【图文】第9章 期权定价公式及其应用_百度文库
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第9章 期权定价公式及其应用
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3秒自动关闭窗口【图文】期权中希腊字母的含义_百度文库
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期权中希腊字母的含义
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&&历史版本
风险敏感系数
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在数理金融领域中，希腊字母表示是度量衍生品价格敏感性的系数，例如期权会受到标的资产价格变化的影响。之所以取名为金融希腊字母是由于大部分常见的敏感性系数一般用希腊字母来表示。同时他们也被称为希腊字母 ，风险测度 或者对冲参数 。
希腊字母是风险管理至关重要的工具。 每个希腊字母度量投资组合在指定的标的微小变化时的敏感性，因此风险的组成部分都可以被单独度量，并且资产组合能够根据所需的暴露风险进行再平衡。
希腊字母在布莱克-肖尔斯期权定价模型中相对比较容易计算，并且可以由金融模型来推导得到性质，它对于衍生品交易员来说非常重要，尤其是对于有对冲价值的希腊字母Delta, Theta 和Vega都被很好的用来用来度量标的价格，时间和波动率的变化。 尽管Rho在布莱克－肖尔斯模型中是主要的输入变量，但是无风险利率的相应变化对于期权价格的总体影响一般是微不足道的。所以包含无风险利率的高阶导数并不常用。
最常见的希腊字母有价值函数的一阶导数 Delta, Vega, Theta 和 Rho 以及二阶导数Gamma。此表中的其他敏感性非常常见，所以他们也有常见的名字，但是词表只包含部分内容，并不详尽。
即期价格波动率到期时间现值DeltaVegaThetaDeltaGammaVannaCharmVegaVannaVommaVetaGammaSpeedZommaColorVommaUltimaTotto希腊字母的定义是期权的价格和风险（第一列）对于标的资产（第一行）的敏感度 。其中现值对应的行是一阶希腊字母，Delta和Vega对应的行是二阶希腊字母，Gamma和Vomma对应的行是三阶希腊字母。
，衡量的是理论期权价值相对于标的资产价格变化的变化率。 Delta是期权价值V对标的价格S的一阶导数。
对于标准化期权，Delta在买入看涨期权（卖出看跌）中会是一个介于0到1之间的数字；在买入看跌期权（卖出看涨）时这个数字是0或者－1。 看涨期权取决于标的价格，其表现如同拥有一股标的股票（如果是价内期权）或者什么也没有（如果是价外期权），或者介于两者之间,对于看跌期权反之亦然。同样的执行价格的看涨期权和看跌期权的Delta的不同之处在于非常接近但是一般不等于1，而是等于折现率的倒数。根据买卖权平价关系同时买入看涨期权和卖出看跌期权等于买入一份期货F，此期货与现货S呈线性关系，该线性方程中的系数是折现率的倒数，所以导数dF/dS就正好是这个系数。
这些数字一般用期权合同(S)占总数的百分比的形式呈现。这样会比较方便表达，因为期权会（立即）呈现出由 Delta所代表的股数。例如，假设一个包含100股美式看涨期权的XYZ的资产组合其中每一个的Delta都是0.25（=25%），那么这个资产组合随着价格的微小变动就会盈利或者亏损类似25股XYZ的情况。Delta表达时正负号和百分比通常会被省略－因为正负号是隐含在期权种类中的（看跌表示负号，看涨表示正号），然后百分比也很好理解。最常见的表述是25-Delta的看跌期权，50-Delta的看跌期权，50-Delta的看涨期权和25-Delta 的看涨期权。50-Delta看跌期权 和50-Delta看涨期权并不完全一样，这是因为有了折现系数的存在，即期和远期是不一样的，但是他们通常被视为等价。
