1/2; 1/2] 是另外一个可能的状态价格向量。在这种情况下，所有状 态价格都是正的。 (e) 解释为什么存在多个可能的状态价格向量，它们对已有证券都给出相同的价 格。 (f) 考虑一个标的资产为证券 a 、执行价格为 1/2 的欧式买权。这份期权的支付是 多少？你能为它定价吗？ 解. (a) 因为 2 × 1 + (?1) × 1 = 1, (?1) × 1 + 2 × 1 = 1, 2 × 因而 [2; ? 1 2 ; 2] 是一个可能的状态价格向量； (b) 状态价格向量的非负性意味着不存在套利机会； (c) 不是。因而它只是可能的状态价格之一，并不一定是真实的状态价格； (d) 因为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 × 1 + × 1 = 1, × 1 + × 1 = 1, × + × 1 + × = 1 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 因而 [ 1 2 ; 2 ; 2 ] 是一个可能的状态价格向量；1 1 + (?1) × 1 + 2 × = 1 2 2(e) 因为市场是不完全的，因而可能存在多个状态价格，它们都给出已有证券的价 格。 金融经济学 c 王江16第 4 章 套利和资产定价4.6 远期合约（Forward）是在未来（即 1 期）以当期（即 0 期）确定的价格交易某一 证券或商品的合约，而在当期没有现金流产生。在当期约定的未来交易价格称作远 期价格。比方说，考虑一份在 1 期以 F0 的价格购买 1 盎司黄金的远期合约。合约的 买方同意在 1 期（合约的到期日）从卖方买入 1 盎司黄金。在当期没有现金交换。 令 St 为 t = 0, 1 期黄金的价格、而 rF 为利率。考虑在 1 期得到 1 盎司黄金的两种方 法： ? 现在购买一份远期合约。在 1 期，支付远期价格 F0 并获得黄金。 ? 现在支付 S0 买入 1 盎司黄金，并且持有它直到 1 期。假设从现在起持有黄金 直到 1 期没有另外的成本或收益。 在这两种情况下，我们在 1 期同样得到 1 盎司黄金，而那时它的价值为 S1 。 (a) 由于这两种策略给予我们相同的支付 S1 ，无套利原理意味着它们的成本必须 一样。用当期的价格 S1 和 rF 给出远期价格。 (b) 假设持有 1 盎司黄金不仅得到它的 1 期出售价格，在 1 期还得到额外收益 y 。y 将如何影响远期价格？ 解. (a) 第 一 种 方 法 的 成 本 是F0 理， 1+ rF F0 1+rF， 而 第 二 种 方 法 的 成 本 是 S0 ， 根 据 无 套 利 原= S0 ，因此，F0 = (1 + rF )S0 ；(b) 由于第二种方法还得到额外收益，由无套利原理原理有 F0 & (1 + rF )S0 。（如 果收益是确定性的，那么应该有F0 + y = (1 + rF )S0 ） 4.7 英镑现时对美元的价格（即英镑/美元汇率）为 S0 （即一英磅的美元价格为本 S0 ），美元利率为 rA 而英镑利率为 rB 。考虑一份在 1 期购买 1 英镑的远期合约。 远期价格（即远期汇率）应该是多少？提示：考虑在 1 期得到 1 英镑的两种策略。 ? 购买一份远期合约。在 1 期，支付远期价格 F0 购入 1 英镑。 ? 现在以当前汇率 S0 买入 x 英镑并以 rB 的利率进行投资，在 1 期得到 1 英镑。 得到的远期价格、现时汇率和利率之间的关系就叫作抛补利率平价理论（Covered Interest Rate Parity）。解 解. 第一种策略的 0 期支付是 0 期支付是S0 1+rB F0 美元，根据无套利原理， 1+ rA = F0 1+rA美元，而第二种策略的 F0 =1+rA 1+rB S0 。S0 1+rB ，即4.8 考虑练习 4.1 定义的市场。假设证券 1，2，5 的价格是 1，2，1/2。 (a) 计算状态价格和利率。 (b) 构建等价鞅测度。 c 王江 金融经济学17 (c) 证明 5 只证券的价格都具有鞅性质。 解. (a) 假设状态价格向量为 φ = [φ1 ; φ2 ; φ3 ; φ4 ]，那么有： φ1 + φ2 + φ3 + φ4 = 0.8 φ1 + 2φ2 + 3φ3 + 4φ4 = 2 φ2 + 2φ3 + 3φ4 = 1.2 φ4 = 0.2 求解上述方程组可以得到唯一的解为 φ = [0.2; 0.2; 0.2; 0.2]。因此，证券 4 的价 格为 0.6，而利率为 rF =1 φ1 +φ2 +φ3 +φ4? 1 = 0.25；(b) 等价鞅测度为 Q = [0.25; 0.25; 0.25; 0.25]；[X1 ] (c) 对于证券 1， E 1+rF =Q1 1+0.25= 0.8，正好就是它的价格；类似可以证明其它证券的价格也有鞅性质。 Notes：证券价格不完全，现在改为证券 1，2，3，5 的价格分别为 0.8，2，1.2，0.2。金融经济学c 王江18第 4 章 套利和资产定价c 王江金融经济学第5章 期权: 一个套利定价的例子5.1 1 期有两个可能状态 a 和 b，发生概率分别为 π 和 1 ? π 。存在一只收益率为 rF 的 无风险证券。还存在一只风险证券，它的现时价格为 S 、在 1 期支付红利 δS 。它 在 1 期的除权价（即红利后的价格）在状态 a 下是 (1 + rF + u)S 、在状态 b 下是 (1 + rF ? d)S 。 (a) 为使市场中不存在套利机会，π ，rF ，u，d 和 δ 应该满足什么条件？ (b) 1 期到期、执行价为 K 的欧式买权的 0 期价格是多少？ (c) 美式买权的价格是多少？比较它与相应的欧式买权价格。什么时候提前执行是 最优的？ (d) 将买权换成卖权，回答练习 0b 和 0c。 解. (a) u + δ & 1 + rF & d + δ ； (b) 令状态价格向量为 φ = [φ φb ]，那么有 1 φa + φb = 1 + rF (u + δ )Sφa + (d + δ )Sφb = S 求解方程组可得状态价格为 1 (1 + rF ) ? (d + δ ) φa = 1 + rF u?d 1 (u + δ ) ? (1 + rF ) φb = 1 + rF u?d ? uS & K ? 0 φa (uS ? K ) dS ≤ K ≤ uS c = φa [uS ? K ]+ + φb [dS ? K ]+ = ? φa (uS ? K ) + φb (dS ? K ) K & dS (c) 对于美式期权来说，如果在 0 期执行，那么获得的收益是 [S ? K ]+ ，如果在 1 期执行，那么收益和欧式期权一样，因而 C = max[[S ? K ]+ , c]。当且仅当 [S ? K ]+ & c 时提前执行是最优的。当 δ 很大时，股价 S 中含有股利的成份越 多，因而越有可能提前执行。 因而期权的价格为20 (d) 对于欧式看跌期权，价格为第 5 章 期权: 一个套利定价的例子? K & dS ? 0 φa (K ? dS ) dS ≤ K ≤ uS p = φa [K ? uS ]+ + φb [K ? dS ]+ = ? φa (K ? uS ) + φb (K ? dS ) K & uS 而对于美式看跌期权，P = max [[K ? S ]+ , p]。当 δ 越大时，股价 S 中含有股 利的成份越多，因而越有可能不提前执行。 5.2 在 1 期有三个可能状态： {ω1 , ω2 , ω3 }。在经济中有三只交易证券，它们的支付向量 如下： ? ? 1 Xa = ? 1 ? , 0 ? 0 Xb = ? 1 ? , 1 ? ? 1/2 Xc = ? 1 ? . 1/2 ?这些证券的 0 期均衡价格是 Sc = Sb = Sc = 1。令 φ = [φ1 ; φ2 ; φ3 ] 为状态价格向 量。[这与前一章练习 4.1 定义的经济一样。]考虑一份标的资产证券为 a、执行价格 为 1/2 的欧式买权。它的支付是什么？你能确定它的价格吗？ ? 1 ? 解. 它的支付是 ? 即1 2。02 1 2?，因为它的支付恰为证券 a 的一半，因而它的价格也是一半5.3 蝴蝶头寸是看涨期权的组合：（1）买入 1 份执行价格为 K ? δ 的看涨期权，（2） 卖出 2 份执行价格为 K 的看涨期权，（3）买入 1 份执行价格为 K +δ 的看涨期权。 因此，蝴蝶头寸可由两个参数 K 和 δ 刻划。比较两个蝴蝶头寸，K 相同但 δ 不同。 证明 δ 较高的蝴蝶头寸的价值较高。 解. 假设 δ1 & δ0 ，比较两只期权的支付。当 1 期价格 S 大于 K + δ 或者小于 K ? δ 时，两者的支付都为 0；当 S ∈ [K ? δ1 , K ? δ0 ] 时 X1 = S ? (K ? δ1 ) & X0 = 0； 当 S ∈ [K ? δ0 , K ) 时 X1 = S ? (K ? δ1 ) & S ? (K ? δ0 ) = X0 ；当 S ∈ [K, K + δ0 ) 时 X1 = ?S + (K + δ1 ) & ?S + (K + δ0 ) = X0 ； 当 S ∈ [K + δ0 , K + δ1 ] 时 X1 = ?S + (K + δ1 ) & 0 = X0 ；根据无套利原理，δ 较高的期权价格较高。 5.4 对于参数为 K 和 δ 的蝴蝶头寸，给出它的价格的一个上界和下界。 解. 一个上界是 [S ? (K ? δ )]+ ? [S ? (K + δ )]+ ，因为期权的支付是非负的，因而 0 是它的一个下界。 5.5 股票价格具有如下形式的二叉树结构： 10 12 8两个可能结果的发生概率相等，无风险利率是 10%。 c 王江 金融经济学21 (a) 为一个以此股票为标的资产、执行价格为 9 的看跌期权定价。 (b) 假设你得到一个新的利好信息：股票价格上升到 12 的概率大于 1/2，而股票价 格仍然是 10。你愿意支付的看跌期权的价格是上涨还是下跌？解释原因。 解.15 (a) 由第 1 题中公式可以得到状态价格为 φ = [ 22 , 5 22 5 22 ]，因而看跌期权的价格为× [9 ? 8] =5 22 ；(b) 由于股价不变，状态价格也不会变化，因而看跌期权的价格是不变的。 