数学术语/指数函数
指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为ex，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.，还称为欧拉数。指数函数当a>1时，指数函数对于x的负数值非常平坦，对于x的正数值迅速攀升，在 x等于 0 的时候，y等于1。当0<1时，指数函数对于x的负数值迅速攀升，对于x的正数值非常平坦，在x等于 0 的时候，y等于1。在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna。即由导数知识得：指数函数作为实数变量x的函数，的图像总是正的(在x轴之上)并递增(从左向右看)。它永不触及x轴，尽管它可以无限程度地靠近x轴(所以，x轴是这个图像的水平渐近线。它的反函数是自然对数ln(x)，它定义在所有正数x上。指数函数有时，尤其是在科学中，术语指数函数更一般性的用于形如（k属于R） 的函数，这里的 a 叫做“底数”，是不等于 1 的任何正实数。本文最初集中于带有底数为欧拉数e 的指数函数。指数函数指数函数的一般形式为(a>0且≠1) (x∈R)，从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得a>0且a≠1。如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。指数函数在函数中可以看到：（1） 指数函数的定义域为R，这里的前提是a大于0且不等于1。对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不连续，因此我们不予考虑，同时a等于0函数无意义一般也不考虑。（2） 指数函数的值域为。（3） 函数图形都是上凹的。（4） a>1时，则指数函数单调递增；若0<1，则为单调递减的。指数函数（5） 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（不等于0）函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。指数函数（7） 函数总是通过（0，1）这点,(若,则函数定过点(0,1+b))（8） 指数函数无界。（9）指数函数是非奇非偶函数（10）指数函数具有反函数，其反函数是对数函数，它是一个多值函数。
公式推导/指数函数
指数函数e的定义：设a>0,a≠1方法一：指数函数指数函数指数函数指数函数指数函数指数函数指数函数指数函数特殊地，当时，。方法二：指数函数设，两边取对数ln y=xln a两边对x求导：y'/y=ln a，y'=yln a=a^xln a特殊地，当a=e时，y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。e?=1
函数图像/指数函数
指数函数（1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。（2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。（如右图）》。(4)y等于a的x次方与y等于a分之一的x次方的图像关于y轴对称。
幂的比较/指数函数
比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。例如：y=3 ，y=3 因为3大于1所以函数单调递增（即x的值越大，对应的y值越大），因为5大于4，所以y 大于y 。指数函数（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断。指数函数例如：,,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减；3大于1，所以函数图像在定义域上单调递增，在x=0是两个函数图像都过（0，1）然后随着x的增大，y1图像下降，而y2上升，在x等于4时，y2大于y1.（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较。如： 对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。指数函数 在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小），就可以快速的得到答案。那么如何判断一个幂与“1”大小呢？由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向（例如： a 〉1且x 〉0，或0〈 a〈 1且 x〈 0）时，大于1，异向时小于1.〈3〉例：下列函数在R上是增函数还是减函数？说明理由.指数函数⑴指数函数因为4>1，所以在R上是增函数；指数函数⑵指数函数因为0<1/4<1,所以在R上是减函数。
定义域/指数函数
x∈R，指代一切实数（-∞，+∞），就是R。
值域/指数函数
指数函数对于一切指数函数来讲，当a满足a>0且a≠1时，值域为(0, +∞)；a=1时也可以，此时值域为{1}。
化简技巧/指数函数
（1）把分子、分母分解因式，可约分的先约分；（2）利用公式的基本性质，化繁分式为简分式，化异分母为同分母；指数函数（3）把其中适当的几个分式先化简，重点突破；（4）可考虑整体思想，用换元法使分式简化；（5）参考图像来进行化简。