Delta一般对于买入看涨期权总是为正，对于买入看跌期权总是为负（除非他们为零）。一个复杂的资产组合对于同样标的资产的头寸的总的Delta 可以通过分别取每种头寸的Delta总和来得到。这个资产组合的Delta是一个线型函数。
因为标的资产的Delta总是1，所以交易员可以通过买卖总Delta所表示数量的数额来无风险对冲他的所有标的头寸。例如，如果一种资产组合XYZ (他们的表达方式为标的资产的一定份额) 的Delta 是+2.75， 那么交易员就能够通过卖空2.75股标的资产进行无风险对冲。然后这种资产组合就能一直保持其总价值，不论XYZ的价格会往哪个方向变动（尽管只是标的资产的小幅度的变化，很短时间内变化，在其他例如波动和无风险投资回报率的其他市场情况下除外）。
作为概率替代
Delta （绝对值）接近但是不完全等于期权的价值状态的百分比，例如会使价内期权失效的隐含概率（如果市场走势在风险中性测量遵循布朗运动）。由此，一些期权交易员用Delta的绝对值作为货币状态百分比的近似值。举个例子，如果一个价外看涨期权的delta是0.15，那么交易员就会估计期权大概有15%的可能性价内失效。同样的，如果一个看跌期权的Delta值为－0.25，交易员就可能会预计期权有25%的可能性价内失效。平值看跌看涨期权的Delta值大概分别为0.5和－0.5，对于平值期权会有高一点的Delta的微小偏差。也就是说，两者都有大约50%的可能性价内失效。确切的对于在某个特定价格K结束期权可能性的计算是它的对偶期权，也就是期权价格对于执行价格的一阶导数。
看涨和看跌Delta的关系
给定同一个标的物的欧式看涨和看跌期权，执行价格和到期时间，没有股息收益，那么每种期权Delta绝对值的总和为1，更确切的说，看涨期权的Delta（正数）减去看跌期权的Delta（为负数）等于1。这是因为买卖权平价理论：买入看涨期权加上卖出看跌（看涨减去看跌）跟一个Delta值等于1的远期合约是一样的。
如果某种期权的Delta值是已知的，就可以计算同样执行价格，标的资产和到期时间但是相反方向权利的期权的Delta值，也就是从已知的看涨Delta减去1或者把已知的看跌Delta加上1。
D(看涨)－D(看跌)=1。 因此，D（看涨）=D（看跌）+1； D（看跌）=D（看涨）－1。
例如，如果一个看涨期权的Delta值是0.42，那么我们就可以计算相对应的同样执行价格的看跌期权为0.42-1=－0.58。如果已知看跌期权Delta要计算看涨Delta，类似的计算－0.58+1=0.42 。
，测量的是期权波动率的敏感度，它是期权价值相对于标的资产波动率的导数。
Vega 不是任何希腊字母的名称，然而它使用的的字形是希腊字母nu (
)。据推测，Vega这个名称的使用是因为希腊字母nu 看起来像拉丁字母Vee，然后类比Beta, Eta和Theta在美式英语中的发音，Vega就从Vee衍生而来。另一个可能是它以Joseph De La Vega命名。此人因一本研究股票市场和涉及到期权和远期交易的复杂的交易行为的著作而闻名于世，书名为《Confusion of confusions》。
符号kappa，
，有时候（在学术中）被用来替代Vega。
Vega 通常被表述为期权价值每标的份额随着波动性上升或下降1%所获得的收益或者造成的损失的金额。
Vega 对于期权交易员来说是很重要的希腊字母，尤其是在动荡的市场上，因为一些期权策略的价值在波动性中对于变化非常敏感。例如期权套期图利，就非常依赖于对于波动性的变化。
，测量的是衍生品价值对于时间推移的敏感性，也就是“时间衰减”。
Theta的这个公式的数学结果是按年计算的。按照惯例，通常要把这个结果除以一年的天数，来得到一天中每股标的资产损失的金额。Theta对于买入看涨或者看跌期权来说一般是负数；对于卖出看跌或者看涨期权来说一般是正数。有一个例外就是深度价内欧式看跌期权。期权资产组合的Theta 的可以通过加总每个单独的头寸的Theta值来计算。