5.6 二叉树模型可以拓展到多于两个时期的情形。考虑拓展到三个时期 0，1，2 的情 况。股票价格服从如下的二叉树过程： 12 10 8 9.6 6.4 14.4 9.6每一期间（即，从 0 期到 1 期或从 1 期到 2 期）的利率都是 10%。考虑一份在 2 期 到期、执行价格为 9 的看涨期权。 (a) 描述这份看涨期权在 2 期的支付。 (b) 求解看涨期权在 1 期、股票价格分别为 12 或 8 时的价格。 (c) 求解看涨期权在 0 期的价格。 (d) 如果是美式看涨期权，它在 0 期的价格是多少？ 解. ? 5.4 ? 0.6 ? ? (a) 支付是 ? ? 0.6 ? 0 (b) 可以求得每个节点的状态价格都和第 5 题中的一样。当股价为 12 时，期权价 格为15 22?× 5.4 +5 22× 0.6 = 3.82；当股价为 8 时，期权价格为15 225 22× 0.6 = 0.41；(c) 看涨期权的 0 期价格为× 3.82 +5 22× 0.41 = 2.70；(d) 因为没有股利，美式看涨期权不会提前执行，价格也是 2.70。 5.7* 在练习 5.6 描述的经济中，考虑一份以股票为标的资产、在 2 期到期、执行价格为 14 的看跌期权。 金融经济学 c 王江22 (a) 如果它是欧式期权，求解它的 0 期价格。 (b) 如果它是美式期权，求解它的 0 期价格。 解.第 5 章 期权: 一个套利定价的例子? 0 ? 4.4 ? 5 ? (a) 期权的 2 期支付是 ? ? 4.4 ?；在 1 期，当股价为 12 时，期权价格为 22 × 4.4 = 7.6 15 5 1；当股价为 8 时，期权价格为 22 × 4.4 + 22 × 7.6 = 4.73；因而期权的 0 期价 ? × 4.73 = 1.76。 ? ? 0 ? 4.4 ? ? (b) 期权的 2 期支付是 ? ? 4.4 ?；在 1 期如果不提前执行，当股价为 12 时，期权价 7.6 5 5 格为 22 × 4.4 = 1；当股价为 8 时，期权价格为 15 22 × 4.4 + 22 × 7.6 = 4.73； ×1+ 而如果在 1 期提前执行，那么期权的支付分别为 2 和 6，因而参与者会提前 执行，期权在 1 期的支付为 [2; 6]；如果在 0 期不提前执行，期权的价格为15 22 5 × 2 + 22 × 6 = 2.73，而如果在 0 期提前执行，参与者的收益是 4，因此参与格为15 225 22者在 0 期就执行期权，期权在 0 期的价格是 4。 5.8* 这里的经济与练习 5.6 描述的经济一样，只是这里的参数更具一般性： uS S dS duS d2 S u2 S udS每一期间的利率都是 rF 且 0 & d & 1+ rF & u。 (a) 求解在每一时期考虑下一期的两种可能情形（即股价上升或下降）的风险中性 概率。 (b) 用 S ，u，d 和 rF 表示欧式看跌期权在 0 期的价格。 (c) 证明在 2 期到期的美式看涨期权的价格比具有相同执行价格、但在 1 期到期的 美式看涨期权的价格要高。 解. (a) 状态价格在每期都是一样的， φu = c 王江 1 (1 + rF ) ? d 1 + rF u?d 金融经济学23 1 u ? (1 + rF ) 1 + rF u?dφd =因此，每一个节点处的风险中性概率也是一样的， qu = (1 + rF ) ? d u ? (1 + rF ) , qd = u?d u?d(b) 欧式看跌期权在 0 期的价格为 φu (φu [K ? u2 S ]+ + φd [K ? udS ]+ ) + φd (φu [K ? udS ]+ + φd [K ? d2 S ]+ )2 2 2 = φ2 u [K ? u S ]+ + 2φu φd [K ? udS ]+ + φd [K ? d S ]+(c) 因为美式期权可以提前执行，在 2 期到期的期权既可以选择在 1 期执行也可以 选择在 2 期执行，而在 1 期到期的美式看涨期权只会选择在 1 期执行（虽然都 可以在 0 期执行，但是在没有股利的情况下，美式看涨期权是不会提前执行 的），因而在 2 期到期的期权价格更高。 5.9* 考虑练习 5.8 描述的经济。假设一只证券在 2 期的支付是股票价格从 0 期到 2 期所 达到的最大值。（这是一个关于回望期权的例子，它的支付依赖于标的证券的价格 路径）。 (a) 写出它在 2 期的支付。 (b) 导出它的 0 期价格。 (c) 证明用在 2 期支付一美元的无风险债券的价格正规化以后，这只证券的价格过 程在等价鞅测度下是鞅。 解. 这里只考虑 ud & 1 的情形，其它情形可以类似考虑 ? 2 ? u S ? uS ? ? (a) 期权在 2 期的支付是 ? ? S ?； S2 2 (b) 0 期价格为 φ2 u u S + φu φd (u + 1)S + φd S ；(c) 在 1 期，当股价为 uS 时， ?2] = EQ [X 1 (φu u2 S + φd uS ) φu + φd而正规化后的价格为 (φu u2 S + φd uS )/ 1 1 = (1 + rF )(φu u2 S + φd uS ) = (φu u2 S + φd uS ) 1 + rF φu + φd可以验证其它各节点均如此，因而期权的价格过程为鞅。 金融经济学 c 王江24第 5 章 期权: 一个套利定价的例子5.10 经济在 1 期有 3 个状态。状态－指数证券在三个状态下的支付分别为 1，2，3： 1 2 3 并有两只以指数证券为标的资产、执行价格分别为 1 和 2 的看涨期权。用指数证券 和上述期权复制如下支付： 1 1 1 解. 3 2 1 1 0 0? 1 记状态指数证券的支付向量为 X0 = ? 2 ?，执行价格为 1 的指数期权的支付向量 3 ? ? ? ? 0 0 为 X1 = ? 1 ?，执行价格为 2 的指数期权的支付向量为 X2 = ? 0 ? 那么我们可 2 1 得： ? ? ? ? ? ? 1 3 1 ? ? ? ? ? X0 ? X1 = 1 , 3X0 ? 4X1 = 2 , X0 + X2 ? 2X1 = 0 ? 0 1 1?c 王江金融经济学第6章 期望效用函数6.1 证明如下形式的期望效用函数： U (c) = u0 (c0 ) +ω ∈?πω u1 (c1ω )满足独立性公理。 解. 假设 c 和 c 在状态 ω 有相同的消费路径 x = [c0 , cx ]，且 c U (c) = u0 (c0 ) +ω ∈??{ω }c ，那么有πω u1 (c1ω ) + πω u1 (cx ) πω u1 (c1ω ) + πω u1 (cx ) = U (c )ω ∈??{ω }≥ u0 (c0 ) +?ω ∈??{ω }πω u1 (c1ω ) ≥ω ∈??{ω }πω u1 (c1ω )现在把消费路径换成 y = [c0 , cy ]，那么我们有 U (c) = u0 (c0 ) +ω ∈??{ω }πω u1 (c1ω ) + πω u1 (cy ) πω u1 (c1ω ) + πω u1 (cy ) = U (c )ω ∈??{ω }≥ u0 (c0 ) + 即cc 仍然成立，故 U (c) 满足独立性公理。6.2* 对于由练习 6.1 给出的效用函数表示的偏好，证明连续性意味着 u0 (?) 和 u1 (?) 都是 连续的。 解. 我们只证明 u0 (?) 是连续的，u1 (?) 的连续性可以类似证明。 假 设 序 列 {xn }∞ n=1 的 极 限 是 x， 且 u0 (xn ) ≥ ( ≤ ) u0 (c0 )， 那 么 我 们 只 须 证 明 u0 (x) ≥ ( ≤ ) u0 (c0 )。令 c 为 0 期消费为 c0 、1 期各状态消费均为 y & 0 的消费计 划，而 cn 为 0 期消费为 xn 、1 期各状态消费均为 y 的消费计划，c 为 0 期消费 为 x、1 期各状态消费均为 y 的消费计划，那么 c 也是 cn 的极限。由假设我们有 cn ∈ {a ∈ C : a ( ) c}，由效用函数的连续性我们有 c ∈ {a ∈ C : a ( ) c}， 因而 u0 (x) ≥ (≤) u0 (c0 )，u0 (?) 是连续的。26 6.3** 如果 a b 意味着对于 ? α ∈ [0, 1] 都有 αa + (1 ? α)b第 6 章 期望效用函数 b，那么称偏好关系 是弱凸的（weakly convex）。这与第 2 章中的强凸性有所不同。假设偏好关系是连续的 并且有练习 6.1 给出的期望效用函数表示（因而 u0 (?) 和 u1 (?) 都是连续函数）。证 明此时强凸性包含弱凸性。 解. 当 α = 0 或 1 时，αa+(1?α)b αa + (1?α)b b 显然成立；当 a b, α ∈ (0, 1) 时，由强凸性有 b。不妨假设 b，b；现在证明如果 α ∈ (0, 1), a ? b，那么 αa + (1?α)b b，即b b πω u1 (αca 1ω + (1 ? α)c1ω ) & u0 (c0 ) +效用函数是递增的，另外假设 & 0 为任意正实数，令 a = a + [ ; [0; 0; . . . ; 0]] 由强凸性有 αa + (1 ? α)bb u0 (αca 0 + (1 ? α)c0 + α ) +πω u1 (cb 1ω )由于 是任意实数，并且 u0 是连续函数，因此b u0 (αca 0 + (1 ? α)c0 ) + b b πω u1 (αca 1ω + (1 ? α)c1ω ) ≥ u0 (c0 ) +πω u1 (cb 1ω )即 αa + (1 ? α)bb 成立，命题得证。6.4** 假设定义在随机支付上的效用函数具有练习 6.1 中的形式，其中 ? 是任意的状态空 间而 P 是相应的概率测度。如果它还满足弱凸性，那么 u0 (?) 和 u1 (?) 都是凹的。 解. 只能证明 {c ∈ C : c b} 是凸的，即 u 是拟凹的，不能证明是凹的。c 王江金融经济学第7章 风险厌恶7.1** 令 R(w) ≡ ?wu (w)/u (w) 而 a(w) = ArgMax E [u(w + ar ?)] 为相对于效用函数 u(?) 的最优投资选择。假设 w & 0、u (?) & 0、u (?) ≤ 0 且 E[? r] & 0。