运算/指数函数
1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中>1，且∈*。当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radicalexponent)，叫做被开方数(radicand)。当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。注意：当是奇数时，当是偶数时。2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂。
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应用数学思考将抽象的数学工具运用在解答科学、工商业及其他领域上之现实问题。
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0且不=1) ，函数图形下凹，a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的函数。指数函数既不是奇函数也不是偶函数。">0且不=1) ，函数图形下凹，a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的函数。指数函数既不是奇函数也不是偶函数。">/14该会员上传的其它文档：22 p.14 p.25 p.4 p.17 p.16 p.15 p.17 p.30 p.26 p.1．一一映射的函数才有反函数。2．对数函数y=logax与指数函数y=ax互..1．一一映射的函数才有反函数。2．对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数。3.互为反函数的图象关于直线y=x对称。4.函数y＝f(x)的反函数通常用y＝f－1(x)表示。*函数函数函数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系问题1：指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>对数函数与指数函数的关系相关文档docdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdoc关于我们常见问题关注我们官方公共微信请问指数函数的求导公式是什么?比如像 a^x 求导,e^x,还有log(a,x) lg(x) 这样的
1、(a^x)'=(lna)(a^x)2、(e^x)=e^x 3、(lnx)'=1/x4、[logax]'=1/[xlna]
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其他类似问题
(a^x) ' =a^xlna (e^x) ' =e^x(logax) ' =1/(xlna)(lnx) ' =1/x
a^x求导之后就是a^x*lna
a^x=a^xlnae^x=e^xlog(a,x) =1/(xlna)lg(x)=1/x
扫描下载二维码指数函数教学反思
指数函数教学反思
指数函数教学反思
指数函数一：
&&& 1．本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比得到指数函数的性质，更重要的是让学生体会到对函数的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去，教师可以真正做到&授之以渔&而非&授之以鱼&。
&&& 2．教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本课使用几何画板可以动态地演示出指数函数的底数的动态过程，让学生直观观察底数对指数函数单调性的影响。
指数函数教学反思二：
&&& 指数函数是学生在学习了函数基本概念和性质以后接触到得第一个具体函数，所以在这部分的教学安排上，我更注意学生思维习惯的养成， 特作如下思考：
&&& 1、设计应从哪些方面，哪些角度去探索一个具体函数，我在这部分设置了三个环节
&&& （1）由具体的折纸的例子引出指数函数
&&& 设计意图：贴近学生的生活实际，便于动手操作与观察。
&&& 让学生充分感受我们生活中大量存在指数函数模型，从而便于学生接受指数函数的形式，突破符号语言的障碍。
&&& （2）通过研究几个特殊的底数的指数函数得到一般指数函数的规律。
&&& 符合学生由特殊到一般的，由具体到抽象的学习认知规律。
&&& （3）通过多媒体手段，用计算机作出底数a变换的图像，让学生更直观、深刻的感受指数函数的图像及性质。
&&& 通过引入 定义 剖析 辨析 运用，这个由特殊到一般的过程揭示了概念的内涵和外延；而后在教师的点拨下，学生作图 观察 探究 交流 概括 运用，使学生在动手操作、动眼观察、动脑思考、合作探究中达到对知识的发现和接受，同时渗透了分类讨论、数形结合的思想，提高了学生学习数学概念、性质和方法的能力，养成了良好的学习习惯。
&&& 2、课堂练习前后呼应，各有侧重，通过问题呈现，变式教学，不但突出了重点内容，把知识加固、挖深。使教学目标得以实现。而且注重知识的延续性，为以后的学习奠定了基础。