一种期权的价值可以分为两个部分：内含价值和时间价值。内含价值是你立即执行期权合约将会获得的收益，所以一份执行价格为$50，价格为$60的股票期权合约的内含价值就是$10，但是相对应的看跌期权的内含价值就是0。时间价值就是拥有一份在决定执行合约前等待更长时间的价值。即使是一份看跌的价外期权也是有价值的，因为还是有股票价格在到期日前下跌到执行价格之下仍旧具有T可能性。然而，随着时间越来越趋近到期日，这种情况发生的可能性就会越来越小，所以期权的时间价值是随着时间递减的。因此如果你买入一种期权就意味着你就看空Theta，即其他因素不变的情况下你持有的资产组合会随着时间失去价值。
， 度量的是对于利率的敏感性，它是期权价值相对于无风险利率的导数。
除了在极端情况下，期权的价值对于无风险利率的变化比对于其他参数变化的敏感度更低。因此，Rho在一阶希腊字母中是最不常用的。
Rho 一般被表述为每股标的资产的期权随着无风险利率上升或者下降1.0%每年（100个基本点）所收益或损失的金钱的数额。
， omega，
，或者称为弹性，是期权价值对于标的资产价格每百分比变化的百分比变化。它是一种杠杆方式，有时候被称作杠杆比率。
，测量的是Delta对于标的资产价格变化的变化率。
Gamma 是价值方程相对于标的价格的二阶导数。所有的买入期权都有正的Gamma，所有卖出期权都有负的Gamma。买入期权与Gamma正相关是因为随着价格的上升，Gamma也会上升，从而使Delta从0趋向于1（对于买入看涨期权）或使之从0趋向于－1（对于买入看跌期权）。对于卖出期权反之亦然。
Gamma 最近似于平价期权，随后不论是变为价内期权还是价外期权，这种近似关系都会慢慢消失。Gamma很重要是因为它更正了价值的凸性。
当一个交易员寻求建立一种对资产组合有效的无风险对冲，这个交易员就可能会使这个资产组合的Gamma中性，因为这样可以保证对冲在更广泛为的标的价格变动时有效。然而，在中和一种资产的Gamma时，资产的Alpha（超过无风险利率的回报）也被减少了。
Vanna，也被称为DvegaDspot 和DdeltaDvol，是期权价值的二阶导数,第一次对标的价格，第二次对波动性求导。它在数学上等价于DdeltaDvol, 也就是期权Delta相对于波动性变化的敏感度，或者Vega对标的资产价格的偏导。Vanna是一个很有用的用于监测保持Delta或者Vega对冲资产组合的敏感度测量，因为Vanna能够帮助交易员来预测无风险对冲随着波动率变化的有效性而变化或者Vega对冲对于标的即期价格变化的有效性。
如果标的价值方程具有连续的二阶偏导，那么其计算公式如下。
Vomma，Volga，Vega convexity，Vega Gamma 或者d Tao/d Vol 测量的都是对于波动性的二阶导数。
Vomma 是期权价值对于波动性的二阶导数。如果Vomma为正数，随着隐含波动性的增加，Vega头寸会被看涨；如果隐含波动性降低，会看空Vega,这在某种程度上类似看涨Gamma。一份起初Vega中性，看涨Vomma的头寸可以根据不同执行价格的期权份额来构造。对于理论上没有价值的期权，Vomma是正数，起初会随着价格偏离的程度而增加（但是随着Vega的下降也会下降）。（特别需要指出的是，一般d1 和d2是同一个符号，而Vomma为正数，当d2&0 或者d1&0时也同样成立。）
Charm 或者Delta衰减，衡量的是Delta相对于相对于时间流逝的即使变化率，也被称作DdeltaDtime。Charm 在衡量或者监测超过周末的无风险对冲头寸的头寸时很有用。Charm是期权价值的二阶导数，第一次是对价格，第二次是对时间。它同时也是Theta对于标的价格导数。
Charm的公式表达的数学结果为d Delta/d time。通常也用它来除以每年的天数来得到每天的Delta的衰减率。特别是当距离期权到期日时间比较长时，这种处理就非常确切。如果距离到期日很近，Charm本身就会变得比较快，会使Delta衰减的每天估计不准确。
Veta， 或者DvegaDtime，测量的是Vega相对于时间的变化率。Veta是价值方程的二阶导数，第一次是对波动性，第二次是对时间。