证明以下命题： (a) 如果 λ & 1，给定效用函数 u(?) 且 R (w) ≥ 0。定义 u1 (w) ≡ u(λw), u2 ≡ u(w).那么， R1 (w) ≥ R2 (w)。 (b) 给定以上结论，我们有 a1 (w) ≤ a2 (w), 其中 a1 (w) 和 a2 (w) 分别是相对于己于 u1 和 u2 的最优投资选择。 (c) 定义 a(w) ≡ a(w)/w。那么，对于 w1 ≤ w2 有 a(w1 ) ≥ a(w2 )。（提示：令 λ = w2 /w1 。） 最后一个结论说的是，对于具有单调递增的相对风险厌恶的投资者，他在风险资产 上的投资额占他财富的比例随着财富的增加而减少。 解. (a) u1 (w) = λu (λw), u1 (w) = λ2 u (λw) 由此以及 R (w) ≥ 0 可得， R1 (w) = wu1 (w) λ2 wu (λw) (λw)u (λw) = = = R(λw) ≥ R(w) = R2 (w); u1 (w) λu (λw) u (λw)(b) 参与者优化的一阶条件是 E[U (λ(W + ar ?))λr ?] = 0，因为 E[? r] & 0，从而有 a & 0。一阶条件的两边对 λ 求导得： E [u (w + λar ?)(w + ar ? + λa r ?)? r] = 028第 7 章 风险厌恶 ? λ2 a E [?u (w ? )? r2 ] = E [U (w ? )w ?r ?] = E [u (w ? )(w ? )? r] = E [?u (w ? )R(w ? )? r] ? sign(a ) = ?sign(E [u (w ? )R(w ? )? r]) 因为 E [u (w ? )R(w ? )? r] ≥ E [u (w ? )R(w)? r] = R(w)E [u (w ? )? r] = 0 最后一个等式是因为一阶条件；因此 a ≤ 0； ? a(λw) ≤ a(w), λ & 1 ? a1 (w) ≤ a2 (w) (c) 令 λ =w2 w1 ，令u1 (w) = u(λw), u2 (w) = u(w)，那么由（a）和（b）有a (w 2 ) λ≤a(w1 )，即 a(w1 ) ≥ a(w2 )。 7.2 参与者的初始财富为 w 且他的绝对风险厌恶系数为常数 a。现在他必须承担风险 g ?，g ? 是一公平赌博（即，他的财富变成 w + g ?）。当 g ? 具有如下分布时计算确定性 等价： (a) 取值为 ?b 和 b 的二项分布； (b) 区间 [?c, c] 上的均匀分布； (c) 均值为 0、标准差为 σ 的正态分布。 (d) 讨论在以上情形下，确定性等价如何依赖于初始财富 w。从中你能得到什么结 论？并解释你的结论。 解. 为简便起见，假设效用函数为 U (w) = ?e?aw ， (a) 由定义有1 U (π1 + w) = ?e?a(w+π1 ) E[U (w + g ?)] = 1 U (w + b) + 2 U (w ? b) 2 1 ?a(w?b) e?a(w+b) ? 2 e = ?1 21 1 ab ? π1 = ? log( 1 e?ab + 2 e ) 2 a (b) 由定义有 U (w + π2 ) = ?e?a(w+π2 ) = E [U (w + g ?)] = 1 ?aw ac = ? e (e ? e?ac ) 2ac eac ? e?ac 1 ) ? π2 = ? log( a 2ac c 王江 金融经济学 1 2cc ?c?e?a(w+x) dx29 (c) 由定义有 U (w + π3 ) = ?e?a(w+π3 ) = E [U (w + g ?)] ∞ 1 x2 = ?e?a(w+x) √ exp(? 2 )dx 2σ 2πσ ?∞ = ?e?aw+ ? π3 = ? aσ 2 2a2 σ 2 2(d) 在以上各种情形下，确定性等价都不依赖于初始财富 w，也就是说，参与者对 待公平赌博的态度与财富无关。 7.3 参与者的初始财富为 w 且他的绝对风险厌恶系数为 1。现在他必须承担与他的财富 成比例的风险 wg ?，wg ? 是一公平赌博。当 g ? 具有如下分布时，计算确定性等价占初 始财富的比例-即相对确定性等价： (a) 取值为 ?b 和 b 的二项分布，其中 0 & b & 1 ； (b) 区间 [?c, c] 上的均匀分布，其中 0 & c & 1 ； (c) 讨论在以上情形下，相对确定性等价如何依赖于初始财富 w。从中你能得到什 么结论？并解释你的结论。 解. 为简便起见，假设效用函数为 U (w) = log(w)， (a) 由定义有 U (wπ1 + w) = log(w + wπ1 ) = E[U (w + wg ?)]1 U (w + b) + 1 U (w ? b) = log w + 1 log(1 ? b2 ) =2 2 2? π1 = (b) 由定义有1 ? b2 ? 1U (w + wπ2 ) = log(w + wπ2 ) = E [U (w + wg ?)] = = log w + ? π2 = exp( 1 2cc1 2cclog(w + wx)dx?c1 2cclog(1 + x)dx?clog(1 + x)dx) ? 1?c(c) 在以上各种情形下，确定性等价都不依赖于初始财富 w，也就是说，参与者对 待与初始财富成比例的公平赌博的态度与初始财富无关。 7.4 参与者的初始财富为 w 且相对风险厌恶系数为 2。现在他要承担风险 g ?，g ? 是有两个 可能取值 ?b 和 b 的公平赌博，0 & b & w。我们能用两种方式定义风险溢价： 金融经济学 c 王江30 ? E[u(w + g ?)] = u(w ? π )； ? E[u(w + g ? + π )] = u(w)。 用这两种定义计算风险溢价。它们相等吗？解释所得到的结论。 解. 不妨设U (w) = w 2 ， 第一种定义： √ w ? π1 =1 2 1第 7 章 风险厌恶√w+b+1 2√w?b? π1 = 1 (w ? 2 第二种定义： w + π2 + g ?= ? π2 = b2 4w1 2w 2 ? b2 )w + b + π2 +1 2w ? b + π2两种定义所得的结果不一样，π1 & π2 ，这是因为定义中的初始财富不一样，而效用 函数的绝对风险厌恶系数又不是常数，因此得到的风险溢价不一样。 ?1 和 g ?2 是两个独立的公平赌博，具 7.5* 参与者的初始财富为 w 且是严格风险厌恶的。 g 有相同的、定义于 {?b, b} 上的二项分布，其中 0 & b & w/2。 (a) 假设他必须承担风险 g ?1 ，即他的财富变成 w + g ?1 。在这种情况下，他的期望效 用记为 V1 = E[u(w + g ?1 )]。证明风险使得他的情况恶化，即 V1 & u(w)。1 (b) 现在假设他必须承担的是分散化的风险 g ?= 2 (? g1 + g ?2 )。记这种情形下的期望效用为 V2 = E[u(w + g ?)]。V2 是否总是高于 V1 ？ 解. (a) 因为参与者是严格风险厌恶的，因而效用函数 u(?) 是严格凹的， u(w + b) + 1 u(w ? b) & u(w) V1 = E[u(w + g ?1 )] = 1 2 2 (b)1 V2 = E[u(w + g ?)] = 1 u(w + b) + 1 u(w) + 4 u(w ? b) 2 2&1 u(w 21 + b) + 1 ( 1 u(w + b) + 1 u(w ? b)) + 4 u(w ? b) = V1 2 2 2c 王江金融经济学第8章 组合选择（一）8.1 假设有 N 项资产，收益率为 r ?i ，i = 1, ? ? ? , N ，它们是独立同分布的。对于一个具 有不满足性和凹性效用函数的投资者，计算他的最优投资组合。 解. 最优组合是是所有风险资产的等权重组合。 8.2* 假设你必须将 w 投资于两只证券：一只无风险债券和一只风险证券。无风险债券的 收益率确定为 rF 。风险证券的收益率为 r ?，它的均值为 r ? 而方差为 σ 2 。假设你的目 标就是最大化你的二次效用函数的期望值：1 E w ??2 aw ?2 .(a) 求解最优组合。 (b) 讨论最优组合如何依赖于股票和债券的期望收益率 rF 和 r ?，股票收益率的波动 率 σ ，以及偏好系数 a。为这些依赖关系提供经济解释。 解. (a) 假设投资于股票的资产比例为 x，那么有 w ? = w(1 + rF + x(? r ? rF )) 参与者的优化问题是 max E[w(1 + rF + x(? r ? rF )) ? 1 aw2 (1 + rF + x(? r ? rF ))2 ] 2x解得 x= (? r ? fF )(1 ? aw(1 + rF )) aw(σ 2 + (? r ? fF )2 )? 的增加而增加，随着 rF , σ 2 , a 的增加而减小。股票的期望收益率增加 (b) x 随着 r 使得股票的需求增加，而无风险收益率增加使得债券的需求增加；σ 2 增大，股 票的风险变大，对股票的需求变小；最后，a 增大表明参与者更加厌恶风险， 因而对股票的需求减小。32第 8 章 组合选择（一）8.3* 考虑与练习 8 一样的问题。不过现在假设效用函数具有常数绝对风险厌恶系数：? E ?e?aw .另外，假设股票收益率 r ? 是正态分布的。 (a) 求解最优投资组合。 (b) 讨论最优组合如何依赖于股票和债券的期望收益率 rF 和 r ?，股票收益率的波动 率 σ ，以及偏好系数 a。为这些依赖性提供经济解释。[如果需要的话，你可以 添加其它条件。] 解. (a) 假设投资于股票的资产比例为 x，那么有 w ? = w(1 + rF + x(? r ? rF )) 参与者的优化问题是r ?rF )) max E[?e?aw(1+rF +x(? ] x解得 x= (? r ? fF )(1 ? aw(1 + rF )) aw(σ 2 + (? r ? fF )2 )(b) x 随着 r ? 的增加而增加，随着 rF , σ 2 , a 的增加而减小。股票的期望收益率增加 使得股票的需求增加，而无风险收益率增加使得债券的需求增加；σ 2 增大，股 票的风险变大，对股票的需求变小；最后，a 增大表明参与者更加厌恶风险， 因而对股票的需求减小。 