&&& 3、教学过程设计为六个环节：
&&& 1.情景设置，形成概念 2.发现问题，深化概念& 3.深入探究图像，加深理解性质& 4.强化训练，落实掌握 5.小结归纳 ，拓展深化& 6.布置作业，延伸课堂。各个环节层层深入，环环相扣，充分体现了在教师的指导下，师生、生生之间的交流互动，使学生亲身经历知识的形成和发展过程。
&&& 4、通过学案教学为抓手，让学生先学，老师在课前充分了解了学情，以学定教，进行二次备课，抓住学生的学习困难，站在学生学的角度设计教学。
&&& 5、学生真思考，学生的真探究，才是保障教学目标得以实现的前提，在教学中，教师通过教学设计要以给学生充分的思维空间、推理运算空间和交流学习空间，努力创设一个&活动化的课堂&才可能真正唤起学生的生命主体意识，引领他们走上自主构建知识意义的发展路径。
指数函数教学反思三：
&&& 《指数函数》是人教B版高中数学必修1第三章第二节第1课时，是继第二章函数的概念、函数的性质、一次函数、二次函数之后，学生要认识的一个新的函数。下面是我对本节课的教学反思：
&&& （一）对课前准备的反思
&&& 上课前认真备课，多次请教了指导教师孙久志老师的意见与建议，在他的指导下，我对新课标和新教材有了较为整体的把握和认识，将知识系统化，注意知识前后的联系，形成了知识框架，了解了学生的现状和认知结构，做到了因材施教。
&&& （一）对情境创设的反思
&&& 这是本节课的一个成功之处，整堂课的问题情景创设很恰当，几乎所有的结论都是在教师的引导下，学生自己总结出来的。
&&& 本节课是以问题的形式引入，采用两个实际问题，既激发了学生学习的积极性，又让他们体会到数学是来自于生活，也是服务于生活的。引出函数的一般式 12y=ax &#39; type=&#_x0000_t75&& 以后，我又让学生自己举几个例子，他们举的例子中有a=1,a=0,a&0的情况，我又是以提问的形式让学生自己分析相应的函数定义域与函数值，结果学生自己意识到这些情况不必研究或者不容易研究，自然的得到了参数a&0且a 12? &#39; type=&#_x0000_t75&& 的范围，进而让学生自己求出此时函数的定义域，此时指数函数的定义已经呼之欲出，不言自明了，甚至学生自己已经可以给指数函数下定义了。
&&& 对于指数函数的图像与性质，我仍然是创设问题情景，步步深入，层层逼近，先让学生回忆我们研究一次函数和二次函数的思路，自然会联想到用这个思路来研究指数函数；再回忆画函数图象的方法，自己动手画出函数 12y=2x?/m:t&:sectPr wsp:rsidR=&&&&#39; type=&#_x0000_t75&& 图象，并提问：猜想函数 12y=(12)x&#39; type=&#_x0000_t75&& , 12 y=3x&#39; type=&#_x0000_t75&& , 12 y=(13)x&#39; type=&#_x0000_t75&& 的图象，学生在猜想的过程中就会意识到指数函数的图象形状会因底数a的不同而不同：一方面，a&1与0&a&1的情况不同，另一方面，在底数大于1或者大于0小于1的相同情况下，底数大小不同，图象的形状会有怎样的差异？为后面归纳图象与性质时需要分类讨论做好铺垫。
&&& （二）对教学模式的反思
&&& 本节课的另一个成功之处就是采用&引导启发探讨&式教学，在授课的过程中，我一直在和学生进行探讨，让学生自己举例子，自己画图象，自己归纳概括。刚上课的时候，有位同学就对我们举的例子提出了问题，我耐心地进行了解答，正好他的问题也为下一步的讨论提供了思路，我就顺势进行了。其实在平时的课堂中，我就比较注意和学生的交流，尽量地让学生把问题暴漏出来，因为这样的问题一般就是大家共同的问题。在和学生探讨指数函数的特性时，他们观察得非常细致，几乎把图象上能反映出来的函数性质都说出来了，每位发言的同学我都给予了肯定，大家很积极，有位同学还说出了函数增长速度的问题，我就顺势讲了一个与此有关的故事，大家听得津津有味。
&&& （三）对现代化多媒体应用的反思
&&& 本节课的第三个成功之处是：教学课件用得恰到好处，我采用的是几何画板数学软件，非常形象直观地展示了描点法作图的全过程，因为这个过程是我们归纳图像与性质的一个准备工作，应该向学生展示，但是如果在黑板上演示，既要花费大量的时间，对于较精确的计算也无法进行。几何画板正好解决了这个问题，通过演示，让学生了解到数学需要严谨科学的计算，而且数学其实也是一种很美的科学。但是数学这门学科又要求老师要正确规范地板书，除了练习、例题的题目和作图的过程，其他重要内容我都进行了规范的板书，让学生的思维始终跟着我。在课堂中，我还用投影仪展示了个别学生的作业，进行了点评，让学生发现自己学习中的优点和缺点。
&&& （四）对于赞赏评价的反思
&&& 对于学生创造性的回答我给予了鼓励与肯定，而对于学生不足甚至错误的回答，指出了不足，但没有损伤其自尊心和自信心。在新课标下，我们的学生应该是自由的、真实的、快乐的、幸福的。我们的数学课堂教学，应该从数学的实际出发给学生自由、真实、快乐、幸福。
&&& （五）对不足之处的反思