通常的做法是通过用得到的数学结果除以天数再除以100，从而减小Vega每天每一百分比的变化值。
Vera, 或者DvegaDtime, 测量的是Rho相对于波动性的变化率。Vera是价值方程的二阶导数，第一次是对波动性，第二次是对利率。Vera可以被用来波动性变化对Rho对冲的影响。
Color， Gamma衰减或者DgammaDtime，是测量对Gamma对时间的变化率。Color是加之方程的三阶导数，两次对标的资产，一次对时间。Color是判断是否维持Gamma对冲资产时很有用的敏感度系数，因为它可以帮助交易员预测对冲对时间的有效性。
Color公式的数学表达式是d Gamma/d time。它通常会除以一年的天数来得到每天的Gamma改变量。当离到期日比较远时这个字母的作用会比较准确，但是当期权接近到期日时，Color本身就变得非常快，所以对于Gamma的每天估计会不太准确。
Speed测量的是Gamma相对于标的价格的变化率。有时候也被称为Gamma的Gamma或者DgammaDspot。Speed是价值方程相对于标的物即期价格的三阶导数。在监管无风险对冲或者Gamma对冲一个资产组合时，Speed是很有用的。
Ultima测量的是期权的Vomma相对于波动性变化的敏感度。 Ultima也被称作DvommaDvol。Ultima是期权价值对波动性的三阶导数。
Zomma测量的是Gamma相对于波动率变化的变化率。Zomma也被称作DgammaDvol。Zomma是期权价值的三阶导数，两次对标的资产价格，一次对波动性。Zomma是确保Gamma对冲资产时很好的敏感度指标，这是因为Zomma可以帮助交易员预测对冲有效性随着波动性变化的变化。
如果衍生品的价值依赖于两种及以上标的资产，那么它的希腊字母就被扩展为包含标的资产的交叉效应。
关联Delta 测量的是衍生品价值对于标的资产之间相关性变化的敏感度。
测量的是一种标的资产对另一种标的资产水平上的变化的Delta的变化率。
测量的是Vega的一种标的资产因为另一种水平上的标的资产的变化而产生的变化率。同样的，它测量的是第二种标的资产由于第一种标的资产波动率变化而产生的Delta 的变化率。
测量的是一种标的资产对于另一种标的资产波动性变化的变化率。
一些相关的金融衍生品风险度量的方法如下。
债券久期和凸性
在交易固定收益证券（债券）时，各项测量债券久期的方式是类似于期权的Delta的。跟Delta最为接近的是DV01（dollar duration，美元久期 ），也就是每一个基本点的上升为（即0.01%每年）所带来的收益率（收益是标的资产变量）价格（货币单位）的下跌。
类似于Lambda的是修正久期，也就是债券价格市场价格变化的百分比对于收益率一单位变化（及它等于DV01除以市场价格）。不同于Lambda（一个弹性，即输出的对于百分比的输入的百分比的变化），修正久期是半弹性－输出对于一单位输入变化的百分比变化。
债券凸性是一种测量久期对于利率变化的敏感度的工具，也是债券价格对于利率的二阶导数（久期是一阶导数）。一般情况下，凸性越大，债券价格对于利率变化的敏感度越大。债券凸性是最基本和应用最广泛的金融凸性的一种。
股票或者资产组合的Beta (
)是一个描述一种资产的波动性和与之相对比的基准的波动性的关系的数字。这个基准通常是整个金融市场，一般用代表指数，例如标准普尔500来估计得到。
如果一种资产的回报率的变化不依赖于市场回报率的话，这种资产的Beta就是0。正的Beta意味着这种资产的回报率一般遵循市场回报率，在这个意义上他们都会比各自在一起的平均值更高，或者低于各自在一起的平均值。一个负的Beta意味着资产的回报率一般与市场回报率向反方向移动：当另外一方低于平均值时，它会高于两者的平均值。
Fugit 是执行一份美式期权或者百慕达期权的预期时间。对于对冲目的之用，计算Fugit是非常有用的－例如，可以用开始于Fugit乘以Delta的互换来代表美式互换期权，然后用这些来计算敏感性。