8.4** 赋予投资者初始金融财富 w 以及 λ 份不可交易收入 y ?，其中 λ ≥ 0 且 E[? y ] = 0。他 可以交易一只无风险证券和一只风险证券。无风险证券的收益率为 0 而风险证券的 收益率 r ? 的均值为 r ?。他具有不满足性且是风险厌恶的。他的绝对风险厌恶系数随 着他的财富增加而减少。令 a 为风险证券上的投资额。他的期望效用函数为： Max E u w + ar ? + λy ? . (a) 当 λ = 0 时，风险资产的最优头寸 a? 0 如何随着 w 变化而变化？? (b) 假设 y ?和r ? 是独立的。当 λ & 0 时，记风险资产的最优头寸为 a? λ 。aλ 是大于还是小于 a? 0？ c 王江 金融经济学33 (c) 假设 y ? = c(? r?r ?) + e ? 以及 E[? e|r ?] = 0。因此，如果 c = 0，y ?和r ? 是相关的。当 λ 极小时，他持有的股票头寸如何随着 w 变化而变化？解释所得到的结论。 解. (a) 当 λ = 0 时，优化的一阶条件是 E[u (w + a? ?)? r] = 0 0r 两边对 w 求导可得 da? E[u (w ? )? r] 0 = dw ?E[u (w ? )? r2 ] 又 E[u (w ? )? r] = ?E[u (w ? )R(w ? )? r] ≥ ?E[u (w ? )R(w)? r] = ?R(w)E[u (w ? )? r] = 0 故da? 0 dw≥ 0，即最优头寸随着 w 的增加而增加；(b) 参与者优化的一阶条件是 ? + λy ?)? r] = 0 E[u (w + a? λr 两边对 λ 求导可得 da? E[u (w ? )? ry ?] λ = dλ ?E[u (w ? )? r2 ] ?) = E[?R(w ? )? y|r ?]，可以证明 K (?) & 0, K (?) & 0，因此 记 K (w + a? λr ?)u (w ? )? r] ≥ K (w)E[u (w ? )? r] = 0 E[u (w ? )? ry ?] = E[?R(w ? )u (w ? )? ry ?] = E[K (w + a? λr 最后一个等式是因为一阶条件，因此， (c) 由（a）有 da? E[u (w ? )? r] ?E[u (w ? )R(w ? )? r] 0 = = 2 2 dw ?E[u (w ? )? r ] ?E[u (w ? )? r ] 而 E[u (w ? )R(w ? )? r] = E[R(w + ar ?)u (w ? )? r] + λE[R (w + ar ?)u (w ? )? ry ?] + o(λ2 ) 由（a）知道 E[R(w + ar ?)u (w ? )? r] ≤ 0，另外 λ 又极小，因此 E[u (w ? )R(w ? )? r ≤ 0, da? ≥0 dwda? λ dλ ? ≥ 0，故 a? λ ≥ a0 ；即最优头寸随着初始财富 w 的增加而增加。这是因为 λ 极小，因而不可交易收 入不会改变（a）中的结论。 金融经济学 c 王江34第 8 章 组合选择（一）8.5** 假设你是对冲基金中交易政府债的交易员。你有 w 的现金额度。 ? 在 0 期，当美联储拍卖新债券时，你可以提交报价而买入政府债。在 1 期，你 可以在二级市场上以价格 v ? 再把它们卖掉，其中 v ?=v ? + ?，v ? & 0 且 E[?] = 0。 假设无风险收益率为零。 ? 你购买债券的报价是 p。你购买到的数量 x(p) 是 p 的递增函数且 x(0) = 0。选 择 p 以最大化你的期望效用函数： V (p) ≡ E[u(w ? )], w ? = w + x(p)(? v + ? ? p).假设你是不满足的且严格风险厌恶的。为简单起见，假设 V (p) 是严格凹的。 (a) 写出关于最优报价 p? 的一阶条件。 (b) 证明 0 & p? & v ?。 (c) 对于两个绝对风险厌恶系数分别为 A1 (w) 和 A2 (w) 的交易员，如果 ? w，A1 (w) ≥? ? A2 (w)，那么 p? 1 ≤ p2 ，其中 pi 是交易员 i 的最优报价，i = 1, 2。(d) 假设 u(?) 是绝对风险厌恶递减的。证明初始财富 w 的增加使得 p? 也增加。 解. (a) 一阶条件是 V (p? ) = E[u (w ? )(x (p? )(? v + ? ? p? ) ? x(p? ))] = 0 (b) V (0) = E[u (w)(x (0)(? v + ?))] = u (w)x (0)? v&0 V (? v ) = E[u(w + x(? v )?)] & u(w) = V (0) 又因为 V (p) 是凹的，故 0 & p? & v ?； (c) 由定理（7.4）可知，存在 f & 0, f & 0 使得 u1 = f (u2 )。参与者的优化问题 的一阶条件为： E[u2 (w ?2 )(x (p2 )(? v + ? ? p2 ) ? x(p2 ))] = 0 考虑 V1 (p2 ) = E[f (u2 (w ?2 ))u2 (w ?2 )(x (p2 )(? v + ? ? p2 ) ? x(p2 ))] 令r ? = x (p2 )(? v + ? ? p2 ) ? x(p2 )，那么 w ?2 是 r ? 的增函数，又 f (u2 (w2 )) & 0 且? 是 w2 的减函数，因此，V1 (p2 ) ≤ 0，另外 V (p) 是凹函数，因此 p? 1 ≤ p2 。c 王江金融经济学35 (d) 假设 w1 & w0 ，当 w = w0 时优化问题的一阶条件为 E[u (w0 + x(p0 )(? v + ? ? p0 ))(x (p0 )(? v + ? ? p0 ) ? x(p0 ))] = 0 等式两边对 w0 求导可得 E[u (w ?0 )(x (p0 )(? v + ? ? p0 ) ? x(p0 ))] = E[?R(w ?0 )u (w ?0 )(x (p0 )(? v + ? ? p0 ) ? x(p0 ))] ≥0 因此， E[u (w1 + x(p0 )(? v + ? ? p0 ))(x (p0 )(? v + ? ? p0 ) ? x(p0 ))] ≥ 0 而 V (p) 又是凹的，因此 p1 ≥ p0 ，即初始财富增加报价也会增加。金融经济学c 王江36第 8 章 组合选择（一）c 王江金融经济学第9章 组合选择（二）9.1 假设有四个等概率的可能状态。状态空间是 ? = {ω1 , ? ? ? , ω4 }。考虑风险资产 A 和 B ，它们的收益率如下： ω1 r ?A r ?B ω2 ω3 ω40.5 0.5 0.7 0.7 0.9 0.8 0.4 0.3在随机占优的意义上，你能为它们排序吗？ ? 0 ≤ x & 0.5 ? 0 0.5 0.5 ≤ x & 0.7 解. FA (x) = ? 1 0.7 ≤ x ? 0 0 ≤ x & 0.3 ? ? ? ? ? 0.25 0.3 ≤ x & 0.4 0.5 0.4 ≤ x & 0.8 FB (x) = ? ? 0.75 0.8 ≤ x & 0.9 ? ? ? 1 0.7 ≤ x ? 0 ? ? ? ? ? ? ?0.25(y ? 0.3) ? ? ? ?0.025 ? 0.5(y ? 0.4) y ?0.075 S (y ) = 0 (FA (x) ? FB (x)) dx = ? ? ? ?0.075 + 0.5(y ? 0.7) ? ? ? ? ?0.025 + 0.25(y ? 0.8) ? ? 0 可以验证 S (y ) ≤ 0, y ∈ [0, 1]; 且 E[xA ] = E[xB ]，因此 A0 ≤ y & 0.3 0.3 ≤ y & 0.4 0.4 ≤ y & 0.5 0.5 ≤ y & 0.7 0.7 ≤ y & 0.8 0.8 ≤ y & 0.9 0.9 ≤ x B。SSD?A 和 r ?B 。 考 虑 一 个 投 资 者 ， 他 的 初 始 财 富 为 9.2* 两 只 风 险 资 产 的 收 益 率 分 别 为 r w = 1、效用函数为 u(?)，其中 u (?) & 0 且 u (?) & 0。他最大化期望效用 E[u(w ? )]。 令他的最优组合为 [a, 1 ? a]。 (a) 假设 r ?A = x ?、r ?B = x ?+e ?，其中 e ?和 x ? 互相独立且 E[? e] = 0。 ? r ?A 是否二阶随机占优于 r ?B ？ ? 对于投资者的最优投资组合 a，你能得到什么样的结论？ ?A = x ?、r ?B = y ?+e ? ，x ?、y ?、e ? 互相独立，x ? ?d y ? 且 E[? e] = 0。 (b) 假设 r38 ? r ?A 是否二阶随机占优于 r ?B ？第 9 章 组合选择（二）? 证明投资者在资产 A 上的投资额要大于他资产 B 上的投资额，即 a & 1/2。 (c) 解释上面两种情形下结论之间的差异。 解. (a) 根据定义可以判断出 ASSDBE[u(w ? )] = E[u((? x + (1 ? a)? e))] = E[E[u(? x + (1 ? a)? e)] | x ?] ≤ E[u(E[(? x + (1 ? a)? e) | x ?])] = E[u(? x)] = E[u(? rA )] 当 a = 1 时等式成立，因此 a = 1。 (b) 因为 x ?, y ? 是独立同分布的，因而 r ?B ?d r ?A + e ?，且 E[? e|r ?A ] = 0，故 A B 。令 V (a) = E[u(ax ? + (1 ? a)? y + (1 ? a)? x)]，那么 V (a) = E[u (ax ? + (1 ? a)? y + (1 ? a)? e)(? x?y ??e ?)] V (a) = E[u (ax ? + (1 ? a)? y + (1 ? a)? e)(? x?y ??e ?)2 ] V (1 ) = E[u ( 1 x ?+ 1 y ?+ 1 e ?)(? x?y ??e ?)] 2 2 2 2 = E[E[u ( 1 x ?+ 1 y ?+ 1 e ?)(? x?y ??e ?)] | x ?