&&& 在让学生归纳指数函数的图象时，学生总结了a&1与0&a&1的情况，我在点评的时候如果指出a&1的代表就是我们画出的 12y=2x涓?/m:t&m:rPr&y=3x&#39; type=&#_x0000_t75&& 的图像，而0&a&1的代表就是 12y=(12)x涓?/m:t&y=(13)x&#39; type=&#_x0000_t75&& 的图像，这样就更形象直观一些；由于上课的教室听不见铃声，时间控制得不是很准确，提前了一分钟下课，如果能利用这一分钟再稍深入地探讨一下例2中利用找中间量的方法比较两个幂的大小，这堂课就更加完满，虽然是一个很小的问题，不影响整堂课的效果，但是却提醒我自己在平时的上课中就得注意小的细节问题；板书方面，行与行的疏密控制得不够准确，导致最后一行的空间有点小了。登录网易通行证
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微积分总览
极值和二阶导数
[第5课]指数函数
这一讲主要探讨的对象是“振动函数”sinx和cosx，它们的导数性质非常奇妙&#040;sinx&#041;&#039;=cosx，&#040;cosx&#041;&#039;=-sinx。斯特朗教授通过将三角函数和圆周联系起来，巧解&#040;sinx&#041;/x在x→0时趋近于1这一极限，系统地推导了这两个三角函数的导数性质。注意看斯特朗教授是如何处理&#040;sinx&#041;/x和&#040;1-cosx&#041;/x这两个最重要的0/0极限的。
乘法法则和除法法则是导数应用中最基础的法则，斯特朗教授通过对这两个法则通俗易懂的推导，系统性地解决了幂函数f&#040;x&#041;=x&#8319;的导数问题。注意看乘法法则和矩形面积的奇妙类比
复合函数f&#040;g&#040;x&#041;&#041;可以看作由内函数g和外函数f嵌套组成的函数链，其可以导数通过链式法则求出。将内函数g&#040;x&#041;记作y，外函数f&#040;y&#041;记作z。复合函数的导数由链式法则dz/dx=&#040;dz/dy&#041;&#040;dy/dx&#041;给出，可以理解为分子分母同时乘以了一个dy。很多函数都能通过这种形式求导，比如sin&#040;3x&#041;、正态分布相关函数e^&#040;-x&sup2;/2&#041;均可以通过链式法则转化为两个简单函数，轻松求导。链式法则是微积分中最重要的法则之一。
这一讲用“窄带”&#040;narrow band&#041;的说法通俗地讲解了极限和连续的概念。所谓极限存在，就是不管取多窄的窄带，数列足够靠后的数字，都会落在窄带&#040;A+ε,A-ε&#041;之内。所谓函数连续，就是只要x足够接近a，就能保证f&#040;x&#041;足够接近f&#040;a&#041;。详细解释请参阅视频
这一讲通俗地解释是什么是逆函数，并解释了逆函数的图像不过是原函数沿y=x（45°直线）翻转得到的图像。在摄氏度华氏度转换等几个实例之后，又系统地通过逆函数的概念，从指数函数延伸出了对数函数的概念，并着重强调了对数的性质，为之后引入求导做准备。
这一讲的主题通过逆函数（又译作反函数）的求导法则，将求导法则总结性的列了出来（包括四则运算求导法则、链式法则、逆函数求导法则）。这一讲讲到了两个重要的实例lny和arcsiny的求导，指明逆函数求导法则可以通过链式法则推导。另外，关于&#040;lny&#041;&#039;=1/y，斯特朗教授有经典点评。
这一讲首先直观地用数量级的观念讲解了线性增长、多项式增长、指数增长等之间的快慢关系。如果x=10的3次方，指数函数10的x次方达到10的1000次方，也就是10后面1000个0。这一讲的另外一个重要内容是对数图，清晰地讲解了对数尺度（以logx为刻度）的好处，它能将各种增长转化为线性形式，并举出了一些典型的例子。
这一讲介绍了微积分的两种应用，深入浅出地讲明白了两种应用的实质，并将两种方法进行了对比讲解，说明了其内涵其实是一样的。线性近似，f&#040;x&#041;=&#040;x-a&#041;f&#039;&#040;a&#041;，是求函数近似值最简单使用的方法，在各项工程领域均有广泛的应用。而牛顿法，是近似解方程的标准方法，目前仍广泛应用于计算器和计算机程序中。
这一讲从幂级数入手，讲到了如何求函数幂级数的简单方法，即让函数的各阶导数和幂级数的各阶导数相匹配。然后由e^x, sinx和cosx的幂级数，连贯地引出欧拉公式e^&#040;iθ&#041;=cosθ+isinθ，并就此通俗地引入了复数的概念。课程的最后选讲了两个幂级数：几何级数和对数级数，并诠释了两者间的联系。
这一讲的主题是常系数线性微分方程my&#039;&#039;+2ry&#039;+ky=0。教授指出了这种方程在物理、工程、自科、社科等领域的广泛应用，强调它是最重要的微分方程。他以弹簧的振动为例，通俗地解释了各常数的物理意义（m质量、r阻尼、k胡克系数）。课程后半部分举重若轻地讲解了这种方程的解法——代入e^&#040;λt&#041;来求解，详细内容见课程。
关于增长的微分方程
六大函数、六大法则及六大定理
学校：麻省理工学院
讲师：Prof Gilbert Strang
授课语言：英文
类型：数学 国际名校公开课
课程简介：微积分的介绍，面向高中生和大学新生，主要是一个入门。除了视频，还有幻灯片和实例。本课程的目的是从错综复杂的微积分课本和习题中跳出来，以一种总览（Big Picture）的简洁形式重新审视微积分。
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