+y ?] 2 2 21 = E[u ( 1 x ?+ 1 y ?+ 1 e ?)E[? x?y ?|x ?+y ?] ? E[u ( 1 x ?+ 2 y ?+ 1 e ?)? e|x ?+y ?]] 2 2 2 2 2 SSD= ?E[u ( 1 x ?+ 1 y ?+ 1 e ?)? e] 2 2 2 = ?Cov(u ( 1 x ?+ 1 y ?+ 1 e ?), e ?) & 0 2 2 21 故，a? & 2 ，同样的方法可以验证 a? & 1。(c) 因为在第一种情形下，r ?B 只是比 r ?A 多一个噪音项 e ?，引入 r ?B 的效果是增加了 收益中的噪音，因此 a = 1；而在第二种情形下，因为 x ?, y ? 是独立同分布的， 。 引入 r ?B 可以分散风险，但由于 r ?B 比 r ?A 多一个噪音项，因此 1 & a? & 1 2 9.3 证券市场最初由 N 只证券构成。证明：当把另外 M 只证券添加到市场中去时，如 果投资者的最优投资组合中包含新证券，那么他的福利（即他的期望效用）会增加 （也就是说，更多选择总是好的）。 c 王江 金融经济学39 解. 因为在添加了新证券以后，投资者总是可以选择原来的最优组合，只有当他的 效用增加时他才会选择新的证券去构成新的组合。 9.4 假设有 N 只证券，它们的供给都是无限的、收益率为 r ?i ，i = 1, ? ? ? , N 。经济中的 参与者都是不满足的、风险中性的且具有正的禀赋。市场不允许卖空。在什么条件 下 K 基金分离成立（K & N ）？ 解. 当且仅当期望收益率最大的证券数等于 K 时，K 基金分离定理成立。 9.5 假设在市场上有 N 只证券，它们的收益率是独立同分布的。证明单基金分离成立。 解. 对于任意的投资者，所有证券的等权重都是最优的，因而单基金分离成立。 9.6* 证 券 市 场 由 一 只 无 风 险 债 券 和 N 只 风 险 证 券 组 成 。 无 风 险 证 券 的 收 益 率 为 rF 而 风 险 证 券 的 收 益 率 向 量 为 r ?[? r1 ; . . . ; r ?N ]。 另 外 ，E[? r] = r ? = [? r1 ; . . . ; r ?N ] 且 E[(? r ?r ?)(? r ?r ?) ] = Σ（Σ 是风险证券收益率的协方差阵）。考虑一个财富为 w 的参 与者的投资问题。假设他具有二次效用函数 u(w ? ) = E[w ?] ? 1 aE[w ? 2 ]。 2 (a) 求解他的最优投资组合。 (b) 证明对于具有二次效用函数的参与者，两基金货币分离成立。 解. (a) 假设参与者的持有组合中风险资产的权重为 x = [x1 ; x2 ; ...; xN ]，那么参与者的 1 期财富为w ? = w(1 + rF ) + max E[w ?] ? 1 aE[w ?2] 2xri i xi (?? rF )，而他的优化问题是可以解得 x= 1 ? aw(1 + rF ) [(? r ? rF ι)(? r ? rF ι) + Σ]?1 (? r ? rF ι) aw其中，ι 是元素全为 1 的 N 维列向量。 (b) 因为投资者持有的风险组合的权重之比恒为常数，因而对于所有的投资者来 说，风险组合是相同的，只是投资于风险组合的总金额不一样而已；另外，投 资者还持有无风险资产，因此两基金分离成立。 9.7* 考虑练习 9.6 中描述的市场。另外，我们假设风险收益率是联合正态分布的且参与 者的绝对风险厌恶系数恒为 a。 (a) 求解他的最优投资组合。 (b) 证明对于具有常数绝对风险厌恶的参与者，两基金货币分离成立。 金融经济学 c 王江40 解.第 9 章 组合选择（二）(a) 假设参与者的持有组合中风险资产的权重为 x = [x1 ; x2 ; ...; xN ]，那么参与者的 1 期财富为w ? = w(1 + rF ) +? max E[?e?aw ] xri i xi (?? rF )，而他的优化问题是可以解得 x= 1 ?1 Σ (? r ? rF ι) aw其中，ι 是元素全为 1 的 N 维列向量。 (b) 因为投资者持有的风险组合的权重之比恒为常数，因而对于所有的投资者来 说，风险组合是相同的，只是投资于风险组合的总金额不一样而已；另外，投 资者还持有无风险资产，因此两基金分离成立。 9.8* 继续练习 9.7 中的问题。 (a) 计算在最优投资组合下参与者的期望效用。 (b) 假设现在有 M 支新风险证券加入到证券市场中。（现有 N 只证券的收益率不 能生成新证券的收益率。）所有风险证券的收益率都是联合正态分布的。证 明，如果参与者的最优投资组合中含有新的证券，无论 M 只新证券的收益率 分布无何，参与者的福利总是增加。 (c) 当引入新证券后，计算他的福利增加的确定性等价值。 解. (a) 由第七题我们知道最优组合的风险资产权重为 x = 效用为?+ a 2 E[u(w ? )] = ?e?aEw 12 Varw ?1 ?1 r ? aw Σ (?rF ι)，因而期望= ?e?aw[(1+rF )+x11 (? r ?rF ι)]+ a2 w2 x Σx 2 Σ?1 (? r ? r F ι)r ? r F ι) = ?e?aw(1+rF )? 2 (?(b) 由第三题可以得到此结论； ?old , Σold ，加入新证券的风 (c) 假设原来的风险资产的收益率和协方差矩阵分布为 r 险资产的收益率和协方差矩阵分布为 r ?new , Σnew ，那么福利增加的确定性等价 值为1 (? r 2 new 1 1 ? r F ι) Σ ? rnew ? rF ι) ? 1 (? r ? rF ι) Σ? rold ? rF ι) new (? old (? 2 oldc 王江金融经济学41 9.9* 在练习 9.7 中，假设只有一只新证券（即 M = 1 ），它的收益率是 r ?N +1 。令 r ?N +1 为它的预期收益率、σN +1 为收益率波动率而 σ?,N +1 为它与 N 只原有证券之间的协 方差向量。另外，证券 N +1 上的最优组合权重记作 zN +1 。 (a) 假设 r ?N +1 ? rF & (&) 0。我们能得到结论 zN +1 & (&) 0 吗？给出解释。 (b) 假设 r ?N +1 & r ?n 且 σN +1 & σn ，? n = 1, . . . , N 。也就是说，其它所有证券在收 益率和方差上都优于证券 N +1。这是否意味着 zN +1 = 0 即最优组合不应含有 证券 N +1？给出解释。 解. (a) 由第七题的结论我们知道 zN +1 = (Σ?1 )N +1 (? r ? rF ι)。其中 (Σ?1 )N +1 表示 Σ?1 的第 N + 1 行。在构造组合的时候，一方面我们需要考虑资产对组合收益的影 响，另一方面我们还得考虑资产对组合风险的影响，如果 r ?N +1 ? rF & (&)0， 那么买入（卖出）证券 N + 1 会增加组合的收益，但同时可能会提高组合的风 险，因而总体效应是不确定的，即不能得出的 zN +1 & (&)0 的结论。 (b) 单个资产的权重不但与自身的收益率、标准差有关，还与其它的资产的收益率 以及它与其它资产的相关性有关，如果资产 N + 1 与其它资产是负（正）相关 的，那么 zN +1 有可能大于（小于）0。金融经济学c 王江42第 9 章 组合选择（二）c 王江金融经济学第 10 章 完全市场中的资源配置与资产价格10.1* 考虑一个两期 (t = 0, 1)、两个状态 (ω = a, b)、存在 K 个参与者的经济。状态 a 发 生的概率为 πa 而状态 b 发生的概率为 πb 。所有参与者都是不满足的且严格风险厌 恶的。他们期望效用有如下形式： uk (ck,0 ) + πa uk (ck,a ) + πb uk (ck,b ), k = 1, ? ? ?, K.参与者 k 的禀赋是 [ek,0 ; ek, ek,b ]。整个经济的总禀赋是 [C0 ; C Cb ]，其中 Cs =k ek,s ,s = 0, a, b。假设 Ca & Cb 。假设市场上交易的 Arrow-Debreu 状态或有要求权的集合是完全的。令 φa 和 φb 分别是状态 a 和状态 b 的状态价格。 (a) 定义这个经济的均衡。简要讨论均衡的存在性和唯一性。 (b) 令代表性参与者的（间接）期望效用函数为 u(C0 ) + πa u(Ca ) + πb u(Cb ) 且 u (?) & 0。当以下变量变化而其它变量保持不变时，状态价格（φa 和 φb ）、它们的比例（φa /φb ）和无风险利率如何变化（上升或下降）？给出证 明。 ? C0 上升； ? Ca 上升； ? Cb 上升； ? Ca 和 Cb 同比例上升； ? Ca ? Cb 上升（禀赋的风险上升）。 解. (a) 这个经济的均衡是存在状态价格 [φ φb ]，使得 （1）给定状态价格和自己的禀赋，每个参与者都最优化地选择自己的消费； （2）市场出清： ck,0 = C0 , ck,a = Ca , ck,b = Cb 。由于市场是完全 的，而参与者的效用函数是严格凹的，因而市场均衡是存在且唯一的。44 (b) 我们知道第 10 章 完全市场中的资源配置与资产价格φa = πa u (Ca )/u (C0 ), φb = πb u (Cb )/u (C0 ), rF u 1 u (C0 ) ?1= ?1 φa + φb πa u (Ca ) + πb u (Cb ) & 0, u & 0, u & 0 =φa πa u (Ca ) = φb πb u (Cb )? 因为 u & 0，故 C0 上升使得 u (C0 ) 减小；φa , φb 上升，φa /φb 不变，rF 下降； ? 因为 Ca 上升使得 u (Ca ) 下降，因而 φa , φa /φb 下降，φb 不变，rF 上升； ? 类似地，因为 Cb 上升使得 u (Cb ) 下降，因而 φb 下降，φa /φb 上升，φa 不 变，rF 上升； ? φa , φb 下降，rF 上升。现在考虑 φa /φb ； φa /φb u (kCa )/u (kCb ) u (kCa )/u (Ca ) = = φa /φb u (Ca )/u (Cb ) u (kCb )/u (Cb ) 令 f (x) =u (kx) u (x) ，那么f (x) =u (kx) xu (x) (?R(kx)+ R(x))，其中 R(x)是相对风险厌恶系数，可以证明当 u & 0时，R(x) 是递增的，因而 f (x) & 0。 因此，如果 Ca & Cb ，那么 φa /φb 会下降，反之则会上升。 ? φa , φa /φb 下降，φb 上升，现在考虑 rF 。不妨假设 Ca & Cb ，现在 Ca 上 ? 保持不变。考虑 φa u (Ca ) + φb u (Cb ) = 升、Cb 下降使得 φa Ca + φb Cb = Cπa C a φa u (Ca )+ φb u ( C ?π )，对 Ca 求导可得 πa [u (Ca ) ? u (Cb )]，因为 u & b ?0，故 rF 上升。 10.2** 考虑一个含有参与者 k = 1, . . . , K 的 Arrow-Debreu 经济。参与者 k 具有形式为 uk,0 (c0 ) + E[uk,1 (c1 )] 的效用函数，对于所有 k ，u0,k 和 uk,1 是严格递增和严格凹0 和 f 是在给定权重集合 λ = {λ , . . . , λ } 下对于参与者 k 的 Pareto 最优分 的。fk 1 K k配规则。定义 u0 和 u1 如下0 u0 (x) ≡ λk uk,0 fk (x) ,u1 (x) ≡ λk uk,1 fk (x) .(a) 证明 u0 和 u1 是严格递增和严格凹的。 (b) 证明 u0 (c0 ) + E[u1 (c1 )] 是代表性参与者的效用函数。 (c) 证明如果所有参与者都是绝对风险厌恶递减的，那么以上定义的代表性参与者 的效用函数也是绝对风险厌恶递减的。 解. c 王江 金融经济学45 (a) u1 (x) = λk uk,1 (fk (x)) & 0, u1 (x) = λk uk,1 (fk (x))fk (x) & 0，这是因为 uk & 0 而 fk & 0（定理 10.6 ），因而 u1 是严格递增且凹的，同样可以证明 u0 是严格 递增且凹的； (b) 由（10.14）式我们知道，代表性参与者的效用函数满足0 u0 (x) = λk uk,0 fk (x) ,u1 (x) = λk uk,1 fk (x) ,?k因此（除相差一个常数为）u0 (c0 ) + E[u1 (c1 )] 就是代表性参与者的效用函数 (c) 由于 u0 , u1 的证明方法完全一样，因而我们忽略下标 0、1 。如果参与者是绝 对风险厌恶递减的，那么有 [uk ]2 ? uk uk & 0。对于代表性参与者有 A(x) = ? 那么， A (x) = 因此， fk = A (x)[uk ]2 + uk uk [fk ]2 ? [uk ]2 [fk ]2 ?uk uk [uk ]2 [fk ]2 ? uk uk f 2 ? uk uk fk [uk ]2 uk (fk (x))fk (x) uk (fk (x))对于分配规则，我们有 fk (x) = x, 因此我们有 A (x) = [fk ]2 [[uk ]2 ? uk uk ] / ?uk uk ?uk &0 uk fk (x) = 1, fk (x) = 0因而代表性参与者的效用函数也是绝对厌恶递减的。 10.3* 在 1 期，经济有两个可能状态 a 和 b。它们的发生的概率分别为 π 和 1 ? π 。市场有 两只交易证券，证券 1 和 2，支付如下： 1: 1 1 2: uC dC其中 C & 0 且 0 & d & u。因此，证券 1 是无风险债券而证券 2 是风险证券，我们 可以称它为股票。经济中有参与者 k = 1, . . . , K 。参与者 k 的禀赋是 sk C 单位的当 期消费、0 单位的证券 1 和 sk 单位的证券 2，其中 sk & 0 且 者具有如下的期望效用函数： Uk (ck ) = log ck,0 + ρ [π log ck,1a + (1 ? π ) log ck,1b ] 其中 ρ & 0。 金融经济学 c 王江k sk= 1。所有参与46 (a) 证明证券市场是完全的。第 10 章 完全市场中的资源配置与资产价格(b) 求解每一参与者的最优消费/投资选择。 (c) 求解均衡证券价格。 (d) 将价格过程与期权定价中的二叉树模型相比较，你能得到什么结论？ 解. (a) 市场上有两只支付独立的证券，而状态数目恰为 2，因而市场是完全的。 (b) 参与者 k 面临的问题是{ck,0 ,ck,1a ,ck,1b }maxlog ck,0 + ρ[π log ck,1a + (1 ? π ) log ck,1b ]s.t. ck,0 + φa ck,1a + φb ck,1b = Sk C (1 + φa u + φb d) 可以求得 ck,0 = ck,1a = ck,1b = Sk C (1 + φa u + φb d) 1+ρ ρπSk C (1 + φa u + φb d) φa (1 + ρ) ρ(1 ? π )Sk C (1 + φa u + φb d) φb (1 + ρ)当市场达到均衡时： ck,0 = ck,1a = ck,1b = 因此求得 φa = ck,0 ρπ ρ(1 ? π ) , φb = u d = Sk C, ck,1a = Sk uC, ck,1b = Sk dCρπ uSk C = C Sk uC = uC Sk dC = dC(c) 债券价格为+ρ(1?π ) ，股票价格为 dρC 。(d) 在二叉树模型中，债券、股票的价格都是给定的，因而状态价格只由债券、股 票的支付给定，得到是部分均衡的结果；在这个模型中，接个是通过市场均衡 求得的，因而状态价格还与参与者的效用函数、时间偏好系数、状态发生的概 率有关，得到的是一般均衡的结果。 10.4** 继续考虑练习 10.3 定义的经济， (a) 构建代表性参与者。 c 王江 金融经济学47 (b) 计算在代表性参与者（即中央计划者）的效用函数中每个参与者的权重。它依 赖于什么？为什么？ (c) 证明代表性参与者的偏好与禀赋在参与者之间的分布无关。 (d) 用基于消费的 CAPM 为两只证券定价。 (e) 计算无风险收益和股票的风险溢价。 (f) 利率和股票的风险溢价依赖于什么？解释它们对经济原生变量：当前消费水 ?1 /C0 ]、消费增长率的波动率 Var[C ?1 /C0 ] 以及时 平、消费增长率的期望值 E[C 间折现系数 ρ 的依赖性？ 解. (a) 由第二题我们知道，代表性参与者的效用函数满足 u0 (C ) = ?k uk,0 (ck ) = ?k ?k = , ?k ck Sk C1 C,因此 ?k = Sk , u0 (C ) = 参与者的效用函数为u0 (C ) = log C ，同样地，u1 (C ) = C ；因而代表性log C0 + ρ[π log C1a + (1 ? π ) log C1b ] (b) 参与者 k 的权重为 Sk ，即他的禀赋占总禀赋的比例。如果参与者拥有的资源 愈多，在均衡条件下，他的消费越多，权重也越大； (c) 代表性参与者的偏好与 Sk 无关，即与禀赋在参与者之间的分布无关； (d) 由（10.16）式我们有： 债券价格为： 股票价格为： (e) 无风险收益率为 rF = 1/(ρ[ π 1?π + ]) ? 1 u d ρC π 1?π ρC + (1 ? π ) = ρ[ + ] uC dC u d ρC ρC π uC + (1 ? π ) dC = ρC uC dC π风险溢价为 p=( π 1?π π 1?π + )/ρ ? 1/(ρ[ + ]) u d u d?]/C0 (f) 如果 u, d 与 1 的距离很小，我们可以把风险溢价写成 p = E[C1 ? rF ，其 ρ ?1 /C0 ] ? 2E[C ?1 /C0 ] + 3])。无风险利率依赖于时间偏好系数 中 rF = 1/(ρ[Var[C?1 /C0 ]、以及消费增长率的期望值 E[C ?1 /C0 ]。当 ρ、消费增长率的波动率 Var[C 金融经济学 c 王江48第 10 章 完全市场中的资源配置与资产价格 ρ 减小时，参与者偏好于当前消费，而为了吸引投资者储蓄以平衡当前消费和 未来消费，利率 rF 应该上升；当未来消费的风险上升时，为规避未来消费的 ?1 /C0 ] 上升 风险，参与者对债券的需求上升，其价格上升、利率下降；当 E[C 时，人们倾向于在时间上平滑消费水平，即增加当前消费，为吸引投资，利率 上升。至于风险溢价，当 ρ 上升时，参与者倾向于未来消费，因而债券、股票 的需求量都会上升，利率和股票收益率都减小，而且对两者的影响相对一样， ?1 /C0 ] 变大时，参与者 因而风险溢价变小（风险溢价一般都是正的）。当 E[C 倾向于增加当前消费，因而对债券和股票的需求量都减小，两者的价格都下 ?1 /C0 ] 较小时， 降、收益率都上升，对风险溢价的影响是不确定的，但当 E[C ?1 /C0 ] 变大时，因为股票的风险和 利率上升更快，风险溢价会变小。当 Var[C 禀赋的风险完全一致，为了减少未来消费的波动，人们对债券的需求增加而对 股票的需求减少，因而债券收益率下降而股票收益上升，风险溢价上升。10.5 继续前面练习中的经济。 (a) 求解以证券 2 为标的资产、执行价格为 K 的看涨期权的价格。 (b) 证明基于消费的 CAPM 也适用于期权。 解. (a) 不失一般性，假设 dC ≤ K ≤ uC ，期权的支付为 [uC ? K ; 0]，用复制的方法 可以求得期权的价格为ρπ u (uC? K )；(b) 而用 CCAPM 定价，期权的价格为 π ρC ρC ρπ [uC ? K ]+ + (1 ? π ) [dC ? K ]+ = (uC ? K ) uC dC u因而 CCAPM 成立。 10.6** 在 1 期，经济有两个可能状态 a 和 b。它们的发生概率分别为 π 和 1 ? π 。市场有两 只交易证券，证券 1 和 2，支付如下： 1: 1 1 2: C1a C1b其中 C & 0 且 0 & d & u。因此，证券 1 是无风险债券而证券 2 是风险证券，我们 可以称它为股票。经济中有参与者 k = 1, . . . , K 。参与者 k 的禀赋是 sk C0 单位的当 期消费、0 单位的证券 1 和 sk 单位的证券 2，其中 sk & 0 且 者具有如下的期望效用函数： Uk (ck ) = ?e?αck,0 ? ρ πe?αck,1a + (1 ? π )e?αck,1b 其中 ρ & 0。 c 王江 金融经济学k sk= 1。所有参与49 (a) 证明证券市场是完全的。 (b) 求解每一参与者的最优消费/投资选择。 (c) 求解均衡证券价格。 解. (a) 有 2 个可能状态，而支付独立的状态数目恰为 2，因此证券市场是完全的； (b) 假设状态价格为 [φ φb ]；考虑参与者 k ，他的优化问题是ck,0 , ck,1a , ck,1bmax?e?ck,0 ? ρ[πe?ck,1a + (1 ? π )e?ck,1b ]s.t. ck,0 + φa ck,1a + φb ck,1b = sk C0 + φa sk C1a + φb sk C1b 令 W = C0 + φa C1a + φb C1b 为经济中的总财富。求解优化问题可得参与者的 消费选择为 ck,0 = ck,1a = ck,1b = 1 β ? αsk W log α ? α α(1 + φa + φb ) 1 ρπα β ? αsk W log ? α φa α(1 + φa + φb ) 1 ρ(1 ? π )α β ? αsk W log ? α φb α(1 + φa + φb )ρ(1?π )α 其中，β = log α + φa log ρπα ； φa + φb φb(c) 市场出清条件是 ck,0 = C0 ck,1a = C1a ck,1b = C1b 由此可以求得均衡状态价格为 φa = ρπe? K (C1a ?C0 ) φb = ρ(1 ? π )e? K (C1b ?C0 ) 因而债券的均衡价格为 φa + φb ，股票的均衡价格为 φa C1a + φb C1b ；在均衡条 件下，参与者 k 的最优消费选择为 c? k,0 = c? k,1a = c? k,1b = 金融经济学 1 1 W C0 + (sk ? ) K K 1 + φa + φb 1 W 1 C1a + (sk ? ) K K 1 + φa + φb 1 1 W C1b + (sk ? ) K K 1 + φa + φb c 王江α α50第 10 章 完全市场中的资源配置与资产价格 在 0 期他持有的无风险债券、股票的头寸分别为 θB = (sk ? θS = 1 W ) K 1 + φa + φb1 ? sk . K10.7** 继续考虑练习 10.6 定义的经济 (a) 构建代表性参与者。 (b) 计算在代表性参与者（即中央计划者）的效用函数中每个参与者的权重。它依 赖于什么？为什么？ (c) 证明代表性参与者的偏好与禀赋在参与者之间的分布无关。 (d) 用基于消费的 CAPM 为两只证券定价。 ?1 ] ? (1 + (e) 计算无风险收益和股票的风险溢价，现在风险溢价的定义为 E[S rF )S0 。即一股股票的绝对超额收益。 (f) 利率和股票的风险溢价依赖于什么？解释它们对经济原生变量：当前消费水 ?1 /C0 ]、消费增长的波动率 Var[C ?1 /C0 ] 以及时间折 平、消费增长的期望值 E[C 现系数 ρ 的依赖性？ (g) 求解以证券 2 为标的资产、执行价格为 K 的看涨期权的价格。 解. (a) 因为每个参与者的 0、1 期效用函数只差时间偏好系数 ρ，因而代表性参与者的 0、1 期效用函数只差时间偏好系数 ρ；假设中央计划者问题中参与者 k 的权重 为 ?k & 0、代表性参与者的 0 期效用函数为 u(C0 )，那么 u (C0 ) = ?k uk (ck,0 ) = ?k αe1 1 W ?α( K ) C0 +(sk ? K ) 1+φ +φ a b 1 W ? α (s k ? K ) 1+φ +φ a= e?α K (α?k e 因此，α?k eC0b), ?kα1 W ) 1+φ ? α (s k ? K +φ ab是与 k 无关的常数，即 ?k 与 e 1+φa +φbC0 ?α Ksk成正比，而且代表性参与者的效用函数具有负指数形式 u(C0 ) = ?e 性参与者的效用函数为 ?e?α K ? ρ πe?αα C0 C1a K，因此，代表+ (1 ? π )e?αC1b K(b) 权重 ?k 与 e 1+φa +φb 重也越大； c 王江sk成正比，依赖于参与者的禀赋参数 sk ，即他的禀赋占总禀赋的比例。如果参与者拥有的资源愈多，在均衡条件下，他的消费越多，权金融经济学51 (c) 代表性参与者的偏好与 sk 无关，即与禀赋在参与者之间的分布无关； (d) 债券价格为： ρπ αe?αC1a K C0αe?α K+ ρ(1 ? π )αe?αC1b K C0 C1a ?C0 K C1b K C0αe?α K= ρ πe?α 股票价格为： ρπ αe?αC1a ?C0 K+ (1 ? π )e?αC1a K C0αe?α KC1a + ρ(1 ? π )αe?ααe?α KC1b C1b= ρ πe?α (e) 无风险收益率为 rF =C1a ?C0 KC1a + (1 ? π )e?αC1a ?C0 K1 1 ?1= ?1 C1a ?C0 C1a ?C0 φa + φb (ρ πe?α K + (1 ? π )e?α K )风险溢价为 ?1 ] ? (1 + rF )S0 p = E[S = πC1a + (1 ? π )C1b ? (φa C1a + φb C1b ) φa )(C1a ? C1b ) = (π ? φa + φb = π (1 ? π )(eαC1a ?C1b K? 1)π + (1 ? π )eC ?C α 1aK 1b(C1a ? C1b )?1 /C0 ? 1 很小，而人均消费 C0 /K 不是很大，那么无风险利率可以 ?=C (f) 如果 g 写成 . rF = 1 ρ 1?0 αC g] K E[?+ α2 K0 g ] + E2 [? g ]) 2 (Var[?C2可 以 看 出 ， 无 风 险 利 率 依 赖 于 时 间 偏 好 系 数 ρ、 消 费 增 长 率 的 波 动 率 ?1 /C0 ]、以及消费增长率的期望值 E[C ?1 /C0 ]。当 ρ 减小时，参与者偏 Var[C 好于当前消费，而为了吸引投资者储蓄以平衡当前消费和未来消费，利率 rF 应该上升；当未来消费的风险上升时，为规避未来消费的风险，参与者对债券 ?1 /C0 ] 上升时，人们倾向于在时 的需求上升，其价格上升、利率下降；当 E[C 间上平滑消费水平，即增加当前消费，为吸引投资，利率上升。至于风险溢 价，它只与 C1a ? C1b 有关，且是 C1a ? C1b 的增函数；某种意义上我们可以 把 C1a ? C1b 作为未来禀赋风险的一种度量，也就是，当未来禀赋的风险增加 时，风险溢价增加，这是因为股票的风险和禀赋的风险完全一致，为了减少未 来消费的波动，人们对债券的需求增加而对股票的需求减少，因而债券收益率 下降而股票收益上升，风险溢价上升。 金融经济学 c 王江52 (g) 可以用 CCAPM 为期权定价 c = ρπ αe?αC1a K C0第 10 章 完全市场中的资源配置与资产价格αe?α K[C1a ? K ]+ + ρ(1 ? π )αe?αC1b K C0αe?α K[C1b ? K ]+ [C1b ? K ]+= ρ πe?αC1a ?C0 K[C1a ? K ]+ + (1 ? π )e?αC1a ?C0 Kc 王江金融经济学第 11 章 不完全市场中的资源配置和资产定价11.1* 经济有两期 t = 0, 1。有两个参与者，1 和 2，他们都有定义于消费路径上的对数 效用函数 c = (c0 , c1 )： u(c) = log c0 + log c1 。在 t = 1 期有三个等概率的可能状 态，ω1 ，ω2 以及 ω3 。在 t = 0 期的总禀赋是 1 而 t = 1 期的总禀赋是 [1; 1; 2]。有 两只交易证券，一只是无风险债券，在 t = 1 期的所有状态下都支付 1 单位的消费 品。另外一只是股票，它的 t = 1 期支付和总禀赋完全一样，即它的支付向量是 [1; 1; 2]。 (a) 假设参与者 1 和 2 的禀赋分别为 [0.4; [0.4; 0.4; 0.8]] 和 [0.6; [0.6; 0.6; 1.2]]。求解 均衡利率和均衡股价。均衡配置是 Pareto 最优的吗？解释原因。 (b) 假设参与者 a 和 b 的禀赋分别为 [0.5; [1; 0; 1]] 和 [0.5; [0; 1; 1]]。导出求解均衡 的一阶条件和市场出清条件。在不解出均衡的情况下，讨论均衡配置是否是 Pareto 最优的。解释原因。 解. (a) 假设债券股票的价格分别为 B, S 。对于参与者 1 来说，假设他持有的债券和 股票头寸分别为 θ11 , θ12 ，那么他的优化问题是θ11 , θ12 1 max log(c0 ) + 3 [log(c1,1 ) + log(c1,2 ) + log(c1,3 )]s.t. c0 = 0.4 ? θ11 B ? θ12 S c1,1 = 0.4 + θ11 + θ12 c1,2 = 0.4 + θ11 + θ12 c1,3 = 0.8 + θ11 + 2θ12 可以求得1 (5S 2 + 5S ? 6BS ? 6B )/(S 2 ? 3BS + 2B 2 ) θ11 = ? 15 1 θ12 = ? 15 (3S 2 ? 3S ? 14BS + 12B 2 + 4B )/(S 2 ? 3BS + 2B 2 )同样地可以求得参与者 2 对债券、股票的需求量为1 θ21 = ? 10 (5S 2 + 5S ? 6BS ? 6B )/(S 2 ? 3BS + 2B 2 )54第 11 章 不完全市场中的资源配置和资产定价1 θ22 = ? 10 (3S 2 ? 3S ? 14BS + 12B 2 + 4B )/(S 2 ? 3BS + 2B 2 )市场出清条件为 θ11 + θ21 = 0 θ12 + θ22 = 0 因而可以求得债券、股票的价格分别为 5 B= , S=1 6 均衡利率为rF = 1/B ? 1 = 20%；可以验证 u1,1 (c1,0 ) =1,0u(? c1,1 )u2,1 (? c2,1 ) ，即边际效用之 u2,0 (c2,0 )比在各状态下均相等，因此均衡配置是Pareto最优的。 (b) 对于参与者 1 来说，最优化的一阶条件是 ?B 1 1 1 +1 [ + + ] = 0 3 0.5 ? θ11 B ? θ12 S 1 + θ11 + θ12 θ11 + θ12 1 + θ11 + 2θ12 1 2 ?S 1 +1 + + ] = 0 [ 3 0.5 ? θ11 B ? θ12 S 1 + θ11 + θ12 θ11 + θ12 1 + θ11 + 2θ12 对于参与者 2 来说，最优化的一阶条件是 ?B 1 1 1 +1 [ + + ] = 0 3 0.5 ? θ21 B ? θ22 S θ21 + θ22 1 + θ21 + θ22 1 + θ21 + 2θ22 ?S 1 1 2 +1 [ + + ] = 0 3 0.5 ? θ11 B ? θ12 S θ21 + θ22 1 + θ21 + θ22 1 + θ21 + 2θ22 市场出清条件为 θ11 + θ21 = 0 θ12 + θ22 = 0 配置是 Pareto 最优的一个条件是边际效用之比在各状态之间相等，考虑 θ11 + θ12 1 + θ21 + θ22 / 1 + θ11 + θ12 θ21 + θ22 θ11 + θ12 1 ? θ11 ? θ12 / 1 + θ11 + θ12 ?θ11 ? θ12 1 = 1/(1 ? )=1 (θ11 + θ12 )2 =因而，均衡配置不是 Pareto 最优的。 11.2* 经济中有 K 个具有 CARA 偏好的参与者。经济中只有两个企业，它们的资产在 1 期的支付具有联合正态分布。相关的参数如下： 均值 标准差 相关系数 企业 1 企业 2 c 王江 10 12 8 0.6 11 金融经济学55 利率为 8%。推导两个企业 0 期市场价值之间的关系。 解. 考虑参与者 k ，假设他的效用函数为 ?e?ak w ，那么他的优化问题是?k max E[?e?ak w ]θk,1 , θk,2s. t. w ?k = (wk ? P1 θk,1 ? P2 θk,2 )(1 + rF ) + r ?1 θk,1 + r ?2 θk,2 其中 P1 , P2 分别是企业 1，2 的价格。由于资产的支付是联合正态的，因而 w ?k 也是 正态的，可以求得 θk,1 = θk,2 = 1 ρ r ?1 ? P1 (1 + rF ) [ ? (? r2 ? P2 (1 + rF ))] 2 2 ak (1 ? ρ ) σ1 σ2 σ1 1 r ?2 ? P2 (1 + rF ) ρ [ ? (? r1 ? P1 (1 + rF ))] 2 2 ak (1 ? ρ ) σ1 σ2 σ2在均衡条件下，企业资产的总需求都是 1，因而我们有 r ?2 ? P2 (1 + rF ) r ?1 ? P1 (1 + rF ) ρ ρ (? r2 ? P2 (1 + rF )) = (? r1 ? P1 (1 + rF )) ? ? 2 2 σ1 σ2 σ1 σ2 σ1 σ2 即 r ?1 ? P1 (1 + rF ) r ?2 ? P2 (1 + rF ) = 2 + ρσ σ 2 + ρσ σ σ1 σ2 1 2 1 2 代入数值即得 10 ? 1.08P1 = 0.77(12 ? 1.08P2 )。 11.3** 考虑一个可以以 0 成本生产煤的企业。 ? 煤的未来价格 p ? 在当前看来是不确定的。令 E[? p] = p ?。 ? 销售额取决未来价格：S (? p)。 ? 有一个煤的远期市场，远期价格为 f 。企业可以用远期合约来对冲未来价 格中的风险。比如，如果企业售出 h 份远期合约，远期头寸的未来支付为 h(f ? p ?)。如果 p ? 的实现值很低，企业从销售中得到的利润很低但是从远期头 寸得到利润则很高。 ? 公司经理是风险厌恶的，他的期望效用为 E[u(? π )], π ?=p ?S (? p) + h(f ? p ?)（ u & 0 ， u & 0 ）。 金融经济学 c 王江56第 11 章 不完全市场中的资源配置和资产定价 ? 市场上还存在投机者，他们是作为企业所售远期合约的买方而出现的。他们也 具有风险厌恶度的偏好： v (?)（v & 0, v & 0）。他们的效用函数为： E v h(? p ? f) 其中 h 是他们买（卖）的远期合约数。 (a) 证明当且仅当 f & E[? p] （f & E[? p]）时投机者才会买入（卖出）远期合约。 (b) 假设 f = E[? p]。在什么时候企业会使用远期合约来对冲风险？它是买入还是卖 出远期合约？[提示：考虑销售的弹性，?(d ln S )/(d ln P )。] ? 具有如下分布： (c) 假设 u(x) = v (x) = ?e?ax ，S (p) = s0 + k/p 且 p 概率密度函数 = e?(p?d) , p ∈ [d, +∞).假设共有 N 个投机者。在远期市场上，企业和投机者都表现得像是在竞争市 场上一样。均衡远期价格是多少？远期溢价/折扣：f ? E[? p] 是多少？解释所得 到的结论。 解. (a) 投机者的最优化问题的一阶条件是 E[v (h(? p ? f ))(? p ? f )] = 0 因而， Cov(v (h(? p ? f )), (? p ? f )) = ?E[v (h(? p ? f ))]E[(? p ? f )] 而v & 0, v & 0，因此 h & 0(& 0) ? E[? p] & (&)f 即当且仅当 f & E[? p] （f & E[? p]）时投机者才会买入（卖出）远期合约 (b) 厂商最优化问题的一阶条件是 E[u (? pS (? p) + h(? p ? f ))(? p ? f )] = 0 又由假设 E[? p] = f 有 Cov(u (? pS (? p) + h(? p ? f )), (? p ? f )) = 0log S 令 e(p) = ? d d log p ，那么 d(pS (p) + h(f ? p))/dp = S (p)(1 ? e(p)) ? h；因此，如果 e(p) & (&)1，那么 h & (&)0。 c 王江 金融经济学57 (c) 给定 f, h，厂商的期望效用是 E[u(? π )] = E[u(? pS (? p) + h(f ? p ?))] ? a e [S0 d + k + h(f ? d)] = a(S0 ? h) + 1 求导可得厂商的远期合约售出量为：h? 1 = S0 + 是 E[v (h(? p ? f ))] = aah(f ?d) ah + 11 1 。市场出清时 a(f ?d)? a 1 a?1 a(f ?d) 。投机者的期望效用求导可得投机者的远期合约需求量为：h? 2 = S0 + 1 1 1 ? = N( 1) a a(f ? d) a(f ? d) ? a求得均衡远期价格为 f ? = d + 1/(1 ?aS0 N +1 )aS0 N +1 )，期权溢价为f ? E[? p] = 1/(1 ?? 1。当风险厌恶系数增大时，溢价变大（或折扣变小），这是很显然的。当投机者增多时，溢价（折扣）的绝对值变小，即使得远期合约的价格向 期望值靠拢，这是投机市场竞争加剧时：如果 f & E[? p]，此时投机者买入远 期，厂商可以抬高价格；如果 f & E[? p]，此时投机者卖出远期，厂商可以压低 价格。 ?，它服从均值为 11.4* 证券市场只含有一只风险证券（股票）。一单位股票的支付为 x x ?、波动率为 σ 的正态分布。市场上有参与者 1 和 2。参与者 1 的禀赋为 x0 单位的 0 期消费而参与者 2 的禀赋是一单位股票。两个参与者都具有如下形式的期望效用：?1 ?e?ac0 ? ρE e?ac .(a) 证明证券市场是不完全的。 (b) 写出均衡条件。 (c) 均衡配置是 Pareto 最优的吗？证明结论。 (a) 因为有无穷多个状态（支付是正态分布的），而只有一只证券，因此证券市场 是不完全的； (b) 均衡条件是存在股票价格 S 使得? ? θ1 = Argmaxθ ?e?a(x0 ?θS ) + ρE[?e?aθx ] ? ? θ2 = Argmaxθ ?e?a(S ?θS ) + ρE[?e?aθx ] ? ? θ1 + θ2 = 1金融经济学c 王江58第 11 章 不完全市场中的资源配置和资产定价 (c) 参与者 1，2 的最优化问题的一阶条件分别是?+ a 2 e?a(x0 ?θ1 S ) S = ρe?aθ1 x ?+ a 2 e?a(S ?θ1 S ) S = ρe?aθ2 x? ? ? ?12 θ ?2 σ 2 11? 2 (? x ? aθ1 σ ) ? 2 (? x ? aθ2 σ )2 θ ? 2σ 2 2如果均衡配置是 Pareto 最优的，那么两个参与者的边际效用之比应该相等， 即? (?a) ? (?a) ?ρe?aθ2 x ?ρe?aθ1 x = ? ? ?e?a(x0 ?θ1 S ) (?a) ?e?a(S ?θ2 S ) (?a) ? + θ ? = 1，因而 θ ? = θ ? = 1 , S = x 。代入一阶条件有 又因为 θ1 0 2 1 2 2 ?+ a 8 e? 2 ax0 = ρe? 2 ax 12 ? ?111 2 σ 2 (? x? aσ 2 ) 2上述等式不一定成立，因而均衡配置不一定是 Pareto 最优的（实际上，只有 当上述等式成立时才是 Pareto 最优的）。 11.5** 考虑练习 11.4 中的经济。现在引入一只无风险证券（债券），它在 1 期支付 1 单位 消费品。参与者在债券上的禀赋都为 0。 (a) 证券市场完全吗？解释原因。 (b) 写出这个经济的均衡条件。 (c) 求解均衡。 (d) 比较存在无风险证券时的均衡配置和在练习 11 中不存在无风险证券时得到的 均衡配置。它们一样吗？为什么一样或不一样？ (e) 均衡配置是 Pareto 最优的吗？证明并解释所得到的结论。 (a) 因为状态数是无穷的，但只有两只证券，因而市场不完全； (b) 这个经济的均衡条件是存在债券价格 B 和股票价格 S ，使得? ? ?a(x0 ?θ1,1 B ?θ1,2 S ) ?) ? ;θ ? ] ?e [θ1 + ρE[?e?a(θ1,1 +θ1,2 x ] ,1 ; θ1,2 ] = Argmax[θ1 